专题02 直线与圆（七大题型+好题推送）（期末真题汇编 ，北京专用）高二数学上学期人教A版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02直线与圆（七大题型+好题推送) ☆8大高频考点概览 考点01直线倾斜角与斜率 考点02直线与直线的位置关系 考点03直线方程与距离 考点04圆的方程 考点05直线与圆的位置关系 考点06圆的切线 考点07圆与圆的位置关系 目目 考点01 直线倾斜角与斜率 1. (24-25高二上北京石景山期末)直线y=√3x-1的倾斜角为() A.15° B.30° C.45° D.60° 2.(22-23高二上·福建莆田期中)直线y=√3x-1的倾斜角为() A. 6 B. 3 c D. 6 3.(23-24高二上北京顺义期末)直线1：x-y-1=0的倾斜角为() A君 B c.号 D. π 4. (23-24高二上北京丰台期末)已知直线1经过A(-1,0),B0,V5)两点，则直线1的倾斜角为（) A.30° B.60° C.120 D.150° 5.(10-11高一下·内蒙古赤峰期中)直线3x+√3y+1=0的倾斜角是() A.30° B.60° C.120° D.150° 目目 考点02 直线与直线的位置关系 6.(23-24高二上北京顺义期末)已知直线4：ax-y-1=0,Z:x+(a+2)y-1=0.若1∥12，则实数 a=() A.0或-3 B.0 C.-3 D.-1或2 7.(24-25高二上北京朝阳期末)设直线l:x-2y+1=0,l2:2x-4y+7=0,若l⊥12，则实数 1/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1= 8.(24-25高二上北京房山期末)已知直线l:x+2ay-1=0与直线l2:(a-1)x-ay-1=0平行，则a的值为() A.0 B. C.或0 D.1 9.(23-24高二上北京房山期末)若直线2x+(1-a)y+a=0与直线ax+y+2=0垂直，则a的值为一 10.(24-25高二上·北京密云·期末)己知直线4x+2y+5=0和直线2ax-y=0垂直，则实数a的值为 11.(24-25高二上·北京石景山期末)若直线l:ax+2y+2=0与直线l2:3x-y-2=0平行，则a的值 为 12.(23-24高二上·北京海淀·期末)经过点A(0,1)且与直线1：x+2y-1=0垂直的直线方程为」 13.（23-24高二上北京房山期末)已知直线4：3x-y+1=0,42:x+y-5=0,4:x-y-3=0,则4与4的交 点坐标为 ;若直线，2，不能围成三角形，写出一个符合要求的实数a的值 目目 考点03 直线方程与距离 14.（24-25高二上·北京怀柔期末)若直线4x+2y-1=0与直线4x+my=0平行，则两平行线间的距离() A.25 B. 35 C. 5 D.5 10 5 10 15.(23-24高二上·北京海淀·期末)在空间直角坐标系O-3z中，点P(-2,3,1)到x轴的距离为() A.2 B.3 C.5 D.10 16.(24-25高二上·北京朝阳·期末)经过点(1,0)且倾斜角为45的直线的方程为（) A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 C.x+V3y-1=0 D.V3x+y-1=0 17.(23-24高二上·北京房山期末)两条直线1：x-2y-4=0与l,:x-2y+1=0之间的距离是() A.5 B.1 C.5 D.35 5 18.(24-25高二上·北京丰台期末)与直线2x-y-1=0关于x轴对称的直线方程为() A.2x+y+1=0 B.2x+y-1=0 C.x-2y+1=0 D.x+2y+1=0 2/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19.(24-25高二上·北京怀柔期末)己知直线的倾斜角为60°，且过点P(0,1),则直线的方程为() A.y=5-1B.y=5x 3 +1 C.y=3x-1 3 D.y=5x+1 20.(23-24高二上·北京丰台期末)己知点P在由直线yx3,y=5和x=-1所围成的区域内（含边界） 运动，点9在x轴上运动.设点T(4,),则QP+QT的最小值为() A.V30 B.42 C.V34 D.210 21.(23-24高二上北京朝阳期末)两条直线4：x-y=0与l2:x-y-2=0之间的距离是 22.(23-24高二上·北京·期末)点P1,-1)到直线x-y+1=0的距离是 23.(23-24高二上·北京房山期末)已知ABC的三个顶点分别为A1,3),B(3,1),C(-1,0). (1)设线段AB的中点为M,求中线CM所在直线的方程； (2)求AB边上的高线的长. 目目 考点04 圆的方程 24. (24-25高二上·北京密云期末)圆心为(2,2)且过原点的圆的方程是() A.x2+y2=4 B.X2+y2=8 C.(x-2)2+(y-2)2=4 D.(x-2)2+(y-2)2=8 25.(24-25高二上北京怀柔期末)已知圆C:x2+(y-2)2=4,直线1：x+y-1=0 (1)求过圆心且与直线1垂直的直线方程； (2)直线1与圆C交于A,B两点，求ABC的面积 26.（24-25高二上北京怀柔期末)若直线x+y-a=0是圆x2+y2-2x+6y+1=0的一条对称轴，则a值 为() A.-2 B.2 C.-4 D.4 27.(23-24高二上北京海淀·期末)设动直线1与⊙C:(x+1)2+y2-5交于A,B两点.若弦长AB既存在最 大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线1的方程可以是() A.x+2y=a B.ax+y=2a C.ax y=2 D.x+ay=a 3/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 28.（23-24高二上·北京·期末)以点A(2,1)为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为 29.（24-25高二上·北京延庆期末)以A(2,-4),B(-2,2)为直径的两个端点的圆的标准方程是」 30.(23-24高二上·北京朝阳·期末)以A4,6),B(-2,-2)为直径端点的圆的方程是 31.(22-23高二上北京昌平.期中)直线y=mx+2m-1经过一定点C,则点C的坐标为 ,以点C为 圆心且过原点的圆的方程为 目目 考点05 直线与圆的位置关系 32. (24-25高二上·北京朝阳期末)圆心为1,2)且与直线3x+4y-1=0相切的圆的方程为() A.(x-1)2+(y-2)2=2 B.(x-1)2+(y-2)2=4 C.(x+1)2+(y+2)2=2 D.(x+1)2+y+2)2=4 33.(23-24高二上，北京期末)若不论k为何值，直线y=k(x-2)+b与曲线x2+y2=9总有公共点，则b的 取值范围是(）. A.(5,5)B.「-5,5 C.(2,2) D.【-2,2] 34.(24-25高二上北京房山期末)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=4与直线1：x-y+m=0交于A,B两点，若 ∠ACB=90°，则m的值为() A.-1 B.3 C.-1或3 D.±3 35.(23-24高二上·北京延庆期末)已知圆x2+y2=4上一点A和圆x2+y2-4x-4y=0上一点B,则AB的 最大值为() A.2+42 B.2+2V2 C.42 D.2W2 36.(23-24高二上·北京·期末)已知点A-1,0),B(1,0).若直线y=-2上存在点P,使得∠APB=90°， 则实数k的取值范围是() A.（-0,-5] B.[5,+o c.[-5,5] D.（-o,-5U[5,+m 37.(24-25高二上·北京延庆期末)己知圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=x-2上至少存在一点， 使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最大值是() 41/7 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3-2 B c. D.1 38.(24-25高二上·北京丰台期末)直线1：x+y+2=0被圆0：x2+y2=4截得的弦AB的长为 39.(23-24高二上·北京丰台期末)在平面直角坐标系x0y中，已知点P(2,0),点Q在圆x2+y=8上运 动，当∠OQP取最大值时，PQ的长为 40.（23-24高二上·北京顺义期末)己知圆C:x2+y2-4x+3=0,若直线y=kx-1与圆C有两个不同的 交点，写出符合题意的一个实数k的值一 41.(24-25高二上·北京石景山期末)在△0AB中，0是坐标原点，A(-2,2),B(1,3),求△0AB的外接 圆方程 42.(24-25高二上·北京丰台期末)已知圆C经过点M(4,0),且圆心C是直线x-y+2=0与y轴的交点. (1)求圆C的方程； (2)若直线1与圆C交于A,B两点，且四边形CAMB为菱形，求直线1的方程 43.(21-22高二上北京昌平期末)已知过点P(0,5)的直线1被圆C:x2+y2+4x-12y+24=0所截得的弦 长为45 (1)写出圆C的标准方程及圆心坐标、半径； (2)求直线1的方程 44.（23-24高二上·北京丰台·期末)己知圆C经过A(1,1),B(2,-2)两点，且圆心C在直线x-y+1=0上 (1)求圆C的方程； (2)设直线I:3x+y+26=0与圆C交于D,E两点，求四边形ABDE的面积 目目 考点06 圆的切线 45. (23-24高二上北京延庆期末)已知圆x2+y2=2,求经过点1，)的圆的切线方程 46.(24-25高二上·北京延庆期末)若直线x+y+a=0与圆(x+1)2+y2=2相切，则实数a的值为（) A.3 B.-1 C.3或-1 D.-3或1 47.(23-24高二上北京期末)过点P(2,1)作圆C:x2+y2=1的切线1，则切线1的方程为() A.4x-3y-5=0 B.4x-3y-9=0 C.y=1或4x-3y-5=0 D.y=1或4x-3y-9=0 5/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 48.(23-24高二上·北京通州期末)已知圆C:x2+y2-4x-2y+4=0,点P(-1,0). (1)求圆C的圆心坐标及半径： (2)求过P点的圆C的切线方程 49.(24-25高二上北京密云期末)己知圆C:(x-2)2+y2=4. (1)若直线：y=x+b与圆C相切，求切线1的方程； (2)若过点P(1,-1)的直线m与圆C相交于A、B两点，且ABC为直角三角形，求直线m的方程. 目目 考点07 圆与圆的位置关系 50. (23-24高二上北京顺义期末)圆Q:x2+y2=1与圆O:（x-32+(y-4)2=9的位置关系是() A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 51.（24-25高二上·北京密云期末)已知圆C:(x-6)2+0y-2)2=9和圆C2:x2+y2-6x+4y+9=0,则它们 的位置关系是() A.外离 B.相切 C.内含 D.相交 52.（23-24高二上·北京房山期末)已知圆C:x2+(0y-1)2=1,C2:(x-V3)2+y2=2(r>0).则圆C的圆心坐 标为一；若圆C与圆C2内切，则r=一 53.（24-25高二上·北京丰台期末)已知圆C:x2+y2=1与圆C:x2+y2-8y+m=0外切，则m=() A.-9 B.-5 C.7 D.13 54.（2021北京西城二模)在平面直角坐标系x0y中，点A(1,1),B(2,),C(2,2),P是圆 M:x2+0y-4)2=2上一点，0是ABC边上一点，则0P.00的最大值是() A.8+2√2 B.12 C.8+42 D.16 55.（23-24高二上北京房山期末)己知曲线W:x2+y2=m,W2:x+y2=m(m>0),给出下列四个命题： ①曲线W关于x轴、y轴和原点对称： ②当m=1时，曲线W,W2共有四个交点： ③当m=2时，曲线W,围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3； 6/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ④当0<m<1时，曲线W围成的区域面积大于曲线W,围成的区域面积. 其中所有真命题的序号是 56.(23-24高二上·北京朝阳期末)如图，在长方体ABCD-A,B,CD1中，AB=AD=3,AA=1,M为棱BC 的中点，点P是侧面CC,DD上的动点，满足∠APD=∠CPM,给出下列四个结论： D C D M 夕 ①动点P的轨迹是一段圆弧； ②动点P的铁迹长度为了： ③动点P的轨迹与线段CC,有且只有一个公共点； ④三棱锥P-ADD,的体积的最大值为4-V5 2 其中所有正确结论的序号是 7/7 专题02 直线与圆（七大题型+好题推送） 8大高频考点概览 考点01 直线倾斜角与斜率 考点02 直线与直线的位置关系 考点03 直线方程与距离 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆的位置关系 考点06 圆的切线 考点07 圆与圆的位置关系 地 城 考点01 直线倾斜角与斜率 1．（24-25高二上·北京石景山·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可得出答案. 【详解】设直线的倾斜角为， 由直线可知斜率为：， 因为，则. 故选：D 2．（22-23高二上·福建莆田·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线方程求得斜率，进而得到，即可求解. 【详解】由直线，可得斜率为， 设直线的倾斜角为，其中，可得，所以. 故选：C. 3．（23-24高二上·北京顺义·期末）直线l：的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率即可求解倾斜角. 【详解】直线的斜率为1，故倾斜角为， 故选：B 4．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得直线的斜率为，进而求得直线的倾斜角，得到答案. 【详解】由直线经过，两点，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得，所以. 故选：B. 5．（10-11高一下·内蒙古赤峰·期中）直线的倾斜角是（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小. 【详解】因为直线方程为，所以斜率， 设倾斜角为，所以，所以， 故选：C. 地 城 考点02 直线与直线的位置关系 6．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知直线：，：.若，则实数（    ） A．0或 B．0 C． D．或2 【答案】B 【分析】根据两直线平行得到方程，求出或，检验后得到答案. 【详解】由题意得，解得或， 当时，直线：，：，满足， 当时，直线：，：，两直线重合，不合要求，舍去， 综上，. 故选：B 7．（24-25高二上·北京朝阳·期末）设直线，若，则实数 . 【答案】/-0.5 【分析】由两直线垂直的充要条件求解即可. 【详解】直线， 若，则，所以， 故答案为： 8．（24-25高二上·北京房山·期末）已知直线与直线平行，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之即可. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得或. 故选：C. 9．（23-24高二上·北京房山·期末）若直线与直线垂直，则的值为 ． 【答案】 【分析】由两直线垂直的条件求解. 【详解】结合题意：由两直线垂直可得：解得：. 故答案为：. 10．（24-25高二上·北京密云·期末）已知直线和直线垂直，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据一般式方程中两直线垂直的条件得到方程，解得即可. 【详解】因为直线和直线垂直， 所以，解得. 故答案为： 11．（24-25高二上·北京石景山·期末）若直线与直线平行，则的值为 . 【答案】 【分析】根据直线的一般式方程中两直线平行的条件得到方程，解得即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为： 12．（23-24高二上·北京海淀·期末）经过点且与直线垂直的直线方程为 ． 【答案】 【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程. 【详解】直线的斜率为， 则与直线垂直的直线的斜率为2， 则直线方程为，即. 故答案为： 13．（23-24高二上·北京房山·期末）已知直线，则与的交点坐标为 ；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【答案】 答案不唯一（只需写出中的一个即可） 【分析】联立方程组解得交点坐标；列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可. 【详解】解方程组，得，所以与的交点坐标为； 由得，直线恒过定点；若直线不能围成三角形， 只需经过，或与平行，或与平行. 当经过时，图1所示，，； 当与平行时，图2所示，，； 当与平行时，图3所示，，. 故答案为：；或或（只需写出中的一个即可）.    图 1    图 2    图 3 地 城 考点03 直线方程与距离 14．（24-25高二上·北京怀柔·期末）若直线与直线平行，则两平行线间的距离（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线平行关系求，根据平行直线距离公式求结论. 【详解】因为直线与直线平行， 所以， 所以， 此时两直线方程为，，两直线平行， 直线与直线的距离为. 故选：D. 15．（23-24高二上·北京海淀·期末）在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点到x轴的距离. 【详解】 在空间直角坐标系中， 过作平面，垂足为，则轴， 在坐标平面内，过作轴，与轴交于， 由，则，， 由，平面，平面， 则轴平面，平面， 则轴，故即点到x轴的距离， 则. 故选：D. 16．（24-25高二上·北京朝阳·期末）经过点且倾斜角为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用点斜式直线方程即可求出结果. 【详解】由直线的倾斜角为可知斜率为， 再因为直线经过点，由点斜式直线方程得：， 整理得：， 故选：B. 17．（23-24高二上·北京房山·期末）两条直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意代入两平行线之间的距离公式即可得出结果. 【详解】由两平行线之间的距离公式可得. 故选：C 18．（24-25高二上·北京丰台·期末）与直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设对称直线上的点为，求它关于轴的对称点并代入已知直线的方程，所得方程即为所求的直线方程. 【详解】设对称直线上的点为，则其关于轴的对称点在直线上， 所以，即. 故选：B. 19．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线的方程为. 故选：D 20．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动.设点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，再确定出使的位置.然后求出值即可 【详解】由直线，和围成,如图所示， 点在内（含边界）运动，   在轴上运动，作点关于轴的对称点，则， 的最小值为到直线的距离，即. 故选：B. 21．（23-24高二上·北京朝阳·期末）两条直线与之间的距离是 . 【答案】 【分析】由两条平行线的距离公式求解即可. 【详解】由两条平行线的距离公式可得：. 故答案为：. 22．（23-24高二上·北京·期末）点到直线的距离是 ． 【答案】 【详解】点到直线的距离是 23．（23-24高二上·北京房山·期末）已知的三个顶点分别为． (1)设线段的中点为，求中线所在直线的方程； (2)求边上的高线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由中点坐标公式可得线段的中点为的坐标，再根据点斜式即得中线所在直线的方程； （2）由题意可得直线的斜率，由直线的点斜式可得方程，然后由点到直线的距离公式代入可求得边上的高线的长. 【详解】（1）设的坐标为，则，， 即，所以 ， 则中线所在直线方程为，即 ． （2）由题意得 ． 则直线的方程为，即 中，边上的高线的长就是点到直线的距离 ． 地 城 考点04 圆的方程 24．（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆上一点到圆心的距离即为半径，即可写出圆的方程. 【详解】圆心为的圆的方程为， 又因为原点在圆上，则， 所以. 故选：D. 25．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知圆：，直线：. (1)求过圆心且与直线垂直的直线方程； (2)直线与圆交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆的方程求圆心坐标，根据直线垂直关系求所求直线的斜率，利用点斜式求直线方程； （2）求出弦长后利用公式可求面积. 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径， 直线的斜率为， 与直线垂直的直线的斜率为1， 所以过圆心且与直线垂直的直线方程为， （2）圆心到直线距离， 所以， 所以的面积. 26．（24-25高二上·北京怀柔·期末）若直线是圆的一条对称轴，则值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，根据圆心在直线上求出参数的值. 【详解】圆，即， 所以圆心坐标为，依题意直线过点， 所以，解得. 故选：A 27．（23-24高二上·北京海淀·期末）设动直线l与交于两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可. 【详解】，圆心，半径， 选项A，由直线斜率为，可得动直线为为平行直线系， 圆心到直线的距离， 当或时，，直线与圆不相交，不满足题意，故A错误； 选项B，由直线可化为， 则直线恒过，因为，点在圆外， 故直线不一定与圆相交，故B错误； 选项C，由直线恒过，点在圆上， 当时，直线方程可化为， 此时圆心到直线的距离， 圆与直线相切，不满足题意，故C错误； 选项D，由直线方程可化为， 则直线恒过，且点在圆内，故直线恒与圆相交， 当直线过圆心时，弦长最长，由在直线上， 可得，取到最大值； 如图，取中点，则，圆心到直线的距离 ，当取最大值时，弦长最短， 即当直线与垂直时，弦长最短，由的斜率为 此时直线斜率为，即当时，取到最小值.故D正确. 故选：D.    28．（23-24高二上·北京·期末）以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意得出半径，即可得出圆的标准方程. 【详解】以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为1， 故圆的标准方程是. 故答案为： 29．（24-25高二上·北京延庆·期末）以为直径的两个端点的圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】求的中点坐标，求的长度，由此可得圆心坐标和半径，由此可得圆的方程. 【详解】因为， 所以线段的中点坐标为，即， ， 所以以为直径的两个端点的圆的圆心坐标为，半径为， 所以以为直径的两个端点的圆的标准方程是. 故答案为：. 30．（23-24高二上·北京朝阳·期末）以为直径端点的圆的方程是 . 【答案】 【分析】利用直径端点求出圆心和半径，再用标准方程求解即可. 【详解】是直径端点， 由两点间距离公式得直径长为，故半径为， 且设圆心为，由中点坐标公式得圆心， 故圆的方程为. 故答案为： 31．（22-23高二上·北京昌平·期中）直线经过一定点，则点的坐标为 ，以点为圆心且过原点的圆的方程为 . 【答案】 【分析】通过分离参数，可求出直线所过定点；求出点到原点的距离，即为所求圆的半径，可求出圆的方程. 【详解】由得，即， 由直线的点斜式方程可知，是斜率为，过定点的直线， 故点的坐标为； （或由解得，即的坐标为） 点到原点的距离， 即以点为圆心且过原点的圆的半径， 故以点为圆心且过原点的圆的方程为：. 故答案为：；. 地 城 考点05 直线与圆的位置关系 32．（24-25高二上·北京朝阳·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，由圆与直线相切得到圆的半径，然后写出直线方程. 【详解】点到直线的距离， 因为圆与直线相切，所以圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：B 33．（23-24高二上·北京·期末）若不论为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知直线恒过定点，进而将问题转化为点在圆内或圆上问题求解即可. 【详解】解：由直线方程可知直线恒过定点， 要使直线与曲线总有公共点，则点在圆内或圆上， 所以，解得：． 所以，的取值范围是：. 故选：B ． 34．（24-25高二上·北京房山·期末）已知圆与直线交于两点，若，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程，得圆心坐标和半径，再由，得到圆心到直线的距离为，结合点到直线距离公式，列出方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径为； 且圆与直线交于两点，， 所以为等腰直角三角形，，则， 因此圆心到直线的距离为， 即，解得或； 故选：C 35．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知圆上一点和圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两圆的位置关系数形结合计算即可. 【详解】易知圆的圆心为原点，半径， 由圆，故其圆心为，半径， 两圆圆心距为，所以两圆相交， 则，如图所示. 故选：A 36．（23-24高二上·北京·期末）已知点，．若直线上存在点P，使得，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题化为直线与圆有交点，注意直线所过定点与圆的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求k的范围. 【详解】由题设，问题等价于过定点的直线与圆有交点， 又在圆外，所以只需，可得. 故选：D 37．（24-25高二上·北京延庆·期末）已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得到直线的距离小于或等于，从而建立关于的不等式，求解即可得到答案． 【详解】因为圆的方程为，整理得：， 所以，圆心为，半径． 又因为直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点， 所以，圆心到直线的距离小于或等于， ，化简得，解得，所以的最大值是． 故选：A． 38．（24-25高二上·北京丰台·期末）直线：被圆：截得的弦AB的长为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式求出弦的弦心距即可求解. 【详解】由圆：，可得圆心，半径， 于是圆心到直线的距离， 从而得，所以弦的长为. 故答案为：. 39．（23-24高二上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，当取最大值时，的长为 . 【答案】 【分析】设圆心到直线的距离为，则，分析可知，当时，此时，取最大值，取最大值，再结合勾股定理可求得的长. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，则， 因为，结合上图及圆的对称性易知：，则， 当时，取最大值，此时，取最大值，且， 此时，. 故答案为：. 40．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知圆C：，若直线与圆C有两个不同的交点，写出符合题意的一个实数k的值 . 【答案】(答案不唯一) 【分析】运用直线和圆的位置关系直接求解即可. 【详解】已知直线与圆C有两个不同的交点，且设圆心到直线的距离为，化简圆方程得，故有，解得. 故答案为：(答案不唯一) 41．（24-25高二上·北京石景山·期末）在中，是坐标原点，，，求的外接圆方程. 【答案】 【分析】设的外接圆的方程为（），则把的坐标代入求得的值，可得圆的方程． 【详解】设的外接圆的方程为（）， 则，解得， ∴的外接圆方程为． 42．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆C经过点，且圆心C是直线与轴的交点. (1)求圆C的方程； (2)若直线l与圆C交于A，B两点，且四边形为菱形，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得圆心与半径可求圆的方程； （2）由已知可得AB垂直平分CM，求得，进而求得的中点，可求直线的方程. 【详解】（1）因为圆心C是直线与轴的交点， 所以圆心C的坐标为， 又因为圆C经过，所以圆C的半径为， 所以圆C的方程为. （2）因为四边形CAMB为菱形， 所以AB垂直平分CM， 因为，所以 又因为CM的中点坐标为 所以直线AB的方程为，即. 43．（21-22高二上·北京昌平·期末）已知过点的直线l被圆所截得的弦长为． (1)写出圆C的标准方程及圆心坐标、半径； (2)求直线l的方程． 【答案】(1)，圆心坐标为，半径为. (2)或. 【分析】（1）根据圆的一般方程与圆的标准方程的关系，即可求解；（2）根据直线与圆的位置关系，当直线斜率存在时，结合勾股定理和点到直线的距离公式即可求解，当直线斜率不存在时，特殊情形验证下即可. 【详解】（1）由题意整理圆的方程得，标准方程为，故圆心坐标为，半径为. （2）由（1），又直线被圆截得的弦长为， 故弦心距为， 当直线斜率存在时，设直线的斜率为,则过的直线，可设为，即， 直线与圆的圆心相距为， ，解得， 此时直线的方程为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，也符合题意. 故所求直线的方程为或. 44．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知圆C经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于D，E两点，求四边形的面积. 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）设，由可得a值，则圆心坐标可求，再利用两点之间的距离公式求半径即可得圆的标准方程； （2）先证得四边形是平行四边形，再结合点到直线的距离公式以及圆的性质可得答案. 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设， 由A，B是圆上两点，所以， 即，解得， 所以圆心的坐标为. 圆的半径， 故圆的方程为. （2）过点作的垂线，垂足为，则为线段的中点， 由点到直线的距离公式，得， 所以. 因为，，所以， 直线的方程为. 而直线的方程为，所以，且， 由此得四边形是平行四边形. 因为，之间的距离， 所以平行四边形的面积为， 故四边形的面积为30. 地 城 考点06 圆的切线 45．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知圆，求经过点的圆的切线方程 ． 【答案】 【分析】由题可知切线的斜率存在，设出切线方程利用圆心到切线的距离为半径可求斜率，从而得到切线方程. 【详解】由题可知切线的斜率存在，设切线方程为，即， ，解得，所以切线方程为. 故答案为：. 46．（24-25高二上·北京延庆·期末）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离等于半径，列出方程即可得答案； 【详解】圆的标准方程为，有，解得或3． 故选：C 47．（23-24高二上·北京·期末）过点作圆的切线，则切线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设切线的方程为，然后利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解即可. 【详解】圆的圆心为原点，半径为1， 当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切， 当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即 所以，解得或 所以切线的方程为或 故选：C 48．（23-24高二上·北京通州·期末）已知圆，点． (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)求过P点的圆C的切线方程． 【答案】(1)圆心坐标为，半径为 (2)或 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求得圆心和半径； （2）先考虑切线斜率不存在，直接分析即可；再考虑切线斜率存在，根据圆心到直线的距离等于半径可求结果. 【详解】（1）将圆的一般方程化为标准方程可得：， 所以圆心坐标为，半径为. （2）当切线斜率不存在时，切线方程为，此时，不符合题意； 当切线斜率存在时，设过P点的切线方程为，即， 圆心到直线的距离，解得或， 当时，切线方程为， 当时，切线方程为，即， 综上所述，过P点的圆C的切线方程为或． 49．（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆． (1)若直线与圆相切，求切线的方程； (2)若过点的直线与圆相交于、两点，且为直角三角形，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出的值，由此可得出直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，结合点到直线的距离公式可求出参数的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）由已知得圆心的坐标为，半径． 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 即，解得或． 故直线的方程为或． （2）在直角中，因为，所以，则为等腰直角三角形， 因此直线与圆所截的弦长， 所以，圆心到直线的距离为， 显然，当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意； 所以，直线的斜率存在，设它的方程为，即， 所以， ，解得，则直线的方程为. 综上所述，直线的方程为.    地 城 考点07 圆与圆的位置关系 50．（23-24高二上·北京顺义·期末）圆：与圆：的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】A 【分析】根据圆心距大于半径之和，得到位置关系. 【详解】圆：的圆心为，半径为1， 圆：的圆心为，半径为3， 圆心距，故两圆外离. 故选：A 51．（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【答案】B 【分析】判断两圆心之间的距离与半径之和的关系即可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆化简为标准方程为，故其圆心为，半径为， 故， 故圆与圆的位置关系为相切. 故选：B. 52．（23-24高二上·北京房山·期末）已知圆．则圆的圆心坐标为 ；若圆与圆内切，则 ． 【答案】 【分析】第一空：由圆标准方程即可得出圆心坐标.第二空：由几何关系表示出内切即可. 【详解】圆心为，半径； 圆心为，半径； 设两圆的圆心距为，则 由几何关系知两圆内切. 故答案为：；. 53．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆与圆外切，则（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】C 【分析】由题意分别求两圆的圆心和半径，根据两圆外切可得，代入运算求解． 【详解】由，可得圆的圆心，半径为， 由，可得， 所以圆心为，半径为， 因为两圆外切，所，所以， 则，解得． 故选：C. 【好题推送】 54．（2021·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，点，，，是圆上一点，是边上一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，因为，所以当，即点与点重合时，有最大值，问题转化为在圆上，求的最大值， 【详解】解：设，则， 所以， 因为， 所以当，即点与点重合时，有最大值， 所以问题转化为在圆上，求的最大值， 因为点在圆上，设点所在的直线为， 因为直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离不大于半径，即， 所以，解得，即， 所以， 所以的最大值是12， 故选：B 55．（23-24高二上·北京房山·期末）已知曲线，给出下列四个命题： ①曲线关于轴、轴和原点对称； ②当时，曲线共有四个交点； ③当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是； ④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积． 其中所有真命题的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】①将点代入方程，判断方程是否满足即可；②联立曲线方程求得或，进而求交点个数；③④由曲线是圆心为原点，半径为的圆，利用二次函数性质求曲线上任意一点到原点距离的范围，结合对称性即可判断. 【详解】①设点在上， 对于点，代入方程，也在上； 对于点，代入方程，也在上； 对于点，代入方程，也在上； 所以曲线关于x轴、y轴和原点对称，正确； ②联立可得，即或， 当时，都有，即存在交点； 当时，都有，即存在交点； 综上，共有四个交点，正确； ③当时，则， 故，可得， 曲线上任意一点到原点距离 ， 当时， 结合对称性知：曲线对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离 的最大值是3，正确. ④当时，对于曲线是圆心为原点，半径为的圆， 设曲线围成的区域为，曲线围成的区域为， 设，则，故， 故，故，故在的内部， 故的面积不大于的面积，故④错误. 故答案为：①②③ 56．（23-24高二上·北京朝阳·期末）如图，在长方体中，为棱的中点，点是侧面上的动点，满足，给出下列四个结论： ①动点的轨迹是一段圆弧； ②动点的轨迹长度为； ③动点的轨迹与线段有且只有一个公共点； ④三棱锥的体积的最大值为. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】利用三角函数的定义得到，再建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式求得动点的轨迹，从而逐一分析各选项即可得解. 【详解】由长方体性质可知：都与平面垂直， 而在平面内，所以， 由，可知，即，故， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，因为点是侧面上的动点，故设， 故所求点满足，化简得， 则动点的轨迹为此圆在矩形内的部分，是一段圆弧，故①正确； 记圆心为，当时，由，得， 显然动点的轨迹与线段没有公共点，故③错误； 当时，由，得或（舍去）， 当时，由，得或（舍去）， 则，， 易得，又，则， 所以动点的轨迹长度为，故②正确； 显然，动点到平面的最大距离为点到平面的距离，即， 所以三棱锥的体积的最大值为，故④正确. 故答案为：①②④. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $