18.3（第1课时）分式的加减（分层作业，5大题型）数学人教版2024八年级上册

18.3（第1课时）分式的加减（原卷版） 目 录 类型一、同分母分式加减法 1 类型二、异分母分式加减法 7 类型三、分式恒等式 4 类型四、分式加减混合运算 4 类型五、分式加减的实际应用 6 类型一、同分母分式加减法 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 3．若已知分式，□，化简后的结果为，则□内的运算符号为（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D．4 5．计算的结果是（    ） A． B． C．0 D．1 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若，则□中的数是（    ） A．－1 B．－2 C．－3 D．任意实数 8．已知一个正确的运算过程：被盖住了一部分，则被遮盖的算式是（   ） A． B． C． D．1 9．计算： ． 10．化简的结果为 ． 11．计算： ． 12．计算：，结果是 ． 13．计算的结果是 ． 14．计算： ． 15．化简的结果是 ． 16．计算： ． 17．计算： ． 18．计算： (1)； (2)； 19．计算： (1) (2) 20．计算： (1)； (2)． 类型二、异分母分式加减法 21．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 22．已知，，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 23．计算 的结果是（  ） A． B． C． D． 24．下列四个分式的化简运算正确的是（    ） A． B． C． D． 25．计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 26．已知，，，，则P、Q、R的大小关系是（　　） A． B． C． D． 27．下列各式，正确的是（     ） A． B． C． D．=2 28．若，则常数和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 29．化简的结果是（   ） A．m B． C． D． 30．计算： A． B．1 C．a D． 31．下列分式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 32．化简：等于（    ） A． B． C． D． 33．计算： ． 34．计算： ． 35．已知，则的值为 ． 36．计算： ． 37．计算： ． 38．计算下列各题 (1)； (2)． 39．计算： (1) (2) 40．计算： (1) (2) 类型三、分式恒等式 41．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 42．若，则（   ） A． B． C． D． 43．若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 44．对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 45．若，则 ． 46．若，求的值为 ． 47．若，，为常数，则的值为 ． 48．已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝ ． 49．已知，，为常数，求的值． 50．已知，试确定A，B的值 51．已知，求，的值． 类型四、分式加减混合运算 52．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 53．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 54．在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（    ） 甲同学： 乙同学： A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错 55．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 56．填空： （填“>”、“=”、“<”）． 57．计算＋的结果是 ． 58．计算的结果是 ． 59．计算： (1) (2) (3) (4) 60．计算： (1) (2) (3) (4)； (5)先化简，再求值：，其中． 61．计算： （1）         （2） 62．阅读材料：定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式．如，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式．那么类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 例如：；． 解决下列问题： （1）分式是_______分式（填“真”或“假”） （2）将分式化为带分式的形式； （3）如果分式的值为整数，求x的整数值． 63．下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ＝……第一步 ＝……第二步 ＝……第三步 ＝……第四步 ＝……第五步 ＝……第六步 （1）填空：以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ；第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； （2）请写出该分式正确的化简过程． 类型五、分式加减的实际应用 64．一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 65．甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（） A．甲、乙同时到达B地 B．甲先到达B地 C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与v有关 66．甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束，则下列判断错误的是（　　） A．乙瓶中红墨水所占体积的比例为 B．甲瓶中蓝墨水的总量是毫升 C．甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同 D．甲瓶中混入的蓝墨水和乙瓶中混入的红墨水体积不相同 67．甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 68．甲、乙两人同时从同一地点出发沿同一条路线去终点另一地点，若甲一半的时间以x千米/小时的速度行走，另一半的时间以y千米/小时的速度行走；而乙一半的路程以x千米/小时的速度行走，另一半的路程以y千米/小时的速度行走（均大于0且），则（    ） A．甲先到达B地 B．乙先到达地 C．甲乙同时到达地 D．不确定 69．照相机成像时，照相机镜头的焦距f，物体到镜头的距离u，胶片（像）到镜头的距离v，满足（）（）．已知f，u，则（   ） A． B． C． D． 70．甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以的速度行走，另一半时间以的速度行走；而乙用的速度走了一半的路程，另一半的路程以的速度行走（a，b均大于0，且），则（    ） A．甲先到达 B．乙先到达 B地 C．甲、乙同时到达B地 D．甲、乙谁先到达B地不确定 71．节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 72．小芳周日从家到图书馆看书，去时速度为，回来时速度为，则她往返家里和图书馆的平均速度是 ． 73．某项工程，甲、乙两队合作需m天完成，甲单独做需要n天完成，那么乙队单独完成的时间是 天． 74．王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 75．一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成，若甲、乙两人一起做，则需要 天完成． 76．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形（图甲）去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（图乙），两块试验田都收获了小麦．（两块试验田的面积之间关系为图丙） (1)“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量 ，“丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量 ． (2)哪种小麦的单位面积产量高？并说明理由． 77．甲、乙两位同学同时从学校沿同一路线到离学校2千米的户外拓展中心参加活动．甲同学有一半路程以a（千米/时）的速度行走，另一半路程以b（千米/时）的速度行走；乙同学有一半时间以a（千米/时）的速度行走，另一半时间以b（千米/时）的速度行走，其中． (1)设甲、乙两位同学从学校走到户外拓展中心的时间分别为，，用含a，b的式子分别表示，； (2)设甲、乙两位同学从学校走到户外拓展中心的平均速度分别为，，用含a，b的式子分别表示，； (3)请你判断哪位同学先到达户外拓展中心？请说明理由． 1．已知，，则的值等于（　　） A．1 B． C．1或 D．0 2．已知 （），则 的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．已知，则的值为 ． 4．已知实数满足，则的值为 ． 1．对于正数x，规定，例如，则的结果是（　　） A．4049 B．4051 C． D． 2．已知，将分别用和代入计算后，再根据所得结果规律，计算的结果是（   ） A． B．0 C． D．1 3．对于正数规定，例如：，，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．2023 4．对于正数x，规定 如： 则的值为（  ） A． B． C． D．1 5．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中、、是常数）．则 ， ． 6．已知，则的值是 ． 7．若，则的值是 ． 8．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想及“倒数法”解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)计算： (3)已知，，，求的值．（可用“倒数法”求解） 9．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 10．阅读理解： 材料1：为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： 无意义 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：．根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值随之 （增大或减小），并无限接近 ； (2)当为整数时，请求出正整数的值； 当时，求代数式值的范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.3（第1课时）分式的加减（解析版） 目 录 类型一、同分母分式加减法 1 类型二、异分母分式加减法 7 类型三、分式恒等式 10 类型四、分式加减混合运算 15 类型五、分式加减的实际应用 28 类型一、同分母分式加减法 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了乘法公式，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案；通过合并同分母分式，并利用平方差公式简化表达式． 【详解】解：∵ 又∵ ∴ （其中 ） 因此，结果为， 故项：C. 2．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同分母分式的加法运算，先依据同分母分式加法法则，将分子相加，分母保持不变，再得出结果即可． 【详解】解： 故选：C． 3．若已知分式，□，化简后的结果为，则□内的运算符号为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握同分母分式的运算法则是解题关键． 由于两个分式同分母，考虑同分母分式的加减乘除运算，通过计算验证哪个运算符号能使结果为即可． 【详解】解：根据题意得，运算符号为□， 若□为“”，则； 若□为“”，则，符合； 若□为“”，则； 若□为“”，则． ∴□内的运算符号为“”． 故选B． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查分式的运算，熟记相关运算法则是解题关键． 【详解】解：选项A：∵，错误； 选项B：∵，正确； 选项C： ，错误； 选项D： ，错误； 故选：B 5．计算的结果是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，直接根据同分母分式加法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：D． 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的约分、分式的除法与加法，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．根据分式的约分、分式的除法与加法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 7．若，则□中的数是（    ） A．－1 B．－2 C．－3 D．任意实数 【答案】B 【分析】此题考查了分式的加减运算，熟练掌握计算法则是解题的关键． 将等式右侧的分式移项至等号左侧，与左侧分式进行计算即可求得□中的数． 【详解】解：由等式的性质可得， ， ， 当时，上式， 当时，分式无意义， 所以． 故选：B． 8．已知一个正确的运算过程：被盖住了一部分，则被遮盖的算式是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】此题考查了分式加减的运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则进行正确地计算．运用同分母分式相加减方法进行运算． 【详解】解：， 故选：D． 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查同分母分式的加法运算，根据同分母分式的加法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 10．化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母分式减法计算．根据同分母分式减法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：2． 11．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了同分母分式的减法．按同分母分式的减法法则计算． 【详解】解：， 故答案为：． 12．计算：，结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查同分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．两个分式分母相同，根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减． 【详解】解：原式， 故答案为：． 13．计算的结果是 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式的加减运算，解题的关键是利用同分母分式的加减法则，合并分子后化简． 两个分式分母相同，直接将分子相减，再化简分子得出结果． 【详解】解：原式(其中)． 故答案为：1． 14．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，根据同分母分式的减法运算法则计算即可，掌握同分母分式的减法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 15．化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同分母分式加减法，观察分母和互为相反数，通过通分和合并同类项进行化简即可． 【详解】解： 故答案为：． 16．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母分式的加减法，掌握同分母分式的加减法的运算法则是解题的关键． 根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，求解即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 17．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法，根据分式的减法法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 18．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加法和乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据同分母分式的加法运算法则计算即可； （2）根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 19．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算； （1）先将分子因式分解，再利用分式的除法法则转化为乘法，最后约分化简； （2）由于所有分式分母相同，直接合并分子，利用完全平方公式化简后约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的运算，平方差公式，掌握乘法公式，分式的性质，分式的加减混合运算是解题的关键． （1）先乘方，再根据分式乘法计算即可； （2）根据分式的加减运算法则及平方差公式即可求解． 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 类型二、异分母分式加减法 21．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算每个选项的分式运算，判断其正确性． 【详解】解：A：∵ ，∴错误． B：∵ ，∴错误． C：∵ ，∴错误． D：∵ ，∴正确． 故选：D． 22．已知，，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据分式的运算逐一排除即可． 【详解】解：，， 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 故选：． 23．计算 的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． 先通分，最简公分母是，再根据分母不变，把分子相加或相减约分后可得答案． 【详解】解：原式 = 。 ． 故选：B． 24．下列四个分式的化简运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简运算，需根据分式的加减乘除法则和平方差公式逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A、∵ ，∴ A错误，不符合题意； B、∵ ，∴ B错误，不符合题意； C、∵，∴ C正确，符合题意； D、∵ 与无必然相等关系，例如取，则 ，∴ D错误，不符合题意； 故选：C． 25．计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了异分母分式的加减，解题的关键是掌握异分母分式的加减法法则． 先进行通分，再进行同分母分式的加减法运算． 【详解】解：， 故答案为：B． 26．已知，，，，则P、Q、R的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用作差法比较两个分式的大小，作差法比较大小的方法是：如果，那么；如果，那么；如果，那么． 根据可得，从而得到P最大，然后用作差法比较的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴P最大； ， ∴， ∴， 故选D． 27．下列各式，正确的是（     ） A． B． C． D．=2 【答案】A 【分析】本题考查分式的化简与运算．选项A中分子与分母相等，故值为1；选项B、C、D通过取特殊值或运算规则可判断错误． 【详解】解：∵ ， ∴ ，故A正确． 不能约分，故B错误． ，故C错误． ，故D错误． 故选A． 28．若，则常数和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，解二元一次方程组，将方程左边通分后与右边比较分子，得到关于和的方程组，然后解方程组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴分子相等， ∴，解得， 故选：． 29．化简的结果是（   ） A．m B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的运算是解题的关键． 先将分式进行通分，再进行分式的加减运算即可． 【详解】解： ， 故选A． 30．计算： A． B．1 C．a D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加减，掌握知识点是解题的关键． 先将分母化为同分母，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故选B． 31．下列分式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可根据分式的运算进行排除选项即可． 【详解】解：A、，计算正确，故不符合题意； B、，原计算错误，故符合题意； C、，计算正确，故不符合题意； D、，计算正确，故不符合题意； 故选B． 32．化简：等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 先通分，然后合并，即可得到答案． 【详解】解： 故选A． 33．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 通过因式分解分母，将第二个分式简化，再与第一个分式相加． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 34．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的加法运算，先通分，将异分母分式转化为同分母分式，再相加即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为 ． 35．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分，分式的基本性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．由已知方程 出发，通过合并分式和交叉相乘，得到，然后对进行通分，转化为，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ． 故答案为：． 36．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减运算法则是解题的关键．本题先化为同分母分式，再进行同分母分式的加减运算法则求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 37．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先将分式化为同分母分式，再计算加减并化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 38．计算下列各题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算、分式的混合运算等知识点，掌握分式的相关运算法则是解题的关键． （1）直接运用分式的加减运算法则求解即可； （2）直接运用分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ＝ ＝ ＝． （2）解： ＝ ＝． 39．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算： （1）先通分，然后根据同分母分式的运算法则计算即可； （2）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 40．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的运算，平方差公式与完全平方公式的运算，准确计算为解题关键． （1）先根据完全平方公式与平方差公式计算，再将除法变为乘法约分化简即可； （2）先通分再化简计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2） ． 类型三、分式恒等式 41．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 先根据分式的通分求出，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选：． 42．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查异分母分式加法，解二元一次方程组．熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据异分母分式加法运算法则计算出，结合题意得到，解二元一次方程组即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得：． 故选：B． 43．若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键． 右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应的系数相等，即可求出A，B． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， 得：， ∴． 将代入①中，解得：， ∴方程组的解为：． 故选B． 44．对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 45．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的加减运算，解二元一次方程组，对等式的右边进行通分相加，然后根据等式左右两边的分母相同，得到分子相同．根据两个多项式相等，则其同类项的系数应当相等，得到关于的方程，再解方程组即可． 【详解】解：∵ ， 而， ∴， ∴ ， 解得：， 故答案为： 46．若，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法、二元一次方程组，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．先计算等式右边的减法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：， 将代入①得：， ∴， 所以． 故答案为：． 47．若，，为常数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．通过通分得到分子的对应项，从而求得A、B的值，代入即可求出的值． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：1． 48．已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝ ． 【答案】0 【分析】先通分，再根据分式的加减进行计算，根据已知得出二元一次方程组，求出方程组的解，再代入求值即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝， ∵＝，且A、B为常数， ∴， ∴， 解得：， ∴A+3B＝3+3×(-1)=0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了分式的加减和解二元一次方程组，能得出关于A、B的方程组是解此题的关键． 49．已知，，为常数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．先将通分变形为，从而得到，解方程求得、的值，再代入代数式中计算即可． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 50．已知，试确定A，B的值 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法、二元一次方程组的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 先把等式的右边通分，计算分式的加法，再利用等式两边的分母相同，则分子相同可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ∵， ∴ ∴， 解得． 51．已知，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的加减法和解方程组，解此题的关键是得出关于、的方程组．先把方程的右边通分变成和方程左边相同的分母，合并后得出关于、的方程组，解方程组即可得解． 【详解】解：， ， ， ，解得， 即，． 类型四、分式加减混合运算 52．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先将分式化简、变形为，由为正整数知，据此可得，从而得出答案． 【详解】解： ， ∵为正整数， ， ， ， ∴表示的值的点落在段②． 故选：B． 53．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 54．在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（    ） 甲同学： 乙同学： A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错 【答案】D 【解析】根据分式的运算法则求解． 【详解】解：∵ = =， ∴甲乙两人都做错了， 故选：D ． 【点睛】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 55．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意依据分式的加减运算法则对各个选项进行计算后判断即可． 【详解】解：A、，A选项错误； B、，B选项错误； C、，C选项正确； D、 ，D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 56．填空： （填“>”、“=”、“<”）． 【答案】> 【分析】根据题意有：x+10，即有，，由，可得，即问题随之得解． 【详解】解：根据题意有：x+10， ∴， 即： ， ∵， ∴， 即， ∴>， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的性质以及分式混合运算，掌握分式的混合运算，并得到是解答本题的关键． 57．计算＋的结果是 ． 【答案】 【分析】先通分，最简公分母是(x+3)(x−3)，再根据分母不变，把分子相加减约分后可得答案． 【详解】＋ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减，掌握先通分，再计算分式的加减运算是解题的关键． 58．计算的结果是 ． 【答案】1 【分析】先化简，再进行分式的加减即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题关键是熟练运用分式加减法则进行准确计算． 59．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)a+1 (3)x (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算规则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再按照分式乘除法即可求解； （2）根据分式乘除法运算法则计算即可； （3）根据分式加减法运算法则计算即可； （4）先对括号里进行通分相减，再把除法运算化为乘法运算，最后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ． 60．计算： (1) (2) (3) (4)； (5)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)， 【分析】本题主要考查了分式的加减混合运算，以及分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减的运算法则． （1）（2）（3）（4）利用分式的加减运算法则进行计算即可； （5）先利用分式的加减计算法则进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： 将代入上式得， 原式． 61．计算： （1）         （2） 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）对分母变形，然后进行通分计算即可； （2）对括号进行通分化简，然后利用除以一个数等于乘以该数的倒数，进行约分即可； 【详解】（1）； （2）； 【点睛】本题主要考查分式利用通分、符号换算、约分进行化简，关键在熟练应用； 62．阅读材料：定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式．如，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式．那么类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 例如：；． 解决下列问题： （1）分式是_______分式（填“真”或“假”） （2）将分式化为带分式的形式； （3）如果分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】（1）真；（2）；（3）2或0 【分析】（1）根据真分式的定义判断即可； （2）将分子配出分母的形式，然后化简即可； （3）将分子上减去1再加上1，然后利用平方差公式化简即可，再根据分式的值为整数即可得出x的值． 【详解】解：（1）分式是真分式； 故答案为：真； （2）； （3）， ， ． 分式的值为整数，且为整数， ， 或0． 【点睛】本题考查了分式的加减，读懂题目信息，理解真分式，假分式的定义是解题的关键． 63．下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ＝……第一步 ＝……第二步 ＝……第三步 ＝……第四步 ＝……第五步 ＝……第六步 （1）填空：以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ；第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； （2）请写出该分式正确的化简过程． 【答案】（1）三，分式的基本性质（或填为：分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；五，括号前面是“﹣”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号，（或填为：去括号时出错）；（2）见解析 【分析】（1）根据分式的基本性质以及去括号法则解答即可； （2）根据分式的加减运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：（1）第三步，分式的基本性质（或填为：分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）， 故答案为：三，分式的基本性质（或填为：分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）； 第五步，括号前面是“-”去掉括号后，括号里面的第二项没有变号； 故答案为：五，括号前面是“-”去掉括号后，括号里面的第二项没有变号． （2） ． 【点睛】本题考查的是分式的运算法则，掌握其法则是解决此题关键． 类型五、分式加减的实际应用 64．一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式以及分式的基本运算，能够读懂题意列出分式是解题关键； 设工作总量为1，根据甲、乙单独完成的天数表示各自的工作效率，合作效率为两者之和，再求合作所需天数． 【详解】解：设工作总量为1， ∵ 甲单独完成需天， ∴ 甲的工作效率为， ∵ 乙单独完成需天， ∴ 乙的工作效率为， ∴ 甲、乙合作的工作效率为， ∴ 合作所需天数为． 故选：A． 65．甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（） A．甲、乙同时到达B地 B．甲先到达B地 C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与v有关 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式（分式），通过设距离比较时间，利用速度、路程和时间的关系，得出甲先到达的结论，与速度v无关，设从A地到B地的距离为，根据时间=路程÷速度可以求出甲、乙两人同时从A地到B地所用时间，然后比较大小即可判定选择项． 【详解】解：设A到B的距离为，则中点为s． ∵甲的速度为v， ∴甲所用时间． ∵乙先用速度到达中点，再用速度到达B地， ∴乙第一段时间，乙第二段时间， ∴乙总时间． ∵， ∴， ∴甲先到达B地． 故选：B． 66．甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束，则下列判断错误的是（　　） A．乙瓶中红墨水所占体积的比例为 B．甲瓶中蓝墨水的总量是毫升 C．甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同 D．甲瓶中混入的蓝墨水和乙瓶中混入的红墨水体积不相同 【答案】D 【分析】本题考查了用浓度和溶液表示溶质的等量关系，列代数式；用到的知识点为：纯墨水的体积总体积相应的浓度．算出第一次倒出溶液后乙瓶中相应墨水的比例，进而得到混入相应墨水的体积，比较即可． 【详解】解： 甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（）， 此时乙瓶中红墨水所占体积的比例为，乙瓶中蓝墨水所占体积的比例为，故A正确； 又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束， 此时甲瓶中蓝墨水的总量是毫升，乙瓶中红墨水有：毫升， 故B正确，D不正确； 甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束， 甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同，故C正确； 故选：D． 67．甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式以及分式的加法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据题意可得甲工程队的效率为，乙工程队的效率为，再相加即可． 【详解】解：甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队完成一项工程需天， 甲工程队的效率为，乙工程队的效率为， 两队共同工作一天完成这项工程的， 故选：D 68．甲、乙两人同时从同一地点出发沿同一条路线去终点另一地点，若甲一半的时间以x千米/小时的速度行走，另一半的时间以y千米/小时的速度行走；而乙一半的路程以x千米/小时的速度行走，另一半的路程以y千米/小时的速度行走（均大于0且），则（    ） A．甲先到达B地 B．乙先到达地 C．甲乙同时到达地 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 设从地到地的路程为千米，甲走完全程所用的时间为小时，乙走完全程所用的时间为小时，根据题意可得：，从而可得：小时，再根据题意可得：小时，然后进行计算即可解答． 【详解】解：设从地到地的路程为千米，甲走完全程所用的时间为小时，乙走完全程所用的时间为小时， 由题意得：， 解得：小时， 由题意得：小时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴甲先到达地， 故选：A． 69．照相机成像时，照相机镜头的焦距f，物体到镜头的距离u，胶片（像）到镜头的距离v，满足（）（）．已知f，u，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减是解题的关键．利用分式的基本性质，把等式（）变形即可求解． 【详解】解： （）， ， ， 故选：C． 70．甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以的速度行走，另一半时间以的速度行走；而乙用的速度走了一半的路程，另一半的路程以的速度行走（a，b均大于0，且），则（    ） A．甲先到达 B．乙先到达 B地 C．甲、乙同时到达B地 D．甲、乙谁先到达B地不确定 【答案】A 【分析】本题考查分式的应用．设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为，根据题意，分别表示出甲、乙所用时间的代数式，然后再作比较即可． 【详解】解：设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为， 由题意得，， 解得，， a，b均大于0，且， ， ， 甲先到达， 故选A． 71．节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】本题考查分式减法的应用，根据题意列出喷灌方式每天用水量，用漫灌方式每天用水量减去喷灌方式每天用水量，根据分式的加减法计算可得． 【详解】解：漫灌方式每天用水量：吨， 喷灌方式每天用水量：吨， 现在比原来每天少用水： 吨， 故选C． 72．小芳周日从家到图书馆看书，去时速度为，回来时速度为，则她往返家里和图书馆的平均速度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的应用；本题需先根据题意设出未知数，再列出式子化简整理即可求出平均速度． 【详解】解：设从家到图书馆的路程为千米， 则从家到图书馆的时间为小时，返回的时间为小时， 则她往返家里和图书馆的平均速度为 ， 故答案为：． 73．某项工程，甲、乙两队合作需m天完成，甲单独做需要n天完成，那么乙队单独完成的时间是 天． 【答案】 【分析】本题考查了分式加减的应用，分式的除法，理解题意正确列出算式是解题的关键． 由题意得，甲乙合作的工作效率是，甲单独做的工作效率是，两者相减得出乙单独做的工作效率，然后用工作量除以工作效率即可得出答案． 【详解】解：， ∴乙队单独完成的时间是天． 故答案为：． 74．王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 【答案】 【分析】本题考查了分式加减的应用，正确列出算式是关键； 根据题意可得：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升，然后列出算式计算即可． 【详解】解：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升， 所以王老师实际比计划平均每天少用汽油升． 故答案为：． 75．一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成，若甲、乙两人一起做，则需要 天完成． 【答案】 【分析】本题考查了分式的应用，根据题意得出甲每天完成，乙每天完成，设工作总量为，进而根据工作总量除以工作效率，即可求解． 【详解】解：甲单独做天完成，乙单独做天完成，设工作总量为， ∴甲每天完成，乙每天完成 ∴两人合作一共需要天 故答案为：． 76．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形（图甲）去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（图乙），两块试验田都收获了小麦．（两块试验田的面积之间关系为图丙） (1)“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量 ，“丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量 ． (2)哪种小麦的单位面积产量高？并说明理由． 【答案】(1)， (2)“丰收2号”小麦的单位面积产量高，见解析 【分析】本题主要考查分式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出分式． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量； （2）根据解析（1）得出结果，先比较与的大小，再得出分式的大小即可． 【详解】（1）解：“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量为， “丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量为    故答案为：，； （2）“丰收2号”小麦的单位面积产量高 ，     ，     由图丙可得     .     所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高. 77．甲、乙两位同学同时从学校沿同一路线到离学校2千米的户外拓展中心参加活动．甲同学有一半路程以a（千米/时）的速度行走，另一半路程以b（千米/时）的速度行走；乙同学有一半时间以a（千米/时）的速度行走，另一半时间以b（千米/时）的速度行走，其中． (1)设甲、乙两位同学从学校走到户外拓展中心的时间分别为，，用含a，b的式子分别表示，； (2)设甲、乙两位同学从学校走到户外拓展中心的平均速度分别为，，用含a，b的式子分别表示，； (3)请你判断哪位同学先到达户外拓展中心？请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)乙先到达户外拓展中心；理由见解析 【分析】本题考查列代数式，分式的值大小比较，分式混合运算的应用，根据路程、速度、时间之间的关系列出式子是解题的关键． （1）根据时间=路程÷速度，甲有一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走，可表示出；根据路程=速度×时间，乙有一半的时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，可得，即可表示出； （2）根据速度＝路程÷时间即可表示出，； （3）运用求差法比较与的大小即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， ， ∴． （2）解：， ． （3）解：∵， 又，a、b为正数， ∴，， ∴，即， ∴， ∴乙先到达户外拓展中心． 1．已知，，则的值等于（　　） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了分式的运算，完全平方公式的应用，由已知条件 可得 ，结合，利用完全平方公式求解即可． 【详解】解∶∵ ， ∴ ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 2．已知 （），则 的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式的应用，运用了恒等变换和整体代入的思想．灵活运用完全平方公式是解题的关键．将已知方程变形得到 的值，再利用完全平方公式求解 ． 【详解】解：∵ 且 ， ∴两边除以得，即． 又∵ ， ∴． 故选：A． 3．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值和因式分解，熟练掌握因式分解的方法（提取公因式法和公式法）以及整体代入法是解题的关键．先对分子进行因式分解，再对分母提取公因式，然后将已知条件代入化简后的分式进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．已知实数满足，则的值为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查完全平方公式和分式的化简求值．先将已知等式两边同除以a得，再利用完全平方公式进行计算可求解． 【详解】解：由，且，两边同除以得，即． 又， 所以． 故答案为：18． 1．对于正数x，规定，例如，则的结果是（　　） A．4049 B．4051 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查新定义下的实数运算；通过计算发现对于正数 ，有 ．将所求和的项配对，其中 到 与 到 形成2024对，每对和为1，再加上单独的 ，即可得到总和． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 所求和的项中， 到 与 到 对应成对，共2024对（ 从2到2025），每对和为1， ∴ 这些对的和为 ． 又 ∵ ， ∴ 总和为 ． 故选：C． 2．已知，将分别用和代入计算后，再根据所得结果规律，计算的结果是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】此题考查分式的加法计算，利用已知等式将每个分式拆项，通过通分求和简化表达式，即可得到答案 【详解】解：∵ = ， = ， ⋯ = ， ∴ 原式 = ， 中间项相互抵消， ∴ 原式 = = ， 通分得： = ， 故选：A． 3．对于正数规定，例如：，，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．2023 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义，分式的加法计算，通过计算可得（其中 ），将求和式中的项配对，利用该性质简化计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 4．对于正数x，规定 如： 则的值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了分式的规律，分式的化简与求值，掌握分式的化简和找出规律是解题的关键． 根据分式的运算法则可得，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：， ∴ ． 故选：B． 5．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中、、是常数）．则 ， ． 【答案】 1 3 【分析】本题主要考查整式的乘法、二元一次方程组的解法及分式的运算，熟练掌握整式的乘法、二元一次方程组的解法及分式的运算是解题的关键；通过将分式分解后的形式通分，比较分子系数，建立方程组求解即可． 【详解】解：原分式分母为，分解后分母为，故， 设，通分得分子为， 与分子比较系数，得方程组：， 解得 ，； 故答案为1，3． 6．已知，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查分式的运算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．将所求式子变形，，将已知条件代入求值即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴原式． 故答案为：6． 7．若，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值的化简和分式的计算，熟练掌握绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）是解题的关键．本题需根据的条件，分情况讨论绝对值内式子的正负，从而化简绝对值，再代入原式计算． 【详解】解：当时，， ， ， ， ， ， 原式； 当时，， ， ， ， ， ， 原式， 故答案为：或． 8．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想及“倒数法”解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)计算： (3)已知，，，求的值．（可用“倒数法”求解） 【答案】(1) (2)2024 (3) 【分析】（1）令，代入计算即可； （2）令，，代入计算即可； （3）首先求出，然后求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：令， ∴ ； 故答案为：； （2）解：令，， ∴ ； 故答案为：2024； （3）解：∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了因式分解，有理数的混合运算，分式的求值，整体思想的应用，解题的关键是掌握整体思想． 9．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)， 【分析】本题考查了新定义，分式的混合运算，分式有意义的条件，解题的关键是正确理解“和谐分式”的定义． 对于（1），由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； 对于（2），由原式，再整理可得； 对于（3），先将原式化简为，再根据和谐分式的定义整理为，然后讨论得出答案． 【详解】（1）解：①，是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式． 故答案为：①③④． （2）， 故答案为∶． （3）原式 ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 10．阅读理解： 材料1：为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： 无意义 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：．根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值随之 （增大或减小），并无限接近 ； (2)当为整数时，请求出正整数的值； 当时，求代数式值的范围． 【答案】(1)减小， (2) 正整数的值为或或； ． 【分析】本题考查分式的性质，分式化简，不等式的性质． （1）根据阅读材料即可求解； （2） ，根据已知可得或或，即可得正整数的值； ，当时，随着的增大，的值随之减小，可得的范围，根据不等式的性质，即可得当时，代数式值的范围． 【详解】（1）解：当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近1， 故答案为：减小，1． （2）解： ， ∵为整数，的值为正整数， ∴为整数，， ∴或或， ∴或或， ∴正整数的值为或或． ， ∵ ∴， 当时，随着的增大，的值随之减小， 当时，， 当时，， ∴当时， ∴当时，， ∴当时，代数式值的范围是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $