第7讲 平行线的性质-2025-2026学年北师大版数学七年级下册寒假预习

· 第7讲 平行线的性质 一、核心知识点 （一）平行线的三大核心性质（核心：平行关系→角度关系） 1. 性质1：两直线平行，同位角相等（基本事实，无需证明） 文字表述：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 符号表示：若，截线为，则（或其他任意一组同位角相等）。 推导依据：通过度量、叠合实验验证（平行线的判定定理逆推，是几何证明的重要基础）。 2. 性质2：两直线平行，内错角相等（推论，由性质1推导） 文字表述：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 符号表示：若，则（或）。 3. 性质3：两直线平行，同旁内角互补（推论，由性质1推导） 文字表述：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补（和为）。 符号表示：若，则（或）。 （二）平行线性质的拓展应用 1. 平行线的传递性（与判定推论一致） 若，，则（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 应用：可通过多条平行线传递平行关系，间接推导角的关系。 2. 垂直于平行线的直线特征 若，且，则（垂直于其中一条平行线的直线，必垂直于另一条）。 推导：由得，因，同位角相等故，即。 3. 角度计算的综合应用 步骤：① 由平行线性质推导角的关系（相等或互补）；② 结合对顶角、邻补角转化角度；③ 计算未知角的度数。 二、常见易错知识 1. 混淆判定与性质的因果关系（最核心易错点） 错误表现： 颠倒逻辑顺序，将性质当作判定使用，如“因，故同位角相等”（正确，但误用于判定平行，说“因同位角相等，故”是判定，二者不可混淆）； 表述不严谨，省略前提条件，如仅说“同位角相等” “同旁内角互补”，未说明“两直线平行”或“两条直线被第三条直线所截”。 正确分析： 关键区分：“判定是找平行的理由，性质是用平行推角的关系”； 记忆口诀：“判定‘由角到线’，性质‘由线到角’，前提结论，颠倒不得”； 规范表述：必须完整说明前提，如“两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则两直线平行”（判定），“两直线平行，被第三条直线所截，则同旁内角互补”（性质）。 2. 忽略“两直线平行”的前提条件 错误表现： 直接认为“同位角相等” “内错角相等” “同旁内角互补”，忽略“两直线平行”的核心前提（无平行关系时，这些角的关系不成立）； 复杂图形中，未确认线平行，就盲目套用性质推导角。 示例：错将相交直线被截形成的与（同位角）判定为相等（错误，无平行关系，同位角不一定相等）。 正确分析： 平行线的三大性质均以“两直线平行”为前提，是“平行”带来的特殊角关系； 解题时需先标注平行关系（题目已知或已判定），再套用性质，不可跳过前提。 3. 复杂图形中角的对应关系错误 错误表现： 多条直线相交时，混淆“被截线”与“截线”，找不到对应的同位角/内错角/同旁内角； 漏认“F/Z/U”型结构，误将非对应角当作性质中的角关系。 正确分析： 复杂图形中找角的步骤：① 锁定平行的两条被截线；② 确定贯穿二者的截线；③ 按“F（同位角）、Z（内错角）、U（同旁内角）”型结构定位对应角； 可通过“描线法”：用不同颜色笔描出被截线和截线，清晰区分角的位置。 4. 同旁内角性质记忆错误 错误表现： 误将“两直线平行，同旁内角互补”记为“同旁内角相等”，导致角度计算错误。 正确分析： 对比记忆三大性质：同位角、内错角是“相等”，同旁内角是“互补”（和为）； 结合推导过程记忆：同旁内角互补是由同位角相等和邻补角互补推导而来，本质是“角相等+角互补=同旁内角互补”。 5. 平行线传递性的逆用错误 错误表现： 逆用平行传递性，认为“若两条直线平行，则它们必平行于同一条直线”（逆命题不成立，两条平行线可平行于无数条直线，而非唯一一条）； 误将“垂直于同一直线的两条直线平行”（判定）当作性质，说“若两条直线平行，则它们垂直于同一直线”（表述不严谨，需明确“同一条直线”的条件）。 正确分析： 平行传递性是“单向推导”：由“两条直线都平行于第三条直线”推“这两条直线平行”，不可逆用； 垂直于平行线的性质需明确：“垂直于其中一条，必垂直于另一条”，而非“垂直于同一条”。 6. 角度计算时未结合其他角的关系 错误表现： 仅用平行线性质推导，忽略对顶角、邻补角、角平分线等条件，导致无法计算未知角； 计算同旁内角和时，误将“互补”当作“相加等于90°”，或计算失误。 正确分析： 角度计算需“综合运用”：平行线性质提供角的关系，对顶角/邻补角提供角度转化，角平分线提供角的倍数关系； 计算前先标注所有已知角和可转化的角，再结合性质推导，避免孤立使用单一条件。 7. 作图时未体现平行线性质 错误表现： 已知两直线平行，作同位角/内错角时，未保证角度相等； 作平行线的垂线时，未保证与两条平行线都垂直，仅垂直于其中一条。 正确分析： 作图依据：作同位角/内错角时，需用量角器保证角度相等（体现“两直线平行，同位角/内错角相等”）； 作平行线的垂线时，可先作一条垂线，再利用“垂直于平行线的直线必垂直于另一条”，确保两条垂线平行或与两条平行线都成90°。 三、核心逻辑与速记口诀 1. 核心逻辑链 已知平行关系→套用平行线性质（同位角相等/内错角相等/同旁内角互补）→结合对顶角/邻补角/角平分线转化→计算未知角或证明角关系 2. 速记口诀 性质记忆：“两线平行，同位相等，内错相等，同旁互补”； 判定与性质区分：“判定找平行，性质推角度，前提结论要记牢”； 图形识别：“F同位，Z内错，U同旁，线平行，角登场”。 一、单选题 1．如图，在中，，分别是，边上的点，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质，结合，，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 2．如图所示，直线被直线c所截．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，结合平角的定义，对顶角相等，求出每个角的度数，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，； 故选B． 3．如图，直线过点A，且，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，内错角相等或两直线平行，同旁内角互补，逐个排除选项即可得出结果． 本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】解：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ,（两直线平行，同旁内角互补）， ∴． 故A，B，D正确，C错误． 故选：C． 4．如图，，点在上，连接，若平分,，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 先根据平行线的性质求出，，再根据角平分线的定义求出，继而得到，即可得到答案． 【详解】解．， ，， 平分， ， ， 故选：C． 5．如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形格点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是数形结合．由题得：，，，根据勾股定理求出，，进而求出，即可求解． 【详解】解：由题得，，，， ，， ，， 在中，， 则， 故选：C． 6．如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，添加平行线是解题的关键．过点E作，过点F作，根据平行线的性质可求得，，，所以，再证明，即可代入得到答案． 【详解】过点E作，过点F作， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 7．古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出如图所示的几何模型．在三角形中，点D，E，F分别在边上，，，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据，可得，由，等量代换得到，进而推出，再结合平行线的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴，故选项B正确，不符合题意； ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定等于，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 8．如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线平行的性质，过点作，利用直线平行的性质即可得到答案． 【详解】过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C． 二、填空题 9．如图，已知，d四条直线，，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据，得到，由对顶角相等得到，由，得到，即，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 10．如图，点在直线上．当的度数为 时，． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线性质和判定，结合图形得到要，即要满足，进而即可求得的度数． 【详解】解：要， 即要， 则有， ， ； 故答案为：． 11．如图，已知．不添加辅助线，请再添加一个条件，使成立．四位同学分别给出了答案，①；②；③；④．你认为正确的有 （请填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 由平行线的性质得，结合等式的性质可判断①；由得，从而可判断②；添加无法证明，可判断③；由可知，从而可判断④． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ②∵， ∴，故正确； ③添加无法证明，故错误； ④∵， ∴，故正确； 故答案为：①②④． 12．如图1，熨斗是我们日常生活中常用的工具，图2是该熨斗的示意图，其中，若，则 ． 【答案】132 【分析】本题考查平行公理的推论，平行线的性质，根据，得到，根据两直线平行，同旁内角互补，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：132 13．如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为，按此规律继续操作，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数字类规律探究；根据题意得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，    ∵， ∴，， 又∵是和的角平分线， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； 故答案为：． 14．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 【答案】/160度 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．过顶点O作直线，直线l将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过顶点O作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，，，，则的度数为 ． 【答案】90 【分析】本题主要考查了平行线的性质，过点作的平行线，结合平行线的性质即可解决问题． 熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作的平行线， ，， ， ，． ， ． ， ， ． 故答案为：90． 16．如图，已知，，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：过B作，过C作，易得；由平行线的性质可得、，再根据角的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：如图：过B作，过C作，即,, ∵， ∴． ∴，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 17．如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质得到角的关系是解题的关键． 如图所示，分别过点作，，得到，，，由，即可求解． 【详解】解：如图所示，分别过点作，， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．如图，直线分别与直线，交于点，，，射线，分别与直线交于点，，且，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． 由得，则，由得，结合求出，即可得的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 19．如图，，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（点A，B，C不与点O重合），且，连接交射线于点D． (1)求的度数； (2)当中有两个相等的角时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，关键是要分两种情况讨论． （1）由角平分线定义得到，由平行线的性质推出； （2）分和两种情况，由三角形内角和定理，即可计算． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：，， ∴， 当时， ； 当时， ， ， ； 或． 20．长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两岸河堤上安置了P、Q两盏激光探照灯，如图示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转．如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为t秒． (1)如图1，请用含t的代数式表示光线转动的角度，即____________°；用含t的代数式表示光线转动的角度，即____________°； (2)如图2，当光线与光线垂直，垂足为H时，求t的值． 【答案】(1)t ； (2)45 【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，并注意进行分类讨论． （1）根据题意求出和即可； （2）过点H作，根据平行线的性质得出，，得出，即，求出t的值即可 【详解】（1）解：∵光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转，光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转， ∴；； 故答案为：t，； （2）解：过点H作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即． 解得． 21．如图，，和分别平分和，两线相交于点P，过P点的直线分别与射线，射线相交于点E，F． 【问题引入】（1）若，求证：． 【探索研究】（2）若将（1）中“”去掉，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． 【拓展应用】（3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）2 【分析】（1）作于M，由，可得出，由角平分线的性质定理了得出，即可得出． （2）方法一：过点P作于G，交于H，则，，由（1）得：，证明，由全等三角形的性质即可得出．方法二：延长交于点M，由平行线的性质得出，，利用角平分线的定义可推出， 再利用等腰三角形三线合一的性质可得出，再证明即可得出． （3）由方法二（2）可得出，再根据即可得出答案． 【详解】证明：（1）作于M，如图． ∵，， ∴， ∵和分别平分和，， ∴， ∴． （2）成立， 方法一：过点P作于G，交于H，如图． 则， ∵， 则， ∴， 由（1）得：， 在和中， ， ∴， ∴． 方法二：延长交于点M， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，角平分线的定义以及性质，等腰三角形三角形合一的性质以及平行线的性质等知识， 掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 22．如图，，，则，平行吗？ (1)茜茜同学很快写出解答，请你在茜茜说理过程的括号内填写理由： 因为， 所以（①______） 因为， 所以， 所以（②______）； (2)小洁说也可以不用“同旁内角”来说明，请你写出小洁的说理过程． 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补 ②同旁内角互补，两直线平行 (2)见解析（方法不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质和判定方法是解题的关键． （1）“因为，所以”是利用“两直线平行，同旁内角互补”得出；“因为，所以”是利用“同旁内角互补，两直线平行”得出； （2）方法不唯一，如法：连接；或法：延长至点；或法：延长至点；或法：延长至点；或法：延长至点；分别证明即可． 【详解】（1）解：因为， 所以（①两直线平行，同旁内角互补）， 因为， 所以， 所以（②同旁内角互补，两直线平行）； 故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②同旁内角互补，两直线平行； （2）解：方法不唯一，如： 法：如图，连接， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 23．如图，已知，点D是上一点． (1)尺规作图：过点D作，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图——作已知角的等角，角平分线的性质，平行线的判定和性质等内容，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用作已知角的等角的步骤进行作图即可； （2）根据同位角相等两直线平行得出，根据平行的性质和角平分线的性质得出角的度数，然后再根据两直线平行内错角相等即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图所示， 由（1）得，， ， ∴， ∵平分， ∴， ， ． 24．综合与探究： 如图1，M为射线上一点，，（）根据以上条件解答下列问题： (1)若，，，求证：． (2)如图2，点E在射线（不含B点）上，过点E作． ①若，，则 ． ②请用含和的代数式表示，并说明理由． (3)在（2）的条件下，过点E作射线，若，，请直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)①;②，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差计算以及分类讨论思想的应用．解题的关键是根据图形特点合理作辅助线（如作平行线），利用平行线的传递性和性质（同位角相等、同旁内角互补等）建立角之间的关系，同时在多情况问题中注意分类讨论． （1）通过计算求出的度数，结合的度数，利用同位角相等证明； （2）①作辅助线构造平行线，利用平行线性质将转化为与的和，进而求出②借助辅助线得到角之间的和差关系，推导出关于和的代数式； （3）根据（2）的结论确定的度数，结合的条件，分点F在左侧和右侧两种情况计算的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）如图，作，则， ①解：∵，即， ∵，即， ∴． 故答案为：． ②解：． 理由：∵ ∴， ∴， 即 ∴， ∴ ∴． （3）如图，由（2）结论知，，当时，分两种情况： 情况1：当点F位于左侧时，， 情况2：当点F位于右侧时， ． 试卷第4页，共27页 试卷第5页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 第7讲 平行线的性质 一、核心知识点 （一）平行线的三大核心性质（核心：平行关系→角度关系） 1. 性质1：两直线平行，同位角相等（基本事实，无需证明） 文字表述：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 符号表示：若，截线为，则（或其他任意一组同位角相等）。 推导依据：通过度量、叠合实验验证（平行线的判定定理逆推，是几何证明的重要基础）。 2. 性质2：两直线平行，内错角相等（推论，由性质1推导） 文字表述：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 符号表示：若，则（或）。 3. 性质3：两直线平行，同旁内角互补（推论，由性质1推导） 文字表述：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补（和为）。 符号表示：若，则（或）。 （二）平行线性质的拓展应用 1. 平行线的传递性（与判定推论一致） 若，，则（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 应用：可通过多条平行线传递平行关系，间接推导角的关系。 2. 垂直于平行线的直线特征 若，且，则（垂直于其中一条平行线的直线，必垂直于另一条）。 推导：由得，因，同位角相等故，即。 3. 角度计算的综合应用 步骤：① 由平行线性质推导角的关系（相等或互补）；② 结合对顶角、邻补角转化角度；③ 计算未知角的度数。 二、常见易错知识 1. 混淆判定与性质的因果关系（最核心易错点） 错误表现： 颠倒逻辑顺序，将性质当作判定使用，如“因，故同位角相等”（正确，但误用于判定平行，说“因同位角相等，故”是判定，二者不可混淆）； 表述不严谨，省略前提条件，如仅说“同位角相等” “同旁内角互补”，未说明“两直线平行”或“两条直线被第三条直线所截”。 正确分析： 关键区分：“判定是找平行的理由，性质是用平行推角的关系”； 记忆口诀：“判定‘由角到线’，性质‘由线到角’，前提结论，颠倒不得”； 规范表述：必须完整说明前提，如“两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则两直线平行”（判定），“两直线平行，被第三条直线所截，则同旁内角互补”（性质）。 2. 忽略“两直线平行”的前提条件 错误表现： 直接认为“同位角相等” “内错角相等” “同旁内角互补”，忽略“两直线平行”的核心前提（无平行关系时，这些角的关系不成立）； 复杂图形中，未确认线平行，就盲目套用性质推导角。 示例：错将相交直线被截形成的与（同位角）判定为相等（错误，无平行关系，同位角不一定相等）。 正确分析： 平行线的三大性质均以“两直线平行”为前提，是“平行”带来的特殊角关系； 解题时需先标注平行关系（题目已知或已判定），再套用性质，不可跳过前提。 3. 复杂图形中角的对应关系错误 错误表现： 多条直线相交时，混淆“被截线”与“截线”，找不到对应的同位角/内错角/同旁内角； 漏认“F/Z/U”型结构，误将非对应角当作性质中的角关系。 正确分析： 复杂图形中找角的步骤：① 锁定平行的两条被截线；② 确定贯穿二者的截线；③ 按“F（同位角）、Z（内错角）、U（同旁内角）”型结构定位对应角； 可通过“描线法”：用不同颜色笔描出被截线和截线，清晰区分角的位置。 4. 同旁内角性质记忆错误 错误表现： 误将“两直线平行，同旁内角互补”记为“同旁内角相等”，导致角度计算错误。 正确分析： 对比记忆三大性质：同位角、内错角是“相等”，同旁内角是“互补”（和为）； 结合推导过程记忆：同旁内角互补是由同位角相等和邻补角互补推导而来，本质是“角相等+角互补=同旁内角互补”。 5. 平行线传递性的逆用错误 错误表现： 逆用平行传递性，认为“若两条直线平行，则它们必平行于同一条直线”（逆命题不成立，两条平行线可平行于无数条直线，而非唯一一条）； 误将“垂直于同一直线的两条直线平行”（判定）当作性质，说“若两条直线平行，则它们垂直于同一直线”（表述不严谨，需明确“同一条直线”的条件）。 正确分析： 平行传递性是“单向推导”：由“两条直线都平行于第三条直线”推“这两条直线平行”，不可逆用； 垂直于平行线的性质需明确：“垂直于其中一条，必垂直于另一条”，而非“垂直于同一条”。 6. 角度计算时未结合其他角的关系 错误表现： 仅用平行线性质推导，忽略对顶角、邻补角、角平分线等条件，导致无法计算未知角； 计算同旁内角和时，误将“互补”当作“相加等于90°”，或计算失误。 正确分析： 角度计算需“综合运用”：平行线性质提供角的关系，对顶角/邻补角提供角度转化，角平分线提供角的倍数关系； 计算前先标注所有已知角和可转化的角，再结合性质推导，避免孤立使用单一条件。 7. 作图时未体现平行线性质 错误表现： 已知两直线平行，作同位角/内错角时，未保证角度相等； 作平行线的垂线时，未保证与两条平行线都垂直，仅垂直于其中一条。 正确分析： 作图依据：作同位角/内错角时，需用量角器保证角度相等（体现“两直线平行，同位角/内错角相等”）； 作平行线的垂线时，可先作一条垂线，再利用“垂直于平行线的直线必垂直于另一条”，确保两条垂线平行或与两条平行线都成90°。 三、核心逻辑与速记口诀 1. 核心逻辑链 已知平行关系→套用平行线性质（同位角相等/内错角相等/同旁内角互补）→结合对顶角/邻补角/角平分线转化→计算未知角或证明角关系 2. 速记口诀 性质记忆：“两线平行，同位相等，内错相等，同旁互补”； 判定与性质区分：“判定找平行，性质推角度，前提结论要记牢”； 图形识别：“F同位，Z内错，U同旁，线平行，角登场”。 一、单选题 1．如图，在中，，分别是，边上的点，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，直线被直线c所截．若，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线过点A，且，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，点在上，连接，若平分,，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形格点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得的值是（   ） A． B． C． D． 6．如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 7．古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出如图所示的几何模型．在三角形中，点D，E，F分别在边上，，，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 8．如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，已知，d四条直线，，，，则 ． 10．如图，点在直线上．当的度数为 时，． 11．如图，已知．不添加辅助线，请再添加一个条件，使成立．四位同学分别给出了答案，①；②；③；④．你认为正确的有 （请填序号）． 12．如图1，熨斗是我们日常生活中常用的工具，图2是该熨斗的示意图，其中，若，则 ． 13．如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为，按此规律继续操作，则的度数为 ． 14．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 15．如图，，，，则的度数为 ． 16．如图，已知，，则 ． 三、解答题 17．如图，已知，，，，求的度数． 18．如图，直线分别与直线，交于点，，，射线，分别与直线交于点，，且，，求的度数． 19．如图，，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（点A，B，C不与点O重合），且，连接交射线于点D． (1)求的度数； (2)当中有两个相等的角时，求的度数． 20．长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两岸河堤上安置了P、Q两盏激光探照灯，如图示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转．如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为t秒． (1)如图1，请用含t的代数式表示光线转动的角度，即____________°；用含t的代数式表示光线转动的角度，即____________°； (2)如图2，当光线与光线垂直，垂足为H时，求t的值． 21．如图，，和分别平分和，两线相交于点P，过P点的直线分别与射线，射线相交于点E，F． 【问题引入】（1）若，求证：． 【探索研究】（2）若将（1）中“”去掉，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． 【拓展应用】（3）若，，求的长． 22．如图，，，则，平行吗？ (1)茜茜同学很快写出解答，请你在茜茜说理过程的括号内填写理由： 因为， 所以（①______） 因为， 所以， 所以（②______）； (2)小洁说也可以不用“同旁内角”来说明，请你写出小洁的说理过程． 23．如图，已知，点D是上一点． (1)尺规作图：过点D作，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 24．综合与探究： 如图1，M为射线上一点，，（）根据以上条件解答下列问题： (1)若，，，求证：． (2)如图2，点E在射线（不含B点）上，过点E作． ①若，，则 ． ②请用含和的代数式表示，并说明理由． (3)在（2）的条件下，过点E作射线，若，，请直接写出的度数． 试卷第10页，共11页 试卷第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $