2025-2026学年苏科版数学八年级上册专题提优——利用旋转解“半角模型”几何题

该初中数学讲义以“半角模型”为核心，通过“含义阐释—思路构建—类型剖析—方法总结”的递进逻辑系统梳理知识体系，结合基本图形图示呈现模型特征，用解题步骤框架图明晰旋转构造、全等证明、定理应用的内在联系，突出旋转点确定、三角形全等论证等重难点。 讲义亮点在于类型化分层训练设计，如“90°+45°型”中正方形背景的线段关系证明、“120°+60°型”中等腰三角形的边长计算，通过变式训练衔接基础与提升，培养几何直观和推理能力。方法小结提炼通法步骤，助力学生掌握模型识别与转化技巧，教师可据此实施精准分层复习，提升单元复习效率。

利用旋转解“半角模型”几何题 旋转变换是初中数学中图形变换的一个重要组成部分，而“半角模型”也是几何中常见题型．利用旋转研究“半角模型”，可树立模型观念及空间观念意识，构建几何直观思想，提升推理能力． 一、“半角模型”的含义 我们习惯把过等腰三角形的顶点引两条线段，使两条线段的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型叫做 “半角模型”．基本图形如图（1）：在中，，、为上的两点，且． 二、“半角模型”的解题思路 将半角两边的三角形旋转到一边合成新的三角形．如图（2），将绕点顺时针旋转，使与重合，点的对应点为，连接，则图中有两组全等三角形，分别是，，从而利用这两组全等来解决有关问题． 三、常见类型 (一)“90。+45。”型 例1.已知：如图（3），在中，，，点、分别为线段上两点，若，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【分析】本题条件符合 “半角模型” 的基本特征．如图（4），可将绕点顺时针旋转后成，可证，故，旋转角，又，故，可证，故．在中，，，所以，从而可得，在中，由勾股定理得线段、、之间的等量关系式． 解析：线段、、之间的等量关系式是：． 中，，， ．由旋转的性质可知，， ，． ．旋转角，又， 故， 易证，． 在中，由勾股定理得：， 即：． 【变式训练1】如图（5），在正方形中，点，分别在正方形的边，上，，连接． （1）求证：； （2）类比延伸：如图（6），在图（5）的条件下，若点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，猜想、、之间的数量关系，并给出证明． 【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出 ，根据全等三角形的性质得出 ，即可得出答案. 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案. (二)“120。+60。”型 例2. 如图（7），在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交、于、两点，连接，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由. 解析：如图（8），结论：. 延长到，使， ，，， ，而， . ，. ， . . 【变式训练1】 如图（9），在中，，，、在上，，，，求的长. 解析：如图（10），将绕顺时针旋转后至，可使与重合. 中，°，， °，由旋转的性质可知，， °，，°． °，又°，故， 易证△AF，故，°°，故°． 在Rt△BDF中，°，，，． ． 【变式训练2】已知：如图(11)，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且°，，，求DE的长． 解析：如图(12)，将绕C顺时针旋转60°后至，可使CB与CA重合，作，垂足为G．易证；，故． °，故°， 在Rt△AGF中，°，． ，． 在Rt△GFD中，． DE = DF = ． 四、方法小结 一个角包含着该角的一半，如120°角包含60°角，90°角包含45°角，或者出现角的关系，则可考虑利用“半角模型”解题．基本方法是找旋转点（含半角的角的顶点），构造旋转；然后，证三角形全等；最后利用全等得到边角的关系，结合勾股定理，30°角的直角三角形的性质等知识解决问题．常在正方形、等腰三角形、等边三角形等图形中呈现． 学科网（北京）股份有限公司 $