精品解析：天津外国语大学附属滨海外国语学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

天津外国语大学附属滨海外国语学校 2025-2026学年第一学期期中九年级数学学科练习 （时间：100分钟 分值：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每小题3分，共36分，每题只有一项是符合题目要求） 1. 下列图案是中心对称图形的是（ ） A. 中国探火 B. 中国火箭 C. 中国行星探测 D. 航天神舟 2. 将二次函数化为的形式，结果为（ ） A. B. C. D. 3. 某校去年对实验器材的投资为2万元，预计明年的投资总额为2.88万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数，当随的增大而减小时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（ ） A. 向右平移2个单位，向上平移3个单位 B. 向左平移2个单位，向下平移3个单位 C. 向右平移2个单位，向下平移3个单位 D. 向左平移2个单位，向上平移3个单位 6. 小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即的长度）是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 9. 已知二次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值是3 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象开口向下 D. 图象与x轴有两个交点 10. 已知：如图，在中，是直径，弦垂直平分半径，交于点，连接、．有下面三个推断：①；②；③．其中正确的推断的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 11. 在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，，有下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长是9．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点E，F，G，H分别在边，，，上，且，已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷 非选择题（共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是______． 14. 已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系是____（用“”、“”或“”填空） 15. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，设宽为x步，可得方程____． 16. 如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于______． 17. 如图，，都是等腰直角三角形，，，．如图所示，将绕点B逆时针方向旋转后得，当点恰好落在线段上时，的度数为__________，的长度为__________，的长度为__________． 18. 如图，C是线段上一动点，，都是等边三角形，M，N分别是，的中点，的度数为__________，若，则线段的最小值为__________． 三、解答题（共7小题，共66分，解答题应写出解答过程） 19. 解方程： （1）x2﹣6x﹣4＝0； （2）3x（x+1）＝3x+3． 20. 在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点A的坐标是． （1）以点O为中心作出的中心对称图形，并写出点的坐标 ； （2）以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，画出旋转后的，并写出点的坐标 ． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求m的值及该方程的另一根． 22. 往半径为26的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，求水的最大深度． 23. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上在x元（x为整数），每个月的销售利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时y的值为1920？ （3）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ 24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为． （1）如图1，当时，求点D的坐标； （2）如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； （3）当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标． 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，． 第二象限内有一点P在抛物线上运动，交线段于点E． （1）求抛物线的解析式及点A，C的坐标； （2）设的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及S的最大值； （3）是否存在点P，使点E是的中点． 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津外国语大学附属滨海外国语学校 2025-2026学年第一学期期中九年级数学学科练习 （时间：100分钟 分值：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每小题3分，共36分，每题只有一项是符合题目要求） 1. 下列图案是中心对称图形的是（ ） A. 中国探火 B. 中国火箭 C. 中国行星探测 D. 航天神舟 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 将二次函数化为的形式，结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法整理即可得解． 【详解】解：． 故选：C． 3. 某校去年对实验器材的投资为2万元，预计明年的投资总额为2.88万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程解决平均增长率问题，根据题中等量关系列出方程即可． 【详解】解：某校去年对实验器材的投资为2万元，该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x， 则今年对实验器材的投资为，明年对实验器材的投资为， 故， 故选：A． 4. 已知二次函数，当随的增大而减小时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由于二次函数的图象开口向上，在对称轴左边满足随的增大而减小，求出此时的范围即可． 【详解】二次函数的对称轴为， 函数图象开口向上， 时，随的增大而减小． 故选：D． 5. 将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（ ） A. 向右平移2个单位，向上平移3个单位 B. 向左平移2个单位，向下平移3个单位 C. 向右平移2个单位，向下平移3个单位 D. 向左平移2个单位，向上平移3个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象平移的规律．根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”进行分析即可 【详解】解：将抛物线平移得到抛物线，其平移方式是向左平移2个单位，向上平移3个单位． 故选：D． 6. 小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即的长度）是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确求出一元二次方程的解． 令，再解关于x的方程，即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去） 故选B 7. 如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的性质与判定，可证明是等边三角形，得到，再根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 8. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据函数图象交点求不等式的解集．不等式的解集是抛物线在直线上方相对应的自变量x的取值范围，根据函数图象及其交点即可解答． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴由图象可得，不等式的解集是． 故选：C． 9. 已知二次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值是3 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象开口向下 D. 图象与x轴有两个交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象及其性质，涉及抛物线与x轴交点，对称轴，开口方向，二次函数的最值.先将二次函数解析式化为顶点式，即可判断A、B、C，然后计算的值即可判断D． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，故C不符合题意； 该函数有最小值3，故A符合题意； 该抛物线对称轴是直线，故B不符合题意； ，则该抛物线与x轴没有交点，故D不符合题意． 故选：A． 10. 已知：如图，在中，是直径，弦垂直平分半径，交于点，连接、．有下面三个推断：①；②；③．其中正确的推断的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】①连接，根据作图过程可证得为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断；②根据弦垂直平分半径可得，根据垂径定理可判断；③根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可判断． 【详解】解：连接， ∵弦垂直平分半径， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵弦垂直平分半径， ∴， 根据垂径定理可知， ∴， ∴，①正确； ∵弦垂直平分半径， ∴， 根据垂径定理可知，，，②正确； ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴，③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键． 11. 在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，，有下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长是9．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得，，再利用旋转的性质得，，则，根据平行线的判定可对①进行判断；由绕点B逆时针旋转得到，那么，，根据等边三角形的判定方法得到为等边三角形，可对③进行判断；根据等边三角形的性质得，，然后说明，则，可对②进行判断；最后利用，和三角形周长定义,可对④进行判断． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴，①正确； ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴，， ∴为等边三角形，③正确， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，②错误； ∵，， ∴的周长，④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，熟练掌握并运用旋转的性质是关键． 12. 如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点E，F，G，H分别在边，，，上，且，已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，设，铺设草坪的面积为，种花的面积为，根据矩形的性质结合图形列出关于x的函数关系式，进而根据各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：设，铺设草坪的面积为，种花的面积为， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为450， ∴种花的面积的最大值为；故②正确 当，即， ∴， ∴， ∴铺设草坪的面积可以是；故①正确 当时，则， ∴ 解得， ∵， ∴， ∴的长只有一个值满足种花的面积为，故③错误； 综上分析可知：正确的结论有2个． 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标规律，可得点关于原点对称的点的坐标为． 14. 已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系是____（用“”、“”或“”填空） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数的函数值大小，根据解析式可得开口方向向上和对称轴，则离对称轴越远函数值越大，据此求出两个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，是抛物线上的两点，且， ∴， 故答案为：． 15. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，设宽为x步，可得方程____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 先求出矩形的长为步，再列方程，即可解答． 【详解】解：设宽为x步，则矩形的长为步，由题意列方程得 ． 故答案为：． 16. 如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于______． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键。 由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆心角、弧、弦的关系求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 17. 如图，，都是等腰直角三角形，，，．如图所示，将绕点B逆时针方向旋转后得，当点恰好落在线段上时，的度数为__________，的长度为__________，的长度为__________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转性质，等腰直角三角形的性质与判定，根据等腰三角形的性质和勾股定理得到，，根据旋转的性质得到，，，由全等三角形的性质得到，利用勾股定理求出，，的长即可得到答案． 【详解】解：如图，过作于， 、都是等腰直角三角形，，，，， ，，， 将绕点逆时针方向旋转后得， ，，，， ， ， ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：；；． 18. 如图，C是线段上一动点，，都是等边三角形，M，N分别是，的中点，的度数为__________，若，则线段的最小值为__________． 【答案】 ①. ##60度 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，根据等边三角形的性质可得，，，则由平角的定义可得的度数；可证明，设，则，，可求出，则，据此利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵和为等边三角形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， 设， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为 ∴的值最小为． 故答案为：；． 三、解答题（共7小题，共66分，解答题应写出解答过程） 19. 解方程： （1）x2﹣6x﹣4＝0； （2）3x（x+1）＝3x+3． 【答案】（1）x1=+3，x2=-+3（2）x1=-1，x2=1 【解析】 【分析】（1）根据配方法即可求解； （2）根据因式分解法即可求解． 【详解】（1）x2﹣6x﹣4＝0 x2﹣6x+9＝13 （x-3）2＝13 x-3=± ∴x1=+3，x2=-+3 （2）3x（x+1）＝3x+3 3x（x+1）-3（x+1）=0 3（x+1）（x-1）=0 ∴x+1=0或x-1=0 ∴x1=-1，x2=1． 【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知配方法与因式分解法的运用． 20. 在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点A的坐标是． （1）以点O为中心作出的中心对称图形，并写出点的坐标 ； （2）以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，画出旋转后的，并写出点的坐标 ． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2） 解：如图所示，即为所求，则． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称和旋转，熟知中心对称和旋转的坐标变化特点是解题的关键． （1）先根据中心对称的性质确定点的对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据旋转方式和网格的特点可确定点的对应点的坐标，描出，并顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求m的值及该方程的另一根． 【答案】（1）m的取值范围是； （2）m的值为12，该方程的另一根是4． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （1）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （2）设方程的两个实数根，，其中，利用根与系数的关系，，求解即可； 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴m的取值范围是； 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根，，其中， ∴，即， 解得：，， ∴m的值为12，该方程的另一根是4． 22. 往半径为26的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，求水的最大深度． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．连接，过点作于点，交于点，由垂径定理可得，再在中解得的值，即可获得答案． 【详解】解：连接，过点作于点，交于点，如下图， ∵， ∴， ∵的半径为26， ∴， 在中，， ∴． 23. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上在x元（x为整数），每个月的销售利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时y的值为1920？ （3）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）（，且x为整数） （2） （3）每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大利润为1960元 【解析】 【分析】（1）根据商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，列出关系式求解即可； （2）根据（1）所列关系式把代入求解即可； （3）根据（1）所求利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解： （，且x为整数） 【小问2详解】 解： ，， 解得或， ∵， ∴， ∴当时，y的值为1920； 【小问3详解】 解：由（1）知，． ∵， ∴开口向下 ∴当时，y取最大值，元： ∴每件商品的售价为34元， 答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大利润为1960元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用和一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意求出y与x的函数关系式． 24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为． （1）如图1，当时，求点D的坐标； （2）如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； （3）当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为； （2）过点作轴于，，于，则则，，由勾股定理得出AE=10，由面积法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为； （3）连接，作轴于，由旋转的性质得：，， 由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点作轴于，如图所示： ∵点，点， ∴，， ∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形， ∴，，， 在Rt中，，， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 过点作轴于，，于，如图所示： 则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 连接，作轴于，如图所示： 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题． 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，． 第二象限内有一点P在抛物线上运动，交线段于点E． （1）求抛物线的解析式及点A，C的坐标； （2）设的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及S的最大值； （3）是否存在点P，使点E是的中点． 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 【答案】（1），， （2），最大值为 （3）不存在这样的点P，使得点E为中点 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可； (2) 先确定直线的解析式为：．设，则，则， 根据题意，得到三角形的面积为，利用二次函数的最值解答即可． (3)不妨设，则，代入，构造方程，利用根的判别式解答即可． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，． ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴，， 根据题意， 解得， 故． 【小问2详解】 解：过点P作轴，交直线于点M， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的面积最大，且最大值为． 此时． 【小问3详解】 解：不妨设，则， 代入，得， 整理，得， 由， 故方程无实数解， 故不存在这样的点P，使得点E为中点． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求三角形的面积的最值，一元二次方程根的判别式应用，面积分割法，熟练掌握抛物线的最值，根的判别式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $