1.4 解直角三角形-【木牍中考·名师教案】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该教案聚焦解直角三角形核心知识，以比萨斜塔倾斜问题情境导入，衔接锐角三角函数旧知，通过典例（已知两边求元素）与变式（已知一边一角）搭建学习支架，引导学生掌握边角关系应用。 特色在于融合数学核心素养，情境导入培养数学眼光（从现实问题抽象数学关系），合作探究中典例与变式训练提升数学思维（逻辑推理、运算能力），实际应用（热气球测楼高）强化数学语言（模型意识、应用意识），助力学生自主探索，便于教师落实核心素养教学。

4　解直角三角形 ◇教学目标◇ 　　1.理解并熟记直角三角形中的边角关系. 2.经历解直角三角形的过程，能够选择适当的边角关系求直角三角形中的未知量. 3.体会数学的数形结合思想和数学的由未知到已知的转化思想. ◇教学重难点◇ 教学重点 直角三角形的解法. 教学难点 灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余、锐角三角函数解直角三角形. ◇教学过程◇ 一、情境导入 据报道：始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜.1972年比萨发生地震，这座高54.5 m的斜塔大幅度摇摆，仍巍然屹立.可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1 m增加至5.2 m，而且还以每年倾斜1 cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险.为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8 cm.根据上面的这段报道，“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1 m增加至5.2 m”这句话你是怎样理解的，它能用来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？ 二、合作探究 探究点1　解直角三角形 典例1　在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a=，b=，求这个三角形的其他元素. ［解析］　在Rt△ABC中，∠C=90°，a=，b=， ∴c==2. 在Rt△ABC中，sin B=， ∴∠B=30°，∠A=60°. 　　根据直角三角形中的已知元素（除直角外，还应该已知两个元素，其中至少有一个是边），就可以利用直角三角形中的边的关系（勾股定理）、角的关系（两锐角互余）、边角间的关系（三角函数），求出其他未知的边和角. 变式训练　在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件：c=8，∠A=60°，求出直角三角形的其他元素. ［解析］　∵∠C=90°，∠A=60°， ∴∠B=90°-60°=30°. ∵c=8，∴b=c=4， ∴a=b·tan 60°=4=12. 探究点2　利用解直角三角形解决实际问题 典例2　热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼有多高？（≈1.732，结果保留一位小数） ［解析］　过点A作AD⊥BC，垂足为点D. 在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AD=120 m， ∴BD=AD·tan 30°=120×=40 m. 在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AD=120 m， ∴CD=AD·tan 60°=120×=120 m， ∴BC=BD+CD=40+120≈277.1 m. 答：这栋楼高约为277.1 m. 技巧点拨利用三角函数解决有关的实际问题，要注意找出问题中的直角三角形或要构造出直角三角形，从而可以利用解直角三角形的方法解决实际问题，“过某点向某线作垂线”是常用的构造直角三角形的方法. 变式训练　海船以30海里/小时的速度向正北方向航行（如图），在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°方向处，半小时后海船航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短. （1）求从A处到B处的距离； （2）求灯塔Q到B处的距离.（结果保留根号） ［解析］　（1）AB=30×=15（海里）. （2）BQ=AB·tan 30°=5（海里）. 三、板书设计 解直角三角形 ◇教学反思◇ 　　以“会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形”作为本节课的核心目标，渗透数形结合的数学思想、分类思想等，给学生自主探索的时间，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神、合作精神，激发学生学习数学的积极性、主动性. 1 立足安徽 精准备考 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $