1.6 利用三角函数测高-【木牍中考·名师教案】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该教案聚焦利用锐角三角函数测量物体高度，通过“测量不可到达建筑物高度”的情境问题导入，引导学生结合直角三角形边角关系设计方案，搭建从理论到实践应用的学习支架，衔接前后知识。 特色在于实践与核心素养融合，通过自制测倾器、实地测量等活动，学生用数学眼光观察房屋、铁塔等现实情境，用数学思维推理构造直角三角形，用数学语言表达测量模型，提升应用意识与合作能力，为教师提供可操作的实践教学方案。

6　利用三角函数测高 ◇教学目标◇ 　　1.进一步理解直角三角形中的边角关系；能自制测倾器、设计活动方案，用锐角三角函数解决测量物体高度的问题.运用测倾器进行实地测量以及撰写活动报告的过程. 2.能对测量的结果进行分析校正，能综合运用锐角三角函数的知识解决问题，培养学生的应用意识和动手能力. 3.通过“测量物体的高度”这一活动过程，理论与实际相结合，培养学生集体合作的能力. ◇教学重难点◇ 教学重点 自制测倾器、设计活动方案，解决测量物体的高度的问题. 教学难点 理论与实际相结合，解决测量物体的高度问题. ◇教学过程◇ 一、情境导入 　　如图，AC表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD表示一个建筑物，且不能到达.已知AC与BD地平高度相同，AC周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺（可测量长度）和测角器（可测量仰角、俯角和两视线间的夹角）. （1）请你设计一个测量建筑物BD高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据（用字母表示），并画出测量示意图； （2）写出计算BD高度的式子. 二、合作探究 探究点1　测量底部可以到达的物体的高度 典例1　如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在直线，为了测量房屋高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点恰好共线，继续向房屋方向走8 m到达点D时，测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF=12 m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一条水平线上）.（结果精确到1 m，参考数据：sin 35°≈0.6，cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7，≈1.7） （1）求屋顶到横梁的距离AG； （2）求房屋的高AB. ［解析］　由题可知AG⊥EF，EG=EF=6，∠AEG=∠ACB=35°. 在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠AEG=35°， ∴AG=EG·tan∠AEG≈4（m）. 答：屋顶到横梁的距离AG约为4 m. （2）过点E作EH⊥CB于点H.设DH=x. 在Rt△DEH中，EH=DH·tan 60°=x， 在Rt△CEH中，tan ∠ECH=， 即≈0.7，解得x≈5.6，∴x≈9.52， ∴AB=AG+GB=AG+EH≈14 m. 答：房屋的高AB约为14 m. 探究点2　塔的高度 典例2　如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可以直接测得，从A，D，C三点可看到塔顶端H.可供使用的测量工具有皮尺，测倾器（即测角仪）. （1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物.设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案.具体要求如下： ①测量数据尽可能少； ②在所给图形上，画出你设计的测量的平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A，D间距离，用m表示；如果测D，C间距离，用n表示；如果测角，用α，β，γ等表示.测倾器高度不计）； （2）根据你测量的数据，计算塔顶到地面的高度HG.（用字母表示） ［解析］　方案一：（1）如图1，测四个数据：AD=m，CD=n，∠HDM=α，∠HAM=β. 图1　　　　　　　　　　图2 （2）设HG=x，HM=x-n， 在Rt△HDM中，tan α=，∴DM=， 在Rt△HAM中，tan β=，∴AM=. ∵AM-DM=AD，∴=m， ∴x=+n. 方案二：（1）如图2，测三个数据：CD=n，∠HDM=α，∠HCG=γ. （2）设HG=x，HM=x-n， 在Rt△CHG中，tan γ=，∴CG=， 在Rt△HDM中，tan α=，∴DM=. ∵CG=DM，∴，x=. 　　测量物体的高度，一般可分为底部可以到达和底部不可到达两种，要根据具体的条件灵活选择要测量的量，对于复杂问题，一般通过作高线，构造出直角三角形，从而可以利用解直角三角形解决问题. 变式训练　如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30 cm，灯罩BC长为20 cm，底座厚度为2 cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少？（结果精确到0.1 cm，参考数据：≈1.732） ［解析］　过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，如图. 易知四边形BFDG为矩形，∴BG=FD. 在Rt△BCF中，∠CBF=30°， ∴CF=BC·sin 30°=20×=10. 在Rt△ABG中，∠BAG=60°， ∴BG=AB·sin 60°=30×=15. ∴CE=CF+FD+DE=CF+BG+DE=10+15+2≈38.0（cm）. 答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0 cm. 三、板书设计 利用三角函数测高 →→ ◇教学反思◇ 　　这节课在前面已研讨过设计方案的基础上，分组进行了实地测量，使我们所学的数学知识应用到了实践中.整节课，每个小组的成员都能积极地投入到活动中，在活动中积极想办法，团结协作，克服困难，高效地完成了活动课题，并在活动结束后，整理了活动过程，书写了活动报告，进一步回顾整理了已经学过的测高方法及相关知识. 1 立足安徽 精准备考 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $