精品解析：吉林省长春市2025-2026学年高二上学期基础教育质量检测能力测试数学试题

2025年长春市基础教育质量监测 高二数学能力测试 本试卷满分120分；答题时间90分钟，共4页．考试结束后将本试题和答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，必须将姓名、准考证号码填写清楚，将条形码粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须用2B铅笔填涂，书写在试卷上答案无效． 3．保持答题卡整洁，不要折叠，不准使用涂改液、胶带、刮纸刀等． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，已知点，点，则（ ） A. 点和点关于x轴对称 B. 点和点关于平面对称 C. 点和点关于y轴对称 D. 点和点关于平面对称 2. 直线的倾斜角小于，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 4. 过点且与直线平行的直线方程为（　　） A. B. C. D. 5. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离是（ ） A. 4 B. C. 6 D. 8. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于点A，B，与抛物线的准线交于点M，且点A位于第一象限，F恰好为AM的中点，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，：（），则（    ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线，之间的距离为2 10. 在长方体中，，，为的中点.动点P满足，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 点P一定在平面内 B. 当时，点P轨迹的长为 C. 当，，三点共线时， D. 的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知事件与互斥，且，，则___________． 12. 已知为椭圆上一动点，，为椭圆的左、右焦点，点，则周长的最小值是________. 13. 在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为_______． 14. 已知，是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是______. 四、解答题：本题共4小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，线段的垂直平分线方程为． （1）求点的坐标； （2）求外接圆的标准方程． 16. 已知空间三点，设． （1）若，求的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标． 17. 如图，在长方体中，，和交于点E，F为AB的中点． （1）求证：平面； （2）已知与平面所成角为，求点A到平面CEF的距离． 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4. （1）求E的标准方程； （2）过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程； （3）两条不同的直线，的交点为E的左焦点，直线，分别交E于点A，B和点C，D，点G，H分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O为坐标原点）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年长春市基础教育质量监测 高二数学能力测试 本试卷满分120分；答题时间90分钟，共4页．考试结束后将本试题和答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，必须将姓名、准考证号码填写清楚，将条形码粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须用2B铅笔填涂，书写在试卷上答案无效． 3．保持答题卡整洁，不要折叠，不准使用涂改液、胶带、刮纸刀等． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，已知点，点，则（ ） A. 点和点关于x轴对称 B. 点和点关于平面对称 C. 点和点关于y轴对称 D. 点和点关于平面对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的坐标对称关系判断即可. 【详解】已知点和点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等， 所以点和点关于平面对称. 故选：B. 2. 直线的倾斜角小于，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系求解. 【详解】由，倾斜角小于，所以，即， 故选：A. 3. 平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和标准方程即可求解. 【详解】平面内一点M到两定点，的距离之和为， 所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆， 且，，则， 椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的方程为． 故选：. 4. 过点且与直线平行的直线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知直线方程设出与已知直线平行的直线，再代入坐标求出方程. 【详解】与直线平行的直线方程可设为，且， 将代入直线可得. 所以过点且与直线平行的直线方程为，即， 故选：A 5. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解. 【详解】由于点在圆的外部，故 ，解得， 故选：C 6. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：A. 7. 已知是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离是（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出坐标，作出折叠后的图形，利用空间向量表示各段模长和二面角的平面角，利用空间向量的线性运算和数量积的运算律即可求得两点间距离. 【详解】 因是直线上的两点，故有， 如图是折叠后的图形，作轴于点，作轴于点， 依题意，与所成的角为，则 ， 由两边取平方，可得 ， 故折叠后两点间的距离是. 故选：D. 8. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于点A，B，与抛物线的准线交于点M，且点A位于第一象限，F恰好为AM的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为N，E，根据抛物线的定义，又F恰好为AM的中点，可得到比例，进一步推导得到的值. 【详解】如图， 过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为N，E，根据抛物线的定义得，，因为F为AM的中点，所以，又，所以，所以. 故选：A 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，：（），则（    ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线，之间的距离为2 【答案】AB 【解析】 【分析】将直线变形为即可求解定点坐标，进而可判断A；将直线化为斜截式方程，再根据两直线垂直和平行满足的关系判断BC；根据两平行线间距离公式可判断D. 【详解】将直线的方程变形为， 由 ，则，因此直线过定点，故A正确； 当时，，， 斜率相等，纵截距不等，故两直线平行，故B正确； 当时，，：， 因斜率之积不为，故两直线不垂直，故C错误； 当时，则满足，解得， 此时：，：，则两直线间的距离为，故D错误． 故选：AB． 10. 在长方体中，，，为的中点.动点P满足，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 点P一定在平面内 B. 当时，点P轨迹的长为 C. 当，，三点共线时， D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用及共面向量基本定理即可判断；对B，取的中点，即可得出，计算长度即可；对C，由向量共线的性质得解；对D，利用基底表示，运算得解. 【详解】对于A，由， 所以， 所以共面，即故点在平面内，故A正确； 对于B，取的中点，连接，则，又， 所以，则四边形为平行四边形， 当时，，， 可知此时点的轨迹为线段，其长度为，故B正确； 对于C，由及三点共线，故，故C错误； 对于D，由题为一组基底，所以， 所以 ， 当且仅当时，取得最小值，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知事件与互斥，且，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用互斥事件与和事件的概念计算即可. 【详解】由题意可知. 故答案为： 12. 已知为椭圆上一动点，，为椭圆的左、右焦点，点，则周长的最小值是________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程得到参数，即得到焦点坐标，求得，然后由三角形三边关系求得周长的最小值. 【详解】，，，，， 法一：，由， 的周长的最小值为. 法二：的周长的最小值为. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，可得，，利用向量的坐标运算结合条件即可求解. 【详解】设，是线段上靠近的三等分点，则，，为关于轴的对称点．则， 所以 若，则，即； 则点的轨迹方程为：； 故答案为： 14. 已知，是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的性质和双曲线的对称性可知四边形为矩形，则，利用双曲线的定义和勾股定理列式得，代入列不等式化简得，解不等式即可求解离心率范围. 【详解】如图 由题意知四边形为矩形，所以且，所以， 因为，所以， 所以，即：， 所以 ，即： ，所以 ，又，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共4小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，线段的垂直平分线方程为． （1）求点的坐标； （2）求外接圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设，根据直线的斜率，得，又线段中点在上，得到方程，联立解出即可； （2）先求出线段的垂直平分线所在直线方程，结合线段的垂直平分线方程，求出圆心的坐标，进而求得半径，最后利用圆的标准方程即可求解； 【小问1详解】 设，因为线段的垂直平分线的斜率为， 所以直线的斜率为，即， 又线段中点在上， 所以，解得，， 所以点的坐标为； 【小问2详解】 因为，线段的中点为， 直线的斜率为， 则线段的垂直平分线方程为，即， 与联立，解得， 圆心，半径为， 所以圆的标准方程为. 16. 已知空间三点，设． （1）若，求的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算计算即可； （2）利用空间向量平行的充要条件及模长公式计算即可. 【小问1详解】 由题意知， 所以． 又， 所以， 解得． 【小问2详解】 因为， 又， 设， 又，所以，解得， 当时，； 当时，， 所以向量的坐标为或． 17. 如图，在长方体中，，和交于点E，F为AB的中点． （1）求证：平面； （2）已知与平面所成角为，求点A到平面CEF的距离． 【答案】（1） 由题意证明如下， 连接，，． 在长方体中，且， ∴四边形为平行四边形． ∴E为的中点， 在中， E，F分别为和AB的中点， ∴． ∵平面，平面， ∴平面． （2）1 【解析】 【分析】（1）通过等体积法即可证明即可证明线面平行； （2）求出和的面积，即可求出点A到平面CEF的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意， 与平面所成角为．连接． ∵长方体中，所以．所以． ∵长方体中，平面，平面， ∴． ∴为直线与平面所成角，即．故 ∴为等腰直角三角形，则． 在中， 知． 在中， ，， ∴， ∴， 设点A到平面CEF的距离为h． 由知，，得． ∴点A到平面CEF的距离为1． 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4. （1）求E的标准方程； （2）过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程； （3）两条不同的直线，的交点为E的左焦点，直线，分别交E于点A，B和点C，D，点G，H分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O为坐标原点）. 【答案】（1） （2）或. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率与短轴长，结合的关系式，建立方程组，可得答案； （2）分直线斜率是否存在进行分析，设出直线方程，联立方程，利用韦达定理与圆的性质，可得答案； （3）设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，结合三角形面积公式，可得答案. 【小问1详解】 由题意得，，所以. 因为短轴长为4，所以，解得，所以， 所以E的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，. 当直线的斜率不存在时，则，， 此时以为直径的圆的圆心为，半径为，而， 则以为直径的圆不经过点，不符合题意，因此直线的斜率必存在. 设直线的方程为，，， 联立，消去y得，， ，且，. 因为以为直径的圆经过点，所以. 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即， 即直线的方程为或. 【小问3详解】 由（1）知，，则直线的方程为，直线的方程为， 设，，，， 联立，消去得，， 由，所以， 所以，， 即，同理可得， 因为，所以，则， 记的中点为，则. 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的面积最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $