第27章 相似三角形能力提升测试卷 -2025-2026学年人教版九年级数学下册《知识解读·题型专练》

第27章 相似三角形能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，且与的相似比为3，若，则为（    ） A．2 B．4 C．9 D．18 2．如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知 ，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 3．如图，，则下列各式中，不能说明的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知，，若，则的长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 5．以原点O为位似中心，作的位似图形，与的相似比为．若点C的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 6．如图，在矩形中，，点在边上，，连接与交于点，则的长是（   ） A． B． C． D．4 7．如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，在很多艺术品以及大自然中都能找到它，如图1的希腊雅典帕特农神庙也应用了该比例布局．如图2，当以黄金矩形的宽为边在矩形内部作正方形时，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．正方形与正方形的面积分别为和，顶点在同一直线上，点在边上，连接交于点，则四边形面积为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，点D在边上，点E在线段上，交于点F，交于点G，若，则的长为（　　） A．2 B． C． D．无法确定 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，在中，正方形的两个顶点E、F在上，另两个顶点G、H分别在、上，，边上的高是10，则正方形的边长为 ． 12．土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺． 13．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，分别为，的中点，连接交于点．若，，则的长为 ． 14．如图，中，，，点是线段上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，则 ． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）在6×6的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请用无刻度的直尺按要求完成下列作图． (1)在图1网格中画出一个，使，面积比为，且各顶点都在格点上． (2)在图2中画一条线段，使点D在上，点E在上， ，且． 16．（8分）如图，在中，，． (1)求证：； (2)求的值． 17．（8分）如图，在中，的高，交于点，连接． (1)试说明的理由； (2)若，求的长． 18．（8分）已知：如图，在矩形中，，，在边上取点，连接，作交边于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 19．（8分）综合与实践 【项目主题】运用所学的数学和物理知识，测量学校旗杆的高度． 【项目实施】1．方案设计；2．人员分工；3．工具准备；4．测量与记录；5．计算；6．总结评价． 下面是第一小组设计的方案和测量的数据： 测量工具 一把标尺，一根皮尺 示意图 （C处为人眼的位置，为标尺，为旗杆）    测量方案 测量方案：手举标尺，让标尺与地面垂直，调整人与旗杆的距离或眼睛与标尺的距离，使标尺刚好挡住旗杆的高度（即在同一条直线上，在同一条直线上）． 测量的量： ①人与标尺的水平距离； ②人与旗杆的水平距离； ③标尺的长度． 记录 ①②，③． 任务一：根据第一小组的方案和数据，计算学校旗杆的高度； 任务二：第二小组准备的工具是平面镜和一根皮尺，他们的测量方案为：将平面镜（点）水平放置在操场地面上，调整人的位置到点处，使得人眼（点）在平面镜中央处恰好能看到旗杆的顶端（点）；请你帮他们画出示意图，并说明需要测量的量（无需计算）． 20．（8分）如图，D，E，F是三边上的点，且四边形为矩形，，． (1)设，______（用含x的表达式表示）； (2)求矩形的面积的最大值． 21．（10分）在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究两条垂直线段的数量关系问题，请按照他们的探究过程完成相关问题． (1)【问题初探】如图1，在正方形中，点分别在边上，且，请判断线段的数量关系，并证明你的结论． (2)【深入探究】如图2，在矩形中，点分别在边上，且，若，试判断线段的数量关系,并证明你的结论。 (3)【拓展延伸】 如图3，在中，点E为边的一个三等分点，连接，过点C作交于点D，当时，直接写出线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章 相似三角形能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，且与的相似比为3，若，则为（    ） A．2 B．4 C．9 D．18 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形对应边的比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，相似比为3， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知 ，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了“平行线分线段成比例”，掌握并运用该知识点是解题关键． 根据平行线分线段成比例，列出四条线段的比例关系，求解即可得到答案． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴． 故选：D ． 3．如图，，则下列各式中，不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，有两组角对应相等的两个三角形相似，有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明，故此选项符合题意； 故选：D． 4．如图，已知，，若，则的长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了线段成比例定理，由线段成比例定理可得，代入数据计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5．以原点O为位似中心，作的位似图形，与的相似比为．若点C的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查坐标系与位似图形；根据以原点为位似中心，位似比为k时，位似图形对应点的坐标的比为k或．据此计算即可． 【详解】解：∵相似比为，位似中心为原点O，点C的坐标为， ∴点的坐标为即或即， ∴点的坐标为或， 故选：D． 6．如图，在矩形中，，点在边上，，连接与交于点，则的长是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 7．如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，过点作，证明出，找出与的关系即可求解． 【详解】解：过点作，如下图： 点D是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 8．黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，在很多艺术品以及大自然中都能找到它，如图1的希腊雅典帕特农神庙也应用了该比例布局．如图2，当以黄金矩形的宽为边在矩形内部作正方形时，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 先根据黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，计算出矩形的宽，在根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比， ， ， ， 根据矩形的性质得：， , 故选：A 9．正方形与正方形的面积分别为和，顶点在同一直线上，点在边上，连接交于点，则四边形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，由正方形的性质得，，，即得，进而由可得，再根据四边形面积解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵正方形与正方形的面积分别为和， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴四边形面积， 故选：． 10．如图，在中，，点D在边上，点E在线段上，交于点F，交于点G，若，则的长为（　　） A．2 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 过点D作，交于点，证，得，同理可得，进而，，再证，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：过点D作，交于点， 由题意可得：， ∴， ∴, 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 故选：C． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，在中，正方形的两个顶点E、F在上，另两个顶点G、H分别在、上，，边上的高是10，则正方形的边长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，过点作于点，交于点，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 过点作于点，交于点，如图所示： ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 即正方形的边长为6； 故答案为6． 12．土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺． 【答案】24 【分析】本题考查平行投影以及相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理． 由，，得∽，知，故尺，即第二时刻的影长为24尺． 【详解】解：，， ， ， ， 根据题意得：尺，尺， （尺）， 第二时刻的影长为24尺. 故答案为： 13．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，分别为，的中点，连接交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 过点作于点，根据菱形的性质求出相关的角和线段长度，利用勾股定理求出，证明，利用对应边成比例，然后进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴四边形是菱形，， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，中，，，点是线段上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 设，则，，根据垂直和折叠的性质证得、 和，过点作于点，证得是等腰直角三角形，设，则，证得，根据相似三角形的性质和勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：设，则， ， ， 由折叠的性质得 过点作于点， 是等腰直角三角形 设 ， ， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）在6×6的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请用无刻度的直尺按要求完成下列作图． (1)在图1网格中画出一个，使，面积比为，且各顶点都在格点上． (2)在图2中画一条线段，使点D在上，点E在上， ，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）结合相似三角形的判定与性质画图即可； （2）取格点，连接，交于点D，取格点H，K，连接，交于点E，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 16．（8分）如图，在中，，． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行直接证明相似即可； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 17．（8分）如图，在中，的高，交于点，连接． (1)试说明的理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据是的高，得出，再结合，则，即可作答． （2）结合，故，又因为，所以，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：的理由如下： 是的高， ， ． （2）解：由（1）得出， ， ， ， ． ， ， ． 18．（8分）已知：如图，在矩形中，，，在边上取点，连接，作交边于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)1 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟悉相关知识是解题的关键． （1）根据题意可证，继而可证得，根据相似的性质即可得到； （2）由题知，根据求解即可． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ，， ， ， 又， ， ． （2）由（1）知， ，，， ， ， 解得， ． 19．（8分）综合与实践 【项目主题】运用所学的数学和物理知识，测量学校旗杆的高度． 【项目实施】1．方案设计；2．人员分工；3．工具准备；4．测量与记录；5．计算；6．总结评价． 下面是第一小组设计的方案和测量的数据： 测量工具 一把标尺，一根皮尺 示意图 （C处为人眼的位置，为标尺，为旗杆）    测量方案 测量方案：手举标尺，让标尺与地面垂直，调整人与旗杆的距离或眼睛与标尺的距离，使标尺刚好挡住旗杆的高度（即在同一条直线上，在同一条直线上）． 测量的量： ①人与标尺的水平距离； ②人与旗杆的水平距离； ③标尺的长度． 记录 ①②，③． 任务一：根据第一小组的方案和数据，计算学校旗杆的高度； 任务二：第二小组准备的工具是平面镜和一根皮尺，他们的测量方案为：将平面镜（点）水平放置在操场地面上，调整人的位置到点处，使得人眼（点）在平面镜中央处恰好能看到旗杆的顶端（点）；请你帮他们画出示意图，并说明需要测量的量（无需计算）． 【答案】任务一：旗杆的高度为；任务二：示意图见解析，测量的量：①人眼离地面的高度，②人与平面镜的水平距离，③旗杆底部与平面镜的水平距离 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 任务一：证明，运用相似三角形的性质求解即可； 任务二：根据相似三角形的判定画出图形即可，再说明需要测量的量． 【详解】解：任务一：由题意得：， ， 又 ， 又， ． 答：旗杆的高度为． （2）示意图： 测量的量： ①人眼离地面的高度， ②人与平面镜的水平距离， ③旗杆底部与平面镜的水平距离． 20．（8分）如图，D，E，F是三边上的点，且四边形为矩形，，． (1)设，______（用含x的表达式表示）； (2)求矩形的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，矩形的性质，二次函数的图象与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明，得到，然后通过勾股定理求得，即可得到的表达式； （2）设矩形的面积为，通过矩形的面积，得到，通过二次函数的图象与性质，可知其最大值． 【详解】（1）解：D，E，F是三边上的点，且四边形为矩形，， ，，， ， ， ， ，，， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：设矩形的面积为， 矩形的面积， ， ， 其函数图象开口向下， 时，矩形的面积取得最大值，最大值为． 21．（10分）在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究两条垂直线段的数量关系问题，请按照他们的探究过程完成相关问题． (1)【问题初探】如图1，在正方形中，点分别在边上，且，请判断线段的数量关系，并证明你的结论． (2)【深入探究】如图2，在矩形中，点分别在边上，且，若，试判断线段的数量关系,并证明你的结论。 (3)【拓展延伸】 如图3，在中，点E为边的一个三等分点，连接，过点C作交于点D，当时，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3)线段的长为或 【分析】（1）设交于点O，过点G作于点J，过点E作于点K，利用正方形的性质证明四边形和四边形都是矩形，再利用矩形的性质证明，即可求解； （2）设交于点O，过点E作于点M，过点H作于点N，证明，可得，即可求解； （3）先求出，，，再结合点E为边的一个三等分点，进行分类讨论，且作图，运用数形结合思想以及相似三角形的判定与性质进行分析，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：，过程如下： 如图1，设交于点O，过点G作于点J，过点E作于点K， 四边形是正方形， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ∴， （2）解：，过程如下： 如图2，设交于点O，过点E作于点M，过点H作于点N， ， 四边形是矩形， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， （3）解：∵在中， ∴，， ∴， 当点是靠近的，且在边的一个三等分点，如图，过点作交的延长线于点， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵点是靠近的，且在边的一个三等分点， ∴ 即 解得 ∵ ∴ ∵ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； 当点是靠近B的，且在边的一个三等分点，如图，过点作交的延长线于点， 同理，得 ∴， ∵点是靠近B的，且在边的一个三等分点， ∴ 即 解得 同理证明 ∴ ∴ ∵ ∴； 综上：满足题意的的值为或． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $