2025-2026学年苏科版数学八年级上册专题提优——勾股定理解决圆柱中的最值问题

该初中数学讲义以勾股定理解决圆柱最值问题为核心，通过“引例-基础变式-复杂情境-分类讨论”的问题链框架，系统梳理侧面展开转化、空间路径构建等要点，突出图形抽象与数量关系结合的重难点，呈现知识内在逻辑。 讲义亮点在于分层变式训练设计，从蚂蚁沿侧面到表面爬行（如变式6比较侧面与高线直径路线），引导学生用数学思维推理不同情境下的最短路径，培养几何直观与模型意识。每个变式附展开图分析，助力分层学生掌握转化方法，为教师精准教学提供梯度资源。

勾股定理解决圆柱中的最值问题 勾股定理是数形结合最典型的代表，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将数与形紧密联系起来，不仅在理论上占有重要地位，而且在现实世界中也有着广泛的应用．同学们在利用勾股定理解决与圆柱有关的实际问题的过程中，可以进一步了解空间图形．经历对一些空间图形展开、折叠并抽象出几何图形的过程，可以提升分析问题、解决问题的能力和增强应用意识，建立模型思想． 如图1，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm．在圆柱下底面的点 有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点 相对的点 处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 分析：题目中较清楚的问题是已经给出蚂蚁是沿着 “侧面” 爬行，侧面是曲面，在曲面上怎样爬行，才能使得所走的路程最短呢？为此我们尝试将弯曲的侧面展开成为一个平面图形，如图2所示： 圆柱的侧面展开图是长方形，展开后就转化为平面上确定两点之间的直线段长度最短的问题，可以运用勾股定理解决． 在 中，，，，， ． 如果蚂蚁和食物的位置发生改变，那么又会出现哪些情况？又该如何求出最短距离呢？ 变式1： 如图3，有一个高 为12cm的圆柱，它的底面圆的周长为18cm．在圆柱下底面的点 处有一只蚂蚁，如果它想食到 中点 处的食物，那么，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 如图4，在中，，，，， . 变式2：如图5，有一个高为圆柱，它的底面圆的周长为. 在圆柱下底面点正上方距离处有一只蚂蚁，它想吃到中点处的食物，那么蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 如图6，过点作，在中，，， 由勾股定理得：. . 我们发现：在给出相应数据的情况下，不论蚂蚁和食物在圆柱相对的两条高线的任意位置，都可以求出在侧面爬行的最短距离. 变式3：如图7，有一个透明的高为的圆柱形容器，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处沾有食物，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与食物相对的点处，则蚂蚁吃到食物的最短距离是多少？（容器厚度忽略不计） 分析：蚂蚁若想吃到食物，需要从圆柱容器的外壁爬到内壁，因此必须经过杯口边沿进入内部，将立体图形展开为平面图形（如图8），蚂蚁从到再到，实际问题即为：当点的位置在何处时，的长最短. 如图9，作点关于圆柱边沿的对称点，连接与相交，利用三角形三边之间的数量关系，此交点即为的长最短时点的位置． 过点作于点，在中，，，， 由勾股定理得：． ． 即蚂蚁爬行的最短路线． 变式4：如图10，有一个高为的圆柱形物体，它的底面圆的周长为．小红想用一条饰带从圆柱底部处沿侧面绕一周到顶部处作为装饰使用，则这条饰带的最小长度是多少？ 如图11，在中，，，，， ．所以彩带的最小长度为． 变式5：如图12，有一个圆柱形物体，它的高等于，底面圆的周长为．小红想用一条饰带从圆柱底部处沿侧面缠绕圈至顶端处作为装饰使用，则这条饰带的最小长度是多少？ 分析：本题的最短长度实质是求高为，底面圆的周长为且从侧面缠绕一周的最短距离的倍．展开后如图13所示，利用两点之间线段最短可知，高是三等分时，饰带的长度最短． 在中，，，，， ．所以饰带的最小长度为． 关于引例，同学们是否还会有这样的思考：假如将蚂蚁沿圆柱的“侧面”爬行改为沿圆柱的“表面”爬行，那么最短路程是否会有变化呢？其次，对于任意的圆柱，是否都是沿侧面爬行的路线最短呢？因此，我们看下面的变式题目： 变式6：如图14，有一个圆柱形物体，它的高等于，底面半径为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，这只蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短距离是多少？ 如果沿着侧面爬行，如图15，在中，°，，， ， ∴． 如果从A点沿着高线直接向上爬再沿着上底面的直径爬到B点，即沿着A→D→B爬行， 则<；6.36． 因此，我们发现：沿A→D→B爬行比沿着侧面爬行短一些．即并不是对于任意的圆柱， 都是沿侧面爬行的路线最短． 此时，同学们是否又会有进一步的思考：什么情况下蚂蚁沿着侧面爬行的路程（展开后 线段AB的长度）最近（此种情况简记为“线路1”，长度记为），什么情况下蚂蚁先沿 着高线直接向上爬再沿着上底面的直径爬行（A→D→B此种情况简记为“线路2”，长度记 为）距离最短呢？ 为了研究方便，设圆柱的高 为h，底面半径为r， 如图17，沿“线路1”的最 短行程，如图16， 沿线路2的行程． ，． 当时，，即．因此， （1）当时，两条线路行程相同； （2）当时，“线路1”行程短一些； （3）当时，“线路2”行程短一些． 勾股定理也被称为“毕达哥拉斯定理”，是初中几何必不可少的一部分，蕴含了丰富的 数学思想，不仅是初中毕业学业考试中数学考查的热点问题之一，也是生活中应用极其广泛 的数学知识之一．对于勾股定理的综合应用，还需要同学们具备一定的分析问题、解决问题 的能力．同学们要重视和熟知勾股定理，并能灵活应用和迁移到数学知识中，从而提升解决 数学问题的能力和数学学科核心素养． 学科网（北京）股份有限公司 $