2.2 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质-【木牍中考·名师教案】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该教案聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，通过复习y=ax²等特殊形式的开口方向、顶点坐标等知识，提出一般式顶点坐标求解问题，搭建从特殊到一般的学习支架。 以配方法推导顶点坐标公式培养推理能力，结合钢缆抛物线实例渗透几何直观与应用意识，变式训练巩固重难点，助力学生发展转化思想与问题解决能力，为教师提供清晰教学路径和丰富实践案例。

第4课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 ◇教学目标◇ 　　1.能用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,从而确定其开口方向、最值、对称轴和顶点坐标. 2.经历用配方法推导二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式的过程,进一步体验数学上的转化思想,体会建立二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标公式的必要性. 3.丰富数学学习的成功体验,认识到数学是解决实际问题的重要工具,体会二次函数图象的对称美以及二次函数的一般式与顶点式互相转化的和谐美. ◇教学重难点◇ 教学重点 能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)2+k的形式,并能用其推导的顶点坐标公式求二次函数的对称轴和顶点坐标. 教学难点 用配方法推导y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标公式. ◇教学过程◇ 一、问题导入 1.请说出二次函数y=ax2,y=ax2+h,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k图象的开口方向、增减性、对称轴和顶点坐标. 2.怎么求y=x2-8x+11的顶点坐标、对称轴和最值?y=2x2-4x+5呢? 3.对于更一般的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)又怎么求其顶点坐标、对称轴和最值呢? 二、合作探究 探究点1　用配方法求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标和对称轴 典例1　已知二次函数y=x2-x-. (1)用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标; (2)在图中画出该函数的图象; (3)观察图象后判断,当x满足什么条件时,y>0? [解析]　(1)y=x2-x-(x-1)2-2,所以顶点坐标为(1,-2). (2)由表达式可知,开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-2),与y轴交点为,与x轴的交点为(-1,0),(3,0). 图象如下. (3)从图象可知,当x<-1或x>3时,y>0. 变式训练　已知二次函数y=2x2-4x+1. (1)用配方法化为y=a(x-h)2+k的形式; (2)写出该二次函数的顶点坐标; (3)当0≤x≤3时,求二次函数y的最大值. [解析]　(1)y=2x2-4x+1=2(x2-2x)+1=2(x-1)2-2+1=2(x-1)2-1. (2)二次函数的顶点坐标为(1,-1). (3)∵a=2>0,对称轴为直线x=1, ∴当x<1时,y随x的增大而减小,当x>1时,y随x的增大而增大. ∵0≤x≤3, ∴当x=3时,二次函数有最大值,最大值为2×(3-1)2-1=8-1=7,即最大值为7. 探究点2　用公式法求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标 典例2　用公式法求二次函数y=-5x2+80x-319的顶点坐标和对称轴. [解析]　∵a=-5,b=80,c=-319, ∴-=-=8, =1, ∴顶点坐标为(8,1),对称轴为直线x=8. 　　二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式是,将一般式中的相应系数代入公式中,即可计算出其顶点坐标,相应的也就可以确定对称轴和最值. 变式训练　请用顶点坐标公式确定二次函数y=-3x2+6x-2的顶点坐标. [解析]　∵a=-3,b=6,c=-2, ∴-=-=1, =1, ∴顶点坐标为(1,1). 探究点3　综合应用二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质解决问题 典例3　如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=x2+x+10表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称.(单位:m) (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少? (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少? (3)写出右面钢缆的表达式. [解析]　(1)y=x2+x+10=(x+20)2+1. ∴这条抛物线的顶点坐标为(-20,1), ∴钢缆的最低点到桥面的距离是1 m. (2)两条钢缆最低点之间的距离是|-20-20|=40 m. (3)右边钢缆的表达式是y=(x-20)2+1. 变式训练　已知抛物线y=-2x2+4x-1. (1)该抛物线的对称轴是　　　,顶点坐标为　　　;  (2)选取适当的数据填入下表,并在图中的直角坐标系内描点,画出该抛物线的图象; x … y … (3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x1<x2<1,试比较y1与y2的大小. [解析]　(1)直线x=1;(1,1). (2)填表如下: x … -1 0 1 2 3 y … -7 -1 1 -1 -7 (3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x1<x2<1,则y1<y2. 三、板书设计 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 抛物线 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 顶点坐标 对称轴 直线x=- 直线x=- 位置 由a,b和c的符号确定 由a,b和c的符号确定 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小 最值 当x=-时,最小值为 当x=-时,最大值为 ◇教学反思◇ 　　本节是二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,通过小组合作研究一个具体的二次函数表达式的对称轴和顶点坐标,从而得出它的性质和图象,再由特殊到一般,以例题的形式通过配方法推导出二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标和对称轴公式,再进行针对性的练习巩固,同时通过一个具体的情境问题,使学生体会数学来源于生活,培养学生的数学能力,提高数学修养. 1 立足安徽 精准备考 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $