1.5 三角函数的应用-【木牍中考·名师教案】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

本初中数学教案聚焦“三角函数的应用”，以渔船触礁情境导入，衔接直角三角形边角关系，引导学生将实际问题转化为数学问题，搭建从理论到应用的学习支架。 亮点在于融合三大现实问题典例（方向角、仰角俯角、坡角），如货轮触礁问题引导抽象直角三角形模型，培养数学眼光观察、思维推理及语言表达能力，提升学生建模与应用意识，为教师提供结构化教学流程与实用案例。

5　三角函数的应用 ◇教学目标◇ 　　1.进一步理解直角三角形中的边角关系，能够把实际问题转化为数学问题，并通过解直角三角形解决实际问题. 2.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 3.在探究学习的过程中，感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识. ◇教学重难点◇ 教学重点 三角函数在实际生活中的应用. 教学难点 根据题意，准确地画出示意图，用三角函数解决实际问题. ◇教学过程◇ 一、情境导入 如图，海中有一个小岛A，它周围8 n mile内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得小岛A位于北偏东60°方向上，航行12 n mile到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 二、合作探究 探究点1　方向角问题 典例1　如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？ ［解析］　过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABD中，BD=ADtan 55°. 在Rt△ACD中，CD=ADtan 25°. 设AD=x，则BD=xtan 55°，CD=xtan 25°， ∵BC=BD-CD，∴xtan 55°-xtan 25°=20， 解得x=≈20.79， 即AD≈20.79海里. ∵20.79>10，∴货轮继续向东航行途中不会有触礁的危险. 探究点2　仰角、俯角问题 典例2　如图，某同学在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为45°，此时该同学距地面高度AE为20米，电梯再上升5米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为37°，求大楼BC的高度. （参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） ［解析］　过点E，D作BC的垂线，分别交BC于点F，G. 在Rt△EFC中，因为FC=AE=20，∠FEC=45°， 所以EF=20. 在Rt△DBG中，DG=EF=20，∠BDG=37°，tan ∠BDG=≈0.75， 所以BG≈DG×0.75=20×0.75=15. 又GF=DE=5， 所以BC=BG+GF+FC=15+5+20=40. 答：大楼BC的高度约是40米. 探究点3　坡角、坡角问题 典例3　某居民楼紧挨一座山坡AB，经过地质人员勘测，当坡度不超过45°时，可以确保山体不滑坡.如图，已知AE∥BD，斜坡AB的坡角∠ABD=60°，为防止滑坡，现对山坡进行改造，改造后，斜坡BC与地面BD成45°角，AC=10米.求斜坡BC的长.（结果精确到0.1米） ［解析］　如图所示，作AM⊥BD于点M，作CN⊥BD于点N，则四边形CNMA为矩形，∴NM=AC=10，CN=AM. ∵∠CBD=45°， ∴设CN=BN=x，∴AM=x，MB=. ∵BN-MB=NM=10，∴x-=10， 解得x=15+5， ∴BC==15+5≈33.5（米）. 即斜坡BC的长约为33.5米. 三、板书设计 三角函数的应用 ◇教学反思◇ 　　在解直角三角形的应用问题的教学过程设计中，各个问题的解决都充满了观察、猜想、推理和交流等丰富多彩的数学活动，学生不仅获得了计算能力，更重要的是获得了自己去探究数学的体验和利用数学去解决实际问题的能力. 1 立足安徽 精准备考 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $