专题08 三角函数图象与性质（期末真题汇编，重庆专用）高一数学上学期人教A版

专题08 三角函数图象与性质 7大高频考点概览 考点01 三角函数的周期性 考点02 三角函数的对称性及不等式 考点03 三角函数的平移 考点04 三角函数的单调性值域问题 考点05 三角函数的图象问题 考点06 三角函数的范围问题 考点07 三角恒等变换 地 城 考点01 三角函数的周期性 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)若函数的最小正周期为，则常数 ． 3．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)函数的最小正周期为 . 4．(23-24高一上·重庆第八中学校·期末)函数的最小正周期为 . 地 城 考点02 三角函数的对称性及不等式 一、单选题 1．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)已知函数的图象关于对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 二、多选题 3．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)对于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的图象的对称中心是 C．函数的图象的对称轴是 D．不等式的解集是 4．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)已知定义在上的函数的图像关于中心对称，则下列说法一定正确的是（    ） A．若周期为2，则为奇函数 B．为奇函数 C．若周期为4，则为偶函数 D．为奇函数 5．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的周期为 B．是函数的一个对称中心 C．是函数的一个周期 D．不等式的解集为 6．(23-24高一上·重庆部分学校·期末)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．满足 B． C．是周期函数 D．在上有解，则k的最大值是. 地 城 考点03 三角函数平移 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆长寿区·期末)要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 3．(23-24高一上·重庆长寿区·期末)要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 二、多选题 4．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)将函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数为奇函数，则的可能取值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 三、填空题 5．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)将函数图象上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则 . 地 城 考点04 三角函数单调性值域问题 一、单选题 1．(23-24高一上·重庆九龙坡区·)函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(23-24高一上·重庆九龙坡区·)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．在区间是增函数 三、解答题 3．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知函数，. (1)当时，求函数的对称中心； (2)若为奇函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 4．(24-25高一上·重庆长寿区·期末)已知函数． (1)求的值域； (2)求函数在区间上的单调区间． 5．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)已知函数，且，，． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数是奇函数，求的值； (3)若，当时函数取得最大值，求的值． 6．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)已知函数恒成立，且的最小值为为奇函数. (1)求函数的解析式与单调增区间； (2)若函数的图象与函数的图象关于原点对称，求在上的最大值和最小值. 7．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若对任意均成立，求的取值范围. 8．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)已知函数，求： (1)函数的最小正周期及对称中心； (2)先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域. 9．(23-24高一上·重庆七校·期末)已知函数的最大值为. (1)求常数的值，并求函数取最大值时相应的集合； (2)求函数的单调递增区间. 10．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)已知函数． (1)设是函数图像的一条对称轴，求的值； (2)将的图像上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，再将得到的图像向右平移个单位，向上平移一个单位，得到函数的图像，求在上的值域． 11．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知函数，其中，图象上对称中心到相邻最近对称轴之间的距离为. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，再向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的最值. 12．(23-24高一上·重庆·期末)已知函数在上单调递增． (1)求的取值范围： (2)当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到的图象，求在内的值域． 13．(23-24高一上·重庆北碚区·期末)已知函数，，函数的图象上两相邻对称轴之间的距离为，_________.请从以下三个条件中任选一个补充至横线上. ①函数的图象的一条对称轴为直线； ②函数的图象的一个对称中心为点； ③函数的图象经过点. (1)求函数的解析式； (2)将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图象，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 14．(23-24高一上·重庆长寿区·期末)已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求函数在区间上的最小值，并求出函数取得最小值时对应的值. 地 城 考点05 三角函数图象问题 一、多选题 1．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)已知函数的部分图象如图所示，下列选项正确的是（   ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数在上的值域为 2．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)已知函数的部分图象如下，则以下说法正确的是（    ） A． B．的一个对称中心为，一条对称轴为 C．向左平移个单位后为偶函数 D．向右平移个单位后为奇函数 3．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)已知函数的部分图像如下，则下列说法正确的是（    ） A．的值为 B．在单调递增 C． D．若方程，且在内至少有3个不同的根，则实数的取值范围是 4．(23-24高一上·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)下图是函数的部分图像，则（    ） A． B． C．是的一个对称中心 D．的单调递增区间为（） 5．(23-24高一上·重庆七校·期末)若函数部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．在上单调递减 C．是的一条对称轴 D．点是的一个对称中心 地 城 考点06 三角函数范围问题 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)若函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)若函数在定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”.已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)已知函数，若函数在有8个不同零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．(23-24高一上·重庆·期末)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的初相为 B．若，则函数的图象关于对称 C．若函数的图象关于点对称，则可以为3 D．若函数在上有且仅有4个零点，则的范围是 三、填空题 7．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)设，当实数变化时，在区间中至少有个零点，至多有个零点，则 . 8．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)已知，若函数在区间单调递减，则实数的取值范围是 ． 9．(23-24高一上·重庆第八中学校·期末)已知函数，当时，关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围为 . 四、解答题 10．(23-24高一上·重庆部分学校·期末)已知函数的定义域为，若存在实数，使得，都满足，则称函数为“三倍函数”. (1)判断函数是否为“三倍函数”，并说明理由； (2)若函数，为“三倍函数”，求的取值范围. 11．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)已知函数，. (1)当时，求的最小正周期及单调递增区间： (2)将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有2025个零点，求的取值范围. 地 城 考点07 三角恒等变换 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)（    ） A． B． C． D．1 3．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)（   ） A． B． C． D．4 4．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知，则取得最小值时的的值为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)已知是第二象限角且，，则的值为（    ） A．1 B．－1 C．－2 D． 6．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知，且，则以下正确的有（   ） A． B．值域为 C．在上单调递增 D． 三、填空题 8．(24-25高一上·重庆长寿区·期末) ． 9．(24-25高一上·重庆长寿区·期末)已知，则 ． 10．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知角终边经过点，则 ． 11．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则= ． 四、解答题 12．(24-25高一上·重庆长寿区·期末)已知． (1)求的值； (2)求的值． 13．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知． (1)求； (2)求． 14．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 15．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知函数 (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的值域； (3)已知为锐角，且，求的值. 16．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知 (1)求的值； (2)求的值. 17．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标记为．    (1)求的表达式，并求的值； (2)若为任意角，，求的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三角函数图象与性质 7大高频考点概览 考点01 三角函数的周期性 考点02 三角函数的对称性及不等式 考点03 三角函数的平移 考点04 三角函数的单调性值域问题 考点05 三角函数的图象问题 考点06 三角函数的范围问题 考点07 三角恒等变换 地 城 考点01 三角函数的周期性 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数周期公式可得. 【详解】函数的最小正周期为． 故选：B 二、填空题 2．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)若函数的最小正周期为，则常数 ． 【答案】/0.5 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，又因为，解得. 故答案为：. 3．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】根据二倍角公式化简，即可由周期公式求解. 【详解】，所以周期为， 故答案为： 4．(23-24高一上·重庆第八中学校·期末)函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期的计算方法，即可求解. 【详解】根据正弦型函数的最小正周期的计算公式，可得： 函数的最小正周期为. 故答案为：. 地 城 考点02 三角函数的对称性及不等式 一、单选题 1．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的性质可将问题转化为，利用三角函数的性质求解即可. 【详解】的定义域满足， 故，由于，所以， 故，解得， 故函数的定义域为 故选：C 2．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)已知函数的图象关于对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由辅助角公式可得，其中，后由图象关于对称，可得，即可得答案. 【详解】由辅助角公式，，其中， 因图象关于对称，则 ，，则. 故选：B 二、多选题 3．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)对于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的图象的对称中心是 C．函数的图象的对称轴是 D．不等式的解集是 【答案】BC 【分析】利用正切函数的图象性质，逐项判断即可得解. 【详解】函数的最小正周期为，A错误； 由，解得，则函数的图象的对称中心是，B正确； 由于，则是图象的一条对称轴， 又，则是图象的一条对称轴， 而函数的最小正周期是，则及都是图象的对称轴， 所以函数图象的对称轴是，C正确； 不等式，则， 解得，即不等式的解集是，D错误. 故选：BC 4．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)已知定义在上的函数的图像关于中心对称，则下列说法一定正确的是（    ） A．若周期为2，则为奇函数 B．为奇函数 C．若周期为4，则为偶函数 D．为奇函数 【答案】AD 【分析】根据函数的周期性以及对称性即可判断A，结合对数的运算性质即可求解D，举反例即可求解BD. 【详解】由于的图像关于中心对称，所以， 对于A, 若周期为2，则， 所以，故为奇函数，A正确， 对于B，若，显然的图像关于中心对称， 但是， 故不是奇函数，B错误， 对于C, 若，显然的图像关于中心对称，且周期为4， 当时，则故不为偶函数，C错误    对于D，， 所以， 故为奇函数，D正确， 故选：AD 5．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的周期为 B．是函数的一个对称中心 C．是函数的一个周期 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据正切函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，函数函数的周期，故A正确； 对于B，因为， 所以不是函数的一个对称中心，故B错误； 对于C，令， 因为， 所以是函数的一个周期，故C正确； 对于D，由， 得，解得， 所以不等式的解集为，故D正确. 故选：ACD. 6．(23-24高一上·重庆部分学校·期末)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．满足 B． C．是周期函数 D．在上有解，则k的最大值是. 【答案】ABD 【分析】对于A，利用三角函数诱导公式化简，从而计处得；对于BD，求出的值域进行判断；对于C，分别考虑分子和分母是否为周期函数即可判断. 【详解】因为，， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 而，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，则， 显然，此时等号无法同时成立，故，故B正确； 对于C，因为是周期函数，但不是周期函数， 所以不是周期函数，故C错误； 对于D，当时，，故的最大值为， 故在上有解，则，即的最大值是，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题选项BD的解决关键是利用二次函数与余弦函数的性质求得的最值，特别注意等号成立的条件，从而得解. 地 城 考点03 三角函数平移 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆长寿区·期末)要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】利用诱导公式的得到，然后根据图象的平移变换判断. 【详解】， 所以的图象向左平移个单位长度得到的图象. 故选：C. 2．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【分析】根据诱导公式得，即可根据平移的性质求解. 【详解】，所以需要将函数的图象向左平移个单位， 故选：A 3．(23-24高一上·重庆长寿区·期末)要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据平移变换的原则即可得解. 【详解】要得到函数的图象， 只需将的图象向右平移个单位长度. 故选：D. 二、多选题 4．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)将函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数为奇函数，则的可能取值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AC 【分析】根据三角恒等变换的化简可得，利用三角函数图象的平移变换可得奇函数，结合函数的奇偶性计算即可求解. 【详解】 ， 的图象向左平移个单位长度后得 的图象， 又函数为奇函数，所以， 解得.所以的值可能为. 故选：AC 三、填空题 5．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)将函数图象上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据横坐标的变化与的关系即可得到，直接代入计算即可. 【详解】由题意得，则. 故答案为：. 地 城 考点04 三角函数单调性值域问题 一、单选题 1．(23-24高一上·重庆九龙坡区·)函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数基本关系及二次函数的性质即可得. 【详解】因为， 由，故， 即. 故选：B. 二、多选题 2．(23-24高一上·重庆九龙坡区·)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．在区间是增函数 【答案】ACD 【分析】对A：构造即可得；对B：由，，则，即可得；对C：构造即可得；对D：由复合函数单调性即可得. 【详解】， 故的一个周期为，A正确； 由，，则，， 故，B错误； ， 故的图象关于直线对称，C正确； 由时，，且随增大而增大，故随增大而增大， ，且随增大而减小，故随增大而增大， 故在区间是增函数，D正确. 故选：ACD. 三、解答题 3．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知函数，. (1)当时，求函数的对称中心； (2)若为奇函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题设列求x即可得对称中心； （2）由已知得，问题化为在上恒成立，结合正弦型函数性质求参数范围； （3）由已知得，将问题化为，根据三角函数及二次函数性质研究最值，进而求参数范围. 【详解】（1）由题设，令，可得， 所以函数的对称中心为. （2）由题设，，又，则，故， 由， 又，则，故， 所以， 当，只需，可得； 当，只需，可得； 当，则，，此时满足题设； 综上，. （3）由题设，又，则， 对任意的，有，即， 所以，则，有，故， ， 又，则， 当时，； 此时，即； 当时，； 此时，即； 当时，； 此时，即； 综上，. 【点睛】关键点点睛：第二问，问题化为在上恒成立为关键；第三问，问题化为为关键. 4．(24-25高一上·重庆长寿区·期末)已知函数． (1)求的值域； (2)求函数在区间上的单调区间． 【答案】(1) (2)增区间，减区间 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式将化成单角单函数的形式，从而得到的值域； （2）由得的单调递增区间，再根据得在上的单调区间. 【详解】（1）， 所以的值域为． （2）由得， 且，得函数的单调递增区间是，单调递减区间是. 【点睛】思路点睛：正弦型函数问题的解决方法 将看成一个整体，再根据性质研究正弦型函数的性质. 5．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)已知函数，且，，． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数是奇函数，求的值； (3)若，当时函数取得最大值，求的值． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）用辅助角公式进行化简，再利用求解即可得到最小正周期；结合正弦函数的单调递增区间，用整体的思想求解即可； （2）先确定的表达式，再由奇偶性列出等式求解即可； （3）当时函数取得最大值，由此可得，代入化简；又，再求出，再根据两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，则其最小正周期， 令，解得， 则其单调递增区间为． （2）由（1） 若函数是奇函数，则，即 因为，所以令时，． （3） 由题知，则，从而，，因此， 因为，且，所以， 所以， 所以． 6．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)已知函数恒成立，且的最小值为为奇函数. (1)求函数的解析式与单调增区间； (2)若函数的图象与函数的图象关于原点对称，求在上的最大值和最小值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合正弦函数的图象性质求出即得解析式，进而求出单调递增区间. （2）利用对称性求出的解析式，再求出指定区间上的最值. 【详解】（1）函数的定义域为R，由恒成立，得分别是的最小值和最大值， 由的最小值为，得，解得，则， 由为奇函数，得，而， 于是，所以， 由，得， 所以的单调增区间是. （2）由函数的图象与函数的图象关于原点对称，得， 则，当时，， 则当，即时，；当，即时，， 所以在上的最大值和最小值分别为. 7．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若对任意均成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入化简得，再设，转化为二次函数求解值域即可； （2），同（1）采用换元法得，根据复合函数单调性即可得到不等式，解出即可； （3）转化为，再对进行分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， 令，则，， 所以，， 则，即的值域为. （2）， 令，则， 则， 当时，，则，且t关于x单调递增， 因为在是单调递增的，所以在单调递增， 则有，解得. （3）对于任意的，，均有， 则有， 即，，有， ①当，则有， 即，解得，又因为，则无解； ②当，则有， 即，解得，又因为，则无解； ③当，即时，则有， 即，解得， ④当，即时，则有， 即，解得， 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用含参二次函数最值模型，对对称轴的范围进行分类讨论即可. 8．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)已知函数，求： (1)函数的最小正周期及对称中心； (2)先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域. 【答案】(1)最小正周期为， (2) 【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式化简为，再根据正弦函数的性质求出即可. （2）先经过平移伸缩变换后再由正弦函数的单调性求出值域即可. 【详解】（1） ,令 所以对称中心为 （2）经平移变换后，， 因为，则， 9．(23-24高一上·重庆七校·期末)已知函数的最大值为. (1)求常数的值，并求函数取最大值时相应的集合； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据已知条件化简函数为，根据的最大值为，解出值即可. （2）根据正弦型函数求单调区间的方法求出的单调递增区间即可. 【详解】（1） ； 当时，函数取到最大值，所以，即； 令，得， 所以当函数取到最大值时的集合为 （2）由（1）得， 所以令， 得， 所以函数的单调递增区间为 10．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)已知函数． (1)设是函数图像的一条对称轴，求的值； (2)将的图像上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，再将得到的图像向右平移个单位，向上平移一个单位，得到函数的图像，求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对称轴的定义得，，代入即可求； （2）根据图象变换可求出，结合x的取值范围，求出的范围，由正弦函数性质可得. 【详解】（1）因为是函数图像的一条对称轴， 所以，得，， 即，而， （2）， 将的图像上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变得， 再将得到的图像向右平移个单位，向上平移一个单位，得， ，则，， 在上的值域为 11．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知函数，其中，图象上对称中心到相邻最近对称轴之间的距离为. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，再向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的最值. 【答案】(1)，递增区间为； (2)，. 【分析】（1）根据题意先求周期，然后可得，可得解析式，再根据正弦函数单调性求增区间； （2）先根据图象变化求出和的解析式，再利用和差公式和降幂公式化简，然后由余弦函数性质即可求得最值. 【详解】（1）由题意可知，，， 所以，所以， 由得， 所以的单调递增区间为. （2）函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数， 再将的图象向左平移个单位，得到函数， 所以， ， 因为，所以， 所以，所以， 当时，； 当时，. 12．(23-24高一上·重庆·期末)已知函数在上单调递增． (1)求的取值范围： (2)当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到的图象，求在内的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设条件，列出不等式，求解即可. （2）根据函数图像平移变换，写出函数，再结合区间和三角函数性质求出值域. 【详解】（1）由，得 ， 又函数在上单调递增， 所以，解得 因为，所以． （2）由（1）知的最大值为，此时， 根据题意，， 当时，． 所以，故值域为． 13．(23-24高一上·重庆北碚区·期末)已知函数，，函数的图象上两相邻对称轴之间的距离为，_________.请从以下三个条件中任选一个补充至横线上. ①函数的图象的一条对称轴为直线； ②函数的图象的一个对称中心为点； ③函数的图象经过点. (1)求函数的解析式； (2)将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图象，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦函数的对称轴，对称中心，特殊点的性质解出即可； （2）先做伸缩变换，再做平移变换，得到，再利用二次函数的性质解出参数的取值范围即可. 【详解】（1）因为函数的图象上两相邻对称轴之间的距离为，所以， 所以， 若选①函数的图象的一条对称轴为直线； 所以， 因为，所以， 所以； 若选②函数的图象的一个对称中心为点， 则，因为， 所以； 所以； 若选③函数的图象经过点， 则， 因为， 所以， 所以， 所以. （2）将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图象，则 ， 因为，所以， 所以，所以， 因为不等式恒成立， 所以设，则二次函数，开口向上， 所以， 的取值范围为. 14．(23-24高一上·重庆长寿区·期末)已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求函数在区间上的最小值，并求出函数取得最小值时对应的值. 【答案】(1)； (2)最小值，. 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、辅助角公式化简函数式，再求出最小正周期. （2）由（1）的函数式，结合正弦函数性质求解即得. 【详解】（1）依题意，， 所以的最小正周期． （2）由，得， 当，即时，函数取得最小值， 所以的最小值为，此时. 地 城 考点05 三角函数图象问题 一、多选题 1．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)已知函数的部分图象如图所示，下列选项正确的是（   ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数在上的值域为 【答案】ACD 【分析】由函数图象的顶点坐标求出A，再由周期求出，由五点法求出，进而得出的解析式，逐项判断即可. 【详解】由函数的图象可得， 由，解得， 再根据五点法可得， 又因为，解得，从而， 则，A正确； ， 函数没有取到最大或最小值，所以直线不是对称轴，B错误； ， 所以函数的图象关于点对称，C正确； 因为时，， 所以单调先增后减， 所以当时，， 当时，， 所以函数在上的值域为，D正确. 故选：ACD 2．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)已知函数的部分图象如下，则以下说法正确的是（    ） A． B．的一个对称中心为，一条对称轴为 C．向左平移个单位后为偶函数 D．向右平移个单位后为奇函数 【答案】BCD 【分析】首先由图像和三角函数的性质得到，得出A错误；由正弦函数的对称轴和对称中心得出B正确；由平移变换和奇偶性得出CD正确. 【详解】由图像可得，，由， 因为，所以，所以. A：由以上解析可知故A错误； B：对称中心：，当时，对称中心； 对称轴，当时，对称轴为，故B正确； C：向左平移个单位后为，为偶函数，故C正确； D：向右平移个单位后为，为奇函数，故D正确； 故选：BCD. 3．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)已知函数的部分图像如下，则下列说法正确的是（    ） A．的值为 B．在单调递增 C． D．若方程，且在内至少有3个不同的根，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】先根据图像求出函数解析式，然后逐一判断 【详解】由图象得，即，得，由图可知函数是单调递减的， 所以，所以，故A对； 设周期为T，则，所以，得， ，则， 令在上单调递增，在上单调递增， 所以在单调递增，故B对； ，，因为，所以， 故 C错； 由图象可得：当时，且， 即，得， 得，此时有2个不同的交点即是临界点， 方程，且在内至少有3个不同的根，则实数的取值范围是，故D对 故选：ABD 4．(23-24高一上·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)下图是函数的部分图像，则（    ） A． B． C．是的一个对称中心 D．的单调递增区间为（） 【答案】BCD 【分析】由图象可得，由可求出，再将代入可求出可判断A，B；由三角函数的性质可判断C，D. 【详解】根据图像象得，故A错误； 时，，，， 故，故B正确； 因为，所以是的一个对称中心，C正确； 令，解得，．故D正确． 故选：BCD. 5．(23-24高一上·重庆七校·期末)若函数部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．在上单调递减 C．是的一条对称轴 D．点是的一个对称中心 【答案】BD 【分析】由图可知，从而得，再由周期公式可得，再把代入函数中可求出的值，进而可求出函数解析式，然后逐个分析判断即可 【详解】对于A，由图可知，从而得， 所以，解得，所以， 将代入上式中得，，得， 即，因为，所以， 所以，故A错误； 对于B，由，得， 令，得的减区间为，又， 所以函数在上单调递减，故B正确； 对于C，因为，所以不是的一条对称轴，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：BD 地 城 考点06 三角函数范围问题 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，画出函数图象，分类讨论，将题意转化为函数与交点个数问题，根据二次函数性质求解即可. 【详解】当时，的图象如图所示， 则，令，则方程为，， 又，当时，若方程在内有两个不同的解， 只需只有一解，即函数与，只有一个交点， 又函数在上单调递减，所以，即； 当时，，方程的解为和， 当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意； 当时，，方程的解为和， 当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意； 当时，若方程在内有两个不同的解， 只需有两个不同的解， 即函数与，有两个不同的个交点， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：此类问题的常用解法是将函数的零点问题转化为方程根的问题，利用数形结合法得到结果，本题的关键是采用换元法，设，将原方程转化为一元二次方程，结合二次函数图象列出不等式，解出即可. 2．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)若函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，即可求出，再由的取值范围求出的取值范围，从而确定左端点的取值范围，即可得到，解得即可. 【详解】函数在区间上单调递增且， 所以，解得， 由，则，则， 所以，解得，即正数的取值范围为. 故选：A 3．(23-24高一上·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由在上单调递增，得，再由在上有且仅有1个零点，得或，取并集结合的前提条件，即可得答案. 【详解】当，， 因为在上单调递增，故，则； 当，，且，， 又因为在上有且仅有1个零点， 故讨论两种情况： ①， ②， 综上：的取值范围为， 故选：C. 4．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)若函数在定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”.已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围. 【详解】 ， 若是上的“完整函数”， 则在上存在，使得成立， 即， 又因为，所以， 即在上至少存在两个最大值点， 所以，解得； 当，即时，一定满足题意； 若，因为，，所以， 又易知；所以只需保证即可， 解得. 综上可知. 故选：B. 5．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)已知函数，若函数在有8个不同零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数图象，设，解得解得或，然后分，和讨论，结合条件根据图象求解即可. 【详解】令，得， 解得或， 作出函数的图象如图所示： （1）当时，有无数个解，不符合； （2）当时，则方程无解， 因为函数在有8个不同零点， 所以方程在有8个不同的实根， 即函数与的图象在有8个不同的交点， 由图可知，，所以， （3）当时，则方程无解， 则方程在有8个不同的实根， 即函数，的图象在有8个不同的交点， 由图可知，，所以， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 二、多选题 6．(23-24高一上·重庆·期末)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的初相为 B．若，则函数的图象关于对称 C．若函数的图象关于点对称，则可以为3 D．若函数在上有且仅有4个零点，则的范围是 【答案】AD 【分析】根据初相、对称轴、对称中心的定义可得选项A、B、C；根据零点的个数列出不等式 求解即得选项D. 【详解】由， 令时，得函数的初相为，故A对； 令，则，故B错； 令，则， 而当时，，故C错； 由，得 ， 又函数在上有且仅有4个零点， 则，解得 ，故D对； 故选：AD 三、填空题 7．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)设，当实数变化时，在区间中至少有个零点，至多有个零点，则 . 【答案】66 【分析】易知在中恰有2个零点，由，分析中的零点数量即可. 【详解】由已知最小正周期为，故，在中恰有2个零点. 因为， 而区间中恰有个零点， 只需分析区间中的零点数量， 注意到相邻零点间的距离交替为，，而开区间长度为， 所以该区间中至少0个零点，至多2个零点，所以，， 所以. 故答案为：66 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是，分析区间中的零点数量即可. 8．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)已知，若函数在区间单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的定义域、正弦函数的单调性和复数函数的单调性可得函数的单调减区间为，进而，建立不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意知，函数的定义域为， 得，得. 又函数的单调增区间为， 由， ，解得， 即函数的单调减区间为， 又函数在上单调递减，所以， 得，解得， 又，所以令，解得. 故答案为： 9．(23-24高一上·重庆第八中学校·期末)已知函数，当时，关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】 根据二倍角的正、余弦公式和辅助角公式可得，讨论余弦函数的单调性求得当且时函数图象与直线有2个交点，即可求解. 【详解】， 由，得， 设，则当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减，所以， 得，要使方程在上有2个实根， 则函数图象与直线在上有2个交点， 当且，即时，函数图象与直线有2个交点， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 10．(23-24高一上·重庆部分学校·期末)已知函数的定义域为，若存在实数，使得，都满足，则称函数为“三倍函数”. (1)判断函数是否为“三倍函数”，并说明理由； (2)若函数，为“三倍函数”，求的取值范围. 【答案】(1)不是“三倍函数”，理由见解析 (2) 【分析】（1）假设是“三倍函数”，得到，从而得以判断； （2）变换得到，的值域是，根据值域关系排除的情况，得到，分析可得，从而得解. 【详解】（1）不是“三倍函数”，理由如下： 因为，， 假设是“三倍函数”， 则存在实数，使得，都满足， 即，即， 因为的值域为，的值域为，不满足条件， 故函数不是“三倍函数”. （2）因为，为“三倍函数”， 所以存在，，都，有， 即， 当时，的值域是， 则在的值域包含， 当时，，则， 若，即，则，， 此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不满足题意； 于是，即，， 要使在的值域包含， 则在的最小值至少要小于等于， 又时，在上单调递减且， 故有，解得， 此时取，的值域是， 而，，故在的值域包含，满足题意； 所以的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，从而得解. 11．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)已知函数，. (1)当时，求的最小正周期及单调递增区间： (2)将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有2025个零点，求的取值范围. 【答案】(1)最小正周期为，的单调递增区间为， (2) 【分析】（1）化简的表达式，利用周期公式求出周期，根据正弦函数的单调性，求出单调区间； （2）根据三角函数图象的变换规律，可得的解析式，根据零点个数列出不等式组求解即可； 【详解】（1） ， （1）当时，，， 又， 解得：，， 所以的最小正周期为，的单调递增区间为，， （2）将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数， 再向上平移个单位，得到函数， 又函数在区间上有且仅有2025个零点 由，得， 所以，解得. 地 城 考点07 三角恒等变换 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆第八中学校·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正弦公式，化简已知条件，再根据余弦的二倍角公式，求出结果. 【详解】， ． 故选：A. 2．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简计算即可. 【详解】原式 . 故选：A 3．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】先由和差公式以及二倍角公式将化简为，再结合诱导公式即可得答案. 【详解】因为， 而，所以， 故选：D. 4．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知，则取得最小值时的的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由，得， ， 当且仅当即即时，等号成立. 故选：D 5．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)已知是第二象限角且，，则的值为（    ） A．1 B．－1 C．－2 D． 【答案】C 【分析】依题意，求出，再根据求出，再利用两角差的正切公式求得答案. 【详解】因为是第二象限角且，所以 ， 则因为,所以， 所以， 故选：C. 6．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的值，再结合弦化切求值. 【详解】根据题意，， 则. 故选：A 二、多选题 7．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知，且，则以下正确的有（   ） A． B．值域为 C．在上单调递增 D． 【答案】BC 【分析】先化简得到，再结合正弦型函数的性质逐个判断即可； 【详解】 所以，A错误； 函数的值域为，B正确； 当，可得，故在上单调递增，C正确； 由，可得， 所以， 所以，D错误， 故选：BC 三、填空题 8．(24-25高一上·重庆长寿区·期末) ． 【答案】 【分析】利用余弦的和差公式计算. 【详解】原式=. 故答案为：. 9．(24-25高一上·重庆长寿区·期末)已知，则 ． 【答案】 【分析】利用二倍角公式和诱导公式计算. 【详解】，则. 故答案为：. 10．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知角终边经过点，则 ． 【答案】/ 【分析】由三角函数的定义结合二倍角正弦公式即可得答案. 【详解】由三角函数的定义可得， 所以， 故答案为：. 11．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则= ． 【答案】 【分析】根据题意，由幂函数的图像特征及函数的奇偶性、单调性求得，将代入式子利用两角和差公式将式子进行化简求解. 【详解】由幂函数为偶函数，即且为偶数，解得或， 又因为在函数上单调递减， 所以，所以， 所以 . 故答案为：. 四、解答题 12．(24-25高一上·重庆长寿区·期末)已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式得，根据同角三角函数关系得到； （2）由两角和的余弦函数公式可得. 【详解】（1）由，得，故. （2）. 13．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用两角和的正切可求； （2）利用诱导公式和二倍角的正弦结合弦切互化可求三角函数式的值. 【详解】（1）由解得． （2） ． 14．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用角的关系进行转化，结合诱导公式和平方关系可得答案，或者根据函数值求出角，然后可得答案； （2）根据正弦值求出正切，利用齐次式可得答案. 【详解】法1：（1）， ， ， . 法2：， 或，， 原式. （2），， 原式 . ①当时，原式；②当时，原式. 综上所述：或. 15．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知函数 (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的值域； (3)已知为锐角，且，求的值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先根据二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化简为，然后根据正弦函数的单调性求解单调递增区间即可； （2）由得，然后根据正弦函数性质求解值域即可； （3）设，根据得，根据同角三角函数基本关系及二倍角公式得，，最后利用两角差正弦公式化简求值即可. 【详解】（1）. 令， 所以的单调递增区间为，； （2）当时，所以，所以，所以的值域为； （3）设，则， 由于，故， 所以，所以，， 故. 16．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角的正切公式求出，结合两角和的正切公式计算即可求解； （2）根据二倍角的正、余弦公式，结合切弦互化计算即可求解. 【详解】（1）， 所以； （2）原式. 17．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标记为．    (1)求的表达式，并求的值； (2)若为任意角，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分析可知射线为角的终边，利用三角函数的定义可得出的表达式，再利用余弦函数的周期和两角和的余弦公式可求得的值； （2）解法一：由已知结合三角恒等变换可得出关于、的方程组，解出的值，再利用两角差的正弦公式化简即可得解； 解法二：由已知可得出的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式可计算出的值，再利用两角差的正弦公式化简即可得解. 【详解】（1）设射线为锐角的终边，则，则， 射线绕点逆时针方向旋转后交单位圆于点，则射线为角的终边， 由三角函数的定义可得， . （2）法一：因为， 联立，解得或， 又因为或； 法二：因为，则， 所以，， 当时，则 ， 此时，； 当时，则 ， 所以，. 综上所述，或. 试卷第1页，共3页 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $