精品解析：陕西省榆林市府谷县府谷中学2025-2026学年高二上学期11月期中质量调研检测数学试卷

府谷中学2025年秋高二年级期中质量调研检测卷 数学 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，涂写在本试卷上无效. 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在直线的方程中，令可得出直线在轴上的截距. 【详解】在直线的方程中，令可得，解得，故直线在轴上的截距为. 故选：B. 2. 若直线的倾斜角等于，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出的等式，解之即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率为，故. 故选：A. 3. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆心，再判断两圆位置关系，将两圆方程相减可判断选项； 【详解】圆圆心，半径为； 圆圆心，半径为； 因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得，即， 故两圆公共弦所在直线的方程为； 故选：D. 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心距与两圆半径的关系来判断即可. 【详解】由圆的圆心，半径为， 与圆的圆心，半径为， 则圆心距， 所以两圆位置关系是相外切， 故选：C. 5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得. 故选：A. 6. 设空间向量，，．若、、不能构成空间的一个基底，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知、、共面，设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，解之即可. 【详解】由题意可知，、、共面， 设，即， 即，解得. 故选：C. 7. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的一个方向向量和平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意可知，直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆定义以及勾股定理解方程即可求得离心率大小. 【详解】连接，如下图所示： 由椭圆定义可知，又，可得； 易知， 因此在中可得， 满足，因此， 因此可得，即, 所以离心率. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合的直线、的方向向量分别是，，则 B. 直线的方向向量是，平面的法向量是，则 C. 两个不同的平面、的法向量分别是，，则 D. 两个不同的平面、的法向量分别是，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量的位置关系与线面、面面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为，且直线、不重合，则，A对； 对于B选项，因为，则，所以或，B错； 对于C选项，因为，则，所以，C对； 对于D选项，因为，即，又因为平面、不重合，则，D对. 故选：ACD. 10. 已知双曲线过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率为 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 直线与双曲线仅有一个交点 【答案】AD 【解析】 【分析】将点的坐标代入双曲线方程，可求出的值，可判断A选项；求出、、的值，结合双曲线的离心率公式可判断B选项；根据双曲线的方程可求出渐近线方程，可判断C选项；将直线方程与双曲线方程联立，结合判别式可判断D选项. 【详解】双曲线的标准方程为， 对于A选项，将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，A对； 对于B选项，由A选项可知，双曲线的标准方程为，则，，， 双曲线的离心率为，B错； 对于C选项，双曲线的渐近线方程为，C错； 对于D选项，联立可得，则， 所以直线与双曲线仅有一个交点，D对. 故选：AD. 11. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l过定点 B. 直线l与圆C恒相交 C. 直线l被圆C截得的最短弦长为 D. 若圆C上恰好有四个点到直线l的距离为1，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，整理直线方程，分离出参数，建立方程组，可得答案；对于B，由圆的标准方程把定点坐标代入圆的方程，可得答案；对于C，当时，直线被圆截得的弦长最短，求解可得答案；对于D，求得圆心到直线的距离可得答案. 【详解】对于A，由，则， 令，解得，所以直线恒过定点，故A错误； 对于B，由圆的方程为，， 所以在圆内，直线与圆恒有两个交点，故B正确； 对于C，由知圆心，半径为， 当时，直线被圆截得的弦长最短，又， 最短弦长为，故C正确； 对于D，当圆上恰有4点到直线的距离为1，且圆心，半径为， 则圆心到直线的距离，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与直线之间的距离为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】由题意可知，直线与直线平行，这两条直线间的距离为. 故答案为：. 13. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，为线段的中点，为坐标原点，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位线的性质得出，再结合双曲线的定义求解即可. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 在双曲线中，，由双曲线的定义可得， 故. 故答案为：. 14. 已知正方体的棱长为，点为体对角线的中点，点为棱的中点，则点到平面的距离为____________． 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，则，， 则，令，则， 又因为，故点到平面的距离为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设直线过点，且和直线平行． （1）求直线的方程； （2）设直线与轴相交于点，求直线绕点逆时针旋转所得的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）分析可知，所求直线与直线垂直，可得出所求直线的斜率，并求出点的坐标，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【小问1详解】 因为直线的斜率为， 故直线的斜率为，又直线过点， 所以直线的方程为：，化简得：． 【小问2详解】 在直线的方程中，令可得，解得，即点， 直线绕点逆时针旋转所得直线与直线垂直，则所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，化简得：． 16. 三棱柱中，分别是上的点，且，设． （1）试用表示向量； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算法则，结合向量的加法与减法的运算，进行化简，即可求解； （2）由（1）知，结合，利用向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【小问1详解】 解：在三棱柱中，由且， 可得 . 【小问2详解】 解：因为， 由（1）知， 则 ， 所以. 17. 已知点，，，记的外接圆为圆G． （1）求圆G的标准方程； （2）设直线l经过点，且与圆G相切，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用三点坐标可确定圆方程； （2）利用直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径建立等式即可求解. 【小问1详解】 设圆G的一般方程为， 圆G过三点，，， 解得 ∴圆G的一般方程为， 故圆G的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）知圆G是以为圆心，以为半径的圆， （i）若直线l的斜率不存在， 则此时直线l的方程为， 圆心G到直线l的距离为，满足与圆G相切； （ii）若直线l的斜率存在， 则设直线l的方程为，即， ∵直线l与圆G相切， ∴圆心G到直线l的距离为，解得， ∴直线l的方程为． 综上，直线l的方程为或 18. 在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与（1）中轨迹相交于两点，且为的中点，求弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助斜率公式计算后化简即可得； （2）设出直线方程及两交点坐标，联立直线方程与曲线方程，消去可得与两交点横坐标有关韦达定理，再借助点为中点，代入计算后结合弦长公式即可得. 【小问1详解】 依题意，，化简得， 故动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 若直线斜率不存在，则中点纵坐标为，不合题意； 故直线斜率存在，设，、， 联立，消去，有， ， 即，，， 由为的中点，则，化简得， 且有，则，整理得，解得， 则，故，， 则. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，底面是梯形，，，，，E是的中点．请用空间向量知识解答下列问题． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）线段上是否存在点Q，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）取中点F，连接，以E为原点，以、、所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，计算得到和的坐标，由可证结果； （2）由二面角的向量求法进行求解； （3）先假设存在点Q，使得平面，设，，可得，由可计算得到，故在线段上不存在点Q，使得平面． 【小问1详解】 证明：取中点F，连接， ，，E是的中点，， 则以E为原点，以、、所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，， ，，，， ，， ，，即． 【小问2详解】 由（1）可得，，，，，， ，， 设平面的一个法向量为，则 令，则，，， 依题意平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，由图知，为锐角， ， 即二面角的余弦值为． 【小问3详解】 在线段上不存在点Q，使得平面， 理由如下： 假设存在点Q，使得平面，设，， ， 由（2）可知，平面的一个法向量为， 则，解得， 故在线段上不存在点Q，使得平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 府谷中学2025年秋高二年级期中质量调研检测卷 数学 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，涂写在本试卷上无效. 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的倾斜角等于，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含 5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设空间向量，，．若、、不能构成空间的一个基底，则实数（ ） A. B. C. D. 7. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合的直线、的方向向量分别是，，则 B. 直线的方向向量是，平面的法向量是，则 C. 两个不同的平面、的法向量分别是，，则 D. 两个不同的平面、的法向量分别是，，则 10. 已知双曲线过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率为 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 直线与双曲线仅有一个交点 11. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l过定点 B. 直线l与圆C恒相交 C. 直线l被圆C截得的最短弦长为 D. 若圆C上恰好有四个点到直线l的距离为1，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与直线之间的距离为____________． 13. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，为线段的中点，为坐标原点，若，则____________． 14. 已知正方体的棱长为，点为体对角线的中点，点为棱的中点，则点到平面的距离为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设直线过点，且和直线平行． （1）求直线的方程； （2）设直线与轴相交于点，求直线绕点逆时针旋转所得的直线方程． 16. 三棱柱中，分别是上的点，且，设． （1）试用表示向量； （2）若，求的长． 17. 已知点，，，记的外接圆为圆G． （1）求圆G的标准方程； （2）设直线l经过点，且与圆G相切，求直线l的方程． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与（1）中轨迹相交于两点，且为的中点，求弦长. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，底面是梯形，，，，，E是的中点．请用空间向量知识解答下列问题． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）线段上是否存在点Q，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $