5.5 三元一次方程组 教案 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

该教案聚焦三元一次方程组的概念及解法，通过复习二元一次方程组的概念、解法与消元思路搭建支架，引导学生从二元到三元的认知过渡，梳理知识脉络。 以《九章算术》问题引入，培养数学眼光的抽象能力与创新意识，类比消元思路发展数学思维的推理意识，例题练习结合提升模型意识，助力学生体会化归思想，教师教学有清晰流程与实例支撑。

第五章 二元一次方程组 5 三元一次方程组 一、教学目标 1.经历三元一次方程组解法的探索过程，进一步体会“化未知为已知”的化归思想. 2.会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，进一步体会“消元”的思想. 3.教会学生面对三元一次方程组时，选择适当的解法，以提高运算的效率. 4.感受“三元”化归到“二元”，再由“二元”化归到“一元”的数学思想，使学生真正体验到数学的应用价值. 二、教学重难点 重点：掌握三元一次方程组的解法. 难点：三元一次方程组如何化归到二元一次方程组. 三、教学过程设计 环节一：情境导入 教师活动：引导学生复习二元一次方程及方程组的概念，巩固解方程组的基本思路. 问题1：什么是二元一次方程？ 预设：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程. 追问：什么是二元一次方程组？ 预设：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 问题2：解二元一次方程组有哪些方法？ 预设：代入消元法和加减消元法. 追问：解二元一次方程组的基本思路是什么？ 预设：将二元一次方程组消元转化为一元一次方程. 提问：若含有3个未知数的方程组该如何求解呢？ 学生活动：学生思考后回答. 设计意图：通过问题串，引导学生复习已学知识，为新课的学习做准备，同时激发学生的学习兴趣，点明本章所要解决的主要问题. 环节二：探究新知 【探究】 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上中下禾实一秉各几何?(选自《九章算术》) 题目大意：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾1，中禾2束，下禾3束可得米 26 斗． 思考 上、中、下禾每束各可得米多少斗? 分析：在这个问题中，设每束上禾可得米x斗，每束中禾可得米y斗，每束下禾可得米z斗，找出等量关系，列出对应的方程. （1）上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗 3x+2y+z=39 ① （2）上禾2束 ，中禾3束，下禾1束，可得米34斗 2x+3y+z=34 ② (3)上禾1，中禾2束，下禾3束可得米 26 斗 x+2y+3z=26 ③ 由题意知，三个数必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起. 方程组： 学生活动：学生思考并找出等量关系. 设计意图：通过问题引入，引发学生思考与讨论，激发学生的学习兴趣.在此基础上通过类比的方法引出三元一次方程组的概念. 提问：这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？ 归纳：在这个方程组中，3x+2y+z=39，2x+3y+z=34和x+2y+3z=26都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程. 像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组. 三元一次方程组必备条件： (1)是整式方程； (2)共含三个未知数； (3)三个都是一次方程； 注意：方程组中共有三个未知数即可，不必每个方程都是三元一次方程. 【做一做】 下列方程组中是三元一次方程组的是( ) A. B. C. D. 分析：A选项次数不是一次. B选项中有的未知数不是整式.C选项有4个未知数. 预设：D 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解. 追问：怎样解三元一次方程组呢？ 能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？ 用代入消元法试试吧！ 学生活动：学生思考并回答 设计意图：类比二元一次方程组的求解思路，提示解三元一次方程组的思路，让学生进一步体会化未知为已知的化归思想：通过“消元”，将“三元”化成“二元”，把新问题化归成已经会解决的问题. 环节三：应用新知 【典型例题】 教师提出问题，学生先独立思考，然后再小组交流探讨.教师板书一道例题书写过程，其余题目可由学生代表板书完成，最终教师展示答题过程. 教师活动：提出问题，学生先独立思考，然后再在小组内交流探讨.教师板书一道例题书写过程，其余题目可由学生代表板书完成，最终教师展示答题过程. 例 解方程组 解：由方程①得 z＝39-2y-3x， ④ 把④分别代入②③，得 x-y=5， ⑤ 8x+4y=91． 　 ⑥ 解由⑤ ⑥组成的二元一次方程组，得 把，代入④，得 z=． 经检验，，，z=适合原方程组． 所以原方程组的解是 注意：检验可以口算或在草稿纸上演算，可不必写出！ 学生活动：思考问题，尝试回答问题，明确例题的做法 设计意图：通过例题的讲解，用代入法解三元一次方程组.鼓励学生通过自主探索与交流尝试求解. 通过与二元一次方程组解法的类比，从而得出解三元一次方程组的思路，让学生从中感受类比的思考方法. 解上面的方程组时，你能用代入消元法先消去未知数x(或y)，从而得到方程组的解吗？ 方法二： 解：由方程③得 x=26-2y-3z， ④ 把④分别代入①②，得 4y+8z=39，⑤ y+5z=18．⑥ 解由⑤ ⑥组成的二元一次方程组，得 把,代入④，得． 所以原方程组的解是 学生活动：学生思考，讨论交流 设计意图：解三元一次方程组的过程中，消元的思想体现得非常充分，但怎么消元，先消哪个元，是需要认真考虑的，这里面的方法是有优劣之分的，引导学生先进行观察比较，在此基础上再进行消元是有必要的.可以让学生从中感受到方法选择的重要性. 追问：你还有其他方法吗？ 方法三：加减消元法 解：方程①-②得 x-y=5， ④ 方程3×②-③得，得 5x+7y=76， ⑤ 解由④⑤ 组成的二元一次方程组，得 把，代入④，得 z=． 所以原方程组的解是 【议一议】 上述不同的解法有什么共同之处？与二元一次方程组的解法有什么联系? 解三元一次方程组的思路是什么？ 共同之处：加减消元法和代入消元法解题过程中都是通过消元解题． 基本思路： 解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——把“三元”化为“二元”， 再化为“一元”. 求解方法：加减消元法和代入消元法．学生活动：认真分析思考，并计算.试着写出相应的过程 设计意图：通过例题，进一步理解一个方程组可能有几种不同的解法，但都体现了一个目的那就是消元，即把“三元“变“二元”再化为“一元”. 环节四：课堂练习 【随堂练习】 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.解方程组若要使运算简便，消元的方法应该选取 ( ). A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.以上说法都不对 答案：B 2.三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是 ( ). A. B. C. D. 答案：B 3.下列方程是三元一次方程的是 .(填序号) ①x+y+z=1；②4xy+3z=7；③； ④6x+4y–3=0. 答案：① 4.已知a–3b+c=8，7a+b–c=12，则5a–4b+c= . 分析：a–3b+c=8①；7a+b–c=12②.①+②，得8a–2b=20，所以4a–b=10③，①+③，得5a–4b+c=18. 答案：18 5.某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元，如果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要 元. 答案：180 6.解方程组 解：①+②得 2x+z＝27，④ ①+③得 3x＋2z＝44， ⑤ 解由④ ⑤组成的二元一次方程组，得 把x＝10代入②，得 y=9. 所以原方程组的解是 学生活动：自主完成练习，然后集体交流评价. 设计意图：通过练习，加深对三元一次方程组解法的理解和掌握，提高了学生解答问题的能力，进一步加强了学生对本章内容的掌握程度，拓展了学生的思维. 环节五：总结归纳 学生活动：回顾本节课所讲的内容. 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $