专题05 导数（三大题型+好题推送）（期末真题汇编 ，北京专用）高二数学上学期人教A版

专题05 导数（三大题型+好题推送） 3大高频考点概览 考点01 导数的运算法则 考点02 导数的几何意义 考点03 导数及其应用 地 城 考点01 导数的运算法则 1．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据函数乘法求导公式进行求导即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数，，则的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出，，得到不等式，结合函数定义域，解出. 【详解】因为，定义域为，，定义域为， 所以，， 则，即，解得. 故选：A. 3．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知函数，则 . 【答案】 【分析】由复合函数导数运算公式求导函数，代入求导数值即可. 【详解】由，则， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高二上·北京密云·期末）若函数，则 ． 【答案】/ 【分析】对函数进行求导，进而代入计算即可得解. 【详解】因为函数，所以，所以， 故答案为：. 地 城 考点02 导数的几何意义 5．（24-25高二上·北京密云·期末）曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用切线与直线平行得到切线的斜率，再利用导数求出在点处的导数值利从而求出结果. 【详解】令则直线的斜率为 则. 地 城 考点03 导数及其应用 6．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知函数若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分，，三种情况讨论，将恒成立问题分参转化为最值问题，借助导数及函数的性质计算即可. 【详解】当时，不等式恒成立； 当时，此时，即， 即对任意恒成立， 令在上单调递减，则，故. 当时，此时，即， 即，对任意恒成立， 令，其中，则， 令，则， 所以在上单调递减， 又，要使在恒成立， 则在恒成立， 即在恒成立， 令，则在上单调递减，， 所以. 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：利用参变分离，再运用函数的思想研究不等式，并结合导数研究函数的单调性与最值. 7．（24-25高二上·北京密云·期末）函数的导函数的图象如图所示，下列选项正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处切线的斜率小于零 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义与极值极值点的定义分别判断各选项. 【详解】对于A，由图象可知，当时，，函数单调递增，故A错误； 对于B，由图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递增，故不是的极小值点，故B错误； 对于C，由图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，故是的极大值点，故C正确； 对于D，由图象可知，则曲线在处切线的斜率大于零，故D错误. 故选：C. 8．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【分析】结合瞬时变化率与平均变化率变化率结合图象分析即可得. 【详解】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确. 故选：D. 9．（23-24高二上·北京朝阳·期末）为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 【答案】D 【分析】选项A，结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B，由切线倾斜程度的大小比较可得；选项C，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D，利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同. 【详解】选项A，设， 设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为， 结合图像可知：， 所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误； 选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知， 直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度， 而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快， 从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误；      选项C，设为接近的时刻且， 从时刻到时刻，污水排放量平均变化率， 由导数的定义与几何意义可知， 在接近时，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替. 设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为， 结合图象可知， 所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误；    选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等， 即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同， 所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确. 故选：D.    10．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)求的极值． 【答案】(1) (2)单调递增区间是和，单调递减区间是 (3)极大值为，极小值为 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数与函数单调性的关系可求出函数的增区间和减区间； （3）利用（2）中的结论可得出函数的极大值和极小值. 【详解】（1）由函数，得，所以，． 所以函数在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，由（1）得， 令，得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. （3）由（2）可知，函数的极大值为，极小值为. 11．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数，. (1)判断函数的单调性； (2)证明：． 【答案】(1)在区间单调递减，在区间单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）先求导，再结合导数与函数单调性的关系判断即可. （2）由（1）得，==，判断可知要证，即证，．令，利用导数判断函数的最小值，证得，即可求证. 【详解】（1）由 ，， 得．     因为，令，所以．     当时，，在区间单调递减；     当时，，在区间单调递增．     所以，在区间单调递减，在区间单调递增． （2）由（1）得，==． 所以，要证， 只需证，即证，． 令， 则． 0 ↘ 极小值 ↗ 所以．     因此，对于任意正数，恒成立． 所以当时，恒成立． 12．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)单调递增区间为；单调递减区间为 【分析】（1）由导数的几何意义利用导数求切线的斜率，再由点斜式求切线方程； （2）按步骤利用导数求函数的单调区间. 【详解】（1）由，的定义域为. 则， 所以，又， 所以在点处的切线方程为. （2）， 由，得，或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数的单调递增区间为； 单调递减区间为. 13．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)． (2)单调减区间是，单调增区间是． 【分析】（1）求出导函数，计算导数得切线斜率，再求得后由点斜式得切线方程并整理成一般式； （2）由得增区间，由得减区间． 【详解】（1），，又， 所以切线方程为，即． （2），定义域是， ， 当时，，当时，， 所以的单调减区间是，单调增区间是． 14．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知函数． (1)当时，求证：在上是增函数； (2)若在区间上存在最小值，求的取值范围； (3)若仅在两点处的切线的斜率为1，请直接写出的取值范围．（结论不要求证明） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导，讨论导函数的符号证明增减性即可； （2）对分类讨论，判断函数在上的单调性即可求解的取值范围； （3）仅在两点处的切线的斜率为1，即有两个不同解，转化为与或与的图象有两个交点求解即可. 【详解】（1）当，即时，， 令解得， 当时，，当时，， 又连续，所以在上是增函数. （2）， 当时，， ①当时，在上恒成立， 所以，在区间上单调递增，所以在区间上不存在最小值： ②当时，令解得，此时， 0 极小值 所以存在最小值，且， 综上a的取值范围是． （3）仅在两点处的切线的斜率为1，即有两个不同解， 解法一：方程有两个不同的解，即与的图象有两个交点， 令，则， 所以图象大致如下， 由图象可知与的图象有两个交点，则的取值范围为. 解法二：方程有两个不同的解，即与的图象有两个交点， 在同一坐标系上画和的图象如图， 由图象可得当时与的图象有两个交点，即的取值范围为. 15．（24-25高一上·北京·期末）已知函数. (1)当时，求的零点个数； (2)设，函数. （i）判断的单调性； （ii）若，求的最小值. 【答案】(1)2个 (2)（i）在上单调递增，在和上单调递减；（ii） 【分析】（1）求出函数导数，判断函数单调性，结合零点存在定理即可得结论； （2）（i）求导，利用导数的正负即可判断函数单调性；（ii）利用得到是关于的方程的两个不同的实根，从而得到，，即，从而表示出，构造函数求解，即可得答案. 【详解】（1）由题可知，则， 令，可得， 当时，在单调递减， 当时，在单调递增， ， 又，， 即在和内各有一个零点， 有2个不同的零点. （2）（i）由题可知， 则， 令，可得或， 当时，，当时，， 在上单调递增，在和上单调递减. （ii）由，可得，是关于的方程的两个不同的实根， 故，，即. 故 ， 设， 当时，， 为上的增函数， 的最小值为， 故的最小值为. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05导数（三大题型+好题推送) ☆3大高频考点概览 考点01导数的运算法则 考点02导数的几何意义 考点3导数及其应用 目目 考点01 导数的运算法则 1.(24,25高二上北京朝阳期未)已知函数f)='sins,则=() A.e'cos.x B.-e'cosr C.(sinx+cosx) D.e*(sinx-cosx) 2.(24-25高二上北京密云期末)己知函数f=nx, 8()=1- x,则f'()<g')的解集为（) A.(0y (1,e) C.0+o) D. (0,+0) 3.（23-24高二上北京朝阳期末)已知函数f)=sin2x, 则/10)= 4. (24-25高二上：北京密云·期末)若函数f=i血x,则f(宁=一、 考点02 导数的几何意义 5. (2425高二上北京密云期未)曲线f国=x+a乐在点4f0》处的切线与直线'=2x+5平行，则a= () A.0 B.2 C.1 D.3 目目 考点03 导数及其应用 1/5 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 x2-2x,x≤0 6。(23-24高二上·北京海淀·期末)已知函数)= ln(x+1),x>0若不等式x(f(x)-ax)≤0对任意实数 x恒成立，则a的取值范围是() (0,1] (0,2] A. B. c.1,21 D.L,+∞) 7.(2425高二上北京密云期末)函数”=f)的导函数y=f) 的图象如图所示，下列选项正确的是 () -2-1 A.Y=/(r 在区何3-2) 上单调递减 B.-2是=f 的极小值点 C.1是y=f 的极大值点 D.曲线'=f田东0，f0) 在 处切线的斜率小于零 8.(24-25高二上·北京朝阳·期末)建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社 会经济效益已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量W与时间的关系如下图所示 W个 甲水库 乙水库 乙永库 甲水库 0 下列叙述中正确的是() A,在0，这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B.在6,5这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 2/5 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 C.甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D.乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在？时刻蓄水量的瞬时变化率 9.(23-24高二上北京朝阳·期末)为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理， 已知某月两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，下列说法正确的是() W to A.该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B.该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C.在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D.该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同 10.（2425高二上北京密云期末)已知函数1八=号2-3r2+4-1 0)求曲线'=f在0，f0川处的切线方程， 2求 的单调区间； ③)求 的极值. (-0,1 1 (1,2 2 (2,+0) f'（x 0 0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 1.(24-25高二上北京密云期末)已知函数0=ae+2a)-, a>0 f(x) (1)判断函数的单调性； 3/5 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)证明： f>21na+3+a2 2 2 学 g'(a) 0 g(x) 极小值 → 12.(23-24高二上北京朝阳期末)已知函数f)=(2r-3xe ①求曲线"=f在点0，o) 处的切线方程： ②求的单调区间。 13.(24-25高二上北京朝阳期末)已知函数f(x=r-4x ①求曲线”=f在点f川处的切线方程： 2)求函数 的单调区间 14.(23-24高三上·北京海淀期末)已知函数/)=(r-e-a ()当a=1 f(x)R 时，求证： 在上是增函数： 2)诺) 0,+0) 在区间 上存在最小值，求“的取值范围： (x) (3)若1 仅在两点处的切线的斜率为1，请直接写出“的取值范围.（结论不要求证明） (0,na) Ina (In a,+o) f'(x) 0 + f(x) 极小值 15.(24-25高一上北京期未)已知函数)=c--2aeR 0)当a=2时，求的零点个数 4/5 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 2)设a≥2，函数g四=+e*-1 (①判断8的单调性： (i若8网=8网=0m<m川，求3到m+8川的最小值 5/5