2.2 第2课时 二次函数y=ax2，y=ax2+k的图象与性质-【木牍中考·名师教案】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该教案聚焦二次函数y=ax²和y=ax²+k的图象与性质，通过复习y=x²的图象特征及性质导入，搭建从特殊到一般的学习支架，引导学生逐步探究a对开口大小、k对平移的影响，梳理知识脉络。 此资料以直观操作与逻辑推理融合为特色，通过描点法作图培养几何直观，典例中函数值比较的代入、图象、增减性三种方法发展推理意识，平移规律探究渗透抽象能力。合作探究与变式训练提升参与度，结构化板书清晰呈现性质对比，助力学生构建知识体系，也为教师提供高效教学路径。

第2课时　二次函数y=ax2，y=ax2+k的图象与性质 ◇教学目标◇ 　　1.由第1课时的结论推广，得出函数y=ax2的图象与性质； 2.能够利用描点法画函数y=ax2+k的图象，能够说出y=ax2+k图象的形状、开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性和最值情况. 3.经历探索二次函数y=ax2+k图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验； 4.通过合作交流，能够从多个角度看问题，比较准确地理解二次函数y=ax2+k的性质. ◇教学重难点◇ 教学重点 作出函数y=ax2+k的图象，并根据图象认识和理解二次函数y=ax2+k的性质. 教学难点 由y=x2的图象及性质，用类比的思想学习y=ax2+k的图象及性质，并能比较出它们的异同点. ◇教学过程◇ 一、复习导入 1.二次函数y=x2的图象是　　　　，它的开口向　　　　，顶点坐标是　　　　，对称轴是　　　　，在对称轴的左侧，y随x的增大而　　　　，在对称轴的右侧，y随x的增大而　　　　，函数y=x2在x=　　　　时，取得最值，其最　　　　值是　　　　.   2.二次函数y=x2+2的图象与二次函数y=x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？它们之间有没有什么关系呢？ 二、合作探究 探究点1　二次函数y=ax2的图象 典例1　（1）用描点法在同一坐标系中画出y=x2，y=x2，y=2x2的图象. （2）比较上述图象，抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数有何关系？ （3）根据你的研究结果，请你在上述平面直角坐标系中近似画出函数y=x2的图象. ［解析］　（1）y=x2，y=x2，y=2x2的图象如图所示. （2）抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数越大，开口越小. （3）平面直角坐标系中近似画出函数y=x2的图象如图虚线所示. 探究点2　二次函数y=ax2的性质 典例2　已知点（-3，y1），（1，y2），（，y3）都在函数y=x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　　　　.  ［解析］　解法1：把x=-3，1，分别代入y=x2中，得y1=9，y2=1，y3=2，则y1>y3>y2. 解法2：作出函数y=x2的图象，把各点依次在函数图象上标出.由图象可知y1>y3>y2. 解法3：∵该图象的对称轴为y轴，a>0，∴在对称轴的右边，y随x的增大而增大，而点（-3，y1）关于y轴的对称点为（3，y1）.又∵3>>1，∴y1>y3>y2. ［答案］　y1>y3>y2 　　比较二次函数中函数值大小的方法 ①代入求值法； ②图象法； ③增减性比较法. 当要比较的几个点在对称轴的两侧时，可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点，转化到同侧后，然后利用性质进行比较. 探究点3　二次函数y=ax2+k的图象 典例3　在同一平面直角坐标系中画出二次函数y=x2+1与二次函数y=-x2-1的图象. （1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点； （2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点. ［解析］　如图. （1）相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴；不同点是：y=x2+1开口向上，顶点坐标是（0，1），y=-x2-1开口向下，顶点坐标是（0，-1）. （2）性质的相同点：开口程度相同. 性质的不同点：对于函数y=x2+1，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大； 对于函数y=-x2-1，当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小. 　　二次函数y=ax2+k的图象是抛物线，a的正负决定了开口方向，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下，y=ax2+k的对称轴是y轴（直线x=0），顶点坐标是（0，k）. 变式训练　二次函数y=-3x2+1的图象是将 （　　） A.抛物线y=-3x2向左平移3个单位得到 B.抛物线y=-3x2向左平移1个单位得到 C.抛物线y=3x2向上平移1个单位得到 D.抛物线y=-3x2向上平移1个单位得到 ［答案］　D 探究点4　二次函数y=ax2+k的性质 典例4　已知抛物线y=ax2+n与抛物线y=-2x2的形状相同，且其图象上与x轴最近的点到x轴的距离为3. （1）求a，n的值； （2）在（1）的情况下，指出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴及顶点坐标. ［解析］　（1）∵抛物线y=ax2+n与抛物线y=-2x2的形状相同， ∴a=±2. ∵抛物线y=ax2+n的图象上与x轴最近的点到x轴的距离为3， ∴当a=2时，n=3；当a=-2时，n=-3. （2）当a=2时，抛物线为y=2x2，开口向上，对称轴是直线x=0，顶点坐标是（0，0）； 当a=-2时，抛物线为y=-2x2，开口向下，对称轴是直线x=0，顶点坐标是（0，0）. 变式训练　抛物线y=ax2+c的顶点是（0，2），且形状及开口方向与y=-x2相同. （1）求a，c的值； （2）画出这个函数的图象. ［解析］　（1）由y=ax2+c形状及开口方向与y=-x2相同，得a=-， 由y=ax2+c的顶点是（0，2），得c=2. （2）由（1）得y=x2+2，函数图象如图所示. 三、板书设计 二次函数y=ax2的图象与性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质 抛物线 y=ax2（a>0） y=ax2（a<0） 顶点坐标 （0，0） （0，0） 对称轴 y轴 y轴 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小 最值 当x=0时，有最小值0 当x=0时，有最大值0 二次函数y=ax2+k的图象与性质 二次函数y=ax2+k（a≠0）的图象与性质 抛物线 y=ax2+k（a>0） y=ax2+k（a<0） 顶点坐标 （0，k） （0，k） 对称轴 y轴 y轴 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小 最值 当x=0时，有最小值k 当x=0时，有最大值k 　　二次函数y=ax2的图象与二次函数y=ax2+k的图象的关系 二次函数y=ax2+k的图象由二次函数y=ax2的图象向上（或向下）平移|k|个单位长度得到. ◇教学反思◇ 　　函数的教学，尤其是二次函数，是学生普遍感觉较为抽象难懂的知识.在教学过程中，除了让学生多动手画图象，加深学生对函数图象的了解，加深他们对函数性质的了解外，更重要的是让学生参与到函数图象和性质的探索中去，要利用一切可以利用的材料来帮助学生理解所学的知识. 1 立足安徽 精准备考 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $