2.4 第1课时 几何图形问题-【木牍中考·名师教案】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该初中数学教案聚焦二次函数在几何图形中的应用，核心解决面积最大等实际问题。课堂以开发商三角形土地建矩形大楼的生活情境导入，衔接二次函数性质，通过“实际问题→抽象变量关系→构建函数模型→求最值”的学习支架，引导学生从具体到抽象。 教案特色在于融入生活实例，如窗户光线、栅栏围活动区等问题，培养学生用数学眼光观察现实世界，发现几何中的数量关系。通过分析变量、推导函数表达式，发展用数学思维思考的推理与运算能力，构建二次函数模型解决问题，强化用数学语言表达的模型与应用意识。助力学生提升建模能力，为教师提供具体案例与步骤，便于高效教学。

4　二次函数的应用 · 第1课时　几何图形问题 ◇教学目标◇ 　　1.能将简单的实际应用的最值问题转化为数学问题;初步掌握用二次函数的图象和性质解决面积最大问题的一般步骤和方法. 2.经历用二次函数解决实际问题的过程,体会数学知识的现实意义,进一步认识利用二次函数模型解决实际问题. 3.通过研究生活中的实际问题,体会数学建模的思想,激发学生的兴趣和欲望,体会数学在生活中广泛的应用价值. ◇教学重难点◇ 教学重难点 构建数学模型——二次函数,并利用二次函数的图象和性质解决面积最大问题. ◇教学过程◇ 一、情境导入 　　随着经济和人口的发展,城市用地已经越来越少了,黄金地段更是寸土寸金,所以有效利用土地资源极具研究价值,某开发商计划开发一块三角形土地,它的底边长为100米,高为80米.开发商要沿着底边修一座底面是矩形的大楼,这座大楼地基的最大面积是多少? 二、合作探究 探究点1　面积最大问题 典例1　某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多?(结果精确到0.01 m)此时,窗户的面积是多少?(结果精确到0.01 m2) [解析]　由4y+7x+πx=15,得y=, ∴窗户面积S=2xy+=2x·=-x2+x=-, ∴当x=≈1.07时,S最大值=≈4.02. 即当x≈1.07 m时,窗户通过的光线最多,此时窗户的面积约为4.02 m2. 　　“最大面积”问题解决的基本思路:阅读题目,理解问题;分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;用数量关系式表示出它们之间的关系;根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值;检验结果的合理性. 变式训练　如图,李师傅想用长为80米的棚栏,再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区ABCD.已知教学楼外墙长50米,设矩形ABCD的边长AB为x米,面积为S米2. (1)请写出活动区面积S与x之间的关系式,并指出x的取值范围. (2)当AB为多少米时,活动区的面积最大?最大面积是多少? [解析]　(1)根据题意知AB=x,BC=80-2x, ∴S=x(80-2x)=-2x2+80x. 又∵x>0,0<80-2x≤50,解得15≤x<40, ∴S=-2x2+80x(15≤x<40). (2)∵S=-2x2+80x=-2(x-20)2+800, ∴当x=20时,S取最大值,最大值为800. 答:当AB为20米时,活动区的面积最大,最大面积是800米2. 典例2　学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广场的地面ABCD,已知矩形广场地面的长为100米,宽为80米.图案设计如图所示,广场的四角为小正方形,阴影部分为四个矩形,四个矩形的宽都为小正方形的边长,阴影部分铺绿色地面砖,其余部分铺白色地面砖. (1)要使铺白色地面砖的面积为5200米2,那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米? (2)如果铺白色地面砖的费用为每平方米30元,铺绿色地面砖的费用为每平方米20元.当广场四角小正方形的边长为多少米时,铺广场地面的总费用最少?最少费用是多少? [解析]　(1)设矩形广场四角的小正方形的边长为x米.根据题意,得4x2+(100-2x)·(80-2x)=5200, 整理,得x2-45x+350=0, 解得x1=35,x2=10, ∴要使铺白色地面砖的面积为5200米2,则矩形广场四角的小正方形的边长为10米或35米. (2)设铺矩形广场地面的总费用为y元,矩形广场四角的小正方形的边长为x米,则y=30×[4x2+(100-2x)(80-2x)]+20×[2x(100-2x)+2x(80-2x)], 即y=80x2-3600x+240000=80(x-22.5)2+199500, ∴当x=22.5时,y的值最小,最小值为199500. ∴当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时,所铺广场地面的总费用最少,最少费用为199500元. 探究点2　抛物线型物体的二次函数问题 典例3　某游乐园圆形喷水池中心的喷水头离地面的高度为 m,其喷出的水柱呈抛物线状,喷出的水柱距池中心4 m处达到最高,高度为6 m.如图,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立平面直角坐标系. (1)求该抛物线的表达式; (2)试求喷出的水柱落地点A离池中心O的距离. [解析]　(1)由题意设抛物线的表达式为y=a(x-4)2+6, 将代入,得=a(0-4)2+6, 解得a=-, 故该抛物线的表达式为y=-(x-4)2+6. (2)由题意,当y=0时,0=-(x-4)2+6, 解得x1=10,x2=-2(不合题意舍去). 答:喷出的水柱落地点A离池中心O的距离为10 m. 三、板书设计 几何图形问题 ◇教学反思◇ 　　本节课设置了生活中常见的楼房的面积等事例引导学生思考,使学生提高学习数学的兴趣,深刻体会数学在实际生活中的应用价值.通过学习用二次函数知识解决最大面积的问题,让学生增强了应用数学知识的意识,获得了利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受了数学建模思想和数学知识的应用价值. 1 立足安徽 精准备考 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $