专题03 圆锥曲线（三大题型+好题推送)（期末真题汇编 ，北京专用）高二数学上学期人教A版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03圆锥曲线（三大题型+好题推送） ☆3大高频考点概览 考点01双曲线 考点02抛物线 考点03椭圆 目目 考点01 双曲线 1. (24-25高二上北京怀柔期末)双曲线C: x2 y2 =1的右焦点F到其渐近线的距离为() 169 A.4 B.3 C.4 D.37 5 5 2.(24-25高二上北京延庆期末)双曲线x2-上=1的离心率为() 3 A.2 B. V6 c.25 D.5 3 3 3.(24-25高二上北京怀柔期末)“0<m<2”是方程父+y =1表示焦点在x轴上的双曲线”的() mm2-4 A,充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 42425商二上北京丰台期未)设横個兰+芳=a>b>0与双清线 a3 a2 b2 =1的离心率分别为e,e2 ，若双曲线渐近线的斜率均小于25 ,则e,·e,的取值范围是() A写 B.() C.0,) D..) 5.(24-25高二上北京延庆期末)“m>3”是“方程-y =1表示焦点在y轴上双曲线”的() 3-m1-m A,充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D,既不充分也不必要条件 6.(24-25高二上北京延庆期末)已知P是双曲线C:- 412 =1上的动点，则P到双曲线两个焦点距离之 差的绝对值为() A.±4 B.4 C.8 D.45 7(2324商二上北京道州期末)已知双曲线C言茶-a>06>0的离心*为2 ,则C的渐近线 3 方程为() 1/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.y=±V3x B.y=±3x C.y=+3 D.y=3 8. (23-24高二上·北京房山期末)下列双曲线中以y=±2x为渐近线的是() A.x2 -=1 -y2=1 4 B. 4 C苦1 9.(23-24高二上北京顺义期末)已知双曲线C经过点P(V2,3,其渐近线方程为y=±3x,则双曲线C 的方程为() A.父上=1 46 B.号y C. D.上= 64 3 10。(23-24高二上：北京延庆期末)已知双曲线的一个焦点是(5,0)，渐近线方程为y=±，则双曲线的 离心率为() A哥 B. 4 C.3 D.4 5 11.(24-25高二上北京朝阳期未)双曲线x-”=1的渐近线方程为(） 3 A.y=± B.y=t3 C.y=v3x D.y=±3x 12.(23-24高二上北京房山期末)已知双曲线0与椭圆E:。+广=1有公共焦点，且左、右焦点分别为 2521 E,F,这两条曲线在第一象限的交点为P,△PEF,是以P℉为底边的等腰三角形，则双曲线Q的标准方 程为() A1 B.xy? 1 95 D.y2 31 13.(23-24高二上北京通州期末)已知P为双曲线=1右支上一点，F,R为双曲线的左右焦点， 916 IPF-PF等于() A.8 B.6 C.4 D.3 2023北京房山三模)已知双曲线C的方程为一y=1,点P,0分别在双曲线的左支和 则直线PQ的斜率的取值范围是() 2/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A( B.(-2,2) D.(-00,-2)U(2,+0) 15.(23-24高二上北京期末)双曲线”-1的渐近线方程为 63 A.y=t B.y=+2x C.y= 2 D.y=t√2x .x2 16。（23-24高二上北京通州期未)已知双曲线C:;少=1的左、右焦点分别为，B,直线y=x+m与 C交于A,B两点，若△FAB面积是△F,AB面积的2倍，则m等于() A.6 B. D.-6 3 17.(23-24高二上北京朝阳期末)已知双曲线x-y a2 b2 =1(a>0,b>0)的实轴长为22，其左焦点到双曲 线的一条渐近线的距离为√2，则双曲线的渐近线方程为() A.y=±x B.y=tv2x C.y=tv3x D.y=±2x 18.（24-25高二上·北京怀柔期末)若双曲线的离心率为√2，写出一个满足条件的双曲线方程 19.(23-24高二上河宵郑州期中)若抛物线y'=2px>0)的准线经过双曲线号-y=1的左焦点，则 3 p= 20.(15-16高二上江苏淮安期末)双曲线二-x-1的渐近线方程是】 4 ,(2425高一上北京延庆期末)已知直线y=:+1与双曲线(y=1的一条渐近线垂直，则斜率k的 一个取值是一 22.(24-25高二上北京密云期末)双曲线-上-1的渐近线方程为一，离心率为 169 23.(2425高二上北京房山期末)已知双曲线C:-上=1的左、右焦点分别为R,R,则双曲线C的离 49 心率为；若M是双曲线C上任意一点，则MF-MF‖=一： 24.(24-25高二上北京朝阳期末)已知曲线C:r+y =1(m∈Z且m≠±2).若C为双曲线，则m的 m+22-m 一个取值为 ;若C为椭圆，则m的所有可能取值为 3/13 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 抛物线 25. (23-24高二上北京丰台期末)己知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P(m,n)在抛物线C上.若 PF=3,则m=() A.2 B.3 C.4 D.5 26.(24-25高二上北京延庆期末)己知抛物线C:y2=12x的焦点为F,点M在C上，若M到直线 x=-6的距离为7，则|MF=() A.4 B.5 C.6 D.7 27.(2425高二上北京房山期末)二次函数y=一x2的图象是抛物线，该抛物线的焦点坐标为() 1 A.(0,1 B.(1,0 C 0. 16 D. 28.(23-24高二上北京通州期末)已知点A(x,y。)在抛物线y2=4x上，且点A到抛物线准线的距离为3， 则等于() A.1 B.2 C.±2 D.±2V2 29.(22-23高二上·江苏连云港期末)抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（) A.1 B.2 C.4 D.8 30.(23-24高二上·北京房山期末)己知M为抛物线C:x2=-2py(p>0)上一点，M到C的焦点F的距离 为6，到x轴的距离为4，则p=() A.6 B.4 C.2 D.1 31.(23-24高二上·北京延庆·期末)到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半 轴的轨迹方程是() A.y2=8x B.y2=4x C.y2=2x D.y2=x 32.(23-24高二上·北京·期末)抛物线y2=4x的准线方程为 A.x=-1 B.y=-1 C.x=1 D.y=1 33.(23-24高二上·北京朝阳·期末)过抛物线x2=4y的焦点F作倾斜角为30的直线1与抛物线交于A,B两 点，则AB=() 4/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.4 D. 34. (2425高二上·北京朝阳·期末)设抛物线C:y2=2px(p>0的焦点为F(1,0),则p= 点 A在抛物线C上，若AF=5,则点A的横坐标为】 35.(24-25高二上·北京石景山期末)己知拋物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线 x=-3的距离为5，则川MF上_ 36.(23-24高二上·北京顺义期末)探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的 一部分)，正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据 光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线C:y2=8x,一条光线经过点M(10,yo),与x轴平行射到抛物 线C上，经过两次反射后经过点N10,）射出，则光线从点M到点N经过的总路程为」 3 O八F 37.(24-25高二上北京延庆期末)若抛物线x2=-2py(p>0)的焦点与椭圆上+ =1的一个焦点重合， 43 则该抛物线的准线方程为一 38.(23-24高二上·北京通州期末)如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成.为 保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于0.5m,已行车道AB 总宽度|AB=6(m),则车辆通过隧道的限制高度为 m. 抛物线 6m 2m 8m 39.(24-25高二上·北京延庆期末)“中国天眼”反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕着其对称轴旋转所 形成的曲面称为抛物面)，利用了抛物线的光学性质：由其焦点出发的光线照射到抛物线，经反射后的光 线平行于抛物线的对称轴.如图所示：抛物线C:y2=4x,一条光线经过M(4,-3),与x轴平行照射到抛物 5/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 线上的点A处，第一次反射后经过抛物线的焦点F到抛物线上的点B处，第二次反射后经过N(4,y2),则A 的坐标为，|MA+|AB+|BNI的值为 M 40. (23-24高二上·北京海淀期末)己知直线：y=kx+1经过抛物线C:x2=2py的焦点F,且与C的两个 交点为P,Q. (1)求C的方程； (2)将1向上平移5个单位得到1,1与C交于两点M,N.若MW=24,求k值. 41.（23-24高二上·北京房山期末)已知直线1：y=-x+2与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点. (1)写出抛物线C的焦点坐标和准线方程； (2)求弦长AB. 42.(24-25高二上·北京房山期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是2 (1)求抛物线C的方程和准线方程； (2)若斜率为1的直线I经过抛物线C的焦点F,且与抛物线C相交于A,B两点，求线段AB的长. 46.(23-24高二上·北京顺义·期末)如图，已知M是抛物线C:y2=2Px（p>0)上一点，F是抛物线C 的焦点，以Fx为始边，FM为终边的∠xFM=60°，且FM=4,1为抛物线C的准线，O为原点 (1)求抛物线C的方程； 6/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若直线FM与抛物线C交于另一个点N,过N作x轴的平行线与1相交于点E.求证：M,O,E三点共线. 43.（24-25高二上北京怀柔期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且经过点M(1,-2) (1)求抛物线C的标准方程、焦点F坐标及准线方程： (2)抛物线C上一点N,若NF=6,求N点的坐标： (3)直线1：x=my+1与抛物线C交于A、B两点，若aAB0(0为坐标原点)的面积为4，求m值 44.(24-25高二上·北京石景山期末)拋物线C:y2=4x的顶点为坐标原点0，焦点为F,过F且斜率为 k的直线l与C交于A,B两点， (1)当k=1时，求|AB|: (2)若△0AB的面积为√6，求k的值. 45.(19-20高二上·北京·期中)己知抛物线C:y2=4x,过焦点F的直线1与抛物线C交于A,B两点，定 点M(5,0). (1)若直线1的斜率为1，求△ABM的面积； (2)若△AMB是以M为直角顶点的直角三角形，求直线1的方程. 目目 考点03 椭圆 46. (19-20高三下·福建厦门月考)椭圆C:2x2+y2=2的焦点坐标为() A.(-1,0),1,0) B.(0,-1),(01) c.（-5,0,(5,0) D.(0,-5,(0,5 47.(23-24高二上北京延庆期末)已知P是椭圆二+上=1上的动点，则P到椭圆的两个焦点的距离之和 94 为() A.3 B.4 C.25 D.6 48.(23-24高二上北京延庆期末)“1<m<2是“方程，+户 =1表示椭圆”的() 2-mm-1 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 49.(24-25高二上北京房山期末)条件p:m>0,n>0,条件q:方程mx2+y2=1表示的曲线是椭圆，则p 是9() 7/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 50.（23-24商二上北京丰台期末)已知椭圆2+. =1的焦点在x轴上，则m的取值范围是() m-37-m A.3<m<7 B.3<m<5 C.5<m<7 D.m>3 51.（23-24高二上北京丰台期末)已知椭圆C:二+上=1的左、右焦点分别为F,乃，点P在椭圆C上 94 若∠FPF,=90°，则△FPF,的面积为() A.2 B.4 C.8 D.9 522425庙三上北京延庆期末)已知椭個C中 +方=1(a>b>0)的左右焦点为F,F,上下顶点为 B,B,若△EB,F,为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为() A.方 B.② c. D.3 2 53.(24-25高二上北京石景山期末)已知F,E是椭圆C的两个焦点，满足∠FME,=工的点M总在椭圆 C内部，则椭圆C离心率的取值范围是() A.(0,1) B.0 C.o,2 D.2 54（②324商二上北京通州期末)已知椭同C:若+茶=1a>6>0)的左右点为R,5,上下顶点为 a2+ B,B2,若四边形FB,FB2为正方形，则椭圆C的离心率为() A.√2 B. 3 c.2 2 2 D. 55.(24-25高二上·北京丰台期末)已知圆C:(x+1)2+y2=16及点A(1,0),在圆C上任取一点P,连接 CP，将点P折叠到点A,记CP与折痕I的交点为M(如图)，当点P在圆C上运动时，点M的轨迹方程 为() D A A. -1 B. =1 43 1612 8/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 c.号 D.y -=1 1612 56.(18-19高二上福建期末)已知椭圆C:号+ + =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F(-c,0),F(c,0), 若离心率e=5- （≈0.618），则称椭圆C为“黄金椭圆”则下列三个命题中正确命题的个数是() ①在黄金椭圆C中，b2=ac; ②在黄金椭圆C中，若上顶点、右顶点分别为E,B,则∠FEB=90; ③在黄金椭圆C中，以A(-a,O),B(a,O),D(0-b),E(O,b)为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点F,，FE, A.0 B.1 C.2 D.3 57.(23-24高二上·北京延庆期末)椭圆3x2+4y2=12的长轴长为」 58.（24-25高二上·北京房山期末)一只盛水的圆柱形茶杯倾斜后得到椭圆形水面，若水面与底面所成的 二面角为45，则水面椭圆的离心率为一 四(2425高三上北京怀柔期末)已知椭圆￡：{+y广=1的左右焦点分别是F,乃，点P在椭圆上 则PF+PF,=；若PF·PF,≤0，则点P的横坐标的取值范围是一 ·23-24高三上北京海淀期末)已知四边形ABCD是椭圆M:)+少=1的内接四边形，其对角线AC和 BD交于原点0，且斜幸之积为弓给出下列四个结论： ①四边形ABCD是平行四边形； ②存在四边形ABCD是菱形； ③存在四边形ABCD使得∠AOD=91°： ④存在四边形ABCD使得1ACP+1BDP=4 其中所有正确结论的序号为」 一425高上北家怀柔期未)已知圆E:怎+1a>6>0,左右焦点为R,月，上顶点入 △AEE为正三角形， 点（引车稀区上，过片（与，雄不重合）的直线与样圆E交于1，N两点 (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)在x轴上是否存在定点P(与F不重合)，使得点F到直线PM,PN的距离总相等，若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明理由 62.(24-25高二上·北京延庆期末)已知椭圆的中心是坐标原点0，它的短轴长为2√2，一个焦点F的坐 9/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10 标为(c,0)(c>0),点T的坐标为(-c,0),且椭圆两个焦点之间的距离为4. (1)求椭圆的方程及离心率： (2)如果过点F且斜率为1的直线与椭圆相交于点M,N两点，求aOMN的面积： (3)如果过点T的直线与椭圆相交于点P,Q两点，且OP⊥OQ,求直线PQ的斜率. 6.2425商二上北京延庆期末)已加精国C:号若-川口6>0的腐心率为，右袋点为F,应 Aa,O),且AF=1,过点F的直线l(不与x轴重合)交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别与直线 x=4交于点P,Q, (1)求椭圆C的方程： (2)若PQ≤12，求直线I斜率的取值范围 (3)判断点A与以P?为直径的圆的位置关系，并证明你的结论 4,(2425高三上北京丰台期末)已知椭圆E+@>6>0过点0，，长轴长为4 (1)求椭圆E的方程及离心率： (2)若直线1：y=x+2与椭圆E交于A,B两点，过点B作斜率为0的直线与椭圆的另一个交点为D.求证： 直线AD过定点 65.2425商=上北京密云期末)已知椭四E+a>b>0的一个顶点为40，-2，腐心*为5 5 (1)求椭圆E的方程； (2)过点P0,-3)的直线1与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与直线y=-3交于点M、N, 当PM+PNF15时，求直线1的方程. 23.24高=上北京延庆期末已知椭圆E:怎+1口>b>0)的短半轴长为1，焦距为23 (1)求椭圆E的离心率； (2)设椭圆E的右顶点为A,过点P(4,0)且斜率为k(k+0)的直线交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB,AC分 别与直线x=4交于点M,N.求PM+PN的取值范围. ⑦.23-24高上北京顺义烟)已圆无+1（口>6>0）与)y轴的一个交点为1，及 心率为 2 (1)求椭圆E的方程： 10/13 专题03 圆锥曲线（三大题型+好题推送） 3大高频考点概览 考点01 双曲线 考点02 抛物线 考点03 椭圆 地 城 考点01 双曲线 1．（24-25高二上·北京怀柔·期末）双曲线：的右焦点到其渐近线的距离为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】首先求出右焦点坐标与渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算可得. 【详解】双曲线：的右焦点, 渐近线方程为，即， 所以右焦点到其渐近线的距离. 故选：B 2．（24-25高二上·北京延庆·期末）双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出双曲线的和，即得双曲线的离心率. 【详解】由题意得，，，所以双曲线的离心率为. 故选：A. 3．（24-25高二上·北京怀柔·期末）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求“方程表示焦点在轴上的双曲线”的等价条件，结合充要条件的定义判断结论. 【详解】“方程表示焦点在轴上的双曲线”等价于， 即， 所以“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的充要条件. 故选：C. 4．（24-25高二上·北京丰台·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意及双曲线的渐近线的斜率可得，再由椭圆，双曲线的离心率的求法，分别判断出所给命题的真假． 【详解】由题意可得双曲线的渐近线的斜率的绝对值为，则， 所以，， 所以，且， 则，所以A正确． 故选：A． 5．（24-25高二上·北京延庆·期末）“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由标准方程表示双曲线得出不等式可判断出结论. 【详解】若“方程表示焦点在轴上双曲线”可得，解得； 当时，方程表示焦点在轴上双曲线， 因此“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的充分必要条件. 故选：C. 6．（24-25高二上·北京延庆·期末）已知是双曲线上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，即； 再由双曲线定义可得到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为. 故选：B 7．（23-24高二上·北京通州·期末）已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据离心率计算出的值，然后根据渐近线方程为分析出结果. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以， 所以， 又因为的渐近线方程为，且， 所以渐近线方程为， 故选：A. 8．（23-24高二上·北京房山·期末）下列双曲线中以为渐近线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出各个选项的渐近线，找到满足渐近线为的方程即可. 【详解】对于选项A:由，焦点在轴上，易得,所以渐近线为，即，故选项A正确； 对于选项B:由，焦点在轴上，易得,所以渐近线为，即，故选项B错误； 对于选项C:由，焦点在轴上，易得,所以渐近线为，即，故选项C错误； 对于选项D:由，焦点在轴上，易得,所以渐近线为，即，故选项D错误. 故选：A. 9．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知双曲线C经过点，其渐近线方程为，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由渐近线方程可设双曲线为且，再由点在双曲线上，将点代入求参数m，即可得双曲线方程. 【详解】由题设，可设双曲线为且，又在双曲线上， 所以，则双曲线的方程是. 故选：C. 10．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，再根据离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为， 由题意可得双曲线的焦点在轴上，且，， 所以， 又，所以，解得，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：B. 11．（24-25高二上·北京朝阳·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的双曲线方程，直接求出其渐近线方程. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 故选：C 12．（23-24高二上·北京房山·期末）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的和双曲线的定义结合焦点三角形的性质求解即可. 【详解】设双曲线的方程为， 在椭圆中， 则，因为是以为底边的等腰三角形， 所以，由椭圆的定义可知，， 所以，再由双曲线的定义可得， 所以，因为双曲线与椭圆有公共焦点， 所以， 故双曲线的标准方程为. 故选：C. 13．（23-24高二上·北京通州·期末）已知P为双曲线右支上一点，为双曲线的左右焦点，等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】由双曲线的定义即可求出结果. 【详解】因为P为双曲线右支上一点，所以. 故选：B. 14．（2023·北京房山·二模）已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线渐近线的斜率求得直线的斜率的取值范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为，斜率为， 依题意，点，分别在双曲线的左支和右支上， 所以直线的斜率的取值范围是. 故选：A 15．（23-24高二上·北京·期末）双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线中，，所以渐近线方程为，故选C. 16．（23-24高二上·北京通州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与C交于，两点，若面积是面积的2倍，则m等于（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用面积关系，得到线段比例关系，设出直线与轴交点后求参数即可. 【详解】 易得，故，设，， 直线与轴交点，面积为，面积为， 由题意得面积是面积的2倍，则， 化简得，结合， 故，解得，即，故，解得. 故选：D. 17．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知双曲线的实轴长为，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由实轴长得，由焦点到渐近线的距离为，则可得渐近线方程. 【详解】由双曲线知，焦点在轴上， 设左焦点，其中一条渐近线方程为，即. 由实轴长为得，解得； 由左焦点到渐近线的距离, 则双曲线渐近线方程为. 故选：A. 18．（24-25高二上·北京怀柔·期末）若双曲线的离心率为，写出一个满足条件的双曲线方程 . 【答案】（答案不唯一，等轴双曲线均符合题意） 【分析】本题属于开放性问题，所有等轴双曲线均符合题意. 【详解】因为双曲线的离心率为，即，所以， 故所有等轴双曲线均符合题意，不妨取. 故答案为：（答案不唯一，等轴双曲线均符合题意） 19．（23-24高二上·河南郑州·期中）若抛物线的准线经过双曲线的左焦点，则 ． 【答案】4 【分析】根据双曲线的方程得出其左焦点为，根据抛物线的方程得出其准线为，再根据条件即可求出结果. 【详解】因为双曲线的左焦点为，又抛物线的准线为， 所以，得到， 故答案为：. 20．（15-16高二上·江苏淮安·期末）双曲线的渐近线方程是 ． 【答案】 【详解】根据双曲线的渐近线公式得到 故答案为. 21．（24-25高二上·北京延庆·期末）已知直线与双曲线的一条渐近线垂直，则斜率的一个取值是 ． 【答案】或（两者填其一即可） 【分析】由双曲线方程可求出渐近线方程，再由两直线垂直可得斜率. 【详解】易知双曲线的渐近线方程为， 由直线与双曲线的一条渐近线垂直，所以可得， 解得. 故答案为：或（两者填其一即可） 22．（24-25高二上·北京密云·期末）双曲线的渐近线方程为 ，离心率为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的方程，得出、、的值，可得出该双曲线的渐近线方程以及离心率的值. 【详解】在双曲线中，，，， 因此，该双曲线的渐近线方程为，离心率为. 故答案为：；. 23．（24-25高二上·北京房山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，则双曲线的离心率为 ；若是双曲线上任意一点，则 ． 【答案】 4 【分析】根据离心率公式以及双曲线的定义即可求解. 【详解】由题意可得，故， 则， 由于， 故答案为：，4 24．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知曲线且.若为双曲线，则的一个取值为 ；若为椭圆，则的所有可能取值为 . 【答案】 3（答案不唯一） 【分析】由双曲线和椭圆的方程性质结合题意列不等式组可得； 【详解】若为双曲线，则，解得或， 又，所以的一个取值可能为3； 若为椭圆，则，解得且， 又，所以的所有可能取值为； 故答案为：3（答案不唯一）；. 地 城 考点02 抛物线 25．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据焦半径公式，即可求解. 【详解】由焦半径公式可知，，得. 故选：A 26．（24-25高二上·北京延庆·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求抛物线的焦点的坐标和准线方程，结合抛物线定义求结论. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 因为到直线的距离为， 所以到准线的距离为， 所以， 故选：A. 27．（24-25高二上·北京房山·期末）二次函数的图象是抛物线，该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将抛物线方程化为标准方程，可得出其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为，则，可得，故其焦点坐标为. 故选：A. 28．（23-24高二上·北京通州·期末）已知点在抛物线上，且点A到抛物线准线的距离为3，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的定义可求出，再由即可求出结果. 【详解】由抛物线的定义知，点A到抛物线准线的距离为，所以， 又，所以. 故选：D. 29．（22-23高二上·江苏连云港·期末）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据抛物线方程得到值，则得到焦点到准线的距离. 【详解】，，所以焦点到准线的距离为2. 故选：B． 30．（23-24高二上·北京房山·期末）已知为抛物线上一点，到的焦点的距离为，到轴的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦半径的性质即可得. 【详解】，故. 故选：B. 31．（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可得解. 【详解】因为动点到定点的距离比到轴的距离大， 所以动点到定点的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程是. 故选：B. 32．（23-24高二上·北京·期末）抛物线的准线方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程. 【详解】， 抛物线的准线方程为， 即，故选A . 33．（23-24高二上·北京朝阳·期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】将直线的方程与抛物线方程联立，得，由焦点弦长公式得弦长. 【详解】抛物线的焦点，直线的方程为， 联立方程组，得， 设，， 则，. 故选：D. 34．（24-25高二上·北京朝阳·期末）设抛物线的焦点为，则 ；点在抛物线上，若，则点的横坐标为 . 【答案】 【分析】根据抛物线焦点坐标公式，结合抛物线的定义进行求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点为， 所以有； 设点的横坐标为，该抛物线的准线方程为：， 因为点在抛物线上， 所以根据抛物线的定义，由， 故答案为：； 35．（24-25高二上·北京石景山·期末）已知拋物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则 . 【答案】 【分析】求出抛物线的准线方程，即可求出，再根据焦半径公式计算可得. 【详解】拋物线的准线为，因为点在上且到直线的距离为5， 所以，解得， 所以. 故答案为： 36．（23-24高二上·北京顺义·期末）探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线C：，一条光线经过点，与x轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点M到点N经过的总路程为 . 【答案】24 【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解. 【详解】由题意可知：抛物线C：的准线， 设入射光线所在直线与抛物线和准线分别交于点，两次反射后反射光线所在直线与抛物线和准线分别交于点， 可知， 所以光线从点M到点N经过的总路程为 . 故答案为：24. 37．（24-25高二上·北京延庆·期末）若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ． 【答案】 【分析】求抛物线的焦点坐标，再求椭圆的焦点坐标，由条件列方程求，再求抛物线的准线方程. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 椭圆的焦点坐标为，， 由已知，所以， 所以抛物线的方程为，其准线方程为. 故答案为：. 38．（23-24高二上·北京通州·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于，已行车道AB总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为 m． 【答案】/ 【分析】先求出抛物线的解析式，再根据题意判断该隧道能通过的车辆的最高高度即可得到结论. 【详解】取隧道截面，抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系， 设抛物线方程为，由图易知抛物线过点， 所以，得到，故抛物线方程为， 又行车道AB总宽度，将代入，得到， 所以限制高度为， 故答案为：. 39．（24-25高二上·北京延庆·期末）“中国天眼”反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），利用了抛物线的光学性质：由其焦点出发的光线照射到抛物线，经反射后的光线平行于抛物线的对称轴．如图所示：抛物线，一条光线经过，与轴平行照射到抛物线上的点处，第一次反射后经过抛物线的焦点到抛物线上的点处，第二次反射后经过，则的坐标为 ，的值为 ． 【答案】 【分析】由条件先确定的纵坐标，代入抛物线方程可得的横坐标，由条件结合抛物线定义求的值. 【详解】由已知，，， 所以点的纵坐标为，代入抛物线方程， 可得，所以点的横坐标为， 所以的坐标为， 又抛物线的准线方程为， 且， 设点的横坐标为，点的横坐标为， 则，， 由抛物线定义可得，， 所以的值为， 所以的值为. 故答案为：，. 40．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线经过抛物线的焦点，且与C的两个交点为P，Q． (1)求C的方程； (2)将向上平移5个单位得到与C交于两点M，N．若，求值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线与轴交点得焦点，待定可得方程； （2）联立直线与抛物线的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于的方程，求解可得. 【详解】（1）抛物线的焦点在轴上， 直线，令，得，则焦点， 所以，即， 所以抛物线的方程为； （2）直线向上平移5个单位得到， 由，消得， 设直线与交于两点， 则，且， ， 由，化简整理得， 解得（舍）或， 所以. 41．（23-24高二上·北京房山·期末）已知直线与抛物线相交于两点． (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)求弦长． 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为 (2)16 【分析】（1）根据抛物线的方程求出焦点坐标和准线方程即可； （2）直线与抛物线方程联立，根据弦长公式求得弦长. 【详解】（1）由抛物线的方程可知，抛物线开口向右， 所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为． （2）将代入，整理得． 设，则， 所以. 42．（24-25高二上·北京房山·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离是. (1)求抛物线的方程和准线方程； (2)若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长． 【答案】(1)， (2)8 【分析】（1）根据抛物线的性质，焦点到准线的距离是，可得解； （2）根据抛物线焦点弦公式求解. 【详解】（1）焦点到准线的距离是， 抛物线的方程为，即.     准线方程为. （2）由（1）知焦点，直线的方程为，                 由 ，消去得，            则，                46．（23-24高二上·北京顺义·期末）如图，已知M是抛物线C：（）上一点，F是抛物线C的焦点，以Fx为始边，FM为终边的，且，l为抛物线C的准线，O为原点. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线FM与抛物线C交于另一个点N，过N作x轴的平行线与l相交于点E.求证：M，O，E三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）方法1：作出辅助线，由焦半径公式和得到为等边三角形，求出，得到抛物线方程； 方法2：过M作轴，垂足为G，设点M的横坐标为，得到方程组，求出答案； 方法3：点，求出，代入抛物线方程中，得到方程，求出，得到答案； （2）求出直线FM的方程，联立抛物线方程，得到M，进而得到E，从而求出，，证明出结论. 【详解】（1）方法1：过M作，垂足为A，连结FA，则， 因为，所以，为等边三角形， 故. 因为，所以， 即， 故抛物线C的方程为.    方法2：过M作轴，垂足为G， 则. 设点M的横坐标为， 根据题意得： 解得.抛物线C的方程为.    方法3：设点， 则， 因为在抛物线C上，所以， 化简得， 解得或（舍）. 抛物线C的方程为. （2）证明：抛物线C的焦点，， 直线FM的方程为. 联立方程得， 解得，，所以， M点坐标为，E点坐标为， 因为，.    所以M，O，E三点共线. 43．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知抛物线：的焦点为，且经过点. (1)求抛物线的标准方程、焦点坐标及准线方程； (2)抛物线上一点，若，求点的坐标； (3)直线：与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）的面积为4，求值. 【答案】(1)，， (2) (3)的值为或. 【分析】（1）将代入抛物线方程可求，由此可求抛物线方程，再求其焦点坐标和准线方程； （2）由条件结合抛物线的定义求点的横坐标，再代入抛物线方程求其纵坐标，由此可得结论； （3）联立方程组，结合设而不求法表示的面积，列方程求. 【详解】（1）抛物线经过点， ，故， 抛物线的方程为， 抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， （2）由向准线引垂线，垂足为， 若，由抛物线定义可知：，且准线方程：， ∴点的横坐标为，代入抛物线方程得到. ， 所以点的坐标为. （3）因为直线的方程为，所以直线过点， 联立，消可得， 方程的判别式， 设，， 由已知为方程的两根， 所以，， 又的面积， 所以， 由已知，，解得， 所以的值为或. 44．（24-25高二上·北京石景山·期末）拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得到焦点坐标，则直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式表示出，再代入即可得解； （2）求出点到直线的距离，再由面积公式得到方程，解得即可. 【详解】（1）拋物线的焦点， 则直线的方程为． 设， 由，得， 则，所以， 所以， 当时，． （2）因为， 点到直线的距离， 所以， 化简得，解得，即． 45．（19-20高二上·北京·期中）已知抛物线C：y2=4x，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，定点M（5，0）． (1)若直线l的斜率为1，求△ABM的面积； (2)若△AMB是以M为直角顶点的直角三角形，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）的斜率为1时，，代入抛物线方程得，求出，点到直线的距离，即可求的面积； （2）设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去，根据韦达定理表示出，，，由，求得值，进而得出结论． 【详解】（1）解：由题意，当的斜率为1时， 代入抛物线方程得 设，，，，，， 点到直线的距离 的面积； （2）解：易知直线时不符合题意．可设焦点弦方程为，，，，， 代入抛物线方程得，则 ，， ，，，，， ，． 故的方程为 地 城 考点03 椭圆 46．（19-20高三下·福建厦门·月考）椭圆：的焦点坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】先化为标准方程，求得，判断焦点位置，写焦点坐标. 【详解】因为椭圆：， 所以标准方程为， 解得， 因为焦点在y轴上， 所以焦点坐标为，. 故选：B 47．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知是椭圆上的动点，则到椭圆的两个焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求解出的值，再由椭圆定义可知结果. 【详解】由椭圆方程可知：， 由椭圆定义可知：到椭圆的两个焦点的距离之和为， 故选：D. 48．（23-24高二上·北京延庆·期末）“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据“”与“方程表示椭圆”的互相推出关系判断出属于何种条件. 【详解】当时，取，此时，故方程表示圆； 当方程表示椭圆时，则， 解得或， 此时或是的真子集， 所以或可推出； 综上可知，“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件， 故选：B. 49．（24-25高二上·北京房山·期末）条件，条件方程表示的曲线是椭圆，则是（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据椭圆的方程特征即可结合必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】方程表示的曲线是椭圆,则需要满足且， 因此不能推出方程表示的曲线是椭圆， 当时方程表示的曲线是椭圆能得到， 故是必要而不充分条件， 故选：B 50．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的标准方程，列出不等式组，即可求解. 【详解】由椭圆的焦点在轴上，则满足，解得. 故选：C. 51．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，椭圆，可得，则， 因为点在椭圆上，可得， 又由，可得, 联立方程组，可得， 所以的面积为. 故选：B.    52．（24-25高二上·北京延庆·期末）已知椭圆的左右焦点为，，上下顶点为，，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解. 【详解】根据为等腰直角三角形，故, 故 ， 故选：B 53．（24-25高二上·北京石景山·期末）已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆，根据点总在椭圆内部，可得，再根据椭圆的性质能够推导出椭圆离心率的取值范围． 【详解】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为，，， 因为，所以点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆． 又点总在椭圆内部， 所以该圆内含于椭圆，即，所以，则． ，，即椭圆离心率的取值范围是． 故选：C． 54．（23-24高二上·北京通州·期末）已知椭圆的左右焦点为，上下顶点为，若四边形为正方形，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四边形为正方形得到的关系，结合离心率计算公式求解出结果. 【详解】因为四边形为正方形，所以，所以， 所以， 故选：C. 55．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，可求点的轨迹方程可求． 【详解】连接， 圆的圆心坐标为，半径为4． 因为将点折叠到点A，记与折痕的交点为，所以， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以， 所以，所以点的轨迹方程为． 故选：A． 56．（18-19高二上·福建·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，，若离心率，则称椭圆为“黄金椭圆”.则下列三个命题中正确命题的个数是（  ） ①在黄金椭圆中，； ②在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为，，则； ③在黄金椭圆中，以，，，为顶点的菱形的内切圆过焦点，． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据黄金椭圆的概念及可判断①，根据条件及勾股定理可判断②，根据条件可求内切圆的半径进而可判断③. 【详解】对①，因为，所以，则 ，故①正确； 对②，因为在中，，由①知，， 所以， 即，故②正确； 对③，由题可知以为顶点的菱形的内切圆是以原点为圆心，设圆心的半径为， 所以， 代入离心率得到，所以圆过焦点，故③正确． 故选：D． 57．（23-24高二上·北京延庆·期末）椭圆的长轴长为 ． 【答案】 【分析】将椭圆方程化为标准方程，根据椭圆的性质计算即可. 【详解】由， 显然椭圆的焦点在横轴上，其实轴长为. 故答案为： 58．（24-25高二上·北京房山·期末）一只盛水的圆柱形茶杯倾斜后得到椭圆形水面，若水面与底面所成的二面角为，则水面椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】如图，可得椭圆的长轴与短轴，据此可得答案. 【详解】如图，AC为椭圆长轴，为椭圆短轴， 因水面与底面所成的二面角为，则，则， 则. 故答案为： 59．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知椭圆：的左右焦点分别是，，点在椭圆上，则 ；若，则点的横坐标的取值范围是 . 【答案】 【分析】由椭圆方程求，结合椭圆的定义求，求点的坐标，设，由条件列方程和不等式，化简求解即可. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则，，， 所以，， 由椭圆的定义可得， 设，则，， 因为，所以，即，， 解得，所以点的横坐标的取值范围是. 故答案为：；. 60．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知四边形是椭圆的内接四边形，其对角线和交于原点，且斜率之积为．给出下列四个结论： ①四边形是平行四边形； ②存在四边形是菱形； ③存在四边形使得； ④存在四边形使得． 其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到的表达式，然后利用基本不等式求的最大值，可判断④. 【详解】因为四边形是椭圆的内接四边形，和交于原点， 由椭圆的对称性可知且， 所以四边形是平行四边形，故①正确； 假设对角线和的斜率分别为 ， 若四边形是菱形，则其对角线互相垂直，即， 而这与矛盾，所以不存在四边形是菱形，故②错误； 不妨设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，且， 则，又，则， 则 ， 又，则， 所以存在四边形使得，故③正确； 直线的方程，直线的方程， 由，得，即，可得， 同理可得， 则， 由，得，令， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立； 于是， 当且仅当，即四边形矩形时，等号成立， 所以存在四边形使得，故④正确. 故答案为：①③④. 61．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知椭圆：，左右焦点为，，上顶点为，为正三角形，点在椭圆上，过（与轴不重合）的直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)在轴上是否存在定点（与不重合），使得点到直线，的距离总相等，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）依题意可得，即可求出离心率，再根据椭圆过点，即可得到方程组，求出、，即可求出椭圆方程； （2）方法一：设直线方程：，当时显然成立，当时，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，设轴上点，依题意可得为的平分线，与互为相反数，根据求出的值，即可得解；方法二：当直线斜率不存在时显然成立，直线的斜率存在时，设直线的方程：，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，设轴上点，依题意可得为的平分线，与互为相反数，根据求出的值，即可得解. 【详解】（1）为正三角形， ，， 椭圆过点， 或者，解得， 椭圆的方程为； （2）方法一：过的直线与轴不重合，设直线方程：， 当时，直线与轴垂直，由椭圆的对称性可知为等腰三角形（与不重合）， 因为为的中点，为的角分线， 到直线，的距离总相等. 当时，，消去整理得， 由条件可知恒成立，设，， ①，②， 设轴上点， 由于点到直线，的距离总相等， 为的平分线， 与互为相反数， ， ， 整理得：， 将①②代入上式， 当时，化简得到，解得，即， 故在轴上存在定点使得点到直线，的距离总相等. 方法二： 当直线的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知为等腰三角形（与不重合）， 为的中点，为的角分线， 到直线，的距离总相等， 当直线的斜率存在时，设直线的方程：， 又，消去得， 由条件可知恒成立，设，， ①，②， 设轴上点，由于点到直线，的距离总相等， 为的平分线 与互为相反数 ， ， 整理得， 将①②代入上式， 整理得， 所以， ，即， 故在轴上存在定点使得点到直线，的距离总相等.    62．（24-25高二上·北京延庆·期末）已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，点的坐标为，且椭圆两个焦点之间的距离为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)如果过点且斜率为的直线与椭圆相交于点，两点，求的面积； (3)如果过点的直线与椭圆相交于点，两点，且，求直线的斜率． 【答案】(1)， (2) (3)答案见解析 【分析】（1）先设椭圆方程再利用焦点之间距离，及短轴长联立方程得到结果. （2）列过点且斜率为的直线与椭圆联立，求出三角形的高和底边. （3）设，利用“设而不求法”把OP⊥OQ转化为，求出 斜率k，即可求出直线方程. 【详解】（1）由题意椭圆的焦点在轴上，标准方程设为 所以解得， 所以椭圆C的方程为， 椭圆离线率． （2）过点且斜率为的直线方程为， 联立得． 则，． 的高 （3）当直线过点且斜率存在时，设方程为， 联立得． 则，．    因为过点的直线与椭圆相交于点，两点，且， 设，知成立， ，解得，经检验可知 当斜率不存在时，不成立. 63．（24-25高二上·北京延庆·期末）已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且，过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，，直线，分别与直线交于点，. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线斜率的取值范围； (3)判断点与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论. 【答案】(1) (2) (3)点在以为直径的圆的内部，证明见解析 【分析】（1）由条件结合离心率的定义及椭圆的性质列关于的方程，解方程求，由此可得椭圆方程； （2）设直线的方程为，，联立方程组结合根与系数关系求，求直线的方程，代入求点的坐标，同理可求，由列不等式求的范围； （3）先判断点在以为直径的圆的内部，再分别在直线的斜率不存在及直线的斜率存在时，结合（2）证明，即，由此证明判断. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 由题意得，解得，， 所以椭圆C的方程为． （2）由（1），， 当直线l的斜率不存在时，有，， 直线的方程为， 令可得，即点的坐标为， 直线的方程为， 令可得，即点的坐标为， 此时，． 当直线l的斜率存在时，设，其中． 联立，得． 方程的判别式， 设， 则，． 直线的方程为， 令，得，即，同理可得． 所以 将代入整理得 因为，所以， 解得； （3）观察图象可判断，点在以为直径的圆的内部. 证明：当直线l的斜率不存在时，有，， 直线的方程为， 令可得，即点的坐标为， 直线的方程为， 令可得，即点的坐标为， 则，， 故，即．    当直线的斜率存在时， 由（2）可知，． 所以，． 因为 ， 所以，    综上，点在以为直径的圆的内部. 64．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知椭圆过点，长轴长为4. (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线l：与椭圆E交于A，B两点，过点B作斜率为0的直线与椭圆的另一个交点为D. 求证：直线AD过定点. 【答案】(1)，离心率 (2)证明见解析 【分析】（1）利用已知易求得，易求得椭圆方程与离心率； （2）设点A的坐标，点B的坐标，则点D的坐标，联立方程组，结合韦达定理可得，表示出直线AD的方程为：，令得：计算可求得定点. 【详解】（1）因为椭圆E过点，所以， 又因为长轴长为4，所以，所以， 所以. 椭圆E的方程为：，离心率. （2）由得：， 由得：或， 设点A的坐标，点B的坐标，则点D的坐标， ，    由已知得直线AD有斜率，直线AD的方程为：， 令得： ， 所以直线AD过定点. 65．（24-25高二上·北京密云·期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点、，当时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】(1利用椭圆的定义求解椭圆的方程即可， （2）设直线方程，利用结合韦达定理求解出直线的斜率从而求解出直线的方程得到答案. 【详解】（1）因为椭圆过点，所以则．     又因为离心率，，所以．     故椭圆的方程为． （2）根据题意，直线的斜率存在，且不为0． 设直线，     令消去得． 令，解得或．    ① 设，， 则，，     又因为直线，     令，则．     同理．     因为，且，所以． 所以 ．     故，解得，满足①式． 所以直线的方程为或． 66．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知椭圆：的短半轴长为1，焦距为． (1)求椭圆的离心率； (2)设椭圆的右顶点为，过点且斜率为的直线交椭圆E于不同的两点，直线分别与直线交于点．求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由短半轴，焦距及求解出，再根据离心率公式即可得解； （2）设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表达出，结合求得答案. 【详解】（1）依题意知，解得， 所以离心率； （2）由（2）得，椭圆E的方程为，则， 设直线的方程为， 联立得， ，得，且.， 设，， 则， 设，依题意有:，， 因为， 所以， 所以 ， 因为，且，所以， 所以的取值范围是. 67．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知椭圆E：（）与y轴的一个交点为，离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)设过点A的直线l与椭圆E交于点B，过点A与l垂直的直线与直线交于点C.若为等腰直角三角形，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据椭圆上的点和离心率求出椭圆方程； （2）方法1，设出l的方程与椭圆联立方程组，求出点的坐标，根据为等腰直角三角形列式运算得解；方法2，过点A作直线的垂线，垂足为D，再过点B作直线的垂线，垂足为F，易判断，可得，求出点坐标，得解. 【详解】（1）由已知得解得，. 所以椭圆E的方程为. （2）方法1：由题意可知，直线l与y轴不垂直， 又当l与x轴垂直时，显然. 所以，设直线l的方程为（）， 联立方程，消去y整理得（*），易得， 设点，则由点及方程（*）的根与系数的关系得，， ， 因为，所以直线的方程为， 将代入，解得.故点C的坐标为 . 由为等腰直角三角形知，即， 化简整理得，即，解得 所以直线l的方程为或. 方法2： 由题意可知，直线l与y轴不垂直，又当l与x轴垂直时，显然. 过点A作直线的垂线，垂足为D，再过点B作直线的垂线，垂足为F. 因为，所以. 当时，易判断.所以. 由，求得， 由此可知点B的坐标为或， 直线l的斜率或， 所以直线l的方程为或. 68．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知椭圆的右顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点.在轴上是否存在点使得直线与直线的斜率之和为0？若存在，求出点的坐标：若不存在.说明理由. 【答案】(1) (2)存在，. 【分析】（1）由右顶点及离心率可得a，c，然后可得椭圆方程. （2）设直线l，，，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可化简直线与直线的斜率之和的表达式，即可得答案. 【详解】（1）因椭圆右顶点为，离心率为， 则，故椭圆方程为：； （2）由题，设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立， 可得. 因直线与椭圆交于不同的两点，则. 设，由韦达定理. 又设，则，又， 则 . 则. 故轴上存在点使得直线与直线的斜率之和为0. 69．（24-25高二上·北京房山·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于两点（不与重合），直线与轴分别交于两点，求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组计算求出，即可得解； （2）设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再证明即可. 【详解】（1）由题意得 ，又，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设直线方程为，代入得， ，设，        所以，得，   ， ，                       当或坐标为时，，，不合题意； 所以                                                                                                         所以， 是等腰三角形． 70．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，上顶点为，的面积为2，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上不同于顶点的两点M，N关于轴对称，直线与直线交于点，直线与直线交于点.设点，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】 （1）根据题意转化为关于的方程，即可求解； （2）首先设点的坐标，并表示直线的直线方程，并通过联立方程求点的横坐标，由的值，确定和分别关于点对称，即可判断四边形为平行四边形，即可求解. 【详解】（1）由题意，因为， 所以，即， 又因为，即， 所以，解得，由此得， 故椭圆的方程为； （2）由（1）知，，，，所以直线的方程为. 设，则，所以直线的方程为， 与直线的方程联立，得点的横坐标. 又直线的方程为，与直线的方程联立， 得点的横坐标， 所以 . 因为点在椭圆上，所以，即， 所以. 又，所以P，Q两点关于点对称. 又，，所以A，R两点关于点对称， 所以四边形为平行四边形，即，故. 71．（23-24高二上·北京通州·期末）已知椭圆，点A，B为椭圆C的左右顶点（A点在左），，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线与椭圆C交于（与A，B不重合）两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件先求解出的值，然后根据求得的值，则椭圆方程可知； （2）设出方程以及坐标，然后联立直线与椭圆方程得到纵坐标的韦达定理形式，表示出直线的方程并得到点横坐标满足的关系式，结合韦达定理可求点横坐标，由此完成证明. 【详解】（1）由题意可知：，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）证明：由题意，直线的斜率不为0，设直线，， 联立可得， 显然， 所以，所以， 又因为， 所以， 令， 则， 解得，即， 所以点P在定直线上. 72．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线分别交直线轴，轴于点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率、顶点坐标及求出可得答案； （2）直线的方程与椭圆方程联立，设，利用韦达定理求出点坐标，可得直线的方程，令、可得、点坐标，利用两点间的距离公式求出、，再做比值可得答案. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）椭圆的标准方程为，可得， 可得直线的方程为， 与椭圆方程联立，可得， 易知，设，所以，， 所以，代入直线的方程得， 所以， 所以直线的方程为， 当时，， 当时，， 所以，， 所以， ， 所以.   . 73．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知椭圆的两个顶点分别为，离心率为椭圆上的动点，直线分别交动直线于点C，D，过点C作的垂线交x轴于点H． (1)求椭圆E的方程； (2)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合即可求解； （2）结合两点式得直线方程，进而得到点坐标，由直线与直线垂直得到直线的斜率，结合点斜式得直线的方程，进而的到点坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解. 【详解】（1）由，又两个顶点分别为， 则，， 故椭圆E的方程为； （2）为椭圆上的动点，则，故直线的斜率存在且不为0， 则直线：，即，则点， 则直线：，即，则点， 则直线的斜率为，故直线：， 令,得， 又在椭圆上，则，整理得， 所以，则， 所以 综上，存在，使得有最大值. 【好题推送】 74．（23-24高二上·北京丰台·期末）过双曲线的右焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出的长，再利用双曲线定义、结合余弦定理列式求解即得. 【详解】令双曲线的左焦点为，连接，由切圆于得，， 令双曲线的半焦距为c，则，由，得， 由双曲线定义得，在中，， 由余弦定理得，即， 解得，所以双曲线的离心率. 故选：D 75．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知双曲线的左右顶点分别为，右焦点为F，以为直径作圆，与双曲线C的右支交于两点．若线段的垂直平分线过，则的数值为（    ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由双曲线方程得，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得是的中点，得到关系求，进而求出. 【详解】由双曲线，得，， 由题意，点在以为直径的圆上，则， 取的中点,由线段的垂直平分线过，则， 则，故是的中点， 且，所以，解得， 故. 故选：C.    76．（24-25高二上·北京延庆·期末）如图，在长方体中，，，，，，是平面上的动点，且满足的周长为，则面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面中，以的中点为原点，以为轴正方向建立平面直角坐标系，确定点的轨迹方程，求直线的方程，求点到直线的距离的最小值，结合三角形面积公式求结论. 【详解】在平面中，以的中点为原点，以为轴正方向建立平面直角坐标系， 因为，，所以， 因为，，， 所以，，，，，， 因为的周长为，， 所以，所以点的轨迹为以为焦点的，长轴长为的椭圆， 设点的轨迹方程为， 则，， 所以点的轨迹方程为， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 设点的坐标为，， 则点到直线的距离为， 其中， 所以点到直线的距离最小值为，此时， 又， 所以面积的最小值是. 故选：D. 77．（23-24高二上·北京通州·期末）已知曲线．关于曲线W有四个结论： ①曲线W既是轴对称图形又是中心对称图形； ②曲线W的渐近线方程为； ③当时曲线W为双曲线，此时实轴长为2； ④当时曲线W为双曲线，此时离心率为． 则所有正确结论的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】①根据以代换、代换、以代换，代换后方程是否变化作出判断；②根据、时的关系式作出判断；③根据的关系式判断是否为双曲线，然后通过将图形顺时针旋转再作出判断；④根据的关系式判断是否为双曲线，结合③中的旋转过程以及渐近线方程可求解出离心率. 【详解】①以代换可得方程，即为，故曲线关于轴对称， 以代换可得方程，即为，故曲线关于轴对称， 以代换，代换可得方程，即为，故曲线关于原点成中心对称， 所以曲线既关于轴对称，也关于轴对称，同时关于原点成中心对称，故①正确； ②如下图： 当时，，可知渐近线为； 当时，，可知渐近线为； 所以曲线的渐近线方程为，故②正确； ③当时，，显然此时曲线为双曲线， 因为与的交点为，所以， 将双曲线绕原点顺时针旋转，如下图： 此时双曲线与轴的交点为， 所以，所以实轴长为，故③错误； ④当时，，显然此时曲线为双曲线， 将双曲线绕原点顺时针旋转，此时渐近线方程为， 所以，所以离心率，故④正确， 故答案为：①②④. 78．（23-24高二上·北京通州·期末）已知直线与抛物线相交于A，B两点． (1)求弦长及线段的中点坐标； (2)试判断以为直径的圆是否经过坐标原点O？并说明理由． 【答案】(1)，中点坐标为 (2)以为直径的圆不经过坐标原点O，理由见解析 【分析】（1）设出坐标，联立直线与抛物线方程得到横坐标的韦达定理形式，根据弦长公式结合韦达定理可求，根据的值可求线段的中点坐标； （2）根据韦达定理计算出的值，然后可判断出结果. 【详解】（1）设， 联立，消去y整理得，且， 所以， 所以， 又因为， 所以线段的中点坐标为． （2）以为直径的圆不经过坐标原点O． 因为， 所以与不垂直， 故以为直径的圆不经过坐标原点O． 79．（23-24高二上·北京房山·期末）已知椭圆C：（）的一个焦点为，一个顶点为． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)已知直线与椭圆相切于点，直线交轴于点，为坐标原点，，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由焦点和顶点坐标得椭圆的方程及离心率； （2）设直线方程为，代入椭圆方程，得切点M的坐标，由得，，求的面积. 【详解】（1）由题意可得，，所以， 所以椭圆的方程为， 离心率． （2） 易知直线斜率存在， 设直线的方程为，代入椭圆方程， 整理得， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 得， 设，则， 所以 ，， 因为，所以， 整理得，所以， 所以． 80．（19-20高三上·北京昌平·期末）已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线与的斜率之积为定值； (3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论． 【答案】(1) (2)定值为，证明见解析. (3)三点，，共线，证明见解析. 【分析】（1）首先根据题意得到，再解方程组即可. （2）设，，，再计算即可. （3）分别计算和，根据， 为公共点，即可证明，，三点共线. 【详解】（1）由题知：， 所以椭圆：. （2）由题知：，存在，且不为零，设，，， 则，即. . 所以直线与的斜率之积为定值. （3），，三点共线，证明如下： 设直线：，则直线：， 将代入直线，得：，， ，设直线：， 联立， 设，则，解得， 所以，即， 所以，， 所以， 为公共点，所以，，三点共线. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $