专题04～05 指数函数与对数函数（期末真题汇编，重庆专用）高一数学上学期人教A版

专题04 指数函数 3大高频考点概览 考点01 指数函数过定点值域问题 考点02 指数函数单调性 考点03 指数函数不等式 地 城 考点01 指数函数过定点值域问题 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)函数的图象恒过定点，若点的坐标满足关于的方程，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据函数的图象恒过定点求出点坐标，代入，再利用基本不等式可得答案. 【详解】若函数的图象恒过定点，则， 所以， 因为，所以，当且仅当时取等号， 整理得， 解得，或舍去， 由解得， 即当时，取得最小值为6. 故选：C. 2．(23-24高一上·重庆第八中学校·期末)已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数型函数和分式型函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，函数单调递增，故有， 此时函数的值域为， 当时，函数单调递减，故有， 此时函数的值域为， 要想函数的值域为， 只需， 故选：B 二、填空题 3．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知函数，，则的值域为 . 【答案】 【分析】由题意，利用换元法（令）可将原函数变形为关于的二次函数，结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，则， 原函数可变形为， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取到最小值，为； 当时，得， 所以在的值域为. 故答案为： 4．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)函数且的定点为 . 【答案】 【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定定点的坐标． 【详解】因为且，令，得到，此时， 所以函数的定点为， 故答案为：. 5．(23-24高一上·重庆第一中学校·期末)函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用二次函数性质、指数函数性质求出值域即得. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 因此， 所以函数的值域是. 故答案为： 三、解答题 6．(24-25高一上·重庆长寿区·期末)已知函数是奇函数. (1)求的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得，即，变形分析可得答案； （2）根据题意，由指数函数的单调性可得，进而变形可得，即可得答案. 【详解】（1）由函数是奇函数，则， 即， 变形可得：，则有. （2）由（1）知， 又由，则，则有，则有， 变形可得：，即． 所以函数的值域为. 7．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若在上的最大值为0，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法结合同增异减可求参数的取值范围； （2）利用换元法结合二次函数的性质可求参数的值. 【详解】（1）令，则该函数为增函数， 因为在上单调递增，所以函数在上单调递增， 故，即. （2）令，则函数的最大值为0， ①当即时，，解得； ②当即时，，解得，舍去； 综上， 8．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)函数. (1)证明函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，若，求函数的最值； (3)已知，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)单调递增，， (3)或 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用指数函数的单调性判断；再利用的单调性求解； （3）令，由一元二次不等式的解法求得或，再利用函数在上单调性求解； 【详解】（1）解：由题意得：函数的定义域为， ， ，故：函数为上的奇函数. （2）在上为单调递增函数， 在上均为单调递增函数，则在上单调递增， 在区间也单调递增. ，. （3）令， ，解得：或， ①当时，即：， 函数在上单调递增，且. 故. ②当时，即：， 函数在上单调递增，且， ，故. 综上所述：或. 9．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)一般地，函数（，且）叫做指数函数.已知函数是指数函数，且. (1)求函数的解析式； (2)已知函数，求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数定义得到方程，解出值并检验即可； （2），设，再利用二次函数性质即可求出其值域. 【详解】（1）由题意有，解得或， 当时，，此时，舍去； 当时，，满足． （2）由题得，令，因为，则， ，， ，所以的值域为． 地 城 考点02 指数函数的单调性 1．(24-25高一上·重庆字水中学·期末)函数的减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可确定选项. 【详解】令，，则， ∵在上为增函数，在上为减函数， ∴的减区间为. 故选：B. 2．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)以下是函数的大致图像的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性可排除D，根据函数值的符号可排除B，根据趋势可排除C. 【详解】的定义域为，且， 故为奇函数，故排除D； 当时，，故排除B； 当时，，故排除C； 故选：A. 3．(24-25高一上·重庆巴川量子学校·期末)已知函数，对，且，都有不等式，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件推理判断函数在上为增函数，利用分段函数的单调性建立不等式组，求解即得参数范围. 【详解】对，且，都有不等式， 可知函数在上为增函数， 即，解得. 故选：A. 4．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)设函数，若有不相等的实数、，满足，则（ ） A．1 B．2 C． D．不能确定 【答案】B 【分析】由指数型函数性质，数形结合即可求解. 【详解】作的图象如图所示： 由题可知若有不相等的实数、，满足，不妨令，则， 所以，所以. 故选：B. 5．(23-24高一上·重庆第十一中学校·期末)若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要求分段函数的两段均递增，且左侧函数值不大于右侧函数值，列出不等式，计算即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 二、多选题 6．(23-24高一上·重庆部分区·期末)如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为（，且）.下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月的增长率为2 B．第6个月时，浮萍面积为 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则 【答案】BD 【分析】由函数图象经过可得函数解析式，再根据解析式逐一判断各选项即可. 【详解】由图可知，函数图象经过，即，则，所以， 所以不是常数，则浮藻每个月的面积是上个月的2倍， 则每个月的增长率为，故A错误，C错误； 当时，，故B正确； 若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则，，， 则，由指数函数的单调性知，故D正确； 故选：BD 三、填空题 7．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)若满足以下条件：①对于两个正实数，有；②的图象关于对称；③对于不相等的两个正实数，有成立，则的解析式可能为 . 【答案】(答案不唯一) 【分析】由指数函数的性质，图象关于对称，和对于不相等的两个正实数，有成立共同得出即可. 【详解】设，对于两个正实数，，故满足①； 图象为： 故满足②； 设，则，由指数函数的性质可知，故，所以满足③；当，则，由指数函数的性质可知，故，也满足③. 故答案为：(答案不唯一). 8．(23-24高一上·重庆部分区·期末)已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为 . 【答案】（或者，答案不唯一） 【分析】根据抽象函数关系，结合指数幂运算及指数函数性质判断函数即可. 【详解】由，知满足条件， 又时，，可得，故满足这两个条件的一个函数为. 故答案为：（或者，答案不唯一）. 地 城 考点03 指数函数不等式问题 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆部分区·期末)若函数是奇函数，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数为奇函数求得，再确定其单调性即可求解； 【详解】是奇函数，又定义域为, 所以，得，经检验符合； 所以， 由在上单调递增，易知在上单调递减， 又， 所以等价于， 所以， 所以不等式的解集为， 故选：A 二、多选题 2．(23-24高一上·重庆部分学校·期末)已知，，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】取特值可判断AD；由指数函数的单调性可判断B；作差法判断C. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，设，则在R上单调递增， 而，所以，故B正确； 对于C，， 因为，，所以，，， 所以，所以，故C正确； 对于D，取，，所以，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 3．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)已知函数，使得不等式成立的实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据的单调性和对称性，解出不等式即可 【详解】因为，定义域为关于原点对称，， 所以为偶函数，当时，为减函数，为减函数， 所以为减函数，所以在上单调递减， 在上单调递增； 则有不等式等价为, 即有 解得， 故答案为： 四、解答题 4．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)若函数为上的奇函数． (1)求的值，并判断函数的单调性（不用证明）； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)，函数在上单调递增， (2) 【分析】（1）结合奇函数的定义可得关系，列方程求，结合指数函数单调性判断函数的单调性， （2）根据函数性质化简不等式可得，令，换元可得，结合基本不等式可求的范围，由此可得结论. 【详解】（1）函数的定义域为，定义域关于原点对称， 所以， 所以. 所以， 因为函数为增函数，又， 所以函数为减函数， 所以函数为增函数，即函数在上单调递增， （2）因为在恒成立， 所以， 因为为奇函数，所以原不等式等价于， 因为为增函数，所以原不等式等价于， 令，所以原不等式可化简为， 即当，恒成立， 根据基本不等式，，当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为. 5．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知函数为奇函数. (1)求m的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据整理可得； （2）利用定义法，结合指数函数单调性证明即可； （3）利用单调性和奇偶性去掉函数符号，然后参变分离，利用基本不等式求解可得. 【详解】（1）因为函数为奇函数， 所以，即， 整理得，故. （2）设，且， 则， 因为，单调递增，所以， 所以，， 所以，即， 所以函数在R上单调递增. （3）因为函数为奇函数， 所以， 又因为在R上单调递增， 所以，即在区间上恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即a的取值范围为. 6．(23-24高一上·重庆第八中学校·期末)已知函数，的图像关于点中心对称. (1)求实数的值： (2)探究的单调性，并证明你的结论； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的平移性质，结合函数的对称性进行求解即可； （2）根据函数的单调性定义，结合指数函数的单调性进行判断证明即可； （3）根据函数的对称性和单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为函数，的图像关于点中心对称， 所以该函数向下平行一个单位，得到的函数的图像关于点中心对称， 即函数的图像关于点中心对称， 因此函数是奇函数， 于是有，即， 因为， 所以是奇函数，因此符合题意； （2）因为，所以， 设是任意两个实数，且， ， 因为，所以，因此， 所以函数是增函数； （3）因为函数，的图像关于点中心对称， 所以，即， 所以由， 因为函数是增函数， 所以，或， 解得，或， 因此原不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05对数函数 ☆6大高频烤点概览 考点01对数式的运算 考点02对数函数定义域值域 考点03对数函数奇偶性 考点04对数函数单调性 考点05对数函数比较大小 考点06对数函数综合 目目 考点01 对数式的运算 一、单选题 1.(24-25高一上重庆黔江区期末)计算1g2+lg50-2,3=() A.-2 B.-1 C.4 D.5 2.(24-25高一上·重庆巴川量子学校期末)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为5361，而可观 测宇宙中某类物质的原子总数N约为10”则下列各数中与 最接近的是() (参考数据：lg5≈0.7) A.1083 B.1093 C.10203 D.10213 3.(24-25高一上·重庆部分区·期末)若1gm-1gn=1,则有() A.mn=10 B.m-n=10 C.10m=n D.m=10n 4.(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考期末)若2lga(a>0)与lgb(b>0)互为相反数，则() A.a=b2 B.2ab=1 C.a'b=1 D.a2=b 1+1-1 5.(23-24高一上重庆青木关中学校期若10g7og,2,则1=（） A.25 B.12 C.48 D.144 6.23-24高一上重庆南开中学校期末已知如实数a>0,b>0a=2,且6+10g,0=则以下说法止确的是 () / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.log62a>1B.a2b的值为4或8C.9e=3 D.a+b的值为 9 二、填空题 7.(23-24高一上重庆期末)0.0013+1lg5+1g2= 8.(23-24高一上·重庆长寿区·期末)设函数f(x)= 且/列=72=®，则a+6= 9.(23-24高一上重庆七校期末)计算 +2log,4-log 4 10.(23-24高一上·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)(e-1°+1og291og,8=_一 三、解答题 11.(2425高一上陕西汉中镇巴中学·月考)计算下列各值 -2r-+ (2)(1og43+logg3)×(1og,2+log,2)-log232. 12.(23-24高一上·重庆北碚区·期末)化简求值 0）-105-2+20x6-5'+-325 500 g2+e,166lee 13.(23-24高一上·重庆部分区·期末)计算： (f+(0.08) 2 25 2+(元+1)°； (2)log 8+1g 0.01+In ve+3081. 目目 考点02 对数函数的定义域及值域 一、单选题 x2+2x-3,x≤0 1.(24-25高一上·重庆部分区期末)已知函数f(x)= 1-2+1og,xx>0,则f(-4=() 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.-3 B.-2 C.-1 D.5 2.(24-25高一上·重庆巴川量子学校期末)若函数f(x=lgx2+ax+I)的值域为R,则a的取值范围是() A.[-2,2] B.[-2,0 C.-0,-2]lU[2,+oo D.（-0,-2 3.(24-25高一上·重庆第八中学校期末)函数f(x)=lg 32+4 的值域为() 3x 2 A.(2lg2,+0B.(0,+0) C.（-1,+0 D.1g2,+c0) 4.(2324高一上重庆第八中学校期末)函数fx=-nx的定义域为() x-2 A.(e,+oo) B.2,e C.（-0,2 D.(0,2)U(2,e 二、填空题 In(4x-3) 5.(24-25高一上·重庆部分区·期末)函数y= 的定义域为」 V8x-7 6.(24-25高一上重庆巴川量子学校期末)函数f(x)= 1 n(r+3的定义域为 7.(24-25高一上·重庆九龙坡区)设f(x)= 3,x<0 则》 8.23.24商-上重庆青本关中学校期若f八x+3引可，当xe0,到时，八国=2+og!x+川，则 3 f(99)= 9.(23-24高一上重庆西南大学附属中学校期末)函数f(x)=lgx2+2x-3)的定义域为 10.(23-24高一上重庆渝中区巴蜀中学校期未函数f(x)=n(x2-)+1 的定义域为」 x+1 三、解答题 11.(24-25高一上重庆九龙坡区)已知函数f(x)=l1ogx(a>0且(a≠1在区间 4 上的最大值为1 (1)求a的值： 回当川到在定义域内是减函数时。令g=仔f任+，求g(到的定义域和值域 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(24-25高一上重庆西南大学附属中学校期末)己知函数∫(x=10g2x, 诺-}引店8 求g(x)的最小值、最大值及对应的x的值： (2)若函数f(x的定义域为，16]，令h(x)=-2[fx)]+f(x2)-1.求(x的最小值、最大值及对应的x的 值 目目 考点03 对数函数的奇偶性 一、单选题 1.(24-25高一上重庆南开中学校期末)已知定义在R上的奇函数f(x)满足fx+2)=-f(x),且x∈[0，时， 1 fx)=21-2,则f1og55 =() 17 9 B. C.3 D. 25 A. 32 8 8 8 2.(24-25高一上·重庆九龙坡区)已知f(x)=1og44+1)+c为偶函数，则实数k的值为() B.5 C.-1 D.1 二、填空题 3.(24-25高一上·重庆黔江区期末)已知f(x)是偶函数，gx是奇函数，且f(x+g(x)=n(e+1,则 f(x)的最小值为」 4.(23-24高一上·重庆长寿区八校期末)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0，f(x)=l0g,x+2)+m, 则f(-2)= 5.(23-24高一上重庆九龙坡区)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(4+x=f(x,当x∈(0,1时， 4047 fx)=l0g4x,则f 2 三、解答题 6.(24-25高一上重庆部分区·期末已知函数f(x)=log。（2+x)+log（2-x)(a>0,且a≠1)，f(-1)=1. (1)求a的值及函数f(x)的定义域： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由 7.(24-25高一上·重庆黔江区期末)已知函数f(x=10g2x. (1)若a≠-1，函数gx)=f x-a 是奇函数， x+1 (i)求a的值； (ⅱ)判断并证明g(x的单调性； 1-2m (2)若函数y= f(x)-m 与函数y=∫(x交于两点Ax,y1),B(x2,y2),若xx2+y2=271,求m的值 8.(23-24高一上重庆九龙坡区)已知函数f(x)=lg 4-m\, 其中m>0且f1)+f(-1=0. 4+x (1)求m的值和函数f(x的定义域； (②)判断并证明函数∫(x)的奇偶性： (3)求不等式∫(x)<0的解集 目目 考点04 对数函数的单调性 一、单选题 [x2-ax+1,x>2 1.(24-25高一上重庆西南大学附属中学校期末)已知函数f(x)= 1og(ar-2,1<x≤2'且对于 Y压，e,+m(:≠5)都满足->0，则实数a的取值范围是（ x2-X1 A.{2 B.[2,4 C.(0,4 2.(23-24高一上重庆青木关中学校期末)函数y=1og1(x-2x-8)的单调递增区间为() A.4,+0】 B.(-0,-2 C.(1,+o D.（-0,l 3.(23-24高一上·重庆渝中区巴蜀中学校期末)函数f(x)=1og2-x2+2x的单调递增区间为() A.（-0, B.(0,1 C.(1,2 D.(1,+o) 二、多选题 4.(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校期末)已知函数f(x)=1og,V2+1-x+3.则下列说法正确的是 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 () 1 A.函数f(x的图象关于点(0,3)对称 6 B.f(In2)+f In C.函数f(x)在定义域上单调递增 D.若实数a,b满足fa)+f(b)>6,则a+b<0 5.(23-24高一上重庆期末已知函数f(x)=lgx2-5x+4),则下列结论正确的是() A.函数f(x)的定义域是R B.函数f(x)的值域是R C.函数∫(x)的单调递增区间是(4，+oo) D.不等式f(x)<1的解集是(-1,6) 目目 考点05 对数函数比较大小 一、单选题 1.(24-25高一上·重庆部分区期末)设a=0.42,b=10g。40.2,c=l0g,0.4,则a,b,c的大小关系为() A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.b<c<a 2.(24-25高一上·重庆巴川量子学校期末)若a=lne3,b=log,4,c=log2,7,则() A.axb>c B.c>axb C.bxcxa D.axc>b 3.(24-25高一上·重庆第八中学校期末)已知x,=l0g23,x2=10g1o15,x=l0g2030,则() A.x1>x3>x2B.x1>x2>x3 C.x3>x1>x2 D.x3>x2>x 4.(24-25高一上重庆主城区六校联考期末)设a=0.43,b=0.34,c=l0go40.3,则a,b,c的大小关系为 () A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 5.(24-25高一上重庆九龙坡区)已知a=1og2+l0g49,5+12=13,则() A.b>2>a B.a>2>b C.b>ax2 D.a>b>2 二、多选题 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25高一上重庆部分区期末)已知函数f(x)=3-+x-1,g(x)=10g,(x-1)+x-1,h(x=(x-1)3+x-1的 零点分别为a,b,c,则有() A.c=1 B.a+b=2 C.a<c<b D.a<b<c 7.(24-25高一上重庆南开中学校期末)已知实数x,y>0,x+y=1,则() A.4+29 B.√F+Vy≥2 x y C.log2x+log2y≤-2 D.logy+log,x≥2 8.(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考期末)利用计算工具计算：当n=1时， 2:当 n=2时， ;当n越来越大时， 1+- 也越来越大，无限的趋近于©，那么下列说法正确的是() A.ln1.5)>0.5 B.5ln(1.2)<1 c.4 11 1 D.1+。+2+.+,>lnl1 23 10 三、填空题 9.(24-25高一上重庆长寿区期末)已知a=logo,5,◆b=ln2,c=57,则 (写出a,b,c的大小 关系) 目目 考点06 对数函数综合 一、多选题 1.(23-24高一上重庆西南大学附属中学校期末)函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为偶函数，且 f(x)=-(4-,当x∈-1,0)时，f(x)=x3,则下列说法正确的是（) A.f(x)在5,6上单调递增 B.f1+f(2)+…+f（2023)=0 C.函数y=f(x)-nx有2个零点 / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.若关于x的方程f(x=m(0<m<1)在区间[-2,8]上的实数根的之和为6 2.(23-24高一上重庆七校期末)定义：N{f(x⑧gx)}表示f(x)<gx的解集中整数的个数若 f(x)=log,x,g(x)=a(x-1)+2,则下列说法正确的是() A.当a>0时，N{f(x)⑧gx}=1 B.当a=0时，不等式f(x<gx)的解集是 44 C.当a=0时，N{f(x⑧gx}=4 D.当a<0时，若N{f(x⑧g(x)}=1,则实数a的取值范围是(-o,- 二、填空题 3.(24-25高一上重庆西南大学附属中学校期末)已知f10g,)=x-1+2.若 fa(e-)+1)+f(a-)e)≤4对任意xe(0,+o)恒成立，则a的取值范围为. 三、解答题 4.(24-25高一上·重庆部分区期末)我们知道，函数y=f(x)图象关于原点对称的充要条件是 f(-x)+f(x)=0,结合函数图象平移等知识，该结论可以推广为：函数y=f(x)图象关于点(a,b)(a,b∈R) 对称的充要条件是f(a-x)+f(a+x)=2b. 阅读以上材料，解答下列问题： (1)直接写出函数y=e-1-er+2图象的对称中心： (2)若函数f(x)=log2 4-x+2, x-2 ()求证：函数f(x)的图象是中心对称图形并求出对称中心点P的坐标； (i)己知函数g(x)的图象关于点(2,3)对称，且当x∈[2，+o)时，g(x)=-x2+6x-5,若对 g∈mm+3=曾，使得s)=,求实数m的取值范周 5.(24-25高一上重庆长寿区·期末)已知二次函数f(x=ax2+bx+c有两个零点-3,1，且f(2)=-5. (1)求函数f(x的解析式： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)已知函数gx)=ln(2-x+m,若xe[-2,0],3x2∈[-2,0]，使得f(x)<gx,)恒成立，求m的范围. 6.Q4-25高一上重庆九龙坡区)已知定义在R上的奇函数f灯=2”-0，其中a>0 2+1 (1)求a的值，并用定义证明函数f(x)的单调性； (2)求不等式2f(x)+ 2 f)+1≤3的解集， d版gl-片ac+号 1 mx2,若对任意的x∈，©，总存在x2∈[0,2]，使得g(x)=f(x)成立，求实数m的取 值范围， 7.(23-24高一上重庆西南大学附属中学校期末)已知函数f(x)=1og3(32x+1)+ax的图象经过点 0 A1,1og3 (1)求a值并证明fx的奇偶性； (2)设g(x)=1og,3+x+t),若关于x的方程gx)=f(x)在x∈[-1，上有解，求t的取值范围 8.(23-24高一上重庆南开中学校期末)已知指数函数y=a2-3a+3a'(a>0,a≠1)的反函数为y=f(x). (1)求函数y=f(x)的解析式： (2)已知函数g(x)=fx2+1,求不等式g(2x+1)<g3-x)的解集. 4高一上重庆渝中区巴蜀中学校期末已知函数fd=,，gx)=1og,(2 (1)解不等式2-1-1 2*+1>2 (2)方程g(x)=log4af(x)-log42*-1)(a>0)在[log23,2]上有解，求a的取值范围？ 10.(23-24高一上重庆七校期末)f(x)=1og:(4+-c为偶函数，8(x=x+a (1)求实数k的值； (2)若x∈[-2,0]时，函数f(x)的图象恒在g(x图象的上方，求实数a的取值范围； (3)求函数y=-4++g2+2)在x∈【-1,2]上的最大值与最小值之和为2020，求实数的值. 11.(23-24高一上重庆部分学校期末)已知函数g(x)=1og,-为奇函数 x+1 (I)求实数a的值： (2)判断函数g(x)的单调性，并用函数单调性的定义证明； 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 同存在e1+o,使在区同s个上的雀蚁为he心》os-引 求实数的取值范围 12.(23-24高一上重庆九龙坡区·)己知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且 f(x+2gx=e,其中e为自然对数的底数. (1)求f(x与gx的解析式： (2)若对Hx∈(ln2,+o),不等式f(2x)+1≥mg(x)恒成立，求实数m的最大值 专题05 对数函数 6大高频考点概览 考点01 对数式的运算 考点02 对数函数定义域值域 考点03 对数函数奇偶性 考点04 对数函数单调性 考点05 对数函数比较大小 考点06 对数函数综合 地 城 考点01 对数式的运算 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的定义及对数的运算性质，求解即可. 【详解】因为， 故选：B. 2．(24-25高一上·重庆巴川量子学校·期末)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙中某类物质的原子总数N约为.则下列各数中与最接近的是（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的整数部分后可得正确的选项. 【详解】因， 故， 故选：C. 3．(24-25高一上·重庆部分区·期末)若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则化简即得. 【详解】由，得，解得，所以. 故选：D 4．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)若与互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，再利用对数运算法则求解. 【详解】解：因为与互为相反数， 所以，即，， 所以， 故选：C 5．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)若，则（    ） A． B．12 C．48 D．144 【答案】D 【分析】由对数的运算性质计算得出结果. 【详解】由对数的运算性质可知. 故选：D. 6．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)已知实数，且，则以下说法正确的是（    ） A． B．的值为4或8 C． D．的值为 【答案】B 【分析】由，且可得或，后验证各选项即可得答案. 【详解】因，则，又， 则或. 则或，结合，得或. A选项，当时，；当时，，故A错误； B选项，当时，；当时，，故B正确； C选项，当时，；当时，，故C错误； D选项，当时，；当时，，故D错误. 故选：B 二、填空题 7．(23-24高一上·重庆·期末) ． 【答案】11 【分析】根据分数指数幂的运算、对数的运算性质求解出结果. 【详解】原式， 故答案为：. 8．(23-24高一上·重庆长寿区·期末)设函数且，则 【答案】 【分析】翻译所给条件求解参数即可. 【详解】，，，，解得，，故， 故答案为： 9．(23-24高一上·重庆七校·期末)计算 . 【答案】 【分析】由指数和对数运算法则即可计算. 【详解】原式. 故答案为：5 10．(23-24高一上·重庆渝中区巴蜀中学校·期末) 【答案】7 【分析】由指数运算与对数运算的性质直接求解即可. 【详解】， 故答案为：7. 三、解答题 11．(24-25高一上·陕西汉中镇巴中学·月考)计算下列各值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由指数的运算计算出结果；（2）由对数的运算计算出结果. 【详解】（1） （2） 12．(23-24高一上·重庆北碚区·期末)化简求值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数幂的运算法则即可得解； （2）利用对数的运算法则，结合换底公式即可得解. 【详解】（1） . （2） . 13．(23-24高一上·重庆部分区·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】结合题意进行利用指数式，对数式性质计算即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 地 城 考点02 对数函数的定义域及值域 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆部分区·期末)已知函数，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】利用给定的分段函数，依次判断代入计算. 【详解】函数中，， 所以. 故选：C 2．(24-25高一上·重庆巴川量子学校·期末)若函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意，需使真数在上取遍一切正数，由解不等式即得. 【详解】由题意，需使取遍一切正数， 故需使，解得或. 故选：C. 3．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求的范围，结合对数的性质求复合函数定义域，判断端点值是否可取，进而确定值域. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 所以，故值域为. 故选：D 4．(23-24高一上·重庆第八中学校·期末)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求使解析式中各部分都有意义的的取值范围即可. 【详解】要使有意义，则，解得，且， 故的定义域为. 故选：D. 二、填空题 5．(24-25高一上·重庆部分区·期末)函数的定义域为 . 【答案】 【分析】结合对数函数及具体函数定义域列不等式计算即可. 【详解】因为函数，所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 6．(24-25高一上·重庆巴川量子学校·期末)函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由函数有意义，可得不等式组，求解即得函数的定义域. 【详解】函数有意义，等价于，解得：且， 即函数的定义域为. 故答案为：. 7．(24-25高一上·重庆九龙坡区·)设，则 . 【答案】 【分析】代入求值，计算出，再次代入得到答案. 【详解】，故. 故答案为： 8．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)若，当时，，则 . 【答案】6 【分析】先求出是以为周期的周期函数，再由对数的运算性质求出结果即可. 【详解】因为，所以， 所以是以为周期的周期函数， 又因为余，故， 因为当时，， 所以，所以. 故答案为：6. 9．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)函数的定义域为 . 【答案】或 【分析】根据对数性质及一元二次不等式求法求定义域. 【详解】由对数的性质有，可得或， 所以函数定义域为或. 故答案为：或 10．(23-24高一上·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)函数的定义域为 【答案】 【分析】由对数函数的定义域以及含分式型函数的定义域求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 故答案为：. 三、解答题 11．(24-25高一上·重庆九龙坡区·)已知函数且在区间上的最大值为1. (1)求的值: (2)当在定义域内是减函数时，令，求的定义域和值域. 【答案】(1)或 (2)的定义域为，值域为 【详解】（1）当时，在单调递增，故，故， 当时，在单调递减，故，故， （2）在定义域内是减函数时，则， ， 故的定义域满足，解得， 故定义域为， ， 由于，故， 故， 故值域为 12．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知函数． (1)若，．求的最小值、最大值及对应的的值； (2)若函数的定义域为，令．求的最小值、最大值及对应的的值． 【答案】(1)，当 (2)，当. 【分析】（1）令，换元可得，结合二次函数性质求最值； （2）求函数的定义域，令，换元可得，结合二次函数性质求最值. 【详解】（1）因为，． 令， 因为函数在上单调递增， 所以，所以， 则，， 所以当，即时，， 当，即时，. （2）因为的定义域为，， 所以，，所以的定义域为， 因为， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以， 令，则， 所以当，即时，， 当时，即时，. 地 城 考点03 对数函数的奇偶性 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知定义在上的奇函数满足，且时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数的周期为，可得出，结合题中函数的解析式计算可得结果. 【详解】由题知，，则，则函数为周期函数，且其周期为， 因为， ， 因为，则，所以， 所以． 故选：B. 2．(24-25高一上·重庆九龙坡区·)已知为偶函数，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用偶函数的定义化简，推理计算即得. 【详解】因为偶函数， 则 ， 又因不恒为0 ，故，解得. 故选：A. 二、填空题 3．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)已知是偶函数，是奇函数，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性可得，即可求出的解析式，再利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由于是偶函数，是奇函数，且， 故，即， 故， 又，当且仅当时取等号， 故， 即的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用函数的奇偶性，得到，进而求得函数解析式，结合基本不等式求解. 4．(23-24高一上·重庆长寿区八校·期末)定义在上的奇函数满足：当，，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数性质求得，再由奇函数对称性求函数值. 【详解】∵是定义在上的奇函数， ∴，则， ∴． 故答案为： 5．(23-24高一上·重庆九龙坡区·)已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则 ． 【答案】/ 【分析】先判断出的周期，然后得到，再根据奇偶性得到，结合已知函数解析式求解出，则的值可知. 【详解】因为，所以是周期为的周期函数， 所以， 又因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以， 故答案为：. 三、解答题 6．(24-25高一上·重庆部分区·期末)已知函数，且. (1)求的值及函数的定义域： (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1)， (2)偶函数，理由见解析； 【分析】（1）由即可求，由对数式有意义构造不等式可求定义域； （2）由奇偶性的定义即可判断； 【详解】（1）由，可得：， 解得， 由可得：， 所以定义域为：； （2）由（1）可得：，定义域为：； ， 所以函数为偶函数； 7．(24-25高一上·重庆黔江区·期末)已知函数. (1)若，函数是奇函数， （ⅰ）求的值； （ⅱ）判断并证明的单调性； (2)若函数与函数交于两点，若，求的值. 【答案】(1)（i）1；（ii）在上单调递增，证明见解析 (2)8 【分析】（1）（i）根据函数的奇偶性，列式求解，即可求得答案；（ii）判断出函数单调性，利用函数单调性定义即可证明； （2）换元后将原方程变为有两解的问题，结合根与系数的关系式以及已知等式，即可求得答案. 【详解】（1）（i）函数是奇函数，定义域必关于原点对称，且满足， 即， 即，则， 由于，故； （ii）由以上解析可知，定义域为， 在上单调递增， 证明：设，则，， 即，故， 故，即， 故在上单调递增， 当时，，则， 由于为奇函数，故， 故在上也单调递增； （2）由题意知，令，则， 则有两解， 则满足， 即， 由， 结合在R上单调递增，解得，满足， 故. 8．(23-24高一上·重庆九龙坡区·)已知函数，其中且． (1)求的值和函数的定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，定义域为； (2)为奇函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）由题设及对数运算性质可得，即可得参数值，进而求定义域； （2）奇偶性定义求证函数奇偶性； （3）根据解析式判断对数复合函数的单调性，再由单调性求解集. 【详解】（1）由题设，可得， 又，故，则， 所以，即定义域为. （2）为奇函数，证明如下： 由（1）知：定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数. （3）由，而在上递减，在定义域上递增， 所以在上递减，且， 故，有，结合定义域知：解集为. 地 城 考点04 对数函数的单调性 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知函数，且对于都满足，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件可得函数在上单调递增，结合二次函数单调性，对数函数单调性，分段函数的单调性的性质列不等式求结论. 【详解】当时，，. 在上单调递增，所以 因为函数在上单调递增，在定义域上单调递增， 根据复合函数单调性法则可知， 在上单调递增等价于，所以， 又根据分段函数递增法则可得，所以． ， 故选：A. 2．(23-24高一上·重庆青木关中学校·期末)函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调区间的求法，即可求出结果. 【详解】由得到或， 令，则， 因为在定义域上是减函数， 又的开口向上且对称轴为， 易知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的单调递增区间为， 故选：B. 3．(23-24高一上·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的单调性结合复合函数的同增异减即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 开口向下，对称轴为， 所以在上递增，在上递减； 因为是定义域上的递增函数， 利用复合函数的同增异减可得的单调递增区间为， 故选：B. 二、多选题 4．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知函数.则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B． C．函数在定义域上单调递增 D．若实数a，b满足，则 【答案】ABD 【分析】应用对数运算性质得得到，即可判断A、B；利用对数复合函数单调性及对称性判断单调性，即可判断C、D. 【详解】，故， 即的图象关于点对称，故，故A、B对； 由上单调递减，而单调递增， 所以在上递减，又关于点对称，故在定义域R上递减， 由，结合C分析结果知，故， 所以C错，D对. 故选：ABD 5．(23-24高一上·重庆·期末)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数的值域是 C．函数的单调递增区间是 D．不等式的解集是 【答案】BC 【分析】根据对数函数相关的复合函数的定义域，值域，单调性及解对数不等式，依次判断即可得出结果. 【详解】选项A；令，解得或，所以函数的定义域为，故A错误； 选项B：由定义域可知，所以函数的值域是，故B正确； 选项C：由（1）可知，函数在上为增函数， 在上为减函数，在定义域内为增函数， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，故C正确； 选项D：由，且在定义域内为增函数， 所以，解得或， 所以不等式的解集是，故D错误； 故选：BC. 地 城 考点05 对数函数比较大小 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆部分区·期末)设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数性质比较大小. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 2．(24-25高一上·重庆巴川量子学校·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数的运算性质求得，由对数函数的单调性推得，通过作差法，结合换底公式，计算比较推出即得. 【详解】因，， 由，可得， 故得. 故选：A. 3．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先证明（，），再由换底公式及对数函数的性质判断即可. 【详解】若，，则，即， 而，， ， 又因为 ，， 所以，， 所以. 故选：B 4．(24-25高一上·重庆主城区六校联考·期末)设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指，对，幂函数的单调性，即可比较大小. 【详解】函数单调递减，所以， 函数在上单调递增，所以， 单调递减，， 所以，即. 故选：C. 5．(24-25高一上·重庆九龙坡区·)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式可得，根据，结合指数函数的单调性可判断以及，即可求解. 【详解】， 由可得， 由于，故，故， 因此， 由可得，因此 综上可得 故选：D 二、多选题 6．(24-25高一上·重庆部分区·期末)已知函数的零点分别为，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由与的交点，画出图像逐项判断； 【详解】由题意三个函数零点可转换成（红线），（黑线），（绿线）函数图像与（紫线）的交点横坐标大小比较，画出图像： 由图像可知， 由，并结合图像可得：， 又，的图像可看做：，向右平移一个单位得到， 所以，的图像关于对称， 且与垂直，相交于， 所以， 综上可知ABC正确，D错误， 故选：ABC 7．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可判断ABCD的正误. 【详解】对于A，因为， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，，故， 当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C，因为，故，当且仅当时等号成立， 故，故C成立； 对于D，因为，故，故， ，当且仅当时等号成立， 故D成立， 故选：ACD. 8．(24-25高一上·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)利用计算工具计算：当时，；当时，；当时，；当时，；当越来越大时，也越来越大，无限的趋近于，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，构造函数，然后结合其单调性代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】记：， 由题可得，在时单调递增，且 对于A，当时，，即：，故选项A错误. 对于B，当时，，即：，故选项B正确. 对于C，当时，，，即：，故选项C正确. 对于D， ，，，，， ，故选项D正确. 故选：BCD 三、填空题 9．(24-25高一上·重庆长寿区·期末)已知，则 （写出的大小关系） 【答案】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质，借助特殊值比较大小. 【详解】，，， 所以. 故答案为：. 地 城 考点06 对数函数综合 一、多选题 1．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)函数的定义域为R，为偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B． C．函数有2个零点 D．若关于x的方程（）在区间上的实数根的之和为6 【答案】BC 【分析】先根据题干中的轴对称，点对称的条件可以推出周期性、奇偶性，A选项根据奇偶函数的性质结合周期性判断，B选项，由于函数的周期性可将待求表达式分组求和，CD选项需借助画出的图像，数形结合来处理即可． 【详解】由于为偶函数，则关于对称，则， 故，结合可得，， 用取代，得到，用取代，得到， 于是的周期为4，由可得， 结合可得，故为奇函数． A选项，根据幂函数的性质，在上递增， 根据奇函数性质，在上递增， 又关于对称，则在上递减，又的周期为4， 故在上递减，A选项错误； B选项，奇函数的定义域为，故，由于的周期为4，故， 由，取得到，取，得到， 故，由于的周期为4， 故 ，故B选项正确； C选项，在同一坐标系下作出和的图像如下： 由图像可知有两个交点，故有2个零点，C选项正确； D选项，先作出在上的图像， 由，根据对称性，四个点的横坐标之和为：，D选项错误. 故选：BC. 2．(23-24高一上·重庆七校·期末)定义：表示的解集中整数的个数.若，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，不等式的解集是 C．当时， D．当时，若，则实数的取值范围是 【答案】BD 【分析】由题意可知，即为满足的整数的个数，数形结合可判断A选项；当时，解不等式，可判断BC选项；数形结合可得出满足不等式的等价条件，求出实数的取值范围，可判断D选项. 【详解】根据题意，即为满足的整数的个数． 当时，如图，数形结合得的解集中整数的个数有无数多个，故A错误； 当时，，数形结合（如图）， 由，可得，解得， 所以在内有个整数解，为、、，故B对和C错； 当时，作出函数和的图象，如图所示， 若，即的整数解只有一个， 只需满足，即，解得， 所以时，实数的取值范围是，故D正确； 故选：BD． 【点睛】思路点睛：本题考查利用函数不等式解集中整数解的个数求参数，对于这类问题，一般考虑作出函数的图象，数形结合得出关于参数的不等式组求解. 二、填空题 3．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知．若对任意恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由条件，求函数的解析式，判断函数的奇偶性及单调性，结合函数性质化简不等式可得，分离变量，求函数的最小值，可得结论. 【详解】因为， 令，则，， 所以，， 令， ， 函数的定义域关于原点对称， 又，故函数为奇函数， 又函数，都为R上增函数， 所以函数为增函数， 不等式可化为 ， 即， 所以， 所以， 所以， 所以，又， 由已知对任意恒成立， 因为，故， 因为， 由，当且仅当，即时等号成立， 所以，故. 所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于求出函数的解析式，判断函数的解析式，结合函数性质化简不等式. 三、解答题 4．(24-25高一上·重庆部分区·期末)我们知道，函数图象关于原点对称的充要条件是，结合函数图象平移等知识，该结论可以推广为：函数图象关于点对称的充要条件是. 阅读以上材料，解答下列问题： (1)直接写出函数图象的对称中心： (2)若函数， （i）求证：函数的图象是中心对称图形并求出对称中心点的坐标； （ii）已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析，点的坐标为；（ii）. 【分析】（1）利用给定的充要条件求出对称中心; （2）（i）利用给定的充要条件，结合对数运算计算得证，并求出点坐标；（ii）由对称性求出函数在上的解析式，求出函数在上的值域，再由函数在上的值域包含函数在上的值域求出范围. 【详解】（1）函数定义域为R，令， 则 ，因此函数的图象关于点对称， 所以数图象的对称中心是. （2）（i）函数中，，即，解得， 因此函数的定义域为， ， 所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心点的坐标为. （ii），函数在上单调递减， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 当时，，而， 则函数在上的值域为， 由函数的图象关于点对称，得，即， 当时，，则当时，， ， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，则函数在上单调递增，， 由对，使得，得函数在上的值域包含于， ，当，即时，， ，解得，因此； 当，即时，，， ，函数在上的值域包含于，因此； 当，即时，，， ，函数在上的值域包含于，因此； 当时，，， 解得，因此， 所以实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有，则的值域是值域的子集 ． 5．(24-25高一上·重庆长寿区·期末)已知二次函数有两个零点，且． (1)求函数的解析式； (2)已知函数，若，使得恒成立，求的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个零点，由韦达定理得到之间的关系，再根据解出； （2）根据恒成立，得，根据二次函数单调性得，根据对数函数和复合函数的单调性得在上是减函数，从而得到，解出的取值范围. 【详解】（1）二次函数有两个零点，得，解得， 由，可得， 所以，故函数． （2）由，得恒成立，即函数的最大值大于函数的最大值． 由函数在上的最大值为4， 因为函数在上是减函数， 所以，即，所以， 故实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：双变量存在性任意性问题的解决方法 （1），使得成立，则； （2），使得成立，则； （3），使得成立，则； （4），使得成立，则. 6．(24-25高一上·重庆九龙坡区·)已知定义在R上的奇函数，其中. (1)求的值，并用定义证明函数的单调性； (2)求不等式的解集； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递增，理由见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据求出，验证其满足为奇函数，故，定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论； （2）变形得到，令，解得，故，解得，不等式解集为； （3）在上的值域包含在上的值域，在（2）基础上，得到，并求出，不合要求，当时，由的单调性得到，从而根据包含关系得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）为定义在R上的奇函数， 故，解得， 故， 由于，满足为奇函数， 综上，， 单调递增，理由如下： 任取，且， ， 因为，在R上单调递增，故， 故，， 所以为R上的单调递增； （2）， 化简得， 令，故， 即，解得， 故，解得， 不等式解集为； （3）对任意的，总存在，使得成立， 故在上的值域包含在上的值域， 由（2）知，在上单调递增， 故， ，若，则， 此时， 不能满足在上的值域包含在上的值域，舍去； 当时，在上单调递增， 故， 由得， 解得， 故实数的取值范围为. 7．(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知函数的图象经过点. (1)求a值并证明的奇偶性； (2)设，若关于x的方程在上有解，求t的取值范围. 【答案】(1)，偶函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）将点代入即可求出，再判断的关系，即可的出函数的奇偶性； （2）由题意可得方程在上有解，求出函数的值域即可得解. 【详解】（1）由题意， 解得， 所以， 因为，又的定义域为， 所以函数为偶函数； （2）由， 得， 即， 所以在上有解， 即方程在上有解， 令， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在上是减函数， 所以， 所以. 8．(23-24高一上·重庆南开中学校·期末)已知指数函数的反函数为． (1)求函数的解析式； (2)已知函数，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的定义可得，再根据指数函数的反函数是对数函数分析可解； （2）根据奇偶性的定义以及复合函数单调性判断的奇偶性和单调性，进而解不等式. 【详解】（1）若为指数函数， 则，且，解得，即， 所以指数函数的反函数为. （2）因为，可知的定义域为， 且， 可知为定义在上的偶函数， 又因为在上单调递增，且在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，且在内单调递减， 对于不等式，可得， 整理得，解得， 所以等式的解集为. 9．(23-24高一上·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)已知函数， (1)解不等式； (2)方程（）在上有解，求a的取值范围？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法可得，即可根据指数函数的单调性即可求解， （2）根据对数的运算性质可将问题转化为在上有解，利用换元法，结合函数的单调性即可求解. 【详解】（1），令（）， 故 （2）， ， 故（） 在上有解，等价于在上有解， 令，，， 故函数在上单调递增， 则当，，当，，故 10．(23-24高一上·重庆七校·期末)为偶函数，. (1)求实数的值； (2)若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围； (3)求函数在上的最大值与最小值之和为2020，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数定义列方程可得解； （2）由时，恒成立，参变分离得，进而求函数最大值即可； （3）化简函数为，结合可得最值，从而得解. 【详解】（1）∵函数为偶函数， ， ， 得， 解得，即. （2）若时，函数的图像恒在图像的上方， 则恒成立， 即，即. 所以. 因为时，， 所以，得， 综上：. （3）， 所以当时， 当 时，取得最大值，当取得最小值， 所以，解得. 【点睛】本题主要了考查函数与方程的综合应用，结合函数奇偶性求出k的值，以及利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于难题． 11．(23-24高一上·重庆部分学校·期末)已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若存在，使在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)增区间为，无减区间，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用求值，并验证； （2）先证时，利用定义法设，求并化简，判断出，即可判断函数的单调性，同理可证在上为增函数； （3）根据函数的单调性及函数的值域先得出：，由此判断是方程的两个实数根，将问题转化为，通过二次函数的性质，列出不等式，求解不等式即可求出实数的取值范围. 在上有两个不等实根 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， 即，，， 化简得，即，； 当时，，定义域为，不符合题意； 当时，，，定义域为， 定义域与关于原点对称，所以满足题意， 综上所述，实数的值为. （2）函数在上为增函数； 证明：由（1）知，定义域为， 任取，，不妨设，则 ，因为，，所以， 因为，，所以，所以， ，所以， 所以，即，所以在上为增函数； 同理可证在上为增函数. （3）由（2）知，在上为增函数，又因为在区间上的值域为 ，所以，， 即是方程的两个实数根，问题等价于 在上有两个不等实根，令， 对称轴为，则，即， 解得，即实数的取值范围为 【点睛】思路点睛：若已知函数定义域和值域，欲求参数的取值范围，可根据函数的单调性将问题转化为方程在上有两个不等实根的问题，而后者可利用根分布来处理. 12．(23-24高一上·重庆九龙坡区·)已知函数分别是定义在上的偶函数与奇函数，且，其中为自然对数的底数． (1)求与的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助函数奇偶性运算即可得； （2）令，则可将原不等式转化为，结合基本不等式即可得. 【详解】（1）由函数分别是定义在上的偶函数与奇函数，， 则， 有，即， 则，即； （2）对，不等式恒成立， 即对，不等式恒成立， 令，由随增大而增大，故随增大而增大， 故时，， ， 即可化为， 即，对恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 故，即的最大值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04指数函数 ☆3大高频考点概览 考点01指数函数过定点值域问题 考点02指数函数单调性 考点03指数函数不等式 目目 考点01 指数函数过定点值域问题 一、单选题 1.(24-25高一上重庆西南大学附属中学校期末)函数f(x=a-+1(0<a<1)的图象恒过定点P,若点P的坐 标满足关于x,y的方程mx+y+3=2mn(m>0,n>0),则m+2n的最小值为() A.2 B.4 C.6 D.8 2x 2.(23-24高一上·重庆第八中学校期末)已知函数f(x)={ x<1 的值域为R,则实数a的取值范围是 2-a,x≥1 () A.（-0,0] B.[0,+o C.-0, D.[1,+oo 二、填空题 3.(24-25高一上重庆第一中学校期末)已知函数f(x)=4-3·21-3,x∈(-0,2]，则f(x)的值域为 4.(23-24高一上重庆青木关中学校期末)函数f(x=a-3+1(a>0且a≠1)的定点为 5.(23-24高一上重庆第一中学校期末)函数y=(匀)+23的值域是】 三、解答题 6.2425商-上重庆长寿区期未利已知函数：a-子eR是奇函数 (1)求a的值； (2)求函数f(x)的值域 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25高一上·重庆南开中学校期末)已知函数f(x=4'-a·2. (1)若f(x在1,2]上单调递增，求a的取值范围； (2)若f(x)在[1,2]上的最大值为0，求a的值. 8.2425高一上重庆长寿中学、江津中学七校联考期末)函数f)=3-(令 (1)证明函数∫(x)的奇偶性： (2)判断函数的单调性，若x∈[-2,2]，求函数f(x)的最值； (3)已知f(-氵f八x≥0，求x的取值花围 9.(24-25高一上重庆黔江区·期末)一般地，函数y=a(a>0,且a≠1)叫做指数函数.已知函数 f(x)=2a2-5a+3)a是指数函数，且f1<f(2). (1)求函数∫(x)的解析式： (2)已知函数gx=f(2x)-4fx+3,求g(x)在x∈[0,2]上的值域 目目 考点02 指数函数的单调性 1.(24-25高一上重庆字水中学期末)函数f(x)=2-2-3的减区间为() A.（-0,-1 B.（-0,l C.(1,+o】 D.（3,+0) 2.(2425高一上重庆南开中学校期末)以下是函数∫(y=-:的大致图像的是《) e*+ex B 3.(24-25高一上·重庆巴川量子学校期末)已知函数f(x)= 「(4-a)'-1(x<1) r2+2a-1x+10x2)对4，∈R,且5≠5 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 都有不等式-八<0，则实数口的取值范围为() X1-x2 A.[1,3 B.[1,3] C.[1,to) D.[0,3) 4.(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校期末)设函数f(x)=2-1,若有不相等的实数a、b,满足 fa)=f(b),则2°+2=() A.1 B.2 c.17 D.不能确定 4 a,x≥1 5.(23-24高一上·重庆第十一中学校期末)若函数f(x)= 2x+2,x<1 a R上的单调递增函数.则实数a 4 的取值范围是() A.[4,8 B.(1,8 C.(4,8) D.(1,+o)】 二、多选题 6.(23-24高一上·重庆部分区·期末)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关 系为y=a(a>0,且a≠1).下列说法正确的是() VA 4 012347 A.浮萍每月的增长率为2 B.第6个月时，浮萍面积为64m2 C.浮萍每月增加的面积都相等 D.若浮萍蔓延到3m2,5m2,15m2所经过的时间分别是t,2,3,则4+t3=t3 三、填空题 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(23-24高一上·重庆青木关中学校期末)若fx)满足以下条件：①对于两个正实数x,y,有 f(x+y)=f(xf(y);②f(x)的图象关于x=0对称；③对于不相等的两个正实数a,b,有 [f(a-f(b(a-b)>0成立，则f(x)的解析式可能为f(x= 8.(23-24高一上·重庆部分区·期末)已知函数f(x)满足：x,y∈R,f(x+y)=f(x)f(y);当x<0时， f(x)>1.则满足这两个条件的一个函数为 目目 考点03 指数函数不等式问题 一、单选题 1.2425高一上重庆部分区期末)若函数x)=”3+1是奇函数，则满足f)>-的实数x的取值范 3+1 围为() A.（-0,1 B.（-0,-1U(1,+o) C.（-1,0)U(1,+0） D.（-0,-1U(0,1 二、多选题 2.(23-24高一上重庆部分学校期末)已知m>n>0,k>1,则下列各式成立的是() A.11 B.k">k" C.k-1,k-1 D.m<n m n n m 三、填空题 2 3.(24-25高一上重庆第八中学校期末)已知函数f(x)= -x3,使得不等式f(2m-1>f(m+3成立 的实数m的取值范围为 四、解答题 4.425高一上重庆西南大学附属中学校期末若函数八)=1+2”为R上的奇函数， (1)求a的值，并判断函数∫(x)的单调性（不用证明）； (2)若对任意x∈(-1,1)，不等式k.2)+f4-3≤0恒成立，求实数k的最大值. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(23-24高一上·重庆西南大学附属中学校期末)已知函数f(x)=me-e为奇函数 (1)求m的值： (2)判断并证明函数∫(x)的单调性； (3)若对任意的xe[1,3],不等式fx2+2ax+3+f1-3ax)>0恒成立，求a的取值范围 6(23-24高一上重肤第人中学校期末已知函数=a,2:x€R的图像关于点0，中心对粉 (1)求实数a的值： (②)探究∫(x)的单调性，并证明你的结论： (3)解关于x的不等式f4)+f2-3×2)>2