2.3 确定二次函数的表达式-【木牍中考·名师教案】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该初中数学教案聚焦“确定二次函数的表达式”，通过回顾二次函数形式、一次函数与反比例函数待定系数法所需条件，引出二次函数确定条件，构建新旧知识联系的学习支架。 探究点分层设计，从已知三点用一般式、顶点用顶点式到灵活条件选形式，培养推理与运算能力，结合销售利润实际问题渗透模型观念与应用意识，变式训练助学生灵活运用，提升教学结构化与学生抽象创新能力。

3　确定二次函数的表达式 ◇教学目标◇ 　　1.熟练用待定系数法求函数的表达式;能够根据不同的已知条件选用不同的方法,较简便的求二次函数的表达式;能用求二次函数表达式的方法解决有关的实际问题. 2.经历根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程,类比求一次函数的表达式的方法,体会求二次函数表达式的待定系数法. 3.能把实际问题抽象为数学问题,也能把所学知识运用于实践,培养学生积极参与的意识,加深学生在生活中学数学,将数学知识服务于生活的学习理念. ◇教学重难点◇ 教学重点 设一般式求已知三点的二次函数的表达式和设顶点式求已知顶点的二次函数的表达式. 教学难点 根据题目中不同的已知条件,设不同的表达式形式,灵活的求二次函数的表达式. ◇教学过程◇ 一、问题导入 1.请说出二次函数的一般形式和二次函数的顶点式. 2.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的表达式时,通常需要几个独立的条件?确定反比例函数y=(k≠0)的关系式呢? 3.如果要确定二次函数的关系式y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),通常又需要几个条件呢? 二、合作探究 探究点1　已知三个点确定二次函数的表达式 典例1　已知抛物线经过A(-1,8),B(3,0),C(0,3)三点. (1)求抛物线的表达式; (2)写出该抛物线的顶点坐标. [解析]　(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c, ∵抛物线经过A(-1,8),B(3,0),C(0,3)三点, ∴根据题意得解得 ∴抛物线的表达式为y=x2-4x+3. (2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴抛物线的顶点坐标为(2,-1). 　　在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解. 探究点2　已知顶点坐标确定二次函数的表达式 典例2　已知抛物线的顶点坐标为M(1,-2),且经过点N(2,3),求此二次函数的表达式. [解析]　∵抛物线的顶点坐标为M(1,-2), ∴可设此二次函数的表达式为y=a(x-1)2-2, 把点N(2,3)代入表达式,得a-2=3, 解得a=5, ∴此二次函数的表达式为y=5(x-1)2-2. 技巧点拨如果已知二次函数的顶点坐标,一般我们可以设这个二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k,因为k,h是已知的,所以只需再知道一个点就可以利用方程求出a,即可得到二次函数的表达式. 变式训练　已知二次函数图象的顶点坐标是(3,5),且抛物线经过点A(1,3). (1)求此抛物线的表达式; (2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点,且抛物线与y轴的交点是C点,求△ABC的面积. [解析]　(1)设抛物线的表达式为y=a(x-3)2+5, 将点A(1,3)代入上式,得3=a(1-3)2+5,解得a=-, ∴此抛物线的表达式为y=-(x-3)2+5. (2)∵抛物线对称轴为直线x=3,点A和点B关于对称轴对称, ∴点B的坐标为(5,3). 令x=0,则y=-(x-3)2+5=, ∴点C的坐标为, ∴△ABC的面积=×(5-1)×=5. 探究点3　已知两个点或一个点和对称轴确定二次函数的表达式 典例3　如图,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,2),对称轴为直线x=-2,平行于x轴的直线与抛物线交于B,C两点,点B在对称轴左侧,BC=6. (1)求此抛物线的表达式; (2)点P在x轴上,直线CP将△ABC面积分成2∶3两部分,求点P的坐标. [解析]　(1)由题意得c=2,x=-=-=-2,解得b=4, 则此抛物线的表达式为y=x2+4x+2. (2)∵抛物线对称轴为直线x=-2,BC=6, ∴B点横坐标为-5,C点横坐标为1, 把x=1代入抛物线表达式,得y=7, ∴B(-5,7),C(1,7). 设直线AB的表达式为y=kx+2, 把点B代入,得k=-1,即y=-x+2, 如图,作出直线CP,与AB交于点Q,过点Q作QH⊥y轴,与y轴交于点H,BC与y轴交于点M, 可得△AQH∽△ABM,∴. ∵点P在x轴上,直线CP将△ABC面积分成2∶3两部分, ∴AQ∶QB=2∶3或AQ∶QB=3∶2,即AQ∶AB=2∶5或AQ∶AB=3∶5. ∵BM=5,∴QH=2或QH=3. 当QH=2时,把x=-2代入y=-x+2,得y=4,此时点Q(-2,4), 易得直线CQ的表达式为y=x+6, 令y=0,得x=-6,即点P(-6,0); 当QH=3时,把x=-3代入y=-x+2,得y=5,此时Q(-3,5), 易得直线CQ的表达式为y=x+, 令y=0,得x=-13,此时P(-13,0). 综上所述,点P的坐标为(-6,0)或(-13,0). 　　已知两个点或一个点和对称轴,确定二次函数的表达式时,可以灵活设其表达式,以使计算简便,一般可以设一般式与对称轴公式结合运用,较为简便.如果已知二次函数与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,则可以设二次函数与x轴的“交点式”y=a(x-x1)(x-x2),较为简便. 变式训练　已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(c,0),对称轴为直线x=3,则此二次函数的表达式为　　　　.  [答案]　y=x2-6x+5或y=x2-6x 探究点4　利用二次函数的表达式解决实际问题 典例4　某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售,一天可销售约100件,该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大? [解析]　设每件商品降价x元(0≤x≤2),该商品每天的利润为y元. 商品每天的利润y与x的函数关系式是y=(10-x-8)(100+100x), 即y=-100x2+100x+200=-100+225, 因为x=时,满足0≤x≤2, 所以当x=时,函数取得最大值. 答:将这种商品的售价降低0.5元时,能使销售利润最大. 三、板书设计 确定二次函数的表达式 确定二次函数的表达式 ◇教学反思◇ 　　二次函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型,是初中阶段数学学习的一个重要内容.在本节教学设计中,利用已经学习过的知识,进一步探究待定系数法解决二次函数表达式的问题,同时通过对给出条件的分析,选择合适的二次函数表达式和方法来解决问题. 本节课是在学生已经掌握了二次函数的有关性质和表达式的基础上,对有关知识进行应用和拓展.在教学过程中,通过问题情境的创设,激发学生的学习兴趣,并注意通过有层次的问题的精心设计,引导学生进行探究活动.在师生互动、生生互动的探究活动中,提高学生解决实际问题的能力. 1 立足安徽 精准备考 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $