专题06 函数方程及应用（期末真题汇编，重庆专用）高一数学上学期人教A版

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06函数方程及应用 ☆4大高频考点概览 考点01零点存在定理及应用 考点02函数模型及应用 考点03由函数零点求参数 考点04函数等高问题 目目 考点01 零点存在定理及应用 一、单选题 1.(24-25高一上重庆长寿区期末)已知函数∫(x)=3+x,g(x)=1nx+x,h(x=x+x的零点分别为x,x2, ,则x,x2,x的大小顺序为() A.X<X2<X3 B.x:<x,<X C.x2<x1<x3 D.x<x<x2 2.(24-25高一上·重庆黔江区·期末)函数f(x)=nx+2-7的零点所在区间是() A.(1,2 B.(2,3 C.(3,4) D.(4,5) 3.(23-24高一上·重庆青木关中学校期末)方程x2+lx-5=0的解所在区间可以为() A.（0,1 B.1,2 C.（2,3 D.（3,4 4.(23-24高一上重庆南开中学校期末)已知5-a=lna,b=1og43+10g,17,7+24=25,则以下关于a,b,c的 大小关系正确的是() A.b>c>a B.axc>b C.bxaxc D.a>b>c 5.(23.24商一上重庆部分区期未)函数y= -ln(x+)的零点所在区间是() x+1 A.(0,1 B.1,2 C.（2,3 D.（3,4 6.(23-24高一上重庆七校期末)函数f(x)=2与g(x:)=--1的交点所在的一个区间是() 5 A.（-7,-6) B.（-6,-5 C.（-5,-4 D.-4,-3) 7.(23-24高一上重庆部分学校期末)设函数fx)=2023e+20241nx,满足f(af(b)f(c<0, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (0<a<b<c),若f(x存在零点x,则下列选项中一定错误的是() A.xe(a,b)B.x∈b,c C.x∈a,c D.x∈c,+oo 8.(23-24高一上重庆长寿区期末)已知函数f(x=3+x,gx=log:x+x,h(x=x3+x的零点分别为a,b, c,则a,b,c的大小顺序为() A.a>b>c B.bxcxa C.c>b>a D.a>c>b 二、填空题 9.(23-24高一上·重庆北碚区·期末)用二分法求图象是连续不断的函数∫(x)在x∈(3,5)内零点近似值的过程 中得到f(3)<0,f(4)<0,f(5)>0,则函数的零点落在区间 三、解答题 10.(24-25高一上重庆第一中学校期末)已知函数f(x)=1og24+4)-x-3 (1)求∫(x)所有零点之和： (2)证明：f(x)-f(2-x)为定值； (3)对任意t∈1,2]均有ft2+2)≥f(2t-1),求实数2的取值范围， 目目 考点02 函数模型及应用 一、单选题 1.(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)某催化剂的活性指标K(单位：kgPP/gCat)与反应温度t(单 位：℃)满足函数关系：K=e“+b(其中a,b为常数)，若在20C时的活性指标为13kgPP/gCat,在40℃ 时的活性指标为85kgPP/gCat,则该催化剂在50C的活性指标为() A.252kgPP/gCat B.247kgPP/gCat C.227kgPP/gCat D.127kgPP/gCat 二、填空题 2.(23-24高一上·重庆部分学校期末)由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国某科技公司为突破“芯片卡脖 子问题”，实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划在2024年全年投入芯片制造研发 资金60亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超 过100亿元的年份是」 (参考数据：lg1.09≈0.037,1g2≈0.3010，lg3≈0.4771) 三、解答题 3.(24-25高一上·重庆部分区·期末)高一数学兴趣小组开展数学建模活动，据统计，一个月内（以30天计）， 每天到影院观看某部电影的人数M与第x天间的关系近似满足函数M(x=+600(k为正实数)，且第 10天的观看电影的人数为612人观看电影的群众的人均消费P(x)(单位：元)与第x天近似地满足下表： 5 12 18 24 29 30 P(x) 50 64 76 64 54 52 为了描述人均消费与第x天的函数关系，现有以下三种函数模型供选择： ①Px=ax+b; ②P(x)=ax-18+b; ③Px=ae+b; (1)请选择你认为最符合表格中数据关系的函数模型，并求出其解析式： (2)若第x天在此影院观看该部电影的群众总消费为f(x)(单位：元)，求∫(x)的最小值.（注：每天在此 影院观看该部电影的群众总消费=每天的观影人数M(x)×人均消费P(x),1≤x≤30且x∈Z.) 4.(24-25高一上·重庆第八中学校期末)环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型 号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速60km/h.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M(单 位：Wh)与速度v(单位：km/h)的下列数据： 0 10 40 60 M 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：M,v)=300log,v+b, 厨学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 M2(y)=1000 3 ta,M;(v)=v+bv+cv. 40 (1)当0≤ⅴ≤60时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式： (2)现有一辆同型号汽车从A地驶到B地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路，若已知高速 路上该汽车每小时耗电量N(单位：Wh)与速度的关系是：N()=v2-60v+6400(60<v≤120)，则如何 行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 5.(2425高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考期末)某电脑公司为了提高产值，预计生产电脑的固定 成本为200万元，每生产x千台电脑，需投入成本R()万元，R)=700x-1000-1250按前几年的统计数 据，最少生产0.4万台，最多每年生产1万台电脑.已知每台电脑的售价为1.1万元，且假设全年内生产的电脑 当年能全部销售完 ()以利润L(万元)为函数y,年产量x(千台)为自变量，求函数解析式； (2)求当年利润的取值范围 6.(24-25高一上·重庆九龙坡区)随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道 路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵的有效措施某市城市规划部门为了提高早晚高 峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度￥（单位：千米/小时）和车流密度x(单 50,0<x≤30 位辆/千米)所满足的关系式：v= 60-1200,30<x≤105'研究表明：当隧道内的车流密度达到105辆/千米 125-x 时造成堵塞，此时的车流速度是0千米小时 (1)若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度x的取值范围； (2)隧道内的车流量y(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足y=xV,求隧道内车流量的最 大值（精确到1辆/小时），并指出车流量最大时的车流密度（精确到1辆千米） 7.(23-24高一上·重庆长寿区·期末)长寿工业园区某工厂产生的废水经过滤后排放，过滤过程中污染物含量 y（单位：mgL)与时间x(单位：h)间的关系为：y=me“,其中m,k是正实数.如果在前2h消除了10% 的污染物 (I)求k的值： (2)若污染物剩余10%就达到排放标准，求污染物达到排放标准至少需要多少时间？ (精确到1h)(参考值：ln10≈2.30，n0.9≈-0.10) 8.(23-24高一上重庆七校期末)为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其 扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后20年内在此基础上，每年投入的研发 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 资金数比上一年增长10%.（参考数据1og12≈7.3) (1)以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第x年该企业投入的研 发资金数y(万元)与x的函数关系式以及函数的定义域： (2)该企业从哪年开始投入的研发资金数将超过1200万元？ 9.(23-24高一上重庆九龙坡区)某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万到500万元的新增小 微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加， 且资金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%· 0)若该地方政府采用函数=15r-320作为奖励模型，当本地某新增小微企业年产值为92万元时，该 x+8 企业可获得多少奖金？ (2)若该地方政府采用函数∫x=15x-“作为奖励模型，试确定最小正整数a的值。 x+8 10.(23-24高一上重庆第一中学校期末)地铁作为城市交通的重要组成部分，以其准时、高效的优点广受 青睐某城市新修建了一条地铁线路，经调研测算，每辆列车的载客量∫（单位：人）与发车时间间隔t(单 位：分钟，且3≤1≤20)有关：当发车时间间隔达到或超过8分钟时，列车均为满载状态，载客量为935 人；当发车时间间隔不超过8分钟时，地铁载客量了与171-136+68成正比，假设每辆列车的日均车票 收入y=2 17t (单位：万元) (1)求y关于t的函数表达式： (2)当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出该最大值， 11.(23-24高一上重庆南开中学校期末)长时间的实践表明，冲泡绿茶用90℃开水最为合适，饮用时茶水 温度在50℃至60℃之间口感最佳.已知环境温度为T,,物体温度为T时，经过x分钟后物体温度T满足 T©，其中k为常数，菜实验小组通过数据收集，计算得常数k二，假设近期室 10℃. (1)以90℃开水冲泡绿茶，经过8分钟后茶水温度约为多少？ (2)早上张老师到办公室上班，先用90℃开水泡好一杯绿茶，然后去教室看早自习，再回到办公室准备喝茶， 请帮张老师计算一下他泡的茶水能保持最佳口感的时长。 (注意：本题结果都保留两位小数，参考数据e≈2.72，ln2≈0.69，ln5≈1.6) 12.(23-24高一上重庆第八中学校期末)北京时间2023年12月15日21时41分，我国在海南文昌航天发 射中心用长征五号运载火箭成功将遥感四十一号卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功据了解， 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 M 在不考虑空气动力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=y+。·l 一计算火箭的最大速度v(单位： M- 米秒)，其中。（单位：米秒）是喷流相对速度（即喷流相对火箭箭体喷出的速度，由火箭发动机性能决 定，运动过程中视为常数)，”，是指火箭的初始速度（单级火箭初始速度视为0，二级火箭”，视为上一飞行 阶段火箭的最大速度)，在每个飞行阶段中，m(单位：吨)是火箭消耗的推进剂的质量，M(单位：吨) 是指火箭在该阶段的总质量（含推进剂）、 一称为总质比，已知A型火箭是一枚单级火箭，B型火箭 是一枚二级火箭，它们的喷流相对速度均为1000米/秒.（参考数据：n10≈2.3,2.718<e<2.719). (1)B型火箭飞行时会经历两个飞行阶段，先点燃一级助推器，一级助推器燃料耗尽后将其抛掉，再点然二 级火箭进入第二阶段，B型火箭的总质量共12吨，其中一级助推器总重量7吨，装载了6吨推进剂，二级 火箭总重为5吨，装载了4吨推进剂，求理想状态下B型火箭的最大速度； (2②A型火箭只有一个飞行阶段，经过技术改进后其喷流相对速度提高到了原来的？倍，总质比变为原来的 若要使A型火箭在理想状态下的最大速度至少增加50米/秒，求在技术改进前总质比的最小整数值 1 13.(23-24高一上·重庆部分区·期末)学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时 间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位：分) 的函数关系，要求及图示如下： ①函数是区间[0,60]上的增函数； ③每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分： ④每天运动时间为20分钟时，当天得分为2分； ⑤每天运动时间为60分钟时，当天得分不超过5分. 现有以下三个函数模型供选择： (I)y=c+M>0,(I)y=k2+6>0,（mDy=k80+2+a>0). (1)请你根据条件及图像从中选择一个合适的函数模型，并求出函数的解析式： (2)求每天得分不少于3分，至少需要锻炼多少分钟.（注：√2≈1.414，结果保留整数）， 目目 考点03 由零点求参数范围 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 一、单选题 1.(24-25高一上·重庆巴川量子学校期末)己知函数f(x) og,,x>0若函数 3,x≤0， gx)=[f(x]-2(m+小f(x)+4m恰有5个零点，则实数m的取值范围是() A.(0, 02 c.a D.(0,1 e-1,x≤1 2.(24-25高一上重庆九龙坡区)已知函数f(x)={ 2-6x+7,x>1'其中c为自然对数的底数，若函数 gx)=∫(x)-k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是() A.（-2,2) B.(-2,e-1] C.（-1,2 D.（-l,e-1 二、多选题 3.(24-25高一上重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)给定函数f(x)=x-1,g(x)=(x+1)2,x∈R,若 xeR,用mx)表示f(x，,gx中的较小者，记为函数mx)=min{f(x),gx},下列说法正确的是() B.函数m(x的单调递减区间为-0，-1,0,1 C.方程m(x)-a=0有两个根，则ae(1,+o) D.若存在常数b≥2，使得mb)=m(2-b)成立，那么b的最小值为5 4.(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校期末)已知函数f(x是定义在R上的奇函数，且满足 f(x)=f(2-x),当x∈[0，时，f（x)=2-1,则下列说法正确的有() A.f2024)=1 B.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 C.若关于x的方程fx)-og。(x+)=0(a>1)至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实 数a的取值范围是[2,6) 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.令e-3:,素请线7=到+1与=拾有m个交a,y小，化小，，化 则2(x+)=3m 三、填空题 2-3,x<2 5.(23-24高一上·重庆九龙坡区)已知函数f(x)= 3(x-aj(x-2a,x≥2若a=2,则f的最小值 为一；若函数f(x)恰有两个零点，则正数a的取值范围是 四、解答题 6.(24-25高一上·重庆南开中学校期末)对于函数f(x),若∫(x)存在两个不同零点m,n满足m-n≤1，则 称函数∫(x)为“零点相近函数”. 4x-5 (x<2) (1)判断函数f(x)= ogx+2x-6(x≥2)是否为零点相近函数2 (2)设gx=2+2+2. （i)己知a∈(4,32，求证：函数y=gx-a为零点相近函数”； (ⅱ)若函数y=g(2x-1-k·gx-1+16为“零点相近函数”，求k的取值范围. 7.(24-25高一上重庆主城区六校联考期末)已知函数f(x)=lg10-1-lg10+1 ()求函数f(x)的定义域，并判断f(x)的单调性（不需要证明）： 回诺对红意正实数，部有f如+：+)s0相成立，求实数的取值同： (3)定义：若函数F(x)在区间m,n上的值域为m,n,则称区间m,n是函数F(x)的“完美区间”若函数 g(x)=f(x)-lgb存在“完美区间”，求实数b的取值范围 8.(23-24高一上·重庆青木关中学校期末)已知函数 f(x)=log. 4+1 2 8(=4-2(=lga2-9 3 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)若对于Vx,eR,3x2e[-1,1],使得f(x)+g(x)≥0成立，求实数t的取值范围； (2)若f(x与h(x)的图象有且仅有一个交点，求实数a的取值范围 9.(23-24高一上重庆青木关中学校期末)已知函数f(x)=1og2 1x为奇函数。 ax-1 (1)求实数a的值； (2)若xe(1,+o),判断并用定义证明函数f(x的单调性： )设r()=f- +k,且F(x)在区间[3,4上不存在零点，求实数k的取值范围. 10.(23-24高一上重庆江北区巴川量子学校期末)已知函数fx=10g2x+1,8(x=2-2. (1)求函数F(x)=[f(x)]-fx2)+1在区间2,4上的最大值： ②若函数(-8（小，且函数y=)g()-1的图象与函数y=4b-动+ g(x) -1的图象有3个不同的交 点，求实数b的取值范围. 11.(23-24高一上·重庆南开中学校期末)已知定义在R上的函数fx)=4-a·2,a∈R. (1)当a=1时，解关于的x不等式：f(x≥2； (2)若函数f(x)的图象与函数y=log2a-2)+x-1的图象恰有两个不同的交点，求实数a的取值范围. 12.(23-24高一上重庆部分区期末)已知函数f)=108x+ba,b∈R)的图象经过点L,0)和点(2，， a g(x)=x2-4x (1)求函数f(x)的解析式： (2)若关于x的方程f(x)+f(x-2k)=0在区间(L,2)上有实数根，求k的取值范围： 4 (3)设m>0,若对于任意x∈ 都有g(x)<-f(m-2)-3,求m的取值范围 13.(23-24高一上重庆第一中学校期末)已知函数f()=x-1 (1)请用单调性的定义证明函数f(x)在x∈(0，+∞)时为单调递增函数： (2)若关于x的方程af(1og2x)=(1og2x)2+(1og2)+2在区间[4,8]上有解，求实数a的取值范围. 目目 考点04 函数等高问题 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 一、单选题 3x+1-l,x≤0 1.(23-24高一上·重庆部分学校期末)己知函数f(x) x,x2,x3,x4是函数g(x=f(x)-m的 log;x,x>0 4个零点，且x<x,<,<,给出以下结论：①m的取值范围是(0,2：②3”+3”=写®x+4,的最小 值是4：④3”+3 的最大值是5其中正确结论的个数是() 2x3+x4 6 A.1 B.2 C.3 D.4 二、多选题 2-x,x≤1 2.(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知函数f(x)= og,x-儿，x>I'且关于x的方程fx)=a恰 有四个不同的根，从小到大依次为x,x2,x3,x4,则（) A.a∈[1,2) B.x1+x2+4x3+x4最小值为9 C.f∫(x)-∫(x=0恰有6个不同的根D.k,使得ff(x)=k恰有8个不同的根 3.(24-25高一上重庆第一中学校期末)已知函数f(x)= [logz (1-x),x<1 若方程f(x)=a的四个由小到 x2-6x+9,x≥1 大的实数根分别为X,x2,x,x,则下列说法正确的是() A.a∈(0,4) B.1+X2=XX2 c. D. 123+x),+5最大值为3-22 2 4.(24-25高一上·重庆黔江区·期末)已知函数f(x)= 1+x2x≥0 方程f(x=a有三个不同的根 l-2x<0且x≠-l. x x,x2,x,且x1<x2<x3,则下列结论正确的是（) A0a<月 B.x1+x3>0 C.<-1-2 D.+xx2+x=1 5.(23-24高一上·重庆部分学校期末)我们知道：函数y=f(x)为奇函数的充要条件是y=∫(x)的图象关于 专题06 函数方程及应用 4大高频考点概览 考点01 零点存在定理及应用 考点02 函数模型及应用 考点03 由函数零点求参数 考点04 函数等高问题 地 城 考点01 零点存在定理及应用 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆长寿区·期末)已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数的零点问题转化成两个函数图象的交点问题，三个函数的零点均可看成对应函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可以得到的大小关系. 【详解】 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 同理的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，可得， 因此， 故选：D. 【点睛】方法点睛：函数零点问题可以转化成两个函数图象的交点问题. 2．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出函数单调性，结合零点存在定理即可判断答案. 【详解】由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 又，，， ，， 即，故函数的零点所在区间是， 故选：B 3．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)方程的解所在区间可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由零点存在性定理判断即可. 【详解】方程所对应的函数为， 在上为增函数. ， ， 所以由零点存在性定理可知：方程的解所在区间为：. 故选：C. 4．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)已知，则以下关于的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点存在性定理可求解，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解的范围，即可比较大小． 【详解】由，令，则在定义域内单调性递增，且， 由零点存在性定理可得， ， 又，因此， ，可得， ，， ， ，，， ． 故选：D 【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据： （1）结合函数性质进行比较； （2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较； （3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小. 5．(23-24高一上·重庆部分区·期末)函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数在上连续且单调递减，分别计算，，，，，根据零点存在性定理可得结果. 【详解】当时，函数和都是减函数， 所以函数在区间上单调递减， ， ， 因为， 所以， 又，， 所以， 又函数在上连续， 根据零点存在性定理可得零点所在的区间为. 故选：. 6．(23-24高一上·重庆七校·期末)函数的交点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，再根据零点的存在性定理即可得解. 【详解】构造函数， 因为函数都是增函数， 所以函数是增函数， 又， 所以函数的零点在内， 即函数的交点所在的一个区间是. 故选：B． 7．(23-24高一上·重庆部分学校·期末)设函数，满足，，若存在零点，则下列选项中一定错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式可得函数的单调性，由单调性及确定的大小及正负，利用零点存在性定理即可得解. 【详解】因为在上为增函数， 所以在上为增函数， 又，所以， ， 或， 当时， 由存在零点，可知，此时AC选项正确，BD选项错误； 当时， 由存在零点，可知，此时ABC选项错误，D选项正确； 综上，选项中一定错误的是B选项， 故选：B. 8．(23-24高一上·重庆长寿区·期末)已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把函数的零点转化为两个函数的图象的交点的横坐标，画出图象，即可求解. 【详解】因为函数的零点即为与的图象的交点横坐标， 函数的零点即为与的图象的交点横坐标， 函数的零点即为与的图象的交点横坐标， 在同一坐标系内，分别画出函数的图象，如图所示， 由图象可得：，所以. 故选：B. 二、填空题 9．(23-24高一上·重庆北碚区·期末)用二分法求图象是连续不断的函数在内零点近似值的过程中得到，，，则函数的零点落在区间 . 【答案】 【分析】因函数在给定区间上连续，且，，，故由零点存在定理即可判断零点所在区间. 【详解】因函数是连续不断的，且，又有，，，由，而， 根据零点存在定理知，函数的零点落在区间上. 故答案为：. 三、解答题 10．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知函数 (1)求所有零点之和； (2)证明：为定值； (3)对任意均有，求实数的取值范围. 【答案】(1)2； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）令，得到，令可得，再用韦达定理即可求解； （2）通过化简发现，即可得到为定值； （3）先分析函数在上的单调性，再解不等式，得到在上恒成立，然后求解即可. 【详解】（1）令，则，即， 设，则，由于判别式，故此方程有两根，， 故有两个零点，，由韦达定理得，即，所以， 所以所有零点之和为2 （2） 所以（定值） （3）由第（2）问可知，所以的对称轴为 下面考察在上的单调性： 设，则单调递增且，设，则由对勾函数图像可知在时单调递增， 同时也单调递增，由复合函数单调性可知在上单调递增. 所以 所以在上恒成立 由于在上单调递减，故当时 由基本不等式，当时取等号，故 所以，即的取值范围为. 【点睛】方法点睛: （1）复合函数的单调性：内外层函数同增异减； （2）恒成立，则. 地 城 考点02 函数模型及应用 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)某催化剂的活性指标K（单位：kgPP/gCat）与反应温度t（单位：℃）满足函数关系：（其中a，b为常数），若在20℃时的活性指标为13kgPP/gCat，在40℃时的活性指标为85kgPP/gCat，则该催化剂在50℃的活性指标为（   ） A．252kgPP/gCat B．247kgPP/gCat C．227kgPP/gCat D．127kgPP/gCat 【答案】B 【分析】由方程，，求得即可求解. 【详解】由题意可得：，， 两式相减可得：， 所以， 所以或（舍去），即，所以， 所以该催化剂在的活性指标为. 故选：B. 二、填空题 2．(23-24高一上·重庆部分学校·期末)由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”，实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划在2024年全年投入芯片制造研发资金60亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过100亿元的年份是 . （参考数据：，，） 【答案】2030 【分析】根据题意列不等式，即可根据对数的性质求解. 【详解】依题意，设还需要年，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过100亿元， 则，故， 所以，又， 所以还需要6年，即2030年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过100亿元， 故答案为：2030. 三、解答题 3．(24-25高一上·重庆部分区·期末)高一数学兴趣小组开展数学建模活动，据统计，一个月内（以30天计），每天到影院观看某部电影的人数与第天间的关系近似满足函数（为正实数），且第10天的观看电影的人数为612人.观看电影的群众的人均消费（单位：元）与第天近似地满足下表： 5 12 18 24 29 30 50 64 76 64 54 52 为了描述人均消费与第天的函数关系，现有以下三种函数模型供选择： ①； ②； ③； (1)请选择你认为最符合表格中数据关系的函数模型，并求出其解析式： (2)若第天在此影院观看该部电影的群众总消费为（单位：元），求的最小值.（注：每天在此影院观看该部电影的群众总消费每天的观影人数人均消费且.） 【答案】(1)函数模型②满足要求， (2)第2天在此影院观看该部电影的群众总消费最小，最小值为29040元 【分析】（1）根据表格可知的值先增大，后减小，从而可得到函数模型②满足要求；然后根据表格中的数据代入函数的关系式即可求出答案； （2）根据即可求出的值，再分且和且两种情况分段讨论函数，从而可求得函数的最小值. 【详解】（1）由表格，可知的值先增大，后减小，所以显然，函数模型②满足要求， 又由表格可知，，，代入， 得，解得，，， 所以. （2）因为第10天的观看电影的人数为612人，所以，解得. 易知， 当且时，， 所以，当且仅当时等号成立. 当且时， ， 因为为减函数，所以. 综上知，第2天在此影院观看该部电影的群众总消费最小，最小值为29040元. 4．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，． (1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】(1)选择， (2)当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 【分析】（1）根据表格提供数据选出符合的函数模型，并利用待定系数法求得函数的解析式. （2）先求得耗电量的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案. 【详解】（1）对于，当时，它无意义，所以不合题意； 对于，它显然该函数是个减函数，这与矛盾； 故选择. 根据提供的数据，有，解得， 所以当时，. （2）国道路段长为，所用时间为， 所耗电量为:， 因为，当时，； 高速路段长为，所用时间为， 所耗电量为 ， 当且仅当，即时等号成立，所以； 故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时， 该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 5．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)某电脑公司为了提高产值，预计生产电脑的固定成本为万元，每生产千台电脑，需投入成本万元，.按前几年的统计数据，最少生产万台，最多每年生产万台电脑.已知每台电脑的售价为万元，且假设全年内生产的电脑当年能全部销售完. (1)以利润(万元)为函数，年产量（千台）为自变量，求函数解析式； (2)求当年利润的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据利润收入成本即可得结果； （2）直接根据对勾函数的性质即可得解. 【详解】（1）由题意得（） （2）由（1）可得：（）， 函数在区间单调递减，在区间单调递增， 当年产部时，，当年产部时，， 当年产部时，， 因此：当年产量为部时，公司所获利润最大，最大利润为万元，当产量为部时，公司所获利润最小，最小利润为万元， 综上所述：公司利润取值范围是：（单位万元）. 6．(24-25高一上·重庆九龙坡区·)随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵的有效措施.某市城市规划部门为了提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位:千米/小时）和车流密度（单位:辆/千米）所满足的关系式:，研究表明:当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时的车流速度是0千米/小时. (1)若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度的取值范围； (2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位:辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）. 【答案】(1) (2)隧道内车流量的最大值约为2700辆/小时,此时车流密度约为75辆/千米. 【分析】（1）根据分段函数的性质，列不等式即可求解， （2）根据基本不等式求解函数的最值即可求解. 【详解】（1）由可得 当时，，符合题意， 当时，令，可得， 综上可得 （2）由题意得， 当时,为增函数,所以,当时等号成立; 当时，， ， 故, 当且仅当，即时等号成立. 由于 所以,隧道内车流量的最大值约为2700辆/小时，此时车流密度约为75辆/千米. 7．(23-24高一上·重庆长寿区·期末)长寿工业园区某工厂产生的废水经过滤后排放，过滤过程中污染物含量y（单位：mg/L）与时间x(单位：h)间的关系为：， 其中m，k是正实数. 如果在前2h消除了10%的污染物. (1)求k的值； (2)若污染物剩余10%就达到排放标准，求污染物达到排放标准至少需要多少时间？ （精确到1h） (参考值： ） 【答案】(1) (2)46h 【分析】（1）根据题意，得到，结合指数与对数的运算，即可求解； （2）根据题意，得到，结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，过滤过程中污染物含量与时间间的关系为 当时，， 因为在前2h消除了10%的污染物，可得，即， 可得，所以. （2）解：由题意得，可得， 所以，即，解得， 故污染物达到排放标准至少需要46h时间. 8．(23-24高一上·重庆七校·期末)为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后20年内在此基础上，每年投入的研发资金数比上一年增长.（参考数据） (1)以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第年该企业投入的研发资金数（万元）与的函数关系式以及函数的定义域； (2)该企业从哪年开始投入的研发资金数将超过1200万元？ 【答案】(1)，， (2)年 【分析】（1）根据已知条件求得函数关系式以及函数的定义域. （2）根据已知条件列不等式，结合对数运算求得正确答案. 【详解】（1）由题设，第1年研发资金为：万元； 第2年研发资金为：万元；以此类推…… 故第年研发资金：且定义域为； （2）由（1）知：，即， 所以， 故从第年即年开始，每年投入的研发资金数将超过万元. 9．(23-24高一上·重庆九龙坡区·)某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金（单位：万元）随年产值（单位：万元）的增加而增加，且资金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的． (1)若该地方政府采用函数作为奖励模型，当本地某新增小微企业年产值为92万元时，该企业可获得多少奖金？ (2)若该地方政府采用函数作为奖励模型，试确定最小正整数的值． 【答案】(1)万元 (2) 【分析】（1）代入计算即可得，注意验证是否符合要求； （2）由题意结合函数性质计算即可得. 【详解】（1）当时，， 由，，符合要求， 故该企业可获得万元奖金； （2）， 由为正整数，故在上单调递增， 则有，解得，又， 即在上恒成立， 即，即. 故最小正整数的值为. 10．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)地铁作为城市交通的重要组成部分，以其准时、高效的优点广受青睐.某城市新修建了一条地铁线路，经调研测算，每辆列车的载客量（单位：人）与发车时间间隔（单位：分钟，且）有关：当发车时间间隔达到或超过8分钟时，列车均为满载状态，载客量为935人；当发车时间间隔不超过8分钟时，地铁载客量与成正比，假设每辆列车的日均车票收入（单位：万元）. (1)求关于的函数表达式； (2)当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出该最大值. 【答案】(1) (2)当分钟时，最大值为15万元． 【分析】（1）考虑和两种情况，代入临界数据计算，得到解析式． （2）考虑和两种情况，根据函数的单调性和二次函数性质，分别计算最值，比较得到答案． 【详解】（1）当时，，； 当时，，且当时，，解得， ，， 故； （2）当时，单调递减，故当时有最大值为； 当时，，当时有最大值为． 综上所述：当时有最大值为15万元． 11．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)长时间的实践表明，冲泡绿茶用开水最为合适，饮用时茶水温度在至之间口感最佳．已知环境温度为，物体温度为时，经过分钟后物体温度满足，其中为常数．某实验小组通过数据收集，计算得常数，假设近期室内温度均为． (1)以开水冲泡绿茶，经过8分钟后茶水温度约为多少？ (2)早上张老师到办公室上班，先用开水泡好一杯绿茶，然后去教室看早自习，再回到办公室准备喝茶，请帮张老师计算一下他泡的茶水能保持最佳口感的时长． （注意：本题结果都保留两位小数，参考数据，，） 【答案】(1) (2)到分钟 【分析】（1）由已知直接得到解析式，代入求解即可； （2）根据题意得到不等式，利用指数和对数的运算求解即可. 【详解】（1）由已知可得， 当时，， 所以以开水冲泡绿茶，经过8分钟后茶水温度约为； （2）由于饮用时茶水温度在至之间口感最佳， 所以，即， 所以，所以， 所以即， 张老师泡的茶水能保持最佳口感的时长为到分钟. 12．(23-24高一上·重庆第八中学校·期末)北京时间2023年12月15日21时41分，我国在海南文昌航天发射中心用长征五号运载火箭成功将遥感四十一号卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功.据了解，在不考虑空气动力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度（单位：米/秒），其中（单位：米/秒）是喷流相对速度（即喷流相对火箭箭体喷出的速度，由火箭发动机性能决定，运动过程中视为常数），是指火箭的初始速度（单级火箭初始速度视为0，二级火箭视为上一飞行阶段火箭的最大速度），在每个飞行阶段中，（单位：吨）是火箭消耗的推进剂的质量，（单位：吨）是指火箭在该阶段的总质量（含推进剂），称为总质比，已知型火箭是一枚单级火箭，型火箭是一枚二级火箭，它们的喷流相对速度均为1000米/秒.（参考数据：，）. (1)型火箭飞行时会经历两个飞行阶段，先点燃一级助推器，一级助推器燃料耗尽后将其抛掉，再点然二级火箭进入第二阶段，型火箭的总质量共12吨，其中一级助推器总重量7吨，装载了6吨推进剂，二级火箭总重为5吨，装载了4吨推进剂，求理想状态下型火箭的最大速度； (2)型火箭只有一个飞行阶段，经过技术改进后其喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使型火箭在理想状态下的最大速度至少增加500米/秒，求在技术改进前总质比的最小整数值 【答案】(1)米/秒 (2) 【分析】（1）根据已知公式，结合公式中字母代表的意义、对数的运算性质进行求解即可； （2）根据题意列出不等式，根据对数的性质和对数函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）第一阶段：，， 所以最大速度为， 第二阶段，最大速度为， 因此理想状态下型火箭的最大速度为米/秒； （2）设， 要使型火箭在理想状态下的最大速度至少增加500米/秒， 则有 ，因为，所以， 因此技术改进前总质比的最小整数值为. 13．(23-24高一上·重庆部分区·期末)学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系．要求及图示如下： ①函数是区间上的增函数； ③每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ④每天运动时间为20分钟时，当天得分为2分； ⑤每天运动时间为60分钟时，当天得分不超过5分． 现有以下三个函数模型供选择： （Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）． (1)请你根据条件及图像从中选择一个合适的函数模型，并求出函数的解析式； (2)求每天得分不少于3分，至少需要锻炼多少分钟．（注：，结果保留整数）． 【答案】(1)选项模型（Ⅲ）， (2)37分钟 【分析】（1）根据一次函数与指对数函数的图象判断即可； （2）代入函数模型求解即可. 【详解】（1）由图可知，该函数的增长速度较慢， 对于模型（1），，为线性增长，不合题意； 对于模型（2），是指数型的函数，其增长是先慢后爆炸型增长，不合适； 对于模型（3），对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型（3）， 此时，所求函数过点， 则，解得，故所求函数为， 经检验，当时，，符合题意 综上所述，函数的解析式为 （2）由（1）得，因为每天得分不少于3分， 所以，即， 所以，即， 所以每天得分不少于3分，至少需要锻炼37分钟 地 城 考点03 由零点求参数范围 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆巴川量子学校·期末)已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出或，再就不同的情况分类求解即得参数的取值范围. 【详解】令，则， 故或， 令，则或，故或， 故有3个不同的解，且解异于. 故有一个解且有两个解且解不为， 故，且，，解得. 故选：B. 【点睛】思路点睛：嵌套方程的零点问题，应该利用换元法转化内外两个方程的解的问题，先考虑外方程的解，再考虑内方程的解，结合总的解的个数，考虑内方程中参数的变化形式即可. 2．(24-25高一上·重庆九龙坡区·)已知函数，其中为自然对数的底数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合指数函数和二次函数性质作出函数的大致图象，将有三个不同的零点转化为函数的图象与有三个不同的交点问题，数形结合，可得答案. 【详解】函数，作出函数的大致图象如图： 由有三个不同的零点，即函数的图象与有三个不同的交点， 结合图象，可得，即实数的取值范围是 故选：D 二、多选题 3．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)给定函数，若，用表示，中的较小者，记为函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的单调递减区间为 C．方程有两个根，则 D．若存在常数，使得成立，那么的最小值为 【答案】AB 【分析】求出的解析式并作出图象，代入求值可判断A；利用图象可判断B和C；分和两种情况求出的范围可判断D. 【详解】当时，，则， 因为，所以恒成立，即， 所以当时，； 当时，，则， 令，解得或，即， 令，解得，即， 所以当或时，；当时，； 综上，，作出的图象如下图： 对于A，，故A正确； 对于B，由图知，函数的单调递减区间为，故B正确； 对于C，方程有两个根，即有两个根， 所以和的图象有两个交点， 由图知，当时，和的图象没有交点； 当时，和的图象有两个交点； 当时，和的图象有四个交点； 当时，和的图象有三个交点； 当时，和的图象有两个交点， 所以当或时，方程有两个根，即，故C错误； 对于D， 当时，，由得，， 即，解得或（舍）， 当时，，由得，， 即，所以，即当时，恒成立， 综上或，所以的最小值为，故D错误. 故选：AB. 4．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的有（ ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．若关于的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数的取值范围是 D．令，若曲线与恰有个交点，，，，则 【答案】BCD 【分析】根据是奇函数且，求出周期和对称轴可判断A和B；根据的周期性和对称性作出的图象，令，将方程根的个数转化为两个函数图象交点的个数，可判断C；求出得到关于点对称，根据关于点对称，可判断D. 【详解】对于A，因为函数是定义在上的奇函数，所以， 又，所以， 即，，所以， 所以4是函数的周期， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 即函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，当时，， 根据的对称性及周期为4，可得出的大致图象： 令， 所以，且在单调递增， 若关于的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根， 即函数与函数的图象至少有2个，至多有3个不同的交点， 所以，解得，即，故C正确； 对于D，由已知，则， 则， 即函数关于点对称且过该点； 又因为， 所以，所以， 即函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于点对称且过该点， 因此，曲线与的交点也关于点对称， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于求出和关于同一点对称，从而得到两个函数图象的交点关于这点对称. 三、填空题 5．(23-24高一上·重庆九龙坡区·)已知函数，若，则的最小值为 ；若函数恰有两个零点，则正数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】若，分别计算分段函数每段的范围或最小值即可得的最小值；若函数恰有两个零点，分别计算分段函数每段的零点个数，结合函数性质即可得正数的取值范围. 【详解】若，则， 则当时，， 当时，， 故有最小值，综上，的最小值为； 若函数恰有两个零点， 当时，令，解得，符合题意， 即是的一个零点，则时亦有一零点， 当时，由为正数，令， 即或，则有且，即. 故. 故答案为：；. 【点睛】本题考查分段函数、指数型函数以及二次函数，重点在二次函数零点分布. 四、解答题 6．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)对于函数，若存在两个不同零点满足，则称函数为“零点相近函数”． (1)判断函数是否为“零点相近函数”？ (2)设． （ⅰ）已知，求证：函数为“零点相近函数”； （ⅱ）若函数为“零点相近函数”，求的取值范围． 【答案】(1)不是 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）由“零点相近函数”的定义直接判断即可； （2）（i）利用换元法结合“零点相近函数”的定义，将问题转化为有两个不同根，只需证明即可得，则问题可解； （ii）将原式化为，分析可得必须在有两个不同根，结合新定义即可求出k的范围. 【详解】（1）在单调递增，有唯一零点， 所以只需判断在是否有零点，由于在单调递增， ． 所以在没有零点，不是“零点相近函数”． （2）（ⅰ）函数的零点即方程的不同根，令，得，因为，必有两个不同根（设），即 则， 由于，所以 则由得：得证． （另证：因为，必有两－个不同根（设） 则由得：， ，从而成立．） （ⅱ）， 设，则原式化为，即（*）， 为偶函数，且在单调递增，，最小值为． 则要使得原函数为“零点相近函数”，有以下两种可能： 情形1：（*）式在有根，则在有根， 从而另一根在，满足“零点相近函数”定义， 此时得； 情形2：（*）式在无根，但有根在，若只有一个，此时对应的的根大于，从而两根之差超过1；所以要成为“零点相近函数”，只有两个不同t值在y轴同侧与产生的交点横坐标之差不超过1． 所以（*）式必须在有两个不同根，设为，令， 有 令，有 由（ⅰ）问可知，欲便，只需，即． 设，如果，则，则． 而所以， 从而由知，矛盾． 所以不成立．即恒成立．则， 综上：. 【点睛】对于新定义问题首先需要读懂定义，再结合定义进行求解或证明。另外已知函数零点求参数范围的问题通常采用参变分离的方法或结合二次函数的性质进行分析求解. 7．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)已知函数. (1)求函数的定义域，并判断的单调性（不需要证明）： (2)若对任意正实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”.若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围. 【答案】(1)，在上单调递增. (2). (3). 【分析】（1）由函数解析式直接求定义域，然后利用复合函数单调性判定； （2）把恒成立转化为求函数的最值问题，然后根据单调性求出最值即可； （3）根据完美区间的定义结合题设条件可得 与 在上至少存在两个不同的交点，然后利用基本不等式求出最值即可 【详解】（1）由 ∴ 定义域为 ∵， 因为是单调递增，所以单调递减，所以单调递增， 又单调递增，所以单调递增， ∴在上单调递增. （2）由题意，对任意，都有恒成立， 由得， ∴恒成立， 而 在上单调递增.， ∴， ∴ ， 令，因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，即， 则恒成立， 令在上单调递增， ∴，则， 综上：的取值范围为. （3）由（1）可知在在上单调递增， 设区间是函数的“完美区间”．则，， 可知方程在上至少存在两个不同的实数解， 即 在上至少存在两个不同的实数解， 所以与 在上至少存在两个不同的交点． 令，则， ∴， 由可得， 所以，直线与函数在时的图象有两个交点， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，当且仅当时，即当时，等号成立， 如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 直线与函数在时的图象有两个交点， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 8．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)已知函数. (1)若对于，使得成立，求实数的取值范围； (2)若与的图象有且仅有一个交点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得到，再由基本不等式得到在上有解，再结合基本不等式求出； （2）由已知把问题转化成设，则在上有且仅有一个根，再分，，利用二次函数的性质求出结果即可. 【详解】（1）由题知，， 因为，令，则， 在上有解， 设，则在上有解，即， 在上单调递减，在上单调递增， 时，时，. ，即的取值范围为. （2）据分析，只有一个解， 只有一个解. 设，则在上有且仅有一个根， 当时，时，与矛盾，故不符； 当时，的对称轴为， 由知，求得； 当时，的图象开口朝上，且， 则在上有且仅有一个根恒成立. 综上，. 9．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)若，判断并用定义证明函数的单调性； (3)设，且在区间上不存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上是单调递增的，证明见解析 (3) 【分析】（1）法一由对数函数的性质和奇函数关于原点对称得出；法二奇函数的定义和对数函数的性质得出； （2）由函数单调性的定义证明即可； （3）问题转化为求令在上有零点，则在上有解，再由单调性列出不等式，求出，再取补集即可. 【详解】（1）（法一）因为有意义时，， 又因为为奇函数，所以定义域关于原点对称， 即经检验适合题意. （法二）由知， 即，则， 经检验，时，无意义，故. （2）在上是单调递增的，证明如下： , 设，则， 由知，，则 且，所以 从而，即， 则在上是单调递增函数. （3）令在上有零点，则在上有解， 令， 由在上单调递增，在上单调递减知： ，即， 那么在区间上不存在零点时， 10．(23-24高一上·重庆江北区巴川量子学校·期末)已知函数，． (1)求函数在区间上的最大值； (2)若函数，且函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）首先化简函数的解析式，再根据对数函数的单调性，即可求函数的最值； （2）首先化简函数，利用换元法，转化为二次函数根的分布问题，即可求解. 【详解】（1）， ， ， 当，，所以的值域为， 所以函数的最大值为5； （2）， 令，则， ， 令，整理可得①， ，作出简图，如下， 当时，，显然不合题意， 当时，有两个根， 当时，有一个根， 因为函数的图象与函数的图象有3个不同的交点， 所以①式有两个根，且一根在区间内，另一根在区间内， 设， 则有或， 即或，解得， 所以实数的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是利用换元，化简函数，并将方程转化为，第二个关键点是通过的交点问题，转化为二次方程根的分布问题. 11．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)已知定义在上的函数． (1)当时，解关于的不等式：； (2)若函数的图象与函数的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，根据二次不等式以及指数函数单调性解不等式； （2）根据题意可知方方程在内有2个不同的根，换元，结合函数单调性分析可知在内有2个不同的根，分类参数结合对勾函数分析求解. 【详解】（1）当时，不等式即为， 令，可得，解得或（舍去）， 即，解得， 所以关于的不等式的解集为. （2）对于函数， 令，解得， 可知函数的定义域为. 令， 可得，即， 即方程在内有2个不同的根， 令，可得， 因为在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 可知方程有且仅有一个根1， 由题意可知：在内有2个不同的根， 即在内有两个根， 令，可知在内有两个根， 即与在内有两个不同的交点， 由对勾函数可知在内单调递减，在内单调递增， 当时，取到最小值2， 则，可得， 所以实数的取值范围. 【点睛】关键点睛：1.注意对数的真数大于0； 2.利用换元法和转化的思想，结合函数分析函数交点、零点以及方程的根. 12．(23-24高一上·重庆部分区·期末)已知函数的图象经过点和点，. (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在区间上有实数根，求的取值范围； (3)设，若对于任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将两点坐标代入计算即可求解. （2）利用零点存在性定理及对数函数的单调性列不等式组，解不等式组即可求解. （3）先求出的最大值，然后把问题转化为恒成立，构造函数，利用函数单调性求解参数范围即可. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以. （2）因为关于的方程在区间上有实数根， 所以令，则区间上有零点. 因为，所以， 又在定义域上单调递增， 所以在定义域上单调递增， 又函数在区间上有零点， 则，即， 所以，解得，所以的取值范围. （3）因为且，所以且， 因为，所以的最大值可能是或， 因为 ，所以， 只需，即恒成立， 设， 因为在上单调递增， 在上单调递增，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以，所以的取值范围是. 13．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)已知函数. (1)请用单调性的定义证明函数在时为单调递增函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用证明函数单调性的定义法即可证明结果； （2）根据条件，能过换元得到，其中，分离常量得，再利用双勾函数的单调性即可求出结果. 【详解】（1）任取，且， 则， 又，且，所以，， 得到，即，所以函数在时为单调递增函数. （2）因为，又， 得到， 令，易知在区间上单调递增，所以， 得到，又，故， 令，任取且， 则， 因为且，所以，则， 得到，即在区间上单调递减， 任取且，则， 因为且，所以，则， 得到，即在区间上单调递增， 所以，当时，， 所以. 地 城 考点04 函数等高问题 一、单选题 1．(23-24高一上·重庆部分学校·期末)已知函数，是函数的4个零点，且，给出以下结论：①m的取值范围是；②；③的最小值是4；④的最大值是.其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】作出的图象，结合图象判断①；对方程化简计算判断②；由对数的运算性质得出，利用基本不等式判断③④. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 因为是函数的4个零点， 所以直线与函数的图象有四个交点，且， 结合图象可知：，故①错误； 对于②，由图可知，，则，所以， ，则，所以， 所以，所以，故②错误； 对于③，当时，或， 结合图象可知，，由得， 即，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立，显然不满足， 所以，故③错误； 对于④，因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即的最大值是，故④正确. 综上，正确结论为④，共1个. 故选：A. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多选题 2．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（   ） A． B．最小值为9 C．恰有6个不同的根 D．，使得恰有8个不同的根 【答案】ABD 【分析】画出函数的图象后可判断A的正误，由图象的局部对称性可判断B的正误，利用换元法可判断CD的正误. 【详解】图像如下， 可知时，与恰有四个不同交点，所以A正确： 由对称性可知，而，所以， 则，所以， 当且仅当时等号成立，B成立： 对于，令， 则有两个不同根，， 各有四个不同根，共有八个不同根，所以C错误； 对于D，令在时有三个根：， 而有2个不同根，有4个不同根，有2个不同根， 共8个，所以D正确． 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：嵌套方程的零点问题，一般刻画出内外两个方程对应函数的图象，再根据外方程的解判断内方程的解，从而得到原方程的解的个数. 3．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知函数，若方程的四个由小到大的实数根分别为，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．最大值为 【答案】BCD 【分析】作出函数图象，即可判断选项A，然后求出方程的四个实数根，逐项分析即可. 【详解】作出函数图象 由图可知，故A错误； 且， 所以，，，， 验证可知，故B正确； 在时单调递增，故其范围为，故C正确， ， 取等条件，故D正确. 故选：BCD 4．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)已知函数若方程有三个不同的根，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分段讨论，结合复合函数单调性作出图象，由形可得A项；利用韦达定理与图象交点坐标求解BCD. 【详解】当时，， 因为在上单调递减，且， 又在单调递减， 则在上单调递增， 可得值域为； 同理，在上单调递增， 可得值域为； 当时，； 当时，， 根据对勾函数性质知在上单调递减， 则，则在上单调增， 可得值域为； 同理，当时，在上单调递减， 可得值域为； 作出图象如下： A选项：由条件曲线与有三个不同的交点， 故，故A正确； 令，得，由， 解得； 令，得， 由韦达定理知且，又由， 解得， B选项：，故B错误； C选项：因为，所以， 设，， 则在上单调递增， 由A项知，故，即，故C正确； D选项：因为， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：此题关键在于分段函数分段讨论，借助复合函数“同增异减”判断函数单调性分析函数值域，数形结合求解方程根的个数问题. 5．(23-24高一上·重庆部分学校·期末)我们知道：函数为奇函数的充要条件是的图象关于原点成中心对称：我们还可以将其推广为：若函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现已知函数为定义在R上的奇函数，又有函数，且函数与的图象恰好有2024个不同的交点，，…，，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意可得的图象关于对称，从而判断AB；再结合函数的图象的对称性，得到两函数交点的对称性，可计算CD. 【详解】由于函数为奇函数，则图象关于点成中心对称， 而函数为定义在上的奇函数， 所以的图象关于对称，故A错误，B正确； 又函数的图象也关于对称， 所以与的函数的交点关于对称， 不妨设， 所以， ， 所以，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD. 6．(23-24高一上·重庆·期末)已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由的图象，求出特殊点，结合条件逐一比较分析判断. 【详解】当时，，当时，，当时，， 由图像可知，，此时，解得，故A对； 因为关于对称，所以，又， ，故B对； 由，得 ，由，得 ， 由，得 ，故C错； ，故D对. 故选：ABD 三、填空题 7．(23-24高一上·重庆七校·期末)已知，若方程有四个不同的解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合函数的图象与性质知，，，将化简为，进而化简为，求出范围即可. 【详解】作出函数的图象：    方程有四个不同的解， 则，且，，所以， 则， 设，所以， 因为，所以，则， 所以则的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：函数零点问题要充分利用函数与方程的基本思想，并充分利用数形结合画出函数图象，利用图象即可求得参数范围以及零点问题. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $