26.1二次函数的概念（4大题型提分练）数学沪教版五四制九年级上册

26.1 二次函数的概念 知识点一 二次函数 1.函数 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数. 2. 二次函数的相关概念 一般地，形如的函数叫做二次函数.其中是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）为常数，且； (2) 等号左边是变量，右边是关于自变量的整式； (3) 等式的右边自变量的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 3. 二次函数的一般式 任何一个二次函数的解析式都能化成的形式，因此，把叫做二次函数的一般式. 温馨提示： 一个函数若是二次函数，则必须满足：①函数解析式是整式②化简整理后自变量的最高次数是2③二次项系数不等于0.三者缺一不可. 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.二次函数除了有一般形式之外，还有一些特殊形式，如，，等. 题型一、二次函数的定义 解题技巧提炼 二次函数必须满足的三个条件 (1)表达式是整式; (2)自变量的最高次数是2; (3)二次项系数不为 0. 1．下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查二次函数的定义，解题关键在于掌握二次函数的定义． 判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成，（a，b，c为常数，）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】A． ，是二次函数，故该选项符合题意； B． ，的右边是分式，不是二次函数，故该选项符合题意； C． ，不是二次函数，故该选项不符合题意； D． ，当，时，是一次函数，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．下列函数中不是二次函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的定义：“形如，，的函数是二次函数，”根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，是二次函数，不符合题意； B．，是二次函数，不符合题意； C．，是二次函数，不符合题意； D．，是一次函数，符合题意； 故选：D． 3．下列函数中，是二次函数的有（　　） ①，②，③，④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义：形如（，，为常数且），逐一判断即可． 【详解】解：①，是二次函数； ②，不符合二次函数的定义，不是二次函数； ③，整理后是二次函数； ④，整理后是二次函数； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 题型二、根据二次函数的定义求参数 解题技巧提炼 求二次函数中待定字母的值时，首先需根据二次函数的概念，即自变量的最高次数是2、二次项系数不为0,列出关于所求字母的方程或不等式(组)，然后解方程或不等式(组),即可确定字母的值. 4．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据：“形如，这样的函数叫做二次函数”，得到，即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 5．若函数是关于的二次函数．则常数的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式，是解题的关键． 根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得：． 故答案为： 6．已知是关于的二次函数，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义，列出关于的不等式组并求解，即可获得答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴且， 解得． 故答案为：． 7．如果函数是关于的二次函数，则 ． 【答案】0 【分析】根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到的值． 【详解】∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解方程得：或(舍去)， ∴． 故答案为：0． 【点睛】本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数． 题型三、二次函数的一般形式及其函数值 解题技巧提炼 一般地，形如的函数叫做二次函数.其中是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 注意点：（1）为常数，且；(2) 等号左边是变量，右边是关于自变量的整式；(3) 等式的右边自变量的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 8．已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ． 【答案】 3 -5 1 【分析】形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可． 【详解】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1， 故答案为：3，﹣5，1． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键． 9．关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（　　） A．y是x的二次函数 B．二次项系数是﹣10         C．一次项是100       D．常数项是20000 【答案】C 【分析】先化简，整理成一般式，然后对每个选项判断即可. 【详解】∵y=（500﹣10x）（40+x） =-10x2+100x+20000， ∴y是x的二次函数，二次项系数是-10，一次项系数是100，常数项是20000， ∴A、B、D正确，C错误. 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据此求解即可. 10．二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（    ） A．3 B．5 C．和5 D．3和 【答案】D 【分析】本题考查了求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由题意得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 解得，或， 故选：D． 11．若一元二次方程2x2+（k+8）x－（2k－3）=0的二次项系数、一次项系数、常数项之和为5，则k= 【答案】8 【详解】试题分析：由题，二次项系数为2，一次项系数为 ，常数项为 ， ∴ ，解得 . 所以本题的正确答案为8. 12．若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 0．（填写“>”“<”或“=”） 【答案】< 【分析】根据题意，先把题目中给的二次函数的顶点式转换成一般式，然后得到对应的系数，，，最后求出判断它与零的大小关系． 【详解】∵，∴，，，∴， 故答案为：<． 【点睛】本题考查二次函数顶点式转换成一般式以及一般式的各个项的系数，需要注意在说到二次函数各项系数的时候是根据一般式来的，本题要先进行转换． 13．）已知是实数，且满足，则相应的函数的值为（    ） A．13 或3 B．7 或3 C．3 D．13或7或3 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件，解得，再运用因式分解法解，筛选符合条件的x的值，即，代入二次函数，求值即可解题． 【详解】根据二次根式的有意义的条件，得 或或 解得（舍去）或（舍去）或 当时， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、因式分解法解解一元二次方程方程、二次根式有意义的条件等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 题型四、实际问题中的二次函数 解题技巧提炼 实际问题中列函数表达式的两点注意 (1)求动态几何图形中的面积的表达式问题时，判断所求图形的形状是前提. (2)将实际问题转化为几何问题时，一般要先根据条件求出自变量的取值范围，再由等量关系列函数表达式. 14．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1680辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多340辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，根据计划第三个月投放单车数量比第一个月多340辆列方程即可． 【详解】解：依题意得：， 即． 故选：A． 15．如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）．    (1)写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式； (2)当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)当时，长方形的面积最大，最大值为32 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）先表示出的长，再根据长方形面积计算公式列出对应的关系式即可； （2）根据（1）所求关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：∵， ∴当时，y最大，最大值为32， ∴当时，长方形的面积最大，最大值为32． 16．如图，正方形ABCD边长为4cm，点P是BC边上不与点B，C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQ⊥AB交DC于点Q，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm，求点P在BC上运动的过程中y与x的关系式． 【答案】 【分析】先由正方形的性质得到PC=4－x，再由相似三角形的判定与性质得到=，最后代入计算即可． 【详解】∵四边形ABCD是正方形且边长为4cm， ∴∠B=∠C=90°，BC=4 ∴PC=4－x， ∵PQ⊥AB， ∴∠APQ=90°， ∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPQ=90°， ∴∠BAP=∠CPQ， ∵∠B=∠C=90°， ∴ABP∽CPQ， ∴=， 即=， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质和相似三角形的判定与性质，关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出y与x之间的函数关系式． 17．某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300件，据市场调查发现，这种服装售价每提高1元，销量就减少5件，如果商场将售价定为元． （1）当售价为60元时，每件能赚　20　元，每天能卖　　件，所以，每天的销售利润为　　元． （2）当售价为元时， ①每件能赚　　元； ②相对于原售价50元来说，每件涨价　　元； ③相对于每天销售300件来说，销量减少了　　件； ④当售价为元时，每天销售　　件； （3）请你写出每天销售利润（元与售价（元的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （4）当售价定为多少元时，每天的销售利润是6000元？ （5）当售价定为多少元时，每天的销售利润达到最大？ 【分析】（1）（2）根据赚钱售价成本，卖的件数等于300减去减少的件数，利润每一件的利润销售量解答； （3）根据每天销售利润每一件的利润每天销售的件数列式整理，再根据销售的服装件数不小于0列式计算即可求出自变量； （4）根据销售利润列出方程求解即可； （5）根据二次函数的最值问题解答． 【解答】解：（1）当售价为60元时，每件能赚元，每天能卖件， 所以每天的销售利润为元； （2）当售价为元时， ①每件能赚元； ②相对于原售价50元来说，每件涨价元； ③相对于每天销售300件来说，销量减少了件； ④当售价为元时，每天销售件； 故答案为：（1）20，250，5000；（2），，，； （3）， 由， 解得， 所以的取值范围是； （4）当利润为6000元时，， 整理得，， 解得，． 答：当售价定为70或80元时，每天的销售利润是6000元； （5） ， ， 当，即售价定为75元时，每天的销售利润达到最大为6125元． 【点评】本题考查了二次函数的应用，根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 18．如图，在四边形中，，截取．已知，，． （1）求图中阴影部分的面积关于的函数表达式和的取值范围． （2）当为的中点时，图中阴影部分的面积为多少？ （3）当为何值时，图中阴影部分的面积有最小值？这个最小值是多少？ 【分析】（1）首先可寻找四边形与题中图形之间的关系，读图可得，，据此即可求出四边形的面积关于的函数表达式，再由、、的值求取的取值范围； （2）把代入（1）中的式子即可得到结论； （3）把（1）中所得的二次函数化为顶点式的形式，再根据实际情况求解； 【解答】解：（1） ， ，且，，， ， 则所求的函数表达式是； （2）为的中点， ， ； （3）， 由于不在的取值范围内，而也取不到0， 则面积的最小值不存在； 【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，表示出各部分面积是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 26.1 二次函数的概念 知识点一 二次函数 1.函数 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数. 2. 二次函数的相关概念 一般地，形如的函数叫做二次函数.其中是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）为常数，且； (2) 等号左边是变量，右边是关于自变量的整式； (3) 等式的右边自变量的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 3. 二次函数的一般式 任何一个二次函数的解析式都能化成的形式，因此，把叫做二次函数的一般式. 温馨提示： 一个函数若是二次函数，则必须满足：①函数解析式是整式②化简整理后自变量的最高次数是2③二次项系数不等于0.三者缺一不可. 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.二次函数除了有一般形式之外，还有一些特殊形式，如，，等. 题型一、二次函数的定义 解题技巧提炼 二次函数必须满足的三个条件 (1)表达式是整式; (2)自变量的最高次数是2; (3)二次项系数不为 0. 1．下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中不是二次函数的有（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，是二次函数的有（　　） ①，②，③，④ A．个 B．个 C．个 D．个 题型二、根据二次函数的定义求参数 解题技巧提炼 求二次函数中待定字母的值时，首先需根据二次函数的概念，即自变量的最高次数是2、二次项系数不为0,列出关于所求字母的方程或不等式(组)，然后解方程或不等式(组),即可确定字母的值. 4．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是 ． 5．若函数是关于的二次函数．则常数的值是 ． 6．已知是关于的二次函数，那么的值为 ． 7．如果函数是关于的二次函数，则 ． 题型三、二次函数的一般形式及其函数值 解题技巧提炼 一般地，形如的函数叫做二次函数.其中是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 注意点：（1）为常数，且；(2) 等号左边是变量，右边是关于自变量的整式；(3) 等式的右边自变量的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 8．已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ． 9．关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（　　） A．y是x的二次函数 B．二次项系数是﹣10         C．一次项是100       D．常数项是20000 10．二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（    ） A．3 B．5 C．和5 D．3和 11．若一元二次方程2x2+（k+8）x－（2k－3）=0的二次项系数、一次项系数、常数项之和为5，则k= 12．若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 0．（填写“>”“<”或“=”） 13．）已知是实数，且满足，则相应的函数的值为（    ） A．13 或3 B．7 或3 C．3 D．13或7或3 题型四、实际问题中的二次函数 解题技巧提炼 实际问题中列函数表达式的两点注意 (1)求动态几何图形中的面积的表达式问题时，判断所求图形的形状是前提. (2)将实际问题转化为几何问题时，一般要先根据条件求出自变量的取值范围，再由等量关系列函数表达式. 14．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1680辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多340辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 15．如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）．    (1)写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式； (2)当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 16．如图，正方形ABCD边长为4cm，点P是BC边上不与点B，C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQ⊥AB交DC于点Q，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm，求点P在BC上运动的过程中y与x的关系式． 17．某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300件，据市场调查发现，这种服装售价每提高1元，销量就减少5件，如果商场将售价定为元． （1）当售价为60元时，每件能赚　 　元，每天能卖　　件，所以，每天的销售利润为　　元． （2）当售价为元时， ①每件能赚　　元； ②相对于原售价50元来说，每件涨价　　元； ③相对于每天销售300件来说，销量减少了　　件； ④当售价为元时，每天销售　　件； （3）请你写出每天销售利润（元与售价（元的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （4）当售价定为多少元时，每天的销售利润是6000元？ （5）（求最值，用配方法）当售价定为多少元时，每天的销售利润达到最大？ 18．如图，在四边形中，，截取．已知，，． （1）求图中阴影部分的面积关于的函数表达式和的取值范围． （2）当为的中点时，图中阴影部分的面积为多少？ （3）（求最值，用配方法）当为何值时，图中阴影部分的面积有最小值？这个最小值是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$