专题07 三角函数的定义及诱导公式（期末真题汇编，重庆专用）高一数学上学期人教A版

专题07 三角函数的定义及诱导公式 4大高频考点概览 考点01 角度值弧度制及其应用 考点02 三角函数的定义 考点03 同角三角函数基本关系式 考点04 三角函数中的诱导公式 地 城 考点01 角度制弧度制及其应用 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出扇形的半径，再根据公式可求扇形的面积. 【详解】因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，故半径为， 故面积为， 故选：B. 2．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)已知扇形的周长为6，则该扇形的面积最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，即可得到，再由扇形面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为， 则，所以，由，可得， 所以扇形的面积为， 当且仅当, 即时，扇形的面积最大此时. 故选：A 3．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点A到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设优弧所在圆的圆心，由题可知，，，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案. 【详解】设优弧所在圆的圆心，连接， 则，， 则，所以，则， ， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为， 而， 所以该封闭图形的面积为. 故选：C 4．(23-24高一下·重庆部分区·期末)若一个扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为（    ） A．15 B．30 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，即可求解. 【详解】由一个扇形的半径为1，圆心角为，即为，所以该扇形的面积为. 故选：C. 5．(23-24高一上·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)在扇形OAB中，已知弦，，则扇形OAB的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形的面积公式计算直接得出结果. 【详解】由题意知，设扇形的圆心角为，半径为r， 则扇形的面积为. 故选：B 6．(23-24高一上·重庆·期末)已知扇形的面积为，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意设出扇形的弧长、半径和圆心角，通过扇形的面积可求出扇形半径，然后利用弧长公式即得. 【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为， 所以扇形的面积，得（）， 由（） 故选：A 二、填空题 7．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知扇形的半径为2，圆心角为1，则扇形的周长为 . 【答案】6 【分析】根据扇形的弧长公式计算直接得出结果. 【详解】由题意知，扇形的弧长为， 所以扇形的周长为. 故答案为：6 8．(24-25高一上·重庆长寿区·期末)已知某扇形的周长为6，圆心角为4弧度，则该扇形的面积为 ． 【答案】2 【分析】根据弧长公式列方程，解方程得到，然后求面积. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，解得， 所以该扇形的面积为. 故答案为：2. 9．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，展开的折扇可看作是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条2米长的紫色丝带围成一个扇形展示框，则该展示框的面积最大值为 ． 【答案】/ 【分析】设该扇形的半径为，弧长为，面积为，由已知可得，，利用扇形面积公式结合二次函数求最值即可. 【详解】设该扇形的半径为，弧长为，面积为， 由已知，则，， 所以， 所以当时，有最大值. 故答案为：. 10．(23-24高一上·重庆七校·期末)如图1，折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是 . 【答案】 【分析】由大扇形面积减去小扇形面积即可求得. 【详解】，由题意可得，扇形的面积是，扇形的面积是， 故扇面（曲边四边形）的面积是. 故答案为：． 地 城 考点02 三角函数的定义 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知角的终边经过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数定义求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 所以. 故选：D 2．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)在直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由单位圆及为锐角得，再由三角函数定义求. 【详解】由题意，又为锐角，故，则. 故选：D 3．(23-24高一上·重庆部分学校·期末)设角的始边为轴的非负半轴，则“”是“角的终边在第二象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义，结合充分必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，取，满足， 但此时角的终边在第一象限，即充分性不成立； 当角的终边在第二象限时，则终边上的任一点纵坐标都大于0， 故，即必要性成立； 所以“”是“角的终边在第二象限”的必要不充分条件. 故选：B. 二、多选题 4．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)下列说法不正确的有（ ） A．命题“，”的否定是“，” B． C．集合，，若，则或 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AC 【分析】根据全称量词的命题的否定方法判断A，根据三角函数的值的正负与象限的关系判断B，由可得，根据集合的包含关系判断C，根据一元二次方程的根与系数关系判断D. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，A错误； 对于B，角在第一象限，角在第二象限，角在第二象限， 所以，，，所以，B正确； 对于C，， 由，可得，又， 所以或或， 所以或或，C错误； 对于D，关于的方程有一正一负根的充要条件为，即， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，D正确； 故选：AC. 5．(24-25高一上·重庆九龙坡区·)若，则下列与角终边可能相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出或即可判断各选项. 【详解】因为，所以或， 所以与角终边可能相同，与角终边不相同，故C正确，D错误； 令或， 在中，令得， 所以与角终边不相同，与角终边可能相同，故B正确；A错误. 故选：BC 6．(23-24高一上·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)下列说法正确的有（    ） A．的最小值为2 B．最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BC 【分析】根据基本不等式的应用，结合选项依次求解即可. 【详解】A：当时，， 当且仅当即时等号成立，故A错误； B：， 当且仅当即时等号成立，故B正确； C：， 当且仅当时等号成立，故C正确； D： 当且仅当时等号成立，故D错误． 故选：BC 地 城 考点03 同角三角函数基本关系式 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：D 2．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入函数解析式，化简可得答案. 【详解】 . 故选：B 3．(23-24高一上·重庆部分学校·期末)已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的基本关系式，结合角的范围即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 则. 故选：A. 二、填空题 4．(23-24高一上·重庆长寿区·期末)已知，则的值为 【答案】 【分析】根据同角三角函数商的关系和平方关系列方程组求解. 【详解】， ①，且， 又②， 由①②得. 故答案为：. 5．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)声音是由于物体振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数．我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音，一般地，我们听到的声音的函数可以表示为．记，，则的值域为 ． 【答案】 【分析】由题意得到，结合换元法，借助二次函数即可求解； 【详解】由题意可得： 令，平方可得：，代入上式得 ， 结合二次函数易得： 即的值域为 故答案为： 地 城 考点04 三角函数诱导公式 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)下列哪一组中的函数与是同一个函数（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用相同函数的定义逐项判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，A不是； 对于B，函数的定义域为R，函数的定义域为，B不是； 对于C，函数与的定义域都为R，且，即对应法则相同，C是； 对于D，与对应法则不同，D不是. 故选：C 2．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)在平面直角坐标系中，已知点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由诱导公式可判断的正负，即可判断出答案. 【详解】由于，而， 故点在第三象限， 故选：C 3．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式计算直接得出结果. 【详解】由题意知，. 故选：A 4．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)已知角终边上一点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的定义可得，再由诱导公式化简，即可得到结果. 【详解】根据题意，由三角函数的定义可得， 则. 故选：D 5．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，再利用诱导公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 6．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)已知点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由诱导公式可得，后由弧度制结合象限角三角函数值符号可得答案. 【详解】由诱导公式，，则. 又，则，即点P在第四象限. 故选：D 二、多选题 7．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)下列选项各函数值符号为正的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据诱导公式，，可判断A；利用诱导公式可判断B；由7为第一象限角可判断C；由诱导公式可得，从而可判断D. 【详解】对于A，， 因为为第四象限角，所以，故A错误； 对于B，， 因为为第二象限角，所以，故B正确； 对于C，，因为为第一象限角，所以，故C错误； 对于D，， 因为为第一象限角，为第一象限角，所以， 故，故D正确； 故选： BD. 三、填空题 8．(24-25高一上·重庆字水中学·期末)计算： ． 【答案】/ 【分析】根据诱导公式逐步计算可得结果. 【详解】. 故答案为：. 四、解答题 9．(24-25高一上·重庆字水中学·期末)已知角是第一象限角，且________．在①，②从这两个条件中任选一个，补充到上面的横线中，并解答下面两小题． (1)求的值； (2)求的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系或解方程可得结果. （2）通过诱导公式化简，代入数值求解或者利用齐次式求值. 【详解】（1）选择条件①：∵角是第一象限角，， ∴，故. 选择条件②：∵，∴或， ∵角是第一象限角，∴. （2）选择条件①： . 选择条件②： . 10．(24-25高一上·重庆九龙坡区·)（1）已知点是角的终边上一点，求和的值； （2）已知为锐角，且，求的值. 【答案】（1）；；（2） 【分析】（1）根据三角函数的定义可得，即可利用诱导公式求解， （2）解方程得，即可利用齐次式代入求解. 【详解】（1）由于点是角的终边上一点，故， 故 ； （2）由可得， 由于为锐角，故，进而， 所以 11．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)化简或计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）由指数函数和对数函数的运算性质得到结果. （2）由半角和全角公式化简得到结果. 【详解】（1） （2） 12．(23-24高一上·重庆七校·期末)已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助弦化切计算即可得； （2）借助诱导公式化简后，由（1）中所得结合三角函数基本关系计算即可得. 【详解】（1），解得； （2）由（1）知， 又由， 因为，且，所以， 有，可得， 所以. 13．(23-24高一上·重庆九龙坡区·)已知，且是第二象限角． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设有，分母应用平方关系作“1”的代换，结合，且，可求角的正切值； （2）应用诱导公式可得，应用齐次运算及（1）结论求结果. 【详解】（1）由，则， 又是第二象限角，则，且， 所以，则， 综上，. （2）原式. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07三角函数的定义及诱导公式 ☆4大高频考点概览 考点01角度值弧度制及其应用 考点02三角函数的定义 考点03同角三角函数基本关系式 考点04三角函数中的诱导公式 目目 考点01 角度制弧度制及其应用 一、单选题 1.(24-25高一上重庆南开中学校期末)已知一个扇形的圆心角为 ,且所对应的弧长为刀，则该扇形面积 为() A. B. 3」 C.2π D.3π 2.(24-25高一上·重庆第八中学校期末)已知扇形的周长为6，则该扇形的面积最大值为() B.9 C.2 D.1 3.(2425高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由 三体文明使用强互作用力(SM)材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水 滴.如图所示，水滴是由线段AB,AC和圆的优弧BC围成，其中AB,AC恰好与圆弧相切若圆弧所在圆 的半径为1，点A到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为() A.52 2+3 B.3+8n 3 C.3+ 3 D.2W5+4r 4.(23-24高一下·重庆部分区·期末)若一个扇形的半径为1，圆心角为30，则该扇形的面积为() A.15 B.30 c音 D. 6 5.(23-24高一上·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)在扇形OAB中，已知弦AB=2,∠A0B=60°，则扇形OAB 的面积为() 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B. 2π 3 C.n D.智 6.(23-24高一上·重庆期末)己知扇形的面积为4m2,圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为() A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 二、填空题 7.(24-25高一上重庆第一中学校期末)已知扇形的半径为2，圆心角为1，则扇形的周长为 8.(24-25高一上·重庆长寿区期末)已知某扇形的周长为6，圆心角为4弧度，则该扇形的面积 为 9.(23-24高一上·重庆南开中学校期末)南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来： 轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.如图所示，展开的折扇可看作是从一 个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条2米长的紫色丝带围成一个扇形展示框，则该展示 框的面积最大值为」 O 10.(23-24高一上·重庆七校期末)如图1，折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的 扇子，如图2的扇形AOB,其中∠AOB=120°，AC=2OC=6,则扇面（曲边四边形ABDC)的面积是」 0 图1 图2 目目 考点02 三角函数的定义 一、 单选题 1.(24-25高一上重庆西南大学附属中学校期末)已知角的终边经过点(-1,2)，则sina的值为( A.-⑤ B. C.-25 D.25 5 5 2.(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校期末)在直角坐标系x0y中，锐角α的顶点为坐标原点，始边与 3 x轴的非负半轴重合，若终边与单位圆交于点A 5, 则sina=() A B.5 c.5 D.5 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 3.(23-24高一上·重庆部分学校期末)设角a的始边为x轴的非负半轴，则“sina>0”是“角a的终边在第二 象限”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多选题 4.(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)下列说法不正确的有（) A.命题“x>1,x2-x>0”的否定是“3x≤1，x2-x≤0” B.sinlcos 2 tan 3>0 C.集合4={xr2-5x+4=0,B={xar-1=0,若4U8=4,则a=1或号 D.“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根”的充要条件 5.(2425高一上重庆九龙坡区)若ina:-5,则下列与角a终边可能相同的角是（) 2 A.2x 4π 3 B. C.2m-号ke2 D.2 6.(23-24高一上·重庆渝中区巴蜀中学校期末)下列说法正确的有() A.f(x)=lgx+ 一的最小值为2 l B.f(x=lnx1-2nx最大值为 C.fx=2m+2的最小值为22D.fx)=cos+1的最小值为2 sin2x cos?x 目目 考点03 同角三角函数基本关系式 一、单选题 1.(24-25高一上重庆西南大学附属中学校期末)已知tana=-1,则2cos2a-sin2a=(） A身 B c. D. 2.(24-25高一上重庆长寿中学、江津中学七校联考期末已知f9)=1-sim6+100cos0 cos0+100+100sin0 则/孕的值 为() A.1+V2 B.√2-1 C.1+V2 D.V2-1 2 8 2 3.2324高一上重庆部分学校期末)已知cos0=,0e(元，2，则a0=() 5 A B. C.3 4 D. 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、填空题 4.(23-24高一上重庆长寿区·期末)已知tana=2,a∈[0，π，则cosa的值为 5.(24-25高一上·重庆南开中学校期末)声音是由于物体振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音 合成的，纯音的数学模型是函数y=Asot.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合， 称为复合音，一般地，我们听到的声音的函数可以表示为y=simr+sin2x+,sin3x+sin4x+.记 不到=sm=m+n2x,F=到++引，则F倒的值线为。 目目 考点04 三角函数诱导公式 一、单选题 1.(24-25高一上重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)下列哪一组中的函数f(x)与g(x)是同一个函数 () A.f)=x-1,g()=1 B.f(x)=x2,g(x)=(x) C.f(x)=x2,g(w)= D.f(x)=sinx, 2.(24-25高一上·重庆黔江区·期末)在平面直角坐标系中，已知点P 4,cos3, 则点P在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 π 3.(24-25高一上重庆第一申学校期若sima=3,则cosa-2, 的值为() B.12 13 C、2 13 4.Q425高一上重伏主城区六校联考期末已知角a终边上一点P3,-4,则co径+Q]的值为() A B. 3 5 5224商-上里庆育木关中学饺期末内已知sm怎5，则时+-() A.±⑤ B.5 C.2v5 D.±25 5 5 J 6.(23-24高一上重庆南开中学校期末)已知点P(cosπ+2)，sin(2π-2)，则点P在() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 二、多选题 7.(24-25高一上重庆第八中学校期末)下列选项各函数值符号为正的是() A.sinl000° B.tan-2100 7π sin- C0Sπ C.sin(-7) D.- 10 17元 tan 9 三、填空题 8.(24-25高一上重庆字水中学期末)计算：sin 四、解答题 9.(24-25高一上重庆字水中学期末已知角0是第一象限角，且一·在①sina=6,② 3 tan2a+√2tana-4=0从这两个条件中任选一个，补充到上面的横线中，并解答下面两小题. (I)求tana的值； a求m时a+)con(a-3刘-25cma+受）ma-号引的i 2 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 10.(24-25高一上重庆九龙坡区)(1)已知点P(-3,4)是角a的终边上一点，求sin(2π-a)和sin 的值： (2)已知0为锐角， 且-an =tan0,求3sin0-cos0的值 1+tan sine+cos0 11.(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)化简或计算下列各式： ()[(-3)2]下-(m元-10)°+log而5+lg4-5gs0: tan(3元-a)cosa+z sin 3+ 2 2 (2 sin(a-5π)cos 12.(23-24高一上重庆校期末)已知2cosa+simg=2 sina-cosa (I)求tana的值： / 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若π<a<2π，求 的值 (-a) 13.(23-24高一上重庆九龙坡区)已知sina+cosa:-5 且α是第二象限角。 (I)求tana的值； (2)求tan(3π+a)+ n任小m-a的t. cosπ+a)-sin2元-a）