2.1 二次函数-【木牍中考·名师教案】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该教案聚焦二次函数的定义、一般形式及实际问题中的函数关系建立。以“12米绳子围矩形求最大面积”导入，联系生活实际，类比一次函数引导学生从具体情境抽象出二次函数概念，搭建从实际到数学模型的学习支架。 该资料注重数学核心素养培养，通过典例辨析发展抽象能力，结合两数乘积、绿地种植面积等实际问题建模强化模型意识与应用意识。对学生提升用数学眼光观察和解决问题的能力，对教师提供清晰探究步骤与变式训练，助力高效教学。

第二章　二次函数 1　二次函数 ◇教学目标◇ 　　1.理解并能说出二次函数的定义和一般形式；能够表示简单问题中的二次函数关系式，并能化为一般形式. 2.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系. 3.进一步体会数学与生活的联系，增强运用数学的意识. ◇教学重难点◇ 教学重点 对二次函数的意义的理解和二次函数一般形式的掌握. 教学难点 对有关的实际问题，建立二次函数模型，并化为一般形式. ◇教学过程◇ 一、情境导入 现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围才能使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 二、合作探究 探究点1　二次函数的定义与一般式 典例1　下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二次项、一次项、常数项. （1）3y=3（x-1）2+1； （2）y=-0.5（x-1）（x+4）； （3）s=3-2t2； （4）y=2x（x2+3x-1）. ［解析］　（1）3y=3（x-1）2+1，即y=x2-2x+，是二次函数，二次项是x2，一次项是-2x，常数项是. （2）y=-0.5（x-1）（x+4），即y=-0.5x2-1.5x+2，是二次函数，二次项是-0.5x2，一次项是-1.5x，常数项是2. （3）s=3-2t2，即s=-2t2+3，是二次函数，二次项是-2t2，一次项是0，常数项是3. （4）y=2x（x2+3x-1），即y=2x3+6x2-2x，不是二次函数. 　　二次函数的定义是“形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数”，所以判定是否为二次函数，要对函数先进行整理，整理成一般形式，也只有在整理成一般形式后，才能确定它的二次项、一次项和常数项. 变式训练　下列函数中是二次函数的有 （　　） ①y=x+；②y=3（x-1）2+2；③y=（x+3）2-2x2；④y=+x. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ［答案］　B 探究点2　实际问题中的二次函数 典例2　根据下面的条件列出函数表达式，并判断列出的函数是否为二次函数： （1）如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数； （2）一个半径为10 cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的函数； （3）有一块长为60 m、宽为40 m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（m2）是草坪宽度a（m）的函数. ［解析］　（1）这两个数的乘积p与较大的数m的函数关系为p=m（m-5）=m2-5m，是二次函数. （2）剩余的面积S（cm2）与方孔边长x（cm）的函数关系为S=100π-4x2，是二次函数. （3）郁金香的种植面积S（m2）与草坪宽度a（m）的函数关系为S=（60-2a）（40-2a）=4a2-200a+2400，是二次函数. 变式训练　圆的半径是1 cm，假设半径增加x cm时，圆的面积增加y cm2. （1）写出y与x之间的关系式； （2）当圆的半径分别增加1 cm， cm，2 cm时，圆的面积增加多少？ ［解析］　（1）y与x之间的关系式是y=π（x+1）2-π=πx2+2πx. （2）当圆的半径分别增加1 cm， cm，2 cm时，即x的值分别为1，，2，代入y=πx2+2πx，圆的面积分别增加3π cm2，2（1+）π cm2，8π cm2. 三、板书设计 二次函数 二次函数 ◇教学反思◇ 　　通过学生身边熟悉的事物，让学生感受到二次函数的引入是实际生活的需要，数学与我们的生活密不可分，结合学生的认知能力，注重引导学生联系生活实际，从具体的实际问题中抽象出二次函数，从而引导学生去构造数学模型. 1 立足安徽 精准备考 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $