专题04 数列（五大题型+好题推送）（期末真题汇编 ，北京专用）高二数学上学期人教A版

专题04 数列（五大题型+好题推送） 5大高频考点概览 考点01 数列的概念与简单表示法 考点02 等差数列 考点03 等比数列 考点04 数列求和 考点05 数列新定义 地 城 考点01 数列的概念与简单表示法 1．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知数列满足，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推关系可通过列举一些项，进而根据规律猜想得，即可求解. 【详解】由可得， 由得， 由此猜想：， 当时，此时，，满足，故， 因此 故选：A 2．（23-24高二上·北京通州·期末）已知数列，则等于（    ） A．511 B．1022 C．1023 D．2047 【答案】C 【分析】根据递推关系，利用累加法及等比数列求和公式得解. 【详解】因为， 所以，，，，，， 累加可得：， 所以. 故选：C 3．（23-24高二上·北京通州·期末）已知数列的通项公式为，给出下列四个结论： ①数列为单调递增数列，且存在常数，使得恒成立； ②数列为单调递减数列，且存在常数，使得恒成立； ③数列为单调递增数列，且存在常数，使得恒成立； ④数列为单调递减数列，且存在常数，使得恒成立． 其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先根据的正负判断出的单调性，然后根据的单调性求解出的取值范围，由此可判断出正确结论. 【详解】因为，所以， 所以， 所以为单调递减数列； 又因为， 当且，，当时，， 所以， 当时，恒成立， 当时，恒成立， 由上可知，②④正确， 故选：B. 4．（23-24高二上·北京通州·期末）已知数列的通项公式是，使数列中存在负数项的一个t的值为 ． 【答案】（答案不唯一，中的一个值） 【分析】记，然后分类讨论、，当以及时可直接根据通项公式的取值正负作出判断，当时，根据的正负作出判断，由此可求解出结果. 【详解】记， 当时，即，显然恒成立，不满足要求； 当时，或， 若，则，所以恒成立，不满足要求； 若，此时，必然满足数列中存在负数项， 由上可知，的可取值的范围是，故可取， 故答案为：（答案不唯一，中的一个值）. 5．（24-25高二上·北京密云·期末）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，给出下列四个结论： ①的第项大于； ②为递减数列； ③为等比数列； ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】令、，求出、的值，可判断①；推导出，利用数列单调性的定义可判断②；利用反证法可判断③④. 【详解】因为数列的各项均为正数，其前项和满足， 对于①，当时，，可得， 当时，，整理可得，解得，①对； 对于②，当时，由可得， 上述两个等式作差得，可得， 所以，数列为递减数列，②对； 对于③，假设数列为等比数列，设其公比为，则，即， 所以，，可得，解得，不合乎题意， 所以，数列不是等比数列，③错； 对于④，假设对任意的，，则， 所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①②④. 6．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知是各项均为正数的无穷数列，其前项和为，且给出下列四个结论： ①； ②各项中的最大值为2； ③，使得； ④，都有. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】令，求出可以判断①，将已知变形可判断③，判断数列的增减性可判断②和④. 【详解】令得即，解得 令得，因为所以解得，故①正确. 依题意有，，所以 所以有，，故③不正确，且 所以 因为显然是随着的增大而递增的，且，所以即 所以数列是递减数列，所以所以②正确. 所以所以④正确. 故答案为：①②④. 地 城 考点02 等差数列 7．（24-25高二上·北京密云·期末）已知等差数列，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质及前n项和公式求解即可. 【详解】由等差数列的性质可知， ， 故选：C. 8．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知等差数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，由，得，不能判断的正负，所以不能判断,的大小，故不能确定是否递增数列；但由为递增数列，能得到进而即得. 【详解】由是等差数列，，得，所以， ，不能判断的正负，所以不能判断,的大小， 所以不能确定是否递增数列； 若为递增数列，则，即时， 所以，，所以， 所以是为递增数列的必要不充分条件. 故选：B 9．（23-24高二上·北京丰台·期末）月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼.1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则（    ） A．40 B．80 C．96 D．112 【答案】B 【分析】由已知条件和等比数列等差数列的性质，得，又q，d均为正整数，求解q的值得. 【详解】依题意，有，， 时，d不是正整数；时，；时，，d不是正整数. 所以，，. 故选：B 10．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知数列是等差数列，，且. (1)求的通项公式； (2)求的前n项和的最小值，以及取得最小值时n的值. 【答案】(1) (2)时，有最小值. 【分析】（1）根据等差数列基本量的运算求得公差，即可求得通项公式. （2）利用等差数列求和公式求和，进而利用二次函数性质求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 因为，， 所以， 所以，解得， 所以. （2）因为是等差数列，所以， 由（1）可知，， 所以当时，有最小值. 11．（24-25高二上·北京朝阳·期末）某校计划新建一个容纳个座位的阶梯教室，若设置排座位，且从第二排起每一排都比前一排多个座位，则第一排需设置的座位数为 . 【答案】 【分析】设第排的座位数为，由题意可知，数列是公差为的等差数列，结合等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】设第排的座位数为， 由题意可知，数列是公差为的等差数列， 由题意可得，解得. 故答案为：. 12．（23-24高二上·北京通州·期末）已知等差数列的前项和为，若，公差，则（    ） A．有最大值为 B．有最大值为 C．有最大值为30 D．有最小值为30 【答案】C 【分析】利用等差数列的求和公式结合二次函数性质求解即可. 【详解】由，公差得， ， 易知一定为正整数，且结合二次函数性质得当或时，取得最大值30，显然C正确. 故选：C 13．（23-24高二上·北京通州·期末）已知等差数列，则等于（    ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】B 【分析】设出等差数列的公差为，建立等量关系求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以， 解得：，. 故选：B. 14．（23-24高二上·北京顺义·期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气.立竿测影，得其最短日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，春分日影长为7.5尺，则这十二个节气中后六个（春分至芒种）日影长之和为（    ） A．8.5尺 B．30尺 C．66尺 D．96尺 【答案】B 【分析】利用等差数列基本量列方程组、方程求解. 【详解】设这个等差数列为，公差为，首项为冬至日最短日影长，根据题意有 即，解得 所以. 故选:B 15．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则 ；的最小值为 . 【答案】 / 【分析】设等差数列的公差为，根据所给条件得到、的方程组，解得即可求出通项公式，再根据求和公式及二次函数的性质计算可得. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 所以，所以， 所以当或时取得最小值，且的最小值为； 故答案为：； 16．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知等差数列的首项为，且，则 . 【答案】24 【分析】由等差数列的通项公式可得. 【详解】因为是等差数列，，， 设公差为d，可得，解得， 所以， 故答案为：24. 17．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知等差数列的前项和为，能够说明“对，若，则”是假命题的的一个通项公式为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由命题为假命题，则符合条件的等差数列递减且即可. 【详解】等差数列的前项和为， 若“对，若，则”是假命题， 只需等差数列为递减数列，即可，符合题意. 故答案为： 18．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，且满足，从下列三个条件中任选一个作为已知，求数列的通项公式及数列的前项和. 条件①； 条件②的前项和为； 条件③. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设数列的公差为，结合等差数列的通项公式和求和公式将条件转化为的方程，解方程求，再求结论， （2）选①，根据等比数列定义证明为等比数列，结合等比数列通项公式求，利用分组求和法结合等比数列求和公式等差数列求和公式求结论； 选②，由与的关系，求，利用分组求和法结合等比数列求和公式等差数列求和公式求结论； 选③，由（1）结合关系求数列的通项公式，利用分组求和法结合等比数列求和公式等差数列求和公式求结论； 【详解】（1）设数列的公差为， 因为，， 所以， ，， ； （2）由（1），， 选条件①，，， 所以， 所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列， ， 数列的前项和 ， 选条件②，的前项和为，， 当时，， 又时，， 所以， 数列的前项和 选条件③，因为 所以，故， 数列的前项和 地 城 考点03 等比数列 19．（24-25高二上·北京密云·期末）已知数列，，，若，则的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知数列是首项，公比的等比数列，求出通项，再由，即可求出的值. 【详解】因为数列，，， 则数列是首项，公比的等比数列， 所以， 又，即，所以. 故选：A. 20．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知等比数列，，，则公比等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式计算可得. 【详解】因为，，所以，解得. 故选：C 21．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知是等比数列，，则（    ） A．5 B．12 C．20 D．50 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质和通项公式计算即可. 【详解】因为是等比数列，设公比为， 由题意得，所以， 故选：D 22．（23-24高二上·北京顺义·期末）在数列中，，且，则等于（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据条件得到为公比为2的等比数列，从而求出答案. 【详解】因为，，所以为公比为2的等比数列， 所以. 故选：C 23．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知数列的前项和为，且，，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解. 【详解】由可得为等比数列且公比为， ，故， 故选：C 24．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知等比数列各项都为正数，前项和为，则“是递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过两个特殊数列可知两个命题互相推不出，则可判断为既不充分也不必要条件. 【详解】等比数列各项都为正数，设公比为，则， ①当时，是递增数列， ， 由，则, 不满足. 所以是递增数列. ②当时，则， 此时满足，为常数列，不是递增数列. 所以 是递增数列. 故“是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 25．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知数列的通项公式.设，，若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】在已知的等式代入通项公式，在两边同乘以式子，连续使用平方差公式化简得，再由对数式转化指数式得，则可解得. 【详解】由题意知，， 则 ， 由得，则， 解得. 故选：C. 26．（23-24高二上·北京通州·期末）已知首项为，公比为q的等比数列，其前n项和为，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由可判断充分性；取可判断必要性. 【详解】在等比数列中，，则， 当时，，所以单调递增，故充分性成立； 当单调递增时，时，单调递增，但是推不出，故必要性不成立. 故选：A. 27．（23-24高二上·北京通州·期末）已知等比数列，则 ． 【答案】27 【分析】先求出公比，然后代入即可求解. 【详解】由题意（为公比），所以. 故答案为：27. 地 城 考点04 数列求和 28．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知数列的通项公式，则根据下列说法选出正确答案是（    ） ①若，则数列的前项和； ②若，数列的前项和为，则是递增数列； ③若数列是递增数列，则. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】利用裂项相消法求和判断①；根据判断②；根据，即可得到，从而求出的取值范围，即可判断③. 【详解】对于①：当时，，则， 所以，故①正确； 对于②：当时，， 则，所以单调递增， 又，所以是递增数列，故②正确； 对于③：若数列是单调递增数列，则，即， 所以，所以， 因为，所以，即，故③错误. 故选：A 29．（23-24高二上·北京通州·期末）设数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个符合题目要求的条件作为已知，完成下列问题． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 条件①：且; 条件②：且； 条件③：且． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)选择条件①：，不合题意；选择条件②：；选择条件③： (2)选择条件②：；选择条件③：. 【分析】（1）选①，利用等差数列的性质转化为首项和公差的方程组，求出公差不符合题意，选②，③利用等差数列的性质转化为首项和公差的方程组，求出首项和公差即可求出通项公式. （2）将第一问结论代入，再利用裂项相消即可求出结果. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d． 选择条件①：且，解得，不合题意． 选择条件②：且， 由等差数列的通项公式及前n项和公式得解得． 所以等差数列的通项公式为． 选择条件③：且， 由等差数列前n项和公式得解得． 所以等差数列的通项公式为． （2）选择条件②：因为，所以， ． 选择条件③：因为， 所以． 所以 ． 30．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知是公比大于1的等比数列，，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若是等差数列，且.设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列公比为，由可得关于的方程，据此可得答案； （2）由题可得的通项公式，然后由分组求和法可得答案. 【详解】（1）设等比数列公比为，因成等差数列， 则. 则； （2）设公差为d，因， 则，得. 则，故 . 31．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据等差数列通项公式及求和公式列式计算可得结果； （2）根据分组求和法、等差数列求和公式及等比数列求和公式可得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意，，解得， 所以， 故数列的通项公式 （2）由（1）知，， 所以 . 故数列的前项和. 32．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知数列是等比数列，，（）. (1)求数列的通项公式； (2)若为等差数列，且满足，，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出公比，得到通项公式； （2）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到答案. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 因为，，所以，所以， 所以； （2）等差数列的公差为d，则，， 解得，， 所以数列的前n项和公式为. 33．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知为数列的前项和，满足，数列是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由与关系得递推关系，进而证明为等比数列，再由首项公比求通项公式；设出基本量，建立并求解方程组得通项公式即可； （2）分组求和，利用公式法分别求解等比与等差数列的和. 【详解】（1）当时，，得， 当时，①， 由已知②， ②①得，， 所以，由，得 所以数列为等比数列，公比， 因为，所以. 设等差数列的公差为， 由，则，解得. 所以. （2）设，则， 设的前项和为， 则 . 地 城 考点05 数列新定义 34．（24-25高二上·北京密云·期末）给定数列：，，…，，其中，且各项均为正整数．若数列满足如下两个条件，则称数列具有性质． ①（）； ②在三个数，，（）中至少有一个数是数列中的项． (1)分别判断数列1，2，3，6和数列2，4，5，8是否具有性质；（直接写出结论） (2)若数列具有性质，试判断，，是否能同时为数列中的项，并说明理由． 【答案】(1)数列具有性质，数列不具有性质 (2)2，4，7不能同时为数列中的项，理由见解析 【分析】（1）由题意，通过验证即可判断数列和数列是否具有性质； （2）利用反证法，假设2，4，7同时为数列中的项，则8，14，28中至少有一个是数列中的项，推出矛盾结果，则2，4，7不能同时为数列中的项． 【详解】（1）数列具有性质，数列不具有性质． 数列1，2， 3，6，因为，满足①； 当时，，满足②， 对于其他组合，同理可以验证在三个数，，中至少有一个数是数列中的项， 所以数列具有性质； 数列2，4，5，8，因为，满足①； 当时，，， 这三个数都不是数列中的项，所以不满足②， 则数列不具有性质． （2）2，4，7不能同时为数列中的项． 理由如下：假设2，4，7同时为数列中的项， 又因为数列具有性质， 所以由②可知，8，14，28中至少有一个是数列中的项． 所以数列的最后一项，且其项数大于或等于，即． 不妨取数列的最后四项，，，， 由①可知，． 对于，，，由②可知，有成立． 对于，，，由②可知，有成立． 所以，即成立，这与①矛盾． 所以2，4，7不可能同时是数列中的项． 35．（24-25高二上·北京朝阳·期末）给定正整数，设数列、、、满足.对于正数，定义，其中表示数集中最大的数.记某合，设的元素个数为. (1)写出集合、； (2)若，求的所有可能取值； (3)证明：存在无穷多个使得. 【答案】(1)， (2)、、、 (3)证明见解析 【分析】（1）写出数列、，根据题中定义可得出集合、； （2）由题意可得，由（1）可知，或不合乎题意，可得出，推导出，求出的可能取值，然后逐一检验即可得解； （3）讨论，和，两种情况，结合题中的定义，求出、，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为数列，，，则， 数列，，，，则. （2）由题意可得. 由（1）可知，当或时，，不合乎题意，所以，， 对于给定的，因为， 所以，，即， 当时，且， 所以，，， 因为，所以，， 所以，，即， 又因为，解得、、、或， 当时，，，合乎题意； 当时，，，合乎题意； 当时，，，合乎题意； 当时，，，合乎题意； 当时，，，不合乎题意. 综上所述，的所有可能取值有、、、. （3）当，时， 若，因为， 所以，或， 所以，、、、中不同的值为、、、、，共个， 若，因为， 所以，、、、各不相等， 所以，、、、中不同的值有个， 所以，； 当，时， 若，因为， 所以，或， 所以，、、、中不同的值为、、、、，共个， 若，因为， 所以，、、、各不相同， 所以，、、、中不同的值有个， 所以，. 所以，对任意的，，故结论得证. 36．（23-24高二上·北京顺义·期末）设数列的前n项和为.若对任意.总存在.使得.则称是“M数列”. (1)判断数列（）是不是“M数列”，并说明理由； (2)设是等差数列，其首项.公差.且是“M数列” ①求d的值和数列的通项公式： ②设，直接写出数列中最小的项. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)①，；② 【分析】（1）直接由“M数列”的定义进行判断即可. （2）①由题意关于的方程即恒有正整数解，结合数论知识即可求解出；②由题意得，故当当时或当时，取最小值. 【详解】（1）数列不是“M数列”，理由如下： ∵，当时，，此时找不到，使得. 所以数列不是“M数列”. （2）①是等差数列，且首项，公差， 则， 故对任意，总存在，使得成立， 则，其中为非负整数， 要使，需要恒为整数，即d为所有非负整数的公约数， 又，所以，所以. ②∵，所以. 由的单调性知在为减函数，在为增函数， 当时，；当时，. 所以，当时，有最小值.即数列中最小的项为. 【好题推送】 37．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知无穷数列各项均为正数，且. (1)请判断如下两个结论是否正确： ①；②； (2)当时，证明：； (3)记数列的前项和为，若，证明：. 【答案】(1)①，②均正确 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用已知变形证明不等式； （2）由已知得，进一步得，，变形即可证明； （3）当时，由，进一步得，化简即可证. 【详解】（1）由于，则， 两式相加得，即， 所以； 由于， 所以， 则， 所以， 所以①，②均正确； （2）因为，均有， 所以当时，有， 所以， 所以， 当时，有， 所以， 所以， 所以，即， 所以， 整理得. （3）由（2）得，当时，有， 所以，均有， 即， 所以 所以， 即， 又因为，所以. 38．（23-24高二上·北京通州·期末）已知数列满足：． （注：） (1)若，求及数列的通项公式； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2)199 【分析】（1）根据递推关系式可得，再写出，两式相减化简可得数列成等比数列，即可得解； （2）根据递推关系得出，再写出两式相减可得数列为等差数列，求出通项公式可得，再由（1）可得，化简即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以. 因为，， 所以， 即① ② ②①得， 化简得：，即， 所以数列成等比数列，公比为， 故. （2）由（1）可知，， 数列为等比数列，所以， 因为，， 所以， 即③ ④ ④③化简得， 变形得， 即， 由，当时，，即， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以 所以， 因为，所以， 又，所以， 又因为，所以， 即，即， 所以. 39．（24-25高二上·北京丰台·期末）在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果. 某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点，在直线l上，是边长为1的等边三角形，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，，依次类推（其中点，，，，共线，点，，，，共线，点，，，，共线）. 由上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】第一次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点（不包括起点），圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，要使曲线H长度的最小，则刚好转四轮，据此计算即可求曲线H长度的最小值. 【详解】由题意可知，第个劣弧的半径为，圆心角为， 第一次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点（不包括起点）， 同理第二次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点， 以此类推，每一轮以次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点， 上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，要使曲线H长度的最小，则刚好转四轮， 所以曲线H长度的最小值为. 故选：C. 40．（23-24高二上·北京顺义·期末）在数列中，若，（，，p为常数），则称为“等方差数列”，给出以下四个结论：①不是等方差数列；②若是等方差数列，则（，k为常数）是等差数列；③若是等方差数列，则（，k、l为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列也一定是等比数列.其中所有正确结论的序号是 . 【答案】②③ 【分析】根据等方差数列定义可判断①③；根据等方差数列定义结合等差数列的定义判断③④. 【详解】对于①，时，为常数， 故是等方差数列，①错误； 对于②，若是等方差数列，即有，（，，p为常数） 则为常数， 故（，k为常数）是等差数列，②正确； 对于③，若是等方差数列，即有，（，，p为常数）， 则， 故为常数， 则（，k、l为常数）也是等方差数列，③正确； 对于④，若既是等方差数列，又是等差数列， 则时，，且（d为常数）， 则， 当时，则为常数列，满足是等方差数列， 若，则不为等比数列，④错误； 故答案为：②③ 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04数列（五大题型+好题推送) ☆5大高频考点概览 考点01数列的概念与简单表示法 考点02等差数列 考点03等比数列 考点04数列求和 考点05数列新定义 目目 考点01 数列的概念与简单表示法 (24-25高二上北京朝阳·期末)已知数列{an}满足a,= 2aa1=20-1(n=12,3,,设 Tn=a,42an,则T025=() 1 1 2025 A. B. C. 2024 D. 2026 2025 2025 2026 2.(23-24高二上北京通州期末)己知数列{a},4,=1,0+1-an=2”,则a。等于() A.511 B.1022 C.1023 D.2047 3。(23-24高二上北京通州期末)已知数列{a,的通项公式为a,=-2 n+1 ,给出下列四个结论： ①数列{an}为单调递增数列，且存在常数m≤-2，使得an>m恒成立； ②数列{an}为单调递减数列，且存在常数m≤-2，使得an>m恒成立； ③数列{an}为单调递增数列，且存在常数m<0,使得an≤m恒成立； ④数列{an}为单调递减数列，且存在常数m<0,使得an≤m恒成立. 其中正确结论的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(23-24高二上·北京通州期末)已知数列{bn}的通项公式是b,=n2-tm+4,使数列中存在负数项的一个 t的值为」 5.(24-25高二上·北京密云期末)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an·Sn=4neN), 给出下列四个结论： ①{an}的第2项大于1： 1/8 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②{a}为递减数列； ③{a}为等比数列； 2025的项。 ④a,中存在小于， 其中所有正确结论的序号为 6.(23-24高二上北京丰台期末)己知{an}是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为Sn,且 1+1=n∈N)给出下列四个结论： an S. ①a2<a1; ②{a}各项中的最大值为2： ③k∈N,使得a<1; ④neN,都有Sn≥n+1. 其中所有正确结论的序号是 目目 考点02 等差数列 7. （24-25高二上，北京密云期末)已知等差数列{an},若a2+a4=12,则S=() A.14 B.16 C.30 D.48 8.(24-25高二上·北京朝阳期末)已知等差数列an}的前n项和为Sn,则“S,>0”是“{Sn}为递增数列”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 9.(23-24高二上北京丰台期末)月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼.1854 年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为 {an},其将满月等分成240份，a,(1≤i≤15且i∈N)表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例 如，第1天月球祓太阳熙亮部分占满月的0，即a=5:第15天为满月，即4，=240已知a,的第1项到 第5项是公比为9的等比数列，第5项到第15项是公差为d的等差数列，且q,d均为正整数，则a=() A.40 B.80 C.96 D.112 2/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(24-25高二上北京丰台期末)己知数列{an}是等差数列，a,=-7,且a2+a4=2 (I)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前n项和Sn的最小值，以及Sn取得最小值时n的值 11.(24-25高二上·北京朝阳·期末)某校计划新建一个容纳300个座位的阶梯教室，若设置10排座位，且 从第二排起每一排都比前一排多2个座位，则第一排需设置的座位数为 12.(23-24高二上北京通州期末)己知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=10,公差d=-2,则() AS有数大值为 B.S有最大值为 1 C.Sn有最大值为30 D.Sn有最小值为30 13.(23-24高二上北京通州期末)已知等差数列{an},a=10,a,=20,则a,等于() A.-1 B.0 C.2 D.5 14.(23-24高二上·北京顺义·期末)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、 立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气立竿测影，得其最短日影长依次 成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，春分日影长为7.5尺，则这十二个节气中后六个 (春分至芒种)日影长之和为() A.8.5尺 B.30尺 C.66尺 D.96尺 15.（24-25高二上北京怀柔期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-3,a+a4=-3,则 an=一；Sn的最小值为 16.（23-24高二上北京顺义期末)已知等差数列{an}的首项为a1=-3,且a3+ag=21,则a1o= 17.(23-24高二上北京丰台期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,能够说明“对neN,若am+1<a ,则S2<S,”是假命题的{an}的一个通项公式为an= 18.(24-25高二上，北京怀柔期末)己知等差数列an}的前n项和为Sn,且a+a4=12,S,=25 (1)求数列an}的通项公式： (2)数列bn}的前n项和为Tn,且满足b=2a,从下列三个条件中任选一个作为已知，求数列{bn}的通项公 式及数列an+bn}的前n项和K,· 3/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 条件①bn1=3bn; 条件②{bn}的前n项和为T,=3”-1: =d,-W. 条件③1og,2 目目 考点03 等比数列 19.(24-25高二上北京密云期末)已知数列{an},a1=1,a1=2an,若an=8,则n的取值为() A.4 B.5 C.6 D.7 20.（24-25高二上·北京怀柔期末)已知等比数列{an},a1=1,a=-8,则公比9等于() B. C.-2 D.2 21.（24-25高二上·北京朝阳期末)已知{an}是等比数列，a=2,a=10,则a,=() A.5 B.12 C.20 D.50 22.(23-24高二上北京顺义期末)在数列{an}中，am1=2an,且4=1，则a,等于() A.4 B.6 C.8 D.16 23.(23-24高二上北京丰台期末)已知数列an}的前n项和为Sn,且an1=-3an,S,=7,则a=() A.-3 B.-1 C.1 D.3 24.（23-24高二上北京朝阳期末)已知等比数列{an}各项都为正数，前n项和为Sn,则“{an}是递增数列” 是“n∈N',S2m<3Sn”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 25.(23-24高二上北京朝阳期末)已知数列{an}的通项公式a,=2”,neN°设 t=(a1+1)(a2+1(a4+1…a,+1,keN,若log,(t+1)=256，,则k=() A.6 B.7 C.8 D.9 26.(23-24高二上·北京通州期末)已知首项为a,,公比为q的等比数列an},其前n项和为Sn,则 “4>0,g>1”是“Sn单调递增的() 4/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条 件 27.(23-24高二上北京通州期末)已知等比数列{an},42=1a3=3,则a= 目目 考点04 数列求和 28.(24-25高二上北京怀柔期末)已知数列an}的通项公式a。=n2-2an,则根据下列说法选出正确答案 是() ①若a=- 则数列 的前项和S。=1- a n+1 ②若a= 2， 数列{an}的前项和为Tn,则Tn是递增数列； ③若数列{an}是递增数列，则a∈(-o,1 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 29.（23-24高二上·北京通州期末)设数列{an}为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn,再从条件①、 条件②、条件③这三个条件中选择一个符合题目要求的条件作为已知，完成下列问题. (1)求{an}的通项公式； (2设，=】，求数列6，的前n项和工. a an+ 条件①：a1+a2=4且S4=8; 条件②：a,+a2=3且S4=10; 条件③：S4=8且Sg=2S6. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分， 30.(24-25高二上北京朝阳期末)已知{an}是公比大于1的等比数列，a1=1,且a,3a2,a4成等差数列 (1)求{an}的通项公式： (2)若{bn}是等差数列，且b=a3,b,=a,.设cn=an+b,求数列cn}的前n项和T 31.(23-24高二上·北京丰台期末)己知等差数列an}的前n项和为Sn,且a2-a1=1,S=3a5 5/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求{an}的通项公式： 1 (②)设6，=a,+2,求数列b,}的前项和7 32.(23-24高二上北京顺义期末)己知数列{an}是等比数列，a1=2,a4=16(n∈N). (1)求数列{an}的通项公式： (2)若{bn}为等差数列，且满足b2=a,b,=a,求数列{bn}的前n项和Sn 33.(23-24高二上北京朝阳期末)己知Sn为数列{an}的前n项和，满足S,=2a,-1,n∈N,数列{bn}是 等差数列，且b=-a4,b2+b,=-10 (1)求数列{an}和(bn}的通项公式： (2)求数列{an+b,}的前n项和 目目 考点05 数列新定义 34. (24-25高二上北京密云期末)给定数列A:a,a2,…,a,其中n≥3，且各项均为正整数.若数 列A满足如下两个条件，则称数列A具有性质W, ①a,<a1(1≤i<j≤n); ②在三个数a,aj,a,k,a,a(1≤i<j广<k≤n）中至少有一个数是数列A中的项， (1)分别判断数列B:1,2,3,6和数列C:2,4,5,8是否具有性质W；(直接写出结论) (2)若数列A具有性质W,试判断2,4,7是否能同时为数列A中的项，并说明理由. 35.(24-25高二上北京朝阳期末)给定正整数n≥3，设数列A,:a、a2、、an满足 a,=（=12,,川对于正数飞，定义G()=maxN≥，其中maxM表示数集M中最大的数记某合 n G(An)={G(a)i=1,2,…,n,设G(An)的元素个数为g(An). (1)写出集合G(A)、G(A4): (2)若n-gAn)=1,求的所有可能取值： (3)证明：存在无穷多个n使得g(An)=gAn+). 36.（23-24高二上·北京顺义·期末)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意n∈N.总存在k∈N.使得 6/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Sn=a.则称{an}是“M数列” (I)判断数列{3}(n∈N)是不是M数列”，并说明理由： (2)设{bn}是等差数列，其首项b=1.公差deN·.且{bn}是“M数列 ①求d的值和数列{bn}的通项公式： ②设cn= 4b2+8b,+29 ，直接写出数列cn}中最小的项 b+1 37.(24-25高二上北京丰台期末)已知无穷数列{an}各项均为正数，且a。+a+2≥2an+1（n∈N (1)请判断如下两个结论是否正确： ①a4-a2≥a3-4;②3(a,-a6)2a6-a; (2)当k<m<n(k,m,n∈N)时，证明：(n-m)a+(m-k)an(n-k)am; (3)记数列{a,}的前n项和为S,若S,≤1keN,k之3列，证明：a-an<kk+) 2 38.(23-24高二上北京通州期末)已知数列a},{b}满足： 1 1 a >0,b >0,an=an-- ,bn+l =b+ 1*1 台a, (注： i=1+2+3+…+n) i=1 (1)若a,=1,求a2及数列{an}的通项公式： (2)若a1ob1o0=a1o1b1o1,求a1-b,的值. 39.(24-25高二上·北京丰台期末)在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创 造出独特的视觉效果.某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点A,G在直线1上，△A,B,C 是边长为1的等边三角形，C4是以点A为圆心，AC为半径的圆弧，A,B,是以点B为圆心，B4为半径 的圆弧，B,C,是以点C为圆心，CB为半径的圆弧，CA,是以点A为圆心，AC2为半径的圆弧，，依次类 推（其中点A,C,C,C,共线，点B,A,4,A,共线，点C,B,B,B,共线），由上述圆 弧组成的曲线H与直线1恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为() 7/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B3 B2 1C3 ByA) C2 CA A3 A.30π B.44π C.52π D.70π 40.(23-24高二上北京顺义期末)在数列{an}中，若a2-a-,=p,(n≥2，n∈N,p为常数)，则称 a,}为等方差数列，给出以下四个结论：①{同不是等方差数列；②若{a,}是等方差数列，则{《ka,)} (k∈N,k为常数)是等差数列；③若{an}是等方差数列，则{am+}(k、1∈N,k、1为常数)也是等方 差数列；④若{}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列也一定是等比数列其中所有正确结论的序号 是 8/8