2.2 第3课时 二次函数y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k的图象与性质-【木牍中考·名师教案】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该教案聚焦二次函数y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k的图象与性质，通过“青青草原慢羊羊平移y=x²”情境导入，衔接y=ax²旧知，以平移问题为支架，引导探究新函数与原函数的形状、位置关系。 特色在于情境化与探究式融合，动画情境激发兴趣，培养抽象能力与创新意识。合作探究中典例（如平移后求表达式）与变式训练（隧道支撑架问题），让学生推理归纳性质，发展推理意识与运算能力。板书对比性质表，助学生系统掌握，提升教学效率，促进学生用数学眼光观察、思维和表达现实世界。

第3课时　二次函数y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k的图象与性质 ◇教学目标◇ 　　1.能够利用描点法画函数y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k的图象，能够说出它们图象的形状、开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性和最值情况. 2.使学生经历探究二次函数y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k性质的过程，理解函数y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k的性质，掌握二次函数y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k的图象与二次函数y=ax2的图象的关系，培养学生观察、分析、猜测、归纳解决问题的能力. 3.培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神. ◇教学重难点◇ 教学重点 会用描点法画出二次函数y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k的图象，理解二次函数y=a（x-h）2的性质，理解二次函数y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k的图象与二次函数y=ax2的图象的关系. 教学难点 理解二次函数y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k的性质，理解二次函数y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系. ◇教学过程◇ 一、情境导入 在青青草原上，慢羊羊在课堂上讲授有关二次函数的知识，只见它把已画的y=x2的图象向上、下、左、右四个方向各平移1个单位长度.然后提出问题：平移所得的四条抛物线与抛物线y=x2的形状、大小如何？那么把已画的y=x2的图象向上、下、左、右四个方向中的任意两个方向（不包括上下和左右）同时平移1个单位长度，平移所得的抛物线与抛物线y=x2的形状、大小如何？ 二、合作探究 探究点1　二次函数y=a（x-h）2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系 典例1　抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后经过点（-1，4），求a的值和平移后抛物线对应的二次函数的表达式. ［解析］　抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后的抛物线对应的二次函数的表达式可表示为y=a（x-3）2， 把x=-1，y=4代入，得4=a×（-1-3）2，解得a=. ∴平移后抛物线对应的二次函数的表达式为y=（x-3）2. 技巧点拨抛物线y=a（x-h）2与y=ax2形状相同，位置不同，y=a（x-h）2是由y=ax2左右平移得到的，当h>0时，向右移动；当h<0时，向左移动. 变式训练　已知二次函数y=a（x+m）2的顶点坐标为（-1，0），且过点A. （1）求这个二次函数的表达式. （2）点B（2，-2）在这个函数图象上吗？ （3）你能通过左、右平移函数图象，使它过点B吗？若能，请写出平移方案. ［解析］　（1）由已知可得y=a（x+1）2， 又∵二次函数过点A，∴a=-，∴y=-（x+1）2. （2）当x=2时，y=-×（2+1）2=-≠-2，∴点B（2，-2）不在这个函数图象上. （3）能.∵左、右平移只改变m的值， ∴-2=-（2+m）2，∴2+m=±2，∴m1=0，m2=-4， ∴y=-x2或y=-（x-4）2， ∴方案一：把y=-（x+1）2向右平移1个单位；方案二：把y=-（x+1）2向右平移5个单位. 探究点2　函数y=a（x-h）2的图象特征 典例2　在同一平面直角坐标系中画出二次函数y=2x2，y=2x2+1和y=2（x+1）2的图象，并回答下列问题： （1）它们的形状相同吗？ （2）分别说出它们的开口方向、顶点坐标和对称轴. ［解析］　画出函数的图象如图. （1）它们的形状相同. （2）函数y=2x2的开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴是y轴；函数y=2x2+1的开口向上，顶点坐标为（0，1），对称轴是y轴；函数y=2（x+1）2的开口向上，顶点坐标为（-1，0），对称轴是直线x=-1. 探究点3　函数y=a（x-h）2的增减性 典例3　若二次函数y=-（x-m）2，当x>1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　　　　.  ［解析］　∵y=-（x-m）2，∴二次函数对称轴为直线x=m，开口向下，∴当x>m时，y随x的增大而减小，∵当x>1时，y随x的增大而减小，∴m≤1. ［答案］　m≤1 变式训练　对于二次函数y=9（x-1）2，下列结论正确的是 （　　） A.y随x的增大而增大 B.当x>0时，y随x的增大而增大 C.当x=-1时，y有最小值0 D.当x>1时，y随x的增大而增大 ［答案］　D 探究点4　二次函数y=a（x-h）2+k的图象 典例4　将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为 （　　） A.y=（x+1）2+1 B.y=（x+1）2-1 C.y=（x-1）2+1 D.y=（x-1）2-1 ［解析］　抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位，向下平移1个单位得到对应点的坐标为（1，-1），所以平移后的新图象的函数表达式为y=（x-1）2-1. ［答案］　D 　　一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到y=a（x-h）2+k的图象.将y=ax2的图象上下移动|k|个单位，当k>0时，向上移动；当k<0时，向下移动；再将函数y=ax2的图象左右移动|h|个单位，当h>0时，向右移动；当h<0时，向左移动，便可得到函数y=a（x-h）2+k的图象. 变式训练　已知二次函数y=a（x-1）2-c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （　　） ［答案］　A 探究点5　二次函数y=a（x-h）2+k的性质 典例5　如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米.现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系. （1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； （2）求这条抛物线的表达式； （3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB，使C，D点在抛物线上，A，B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ ［解析］　（1）点M的坐标为（12，0），点P的坐标为（6，6）. （2）设抛物线的表达式为y=a（x-6）2+6， ∵抛物线y=a（x-6）2+6经过点（0，0）， ∴0=a（0-6）2+6，即a=-， ∴抛物线的表达式为y=-（x-6）2+6，即y=-x2+2x. （3）设点A的坐标为（m，0），则点B的坐标为（12-m，0），点C的坐标为，点D的坐标为. ∴“支撑架”总长AD+DC+CB=+（12-2m）+=-m2+2m+12=-（m-3）2+15. ∵此二次函数的图象开口向下， ∴当m=3米时，“支撑架”的总长有最大值，最大值为15米. 　　二次函数y=a（x-h）2+k的性质：当a>0时，开口向上，有最小值，且当x=h时，最小值是k，此时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，有最大值，且当x=h时，最大值是k，此时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小. 变式训练　已知抛物线y=（x-1）2-3. （1）写出抛物线的开口方向、对称轴. （2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值. （3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求P，Q两点的坐标. ［解析］　（1）∵a=>0，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1. （2）∵a=>0，∴函数y有最小值，最小值为-3. （3）令x=0，则y=（0-1）2-3=-，∴点P的坐标为， 令y=0，则（x-1）2-3=0，解得x1=-1，x2=3， ∴点Q的坐标为（-1，0）或（3，0）. 三、板书设计 二次函数y=a（x-h）2的图象与性质 函数 开口方向 对称轴 顶点 坐标 y的 最值 增减性 在对称轴左侧 在对称轴右侧 y=a（x-h）2 a>0 向上 直线x=h （h，0） 最小值是0 y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 a<0 向下 直线x=h （h，0） 最大值是0 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质 二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图象与性质 抛物线 y=a（x-h）2+k（a>0） y=a（x-h）2+k（a<0） 顶点坐标 （h，k） （h，k） 对称轴 直线x=h 直线x=h 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小 最值 当x=h时，有最小值k 当x=h时，有最大值k ◇教学反思◇ 　　通过本节课的学习，使学生认识到y=a（x-h）2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的，要求大家理解函数y=ax2（a≠0）和函数y=a（x-h）2+k的图象形状相同，只是位置不同，能够理解a，h，k对函数图象的影响，初步体会二次函数关系式与图象之间的联系，渗透数形结合的思想和转化思想，为今后的学习打下良好的基础.本节课的处理是在教师的引导下，学生进行观察、归纳、总结，充分体现以学生为主、教师为辅的教学思想，这样有助于提高学生分析问题和解决问题的能力. 1 立足安徽 精准备考 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $