25.4解直角三角形的应用（基础篇）练习2025-2026学年沪教版（上海）数学九年级第一学期

25.4解直角三角形的应用 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、仰角与俯角问题 1. 核心概念 · 仰角：从下向上观察目标时，视线与水平线所成的锐角； · 俯角：从上向下观察目标时，视线与水平线所成的锐角。 2. 解题关键 · 构造直角三角形：将实际问题中的仰角/俯角转化为直角三角形的内角； · 已知一边一角（仰角/俯角），利用三角函数（sin、cos、tan）求未知边（如高度、距离）； · 注意：仰角与俯角均为视线与水平线的夹角，且水平线平行，对应角相等。 3. 常见模型 · 单一直角三角形模型：直接利用已知角和一边求解； · 双直角三角形模型（含公共边或叠合部分）：通过公共边建立方程求解。 二、方位角问题 1. 核心概念 · 方位角：从正北方向顺时针旋转到目标方向线所成的角，通常用“北偏东/西××度”或“南偏东/西××度”表示，角度范围为0°~90°。 2. 解题关键 · 确定基准方向：以正北或正南方向为基准，明确观测点与目标点的相对位置； · 构造直角三角形：将方位角转化为直角三角形的内角（如北偏东30°即与正北方向夹角30°），利用三角函数求距离或角度； · 注意：区分“北偏东”与“东偏北”，前者以正北为基准，后者以正东为基准。 3. 常见模型 · 单观测点模型：从一个观测点观测两个目标，构造直角三角形求解； · 双观测点模型：两个观测点分别观测同一目标，通过坐标或距离关系建立方程。 三、坡度与坡比问题 1. 核心概念 · 坡度（坡比）：坡面的铅直高度（h）与水平宽度（l）的比值，记为i=h:l（或i=tanα，其中α为坡面与水平面的夹角，称为坡角）； · 坡度值越大，坡角越大，坡面越陡。 2. 解题关键 · 明确坡比与坡角的关系：i=h:l=tanα； · 构造直角三角形：将坡面视为直角三角形的斜边，铅直高度为对边，水平宽度为邻边，利用坡比求高度、宽度或坡面长度（坡面长度可通过勾股定理h²+l²=坡面长²求解）； · 注意：坡比是“铅直高度:水平宽度”，顺序不可颠倒。 3. 常见模型 · 单一坡面模型：已知坡比和高度/宽度，求坡面长度或坡角； · 组合坡面模型（如梯田、斜坡与平台结合）：分段计算各部分高度、宽度，再求和或建立关系。 型 习 练 题 仰俯角问题 1．为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形分别求出的长，则可求出的长． 【详解】解：由题意得，， 在中，， 在中，， ∴， 故选：C． 2．飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为 千米．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据俯角的定义，构造直角三角形，利用正弦的定义即可求解飞机与目标点的距离． 【详解】解：如图所示，为飞机，飞机离地面高度为，测得目标的俯角为， 则，，， 在中，， ∴ ∴ 飞机与目标的距离为 千米； 故选：A． 3．如图，从点观测点的仰角是，则在点观测点的俯角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，以及仰角俯角的定义，根据“两直线平行，内错角相等”可得结论． 【详解】解：如图，是水平线，由题意得， ∴， ∴ ∵ ∴即在点观测点的俯角是， 故选：A． 4．如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 过点A作于点D，则，分别在和中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：C 5．伊通河作为长春市的“母亲河”全长约公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边点处垂直上升60米到达点处悬停，测得河对岸点的俯角为，则此处的河道宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据题意得到，，米，根据正切的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，在中，，，米， ∴ 故选：C 方位角问题 6．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为，，则树高为（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握以仰角俯角的概念以及锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正切的概念进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角形的方位角应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 依题意， 则 在中， ， ， ． 故选：C 8．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【分析】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． 9．如图，从小明家（处）到学校有两条路，一条沿北偏东方向可直达学校前门（处），另一条从小明家一直往东，到商店处，向正北走，到学校后门（处），若两条路的路程相等，学校的后门在小明家北偏东处．则学校从前门到后门的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据为，利用的余弦值可得的长，也就是的长，减去即为所求的距离． 【详解】解：由题意得，米，， ， ， 解得：， （米）， （米）， 故选：A 10．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于（   ）米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，由题意得，，垂足为D，，，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图，由题意得，，垂足为D，，， 在中，，米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 故选：C． 坡度坡比问题 11．如图，小丽从点A出发，沿坡度为的坡道向上走，若她沿垂直方向升高了20米到达点B，则她在水平方向走了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：米， ， 米 她在水平方向走了米， 故选：A． 12．2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，如图， ∵， ∴米， 故选：B． 13．如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是（即），河堤的高度为，则坡面的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据坡度的定义，求出，然后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵河堤横断面迎水坡的坡比是， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 14．某河堤横断面如图所示，河堤，水平距离，则斜坡的坡度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡比的问题，解题的关键是理解坡度的概念． 根据坡度的定义直接求解即可． 【详解】解：在中，，， 斜坡的坡度． 故选：B． 15．如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为，则这两棵树之间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理求线段长，涉及坡度概念，熟记勾股定理是解决问题的关键． 在中，坡度，设，则，结合相邻两棵树间的水平距离为，求出值，再由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：在中，坡度，设，则 ， 则由勾股定理可得， 故选：B． 其他问题 16．人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度约是___________．（结果精确到0.1m，参考依据： ，（　　） A．2.1 B．1.9 C．1.8 D．1.6 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数的定义求出顶端离地面的高度，再与选项对比得出答案． 【详解】解：过点作于点． ∵ ，， ∴ 是直角三角形，． 在中，，， ∵ ， ∴ ． 故选：C． 17．如图，一根3米长的竹竿斜靠在墙边（），倾斜角为，当竹竿的顶端A下滑到点时，底端B向右滑到了点，此时倾斜角为，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，分别解直角三角形，直角三角形，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， 在中，， 在中，， ∴； 故选D． 18．桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角的绳索，则桑梯顶端D到地面的距离（单位：米）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，根据已知求得，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：过点作，垂足为， ， ∵米，， ， ， 米， 在中， ， 故选：D． 19．如图，要测量一条小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握解直角三角形的方法．根据正切函数可求小河宽的长度． 【详解】解：根据题意可知， ， 米，， （米）． 故选：C． 20．如图，某商场准备安装自动扶梯，自动扶梯与地面所成的角度为，若商场每层楼平均高度为米，则每层楼所需的自动扶梯的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，∵， ∴， ∵米， ∴米， 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.4解直角三角形的应用 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、仰角与俯角问题 1. 核心概念 · 仰角：从下向上观察目标时，视线与水平线所成的锐角； · 俯角：从上向下观察目标时，视线与水平线所成的锐角。 2. 解题关键 · 构造直角三角形：将实际问题中的仰角/俯角转化为直角三角形的内角； · 已知一边一角（仰角/俯角），利用三角函数（sin、cos、tan）求未知边（如高度、距离）； · 注意：仰角与俯角均为视线与水平线的夹角，且水平线平行，对应角相等。 3. 常见模型 · 单一直角三角形模型：直接利用已知角和一边求解； · 双直角三角形模型（含公共边或叠合部分）：通过公共边建立方程求解。 二、方位角问题 1. 核心概念 · 方位角：从正北方向顺时针旋转到目标方向线所成的角，通常用“北偏东/西××度”或“南偏东/西××度”表示，角度范围为0°~90°。 2. 解题关键 · 确定基准方向：以正北或正南方向为基准，明确观测点与目标点的相对位置； · 构造直角三角形：将方位角转化为直角三角形的内角（如北偏东30°即与正北方向夹角30°），利用三角函数求距离或角度； · 注意：区分“北偏东”与“东偏北”，前者以正北为基准，后者以正东为基准。 3. 常见模型 · 单观测点模型：从一个观测点观测两个目标，构造直角三角形求解； · 双观测点模型：两个观测点分别观测同一目标，通过坐标或距离关系建立方程。 三、坡度与坡比问题 1. 核心概念 · 坡度（坡比）：坡面的铅直高度（h）与水平宽度（l）的比值，记为i=h:l（或i=tanα，其中α为坡面与水平面的夹角，称为坡角）； · 坡度值越大，坡角越大，坡面越陡。 2. 解题关键 · 明确坡比与坡角的关系：i=h:l=tanα； · 构造直角三角形：将坡面视为直角三角形的斜边，铅直高度为对边，水平宽度为邻边，利用坡比求高度、宽度或坡面长度（坡面长度可通过勾股定理h²+l²=坡面长²求解）； · 注意：坡比是“铅直高度:水平宽度”，顺序不可颠倒。 3. 常见模型 · 单一坡面模型：已知坡比和高度/宽度，求坡面长度或坡角； · 组合坡面模型（如梯田、斜坡与平台结合）：分段计算各部分高度、宽度，再求和或建立关系。 型 习 练 题 仰俯角问题 1．为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 2．飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为 千米．（    ） A． B． C． D． 3．如图，从点观测点的仰角是，则在点观测点的俯角是（   ） A． B． C． D． 4．如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 5．伊通河作为长春市的“母亲河”全长约公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边点处垂直上升60米到达点处悬停，测得河对岸点的俯角为，则此处的河道宽度为（   ） A． B． C． D． 方位角问题 6．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为，，则树高为（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 7．某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 8．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 9．如图，从小明家（处）到学校有两条路，一条沿北偏东方向可直达学校前门（处），另一条从小明家一直往东，到商店处，向正北走，到学校后门（处），若两条路的路程相等，学校的后门在小明家北偏东处．则学校从前门到后门的距离是（   ） A． B． C． D． 10．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于（   ）米． A． B． C． D． 坡度坡比问题 11．如图，小丽从点A出发，沿坡度为的坡道向上走，若她沿垂直方向升高了20米到达点B，则她在水平方向走了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 12．2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 13．如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是（即），河堤的高度为，则坡面的长度是（   ） A． B． C． D． 14．某河堤横断面如图所示，河堤，水平距离，则斜坡的坡度是（    ）    A． B． C． D． 15．如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为，则这两棵树之间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 其他问题 16．人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度约是___________．（结果精确到0.1m，参考依据： ，（　　） A．2.1 B．1.9 C．1.8 D．1.6 17．如图，一根3米长的竹竿斜靠在墙边（），倾斜角为，当竹竿的顶端A下滑到点时，底端B向右滑到了点，此时倾斜角为，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 18．桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角的绳索，则桑梯顶端D到地面的距离（单位：米）为（    ） A． B． C． D． 19．如图，要测量一条小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 20．如图，某商场准备安装自动扶梯，自动扶梯与地面所成的角度为，若商场每层楼平均高度为米，则每层楼所需的自动扶梯的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 学科网（北京）股份有限公司 $