专题04对指幂函数（六大题型+好题推送）（期末真题汇编 ，北京专用）高一数学上学期 人教A版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04对指幂函数（六大题型+好题推送） ☆7大高频考点概览 考点01指数、对数混合运算 考点02指数、对数比大小 考点03幂函数 考点04指数函数综合题型 考点05对数函数综合题型 考点06指对幂函数综合应用 目目 考点01 指数、对数混合运算 1. (24-25高一上北京密云期末)计算： 1g5+1g2+log,9=. (用数字作答) 2. (24-25高一上北京期末)计算：42-(1g2+1g5)=一 3.(24-25高一上·北京朝阳期末 +log24=() 9 A. B.4 c D.6 4.(23-24高一上北京大兴期末)(1)求值： (2)已知10°=2,10=3，用a,b表示log12 5.(23-24高一上北京密云期末)8+1g4+1g25= 6.(23-24高一上北京丰台期末)g2+1g5-85+1-π2=（) 1 A.-2 B.π-2 C.4-π D.3 7.(24-25高一上北京大兴期末)8=（) A.2 B.3 C.4 D.6 目目 考点02 指数、对数比大小 8. (24-25高一上北京东城期末)己知x,y∈R,则() 1/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1og,(21+2)sx+y 2 B.1og(2+2)≥x+y 2 C.1og,(2+2)<x4y 2 D.g2+2>生 9.(24-25高一上北京丰台期末)己知a=21,b=2.6,c=log,0.25,则a,b,c的大小关系为() A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.b<a<c 10.(24-25高一上北京顺义期末)设a=32,b=0.3,c=l0g0.2,则a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b 11.(24-25高一上北京朝阳期末)已知a=31,b=23,c=l0g:0.2,则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.b>a>c C.bxcxa D.cxb>a 12.(24-25高一上北京东城期末)设a=0.46,b=0.48,c=0.66,则() A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.a<c<b 13.(23-24高-上北家密云期末)者a=l08力=1og,07,c=2,则《） A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<a<b 14.(23-24高一上·北京通州期末)已知a=23,b=1ogo32,c=0.53,则() A.c>axb B.c>b>a C.axbxc D.axcxb 15.(23-24高一上北京顺义期末)已知a=2",b=log32,c=log23,则a,b,c的大小关系是() A.c>axb B.b>c>a C.axcxb D.cxb>a A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.c<b<a 17.(24-25高一上北京期末)已知a=31,b=-l0g15,c=10gs2,则（). A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.a<c<b 目目 考点03 幂函数 2/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.(24-25高一上北京朝阳期末)已知幂函数f(x)=x“的图象经过点(9，V3,则α= 19.（24-25高一上·北京期末)已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f(9)= 20.(23-24高一上北京顺义期末)已知幂函数f(x)=x“的图象经过点2，√2，那么f(4)= 21. (2425高一上·北京期末)己知幂函数y=f(x)的图象经过点(9,3)，则f(x)的解析式是 目目 考点04 指数函数综合题型 22.(23-24高一上·北京大兴期末)指数函数y=a在区间1,2]上最大值与最小值的差为2，则a等于 23.（24-25高一上·北京丰台期末)已知指数函数的图象过点(2,9)，则该指数函数的解析式为」 24.（24-25高一上·北京大兴期末)函数f(x)=2+k的值域为M,能使Mc【-1,+0)成立的一个k值 为 2x-1,x≤0 25.（24-25高一上·北京·期末)设函数f(x)= 则f(f(-4)= ；若f(t)≥1，则 1x2,x>0 1og(4+的最大值为 2 26.(23-24高一上·北京丰台期末)双曲函数是一类与三角函数类似的函数，基本的双曲函数有：双曲正 眩函数sihx=S,双曲余弦函数cosh(x)=,，双曲正切函数anh sinh(x) 2 cosh(x) 给出下列四个 结论： ①函数y=cosh (x是偶函数，且最小值为2； ②函数y=sinh(x是奇函数，且在R上单调递增； ③函数y=tanh(x在R上单调递增，且值域为-l,1); ④若直线y=t与函数y=cosh(x和y=sinh(x的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为x,x2, x3,则x+x2+x>ln1+√2 其中所有正确结论的序号是 27.(23-24高一上北京丰台期末)己知函数f(x)=2 3/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)画出函数∫(x的图象，并写出函数∫(x的值域及单调区间： ..2 .4.20.2.4元 (2)解不等式(x)≥16： (3)若(x≥a2-a+1恒成立，求实数a的取值范围 28.(24-25高一上·北京期末)己知指数函数f(x)=a的图象过点(1,2)， (1)求函数∫(x)的解析式： (2)判断F(x)=f（x)-f(-x)的奇偶性，并加以证明； (3)如果10g-x2-2bx+3)≥1在区间2,3]上恒成立，求实数b的取值范围. 29.(23-24高一上北京通州期末)函数f(x)=e+mer-4,meR (1)若f(x)为偶函数，求m的值及函数f(x)的最小值； (2)当x∈[-L,]时，函数∫(x)的图象恒在x轴上方，求实数m的取值范围 30.(24-25高一上·北京密云期末)已知函数f(x)=e+ae. (1)当a=1时，证明：f(x)为偶函数； (2)当a=-1时，直接写出f(x)的单调性，并解不等式f(2x-)>e2-e2; (3)当a>0时，是否存在实数a,使得f(x)的最小值为4，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由. e*+x+3,x≤0， 31.(24-25高一上·北京东城期末)已知函数f(x)= 117 -x2+mx+4,0<x< 的图象过点24)，其中 mER (1)求m及f(-1)的值： (2)求证：x∈(-0,1)，都有x+3<f(x)≤x+4: (3)若函数g(x)f(x)-(x+n)川(n∈R)在(-o,)上存在最大值，直接写出的取值范围 4/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 32.(23-24高一上·北京平谷期末)函数y=3-1的定义域为[-1,2].则其值域为() A.[2,8] B.L,8 C.[0,8] D.[-1,8] 35.(23-24高一上·北京平谷期末)己知函数f(x)=a·2+b的图像过原点，且f(I)=1. (1)求实数a,b的值： (2)若x∈R,f(x)>m,写出m的最大值； (3)设g(x)=f(x)-x,直接写出g(x)<0的解集， 目目 考点05 对数函数综合题型 33.(2425高一上北京期末)函数f(x)=log2(x-1)的图象为() B. 2 -2-10 34.(2425高一上北京大兴期末)方程10g2x2=1的解集为() A.{1} B.{-1,1} C.{2} D.{-2,V2} 35.(23-24高一上北京大兴期末)已知函数∫(x)=x+l0g2x-4的零点为x, gx=x+log.(x-1)-5(a>1)的零点为x,若x2-x>1,则实数a的取值范围是() A.(1,2) B.（N2,2 C.(1,2 D.（2,+0 36.(24-25高一上北京大兴期末)已知lga=-lgb,则ab=_,a+b的最小值为 37.（2425高一上北京期末)已知2=3y=a,若上+1-1，则a=一 x y 5/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 38.(23-24高一上北京丰台期末)己知函数f(x)= P+1,x≤0，若关于x的方程f)=k有两个不同的 log2x,x>0 实根，则实数k的取值范围是 39.(23-24高一上北京东城期末)已知函数f(x)=1og,s13-3),则∫(2)__2（用“><“=”填空）； f(x)的零点为一 40.(23-24高一上·北京大兴期末)已知函数f(x)=nx,若f(x)=1,则x=;若0<a<b,且 f(a)=fb),则a+b的取值范围是_ 41.(24-25高一上北京丰台期末)己知函数∫x)=l0g,x. 5 4 i -5-4-3-2-10 2345 -1 …2 (1)判断∫(x的奇偶性，并证明： (2)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出f(x)的图象，并写出f(x)的单调区间； (3)求不等式f(x)>4的解集， 42.(23-24高一上北京大兴期末)已知函数f(x=ln(1+x),gx=ln(1-x) (1)求证：f(x+gx为偶函数： (2)设h(x=f(x)-gx),判断h(x的单调性，并用单调性定义加以证明 43.（23-24高一上·北京朝阳期末)设函数f(x)=1og24+m(m>-1). (1)当m=0时，求f①的值： (2)判断f(x)在区间[0，+∞)上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； (3)当x∈[0，+o)时，f(x)的最小值为3，求m的值. 6/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 44. (24-25高一上·北京东城期末)已知函数f(x)=log。x(a>0,a≠1). 0诺/)=2，求c的值： (②)当0<a<1时，若函数g)=f(在a,2a上的最大值与最小值的差为；，求a的值： (3)设函数h(x)=a-2x-f(x),当5<a<6时，h(x)的零点x,∈(m,m+1)(m∈N),求m的值. 目目 考点06 指对幂函数综合应用 45.（24-25高一上北京期末)教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物， 降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高 容许浓度为0.15%经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓 度为%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y=0.05+e“(亿∈R)描述，则该教室内的二 氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t(单位：分钟)的最小整数值为() (参考数据ln2≈0.693，ln3≈1.098) A.5 B.7 C.9 D.10 46.（23-24高一上·北京密云期末)近年来，密云区生物多样性保护成效显著，四百多种野生鸟类在密云 繁衍生息，近万候鸟变留鸟，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为耗氧量x的函数 v=alog210 若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s,则两岁燕子飞行速度为20m/s 时，其耗氧量达到() A.80个单位B.120个单位 C.160个单位 D.320个单位 47.(24-25高一上·北京顺义期末)通过科学研究发现：地震时释放的能里E(单位：焦耳)与地震里氏 震级M之间的关系为gE=4.8+1.5M.己知2011年甲地发生里氏9.2级地震，2019年乙地发生里氏7.4级地 震，若甲，乙两地地震释放能量分别为5，么，则会=（) A.10-18 B.10-8 C.10-27 D.1027 48.(24-25高一上·北京丰台期末)近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，己知臭氧含 量0与时间t(单位：年)的关系为Q=Q,eo,其中2是臭氧的初始含量，©是自然对数的底数.按照此 关系推第，当臭氧含量为初始含量的后时，1的值约为（)（参考数据：20693h3=1099) A.305 B.483 C.717 D.879 49.(24-25高一上·北京密云期末)荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.” 7/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一点点.若每天学习的“进步率”都是1%，记一 年后学习的“进步值”为(1+1%)365，每天学习的“退步率”都是1%，记一年后学习的“退步值”为(1-1%)365，则 一年后学习的“进步值”约为学习的“退步值”的1481倍.若学习的“进步值”是学习的退步值”的4倍，则至 少需要经过的天数约为() 参考数据：1g101≈2.0043,1g99≈1.9956，lg2-0.3010. A.50 B.60 C.70 D.80 50.(24-25高一上·北京朝阳·期末)新闻推送涉及到信息检索，若一个关键词w在D.个网页中出现过，则 D越大，w的权重越小；反之亦然.在信息检索中，使用最多的权重是“逆文本频率指数I”, =Ig 其中D是全部网页数，D>0,D.>0.如果关键词a的逆文本频率指数I。比关键词b的逆 D 文本频率指数I,大2，那么() A.D。=2D。 B.D。=10D。 C.Db=20D。 D.D。=100D。 51.(23-24高一上·北京通州期末)国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣 发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分.图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近 似值L:4.0,4.1,4.2..对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值0.1,0.12,0.15..已知标准对数 记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=K+g∥(K为常数)，某同学测得视力的小数记录法数据为 0.6,则其标准对数记录法的数据约为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）() 标准对数视力表 对 数 记 录 4.0 0.1 4.1 0.12 4.2 Em 0.15 A.4.8 B.4.9 C.5.0 D.5.1 52.(23-24高一上·北京顺义·期末)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度 v(单位：m1s)可以表示为v=51g:号，其中Q表示燕子耗氧量的单位数茱只两岁燕于耗氧量的单位数 8/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为2时的飞行速度为%，耗氧量的单位数为2时的飞行速度为，若2-y=7.5(ms,则 的值为(） 92 A.√ B.4 C.2W2 D.② 4 53.(24-25高一上·北京大兴期末)衣柜里的樟脑丸会随着时间的推移挥发而体积缩小，刚放进的新樟脑 丸体积为么，经过1天后体积V与天数1的关系式为"=©.若新樟脑丸经过50天后，体积变为号6，则k 约为()（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986） A.0.0162 B.0.2132 C.0.3012 D.0.5160 54.(23-24高一上·北京丰台期末)荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海” 学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点若甲、乙两同学当下的知识储备量均为，甲 同学每天的“进步”率和乙同学每天的“退步”率均为2%.n天后，甲同学的知识储备量为1+2%)”a,乙同学 的知识储备量为(1-2%)”α，则甲、乙的知识储备量之比为2时，需要经过的天数约为()（参考数据： 1g2≈0.3010，lg102≈2.0086，lg98≈1.9912) A.15 B.18 C.30 D.35 55.（23-24高一上·北京顺义期末)已知函数f(x)= 2,x≤1 0g,x,x>1'若方程/（四）=-x+k有两个不相等的实 数根，则实数k的取值范围是() A.(1,3 B.(1,3 C.(1,+o） D.1,2] 56.（23-24高一上·北京大兴期末)设0<m<1<a<b,给出下列四个结论：①m“>m;②a">b";③ ogm<1g,m:@,个>0共中所有正确结论的序号是() a+m b+m A.①② B.③④ C.①②③ D.①③④ 57.(2425商一上北京期末)当0<号时，4华<10g,x,则a的取值范围是 A@,9) C.(1,√2) D.(√2,2) 58.(23-24高一上北京通州期末)设函数f(x)=2,g(x)=x2,m(x)=log。x(a>1),n(x)=x(k>0),则 下列结论正确的是() A.函数f(x)和g(x)的图象有且只有两个公共点 B.∈R,当x>x时，使得f(x)<g(x)恒成立 9/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.3x。∈(0，+o),使得fx)<mx)成立 D.当ak≤1时，方程m(x)=n(x)有解 59.(23-24高一上·北京丰台期末)函数f(x)=2+x,g(x=l0g2x+x,h(x)=Vx+x的零点分别为a, b,C,则a,b,c,的大小顺序为() A.axbxc B.bxaxc C.b>c>a D.c>a>b 60.(23-24高一上·北京平谷期末)已知函数f(x)=2,g(x)=l0g。x,0为坐标原点，若对于g(x)图象上的 任意一点P,将线段OP绕着O点逆时针方向旋转90°后，点P落在∫(x)的图象上，则实数a=() A.4 B. c.g D.2 61.(24-25高一上北京朝阳期末)已知函数f(x)= -2xx之0，给出下面四个结论： 2*+a,x<a ①当a=1时，f(x)只有一个零点： ②对任意a>3,f(x既没有最大值，也没有最小值； ③存在实数a,f(x)在R上单调递增： ④若f(x)存在最小值，则a的最小值为-1. 其中所有正确结论的序号是 62.(23-24高一上北京朝阳期末)已知x是函数f(x)=e+x3的一个零点，且a∈-0，x),b∈x,0),则 () A.f(a)<0,f(b)<0 B.f(a>0,f(b)>0C.f(a)>0,f(b)<0D. f(a)<0,f(b)>0 63.(24-25高一上·北京密云期末)如图，太极图通常被描绘为一个圆形图案，中间有一条S形曲线将圆 形图案分为两部分，体现了数学的“对称美”.己知O为坐标原点，若函数f(x)的图象将圆O的圆周二等分， 并且将这个圆及其内部分成面积相等的两部分，则记∫(x)为圆O的一个“太极函数”.给出下列四个结论： ①对于圆O,它的“太极函数”有无数个： 10/12 专题04 对指幂函数（六大题型+好题推送） 7大高频考点概览 考点01 指数、对数混合运算 考点02 指数、对数比大小 考点03 幂函数 考点04 指数函数综合题型 考点05 对数函数综合题型 考点06 指对幂函数综合应用 地 城 考点01 指数、对数混合运算 1．（24-25高一上·北京密云·期末）计算： ； ．（用数字作答） 【答案】 2 3 【分析】空一可利用分数指数幂的运算求解；空二利用对数的运算法则求解. 【详解】; . 故答案为： 2．（24-25高一上·北京·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】利用分数指数幂运算和对数运算性质求解即可 【详解】. 故答案为：1 3．（24-25高一上·北京朝阳·期末）（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】根据指数运算、对数运算的性质计算即可求解. 【详解】. 故选：D. 4．（23-24高一上·北京大兴·期末）（1）求值：； （2）已知，，用，表示. 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）根据指对运算即可得到答案； （2）根据对数运算性质和换底公式即可. 【详解】（1）原式 （2）由已知，， 则 5．（23-24高一上·北京密云·期末） . 【答案】4 【分析】根据对数运算和指数运算计算出答案. 【详解】. 故答案为：4 6．（23-24高一上·北京丰台·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根式的性质、指数和对数的运算性可得出所求代数式的值. 【详解】，故A正确. 故选：A. 7．（24-25高一上·北京大兴·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数运算求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：C 地 城 考点02 指数、对数比大小 8．（24-25高一上·北京东城·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可得，结合对数函数单调性分析判断. 【详解】因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为在定义域内单调递增， 所以. 故选：B. 9．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性计算判断大小即可. 【详解】因为单调递增，所以， 又因为，所以. 故选：A. 10．（24-25高一上·北京顺义·期末）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过和中间量1和0的比较即可求解； 【详解】， 所以， 故选：C 11．（24-25高一上·北京朝阳·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与对数函数单调性得到的取值范围，从而得解. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B. 12．（24-25高一上·北京东城·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指数函数在上的单调性比较，的大小；再根据幂函数在上的单调性比较，的大小即可求解. 【详解】∵函数在上单调递减，且，，即. ∵函数在上单调递增，且，，即. . 故选：C. 13．（23-24高一上·北京密云·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性即可比较，由指数的性质即可求解. 【详解】因为函数在定义域上单调递增，所以， 所以，又，故. 故选：A 14．（23-24高一上·北京通州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出的范围，再比较大小即可. 【详解】因为，所以；，；，；所以. 故选：D 15．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中间量和，确定和中间量的大小关系即可确定间的大小. 【详解】, , , 所以. 故选：A. 16．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数和对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为幂函数在上单调递增，，所以，即， 因为对数函数在单调递减，，所以，即， 所以， 故选：C. 17．（24-25高一上·北京·期末）已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过化简，并比较与1的大小即可得出结论. 【详解】由题意， ，， 所以. 故选：D. 地 城 考点03 幂函数 18．（24-25高一上·北京朝阳·期末）已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】/ 【分析】将点的坐标代入函数解析式，得到关于的方程，解方程即可. 【详解】将点代入函数解析式，有，即， 所以，解得. 故答案为： 19．（24-25高一上·北京·期末）已知幂函数的图象过点，则 【答案】3 【分析】设出函数解析式，由已知点求得参数值得解析式，然后代入计算． 【详解】设，则，，即， ∴． 故答案为：3. 20．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知幂函数的图象经过点，那么 . 【答案】 【分析】 先将点代入函数求出，进而可得. 【详解】将点代入得， 所以. 所以. 故答案为：. 21．（24-25高一上·北京·期末）已知幂函数的图象经过点，则的解析式是 ． 【答案】 【分析】先设解析式，再由点代入求得，即得结果. 【详解】幂函数可设为，图象过点，则，则， 所以. 故答案为：. 地 城 考点04 指数函数综合题型 22．（23-24高一上·北京大兴·期末）指数函数在区间上最大值与最小值的差为2，则等于 . 【答案】2 【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到方程，求出. 【详解】当时，单调递增，故，解得或（舍去）， 当时，单调递减，故，无解， 综上，等于2. 故答案为：2 23．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】设出解析式，代入，求出，得到答案. 【详解】设（且），将代入得，解得，负值舍去， 故该指数函数的解析式为. 故答案为： 24．（24-25高一上·北京大兴·期末）函数的值域为，能使成立的一个值为 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】首先求出函数的值域为，再利用集合间的包含关系即可求得的取值范围，即可得到答案. 【详解】函数的值域为，因为，所以. 故答案为：0 25．（24-25高一上·北京·期末）设函数，则 ；若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】借助分段函数性质计算即可得空一；分及计算可得的范围，结合函数的单调性即可得解. 【详解】； 若，则，即，即； 若，，即； 故或，则， 由在定义域内单调递减， 故的最大值为. 故答案为：；. 26．（23-24高一上·北京丰台·期末）双曲函数是一类与三角函数类似的函数，基本的双曲函数有：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数.给出下列四个结论： ①函数是偶函数，且最小值为2； ②函数是奇函数，且在上单调递增； ③函数在上单调递增，且值域为； ④若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，，，则. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】②③④ 【分析】利用奇偶函数定义，指数的运算及基本不等式可对①、②判断；由，可求其值域，即可对③判断；结合双曲余弦函数和双曲正弦函数的性质，奇偶性、单调性、最值等来对④判断. 【详解】对①：，定义域为，，所以为偶函数， 因为，，所以，当且仅当，即时取等号，故①错误； 对②：，定义域为，，所以为奇函数， 因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，故②正确； 对③：由，又因为，所以，所以， 所以的值域为，故③正确； 对④：由①，②知是偶函数且最小值为，是奇函数且在上单调递增， 所以函数与和的图象共有三个交点，则得， 由双曲余弦函数为偶函数，得，则得，所以， 即，得，则，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 27．（23-24高一上·北京丰台·期末）已知函数. (1)画出函数的图象，并写出函数的值域及单调区间； (2)解不等式； (3)若恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)图象见解析，值域为，单调递减区间为，单调递增区间为 (2) (3) 【分析】（1）根据函数，即可画出对应的图象，从而求解. （2）利用指数函数的单调性可求解不等式，从而求解 （3）由恒成立，即得，结合（1）中结论即可求解. 【详解】（1）由题意知函数，从而可画出图象如下： 当时，且单调递减，当时，且单调递增， 所以的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由，即， 可得，即或. 所以该不等式的解集为. （3）由恒成立，即， 又，所以，解得. 所以的取值范围为. 28．（24-25高一上·北京·期末）已知指数函数的图象过点， (1)求函数的解析式； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)如果在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)是奇函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）将点代入求得的值即可求得函数的解析式； （2）根据奇偶性的定义判断证明即可. （3）问题转化为在上恒成立，令,，根据函数的单调性求出的范围即可． 【详解】（1）由题知，的图象过点， 所以，， ； （2）是奇函数. 证明如下： 由（1）得，， ∵的定义域为，定义域关于原点对称 ∴， 故是奇函数. （3）如果在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 即在上恒成立， 令，， 显然在上单调递减，， 故． 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法： ① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ② 数形结合( 图象在 上方即可)； ③ 讨论最值或恒成立； ④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 29．（23-24高一上·北京通州·期末）函数，. (1)若为偶函数，求的值及函数的最小值； (2)当时，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用偶函数定义，带入函数计算，利用换元法，结合基本不等式进行最小值的求解即可. （2）由于函数图像恒在轴上方，所以函数，进行参数分离，得到恒成立，结合换元法进行讨论即可. 【详解】（1）因为函数为偶函数. 所以恒成立，即恒成立. 即恒成立，解得， 所以，令， ，当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为. （2）当时，函数的图象恒在轴上方， 故当时恒成立. 即恒成立. 令，令，. 因为，对称轴为， 故当即时，取最大值4，故. 30．（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数． (1)当时，证明：为偶函数； (2)当时，直接写出的单调性，并解不等式； (3)当时，是否存在实数a，使得的最小值为4，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)在上递增，不等式解集为 (3)存在， 【分析】（1）当时，利用函数奇偶性定义可证明为偶函数； （2）当时，根据指数函数的单调性可得的单调性，将不等式化为，再利用函数的单调性求解即可； （3）当时，根据基本不等式求出函数的最小值，再根据的最小值为4，列方程求解即可， 【详解】（1）当时，，的定义域为R，定义域关于原点对称， 因为，所以是偶函数； （2）当时，， 因为都是R上的单调递增函数， 所以在上递增， 不等式，即， 所以， 即不等式的解集为； （3）当时，，且， 所以，当且仅当，即时等号成立， 因为的最小值为4，所以， 即存在，使得的最小值为4. 31．（24-25高一上·北京东城·期末）已知函数的图象过点，其中. (1)求及的值； (2)求证：，都有； (3)若函数在上存在最大值，直接写出的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）函数的图象过点，可求得；再将带入分段函数对应解析式即可求解； （2）根据不等式的性质，结合的取值范围即可证明； （3）由题知，对的取值范围进行分类讨论，去绝对值后研究分段函数的单调性即可求解. 【详解】（1）∵函数的图象过点，，解得. . 故. （2）证明：由（1）知， 当时，， ； 当时，， ，. 综上，，都有. （3）由（1）知. 当时，，； 当时，，. 当时，， 由于函数在上单调递减，函数在上单调递增， 故函数在上无最大值； 当时，， 由于函数在上单调递增，函数在上单调递减， 故当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，不妨设方程的两根分别为和， 易知函数在和上单调递减，在和上单调递增， 要使函数在上存在最大值，需使，即，解得. 综上，若函数在上存在最大值，的取值范围为. 32．（23-24高一上·北京平谷·期末）函数的定义域为．则其值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，结合指数函数单调性即可求解. 【详解】由题意，所以，. 故选：C. 35．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知函数的图像过原点，且． (1)求实数的值； (2)若，写出的最大值； (3)设，直接写出的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数解方程组即可求解. （2）由即可得解. （3）在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和的图象，观察即可得解. 【详解】（1）由题意，解得. （2）由（1）可知，若，则， 所以的最大值为. （3）由题意不等式等价于，且注意到， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和的图象如图所示：    由图可知：不等式的解集为. 地 城 考点05 对数函数综合题型 33．（24-25高一上·北京·期末）函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式判断出函数奇偶性可得结论. 【详解】易知，即或； 即函数定义域为，显然定义域关于原点对称；可排除B，C； 且满足，即为偶函数，图像关于轴对称，排除D； 故选：A 34．（24-25高一上·北京大兴·期末）方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据真数大于零解得或，再将1转化为，即可解得，都使得方程有意义，即可知正确选项. 【详解】由题意，，解得或， 由，得，则，解得，所以方程的解集为. 故选：D. 35．（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数的零点为，的零点为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由函数零点的定义得到，再结合条件进行变形，，再根据对数函数的图象和性质，即可求解取值范围. 【详解】由题意可知， ， ， 即， 因为，所以， 则，当时， 解得：. 故选：D 36．（24-25高一上·北京大兴·期末）已知，则 ，的最小值为 ． 【答案】 1 2 【分析】根据对数运算可解得的值，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】由题意，，由，得，即，则； 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立. 故答案为：1，2. 37．（24-25高一上·北京·期末）已知，若，则 ． 【答案】 【解析】先由指数式化为对数式可得，，再利用即可求的值. 【详解】由，可得：，， 所以，则， 故答案为： 38．（23-24高一上·北京丰台·期末）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意及函数和有两个不同的交点，然后求出相应区间上的值域，即可求解. 【详解】由题意知，当时，，且单调递增， 当时，，且单调递增， 所以当有两个不同的实根，即函数和有两个不同的交点， 所以只需即满足题意，所以的取值范围为. 故答案为：. 39．（23-24高一上·北京东城·期末）已知函数，则 2（用“”“”“”填空）；的零点为 . 【答案】 【分析】根据对数运算性质及对数的单调性比较大小，根据对数运算及指对互化求解函数的零点. 【详解】， 由得，所以，所以， 所以函数的零点为. 故答案为：， 40．（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数，若，则 ；若，且，则的取值范围是 . 【答案】 或 【分析】根据对数运算求解方程；根据对数函数的图象，即可去绝对值，再结合基本不等式，即可求解的取值范围. 【详解】，得或； 由题意可知，， 由函数图象可知，，则， 即，则， ， 所以的取值范围是. 故答案为：或； 41．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出的单调区间； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)是偶函数，证明见解析 (2)答案见解析，单调递增区间为，单调递减区间为． (3)或． 【分析】（1）运用奇偶性定义证明即可； （2）运用函数图象反正变换画图，写出单调区间即可； （3）运用对数函数单调性，结合绝对值不等式知识计算即可. 【详解】（1）是偶函数，证明如下： 由已知，得的定义域为，关于原点对称． 因为，都有， 且， 所以，故是偶函数. （2）的图象如下图所示． 的单调递增区间为，单调递减区间为． （3）因为，且， 所以． 因为在区间上单调递增， 且,所以， 解得，或， 故的解集为或． 42．（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数，. (1)求证：为偶函数； (2)设，判断的单调性，并用单调性定义加以证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)是单调递增函数，证明见解析 【分析】（1）由对数复合型函数的定义域结合偶函数的定义即可得证. （2）直接由函数单调性的定义结合对数函数单调性即可得证. 【详解】（1）函数的自变量满足， 解得， 所以函数的定义域为. 对于，都有， 且 所以函数为偶函数. （2）函数是单调递增函数. 理由如下：设，且， 因为，所以，即， 又知，所以， 因此， 即，由函数单调性定义可知，函数是单调递增函数. 43．（23-24高一上·北京朝阳·期末）设函数． (1)当时，求的值； (2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； (3)当时，的最小值为3，求m的值． 【答案】(1)2 (2)在区间上的单调递增，证明见解析 (3)7 【分析】（1）求出函数的解析式，进而求出的值； （2）利用函数单调性的定义证明单调性； （3）由（2）的单调性，可得，求出的值. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）在区间上的单调递增，证明如下： 在上任取，且， 则， 因为，，所以， 所以，即， 所以，即，所以， 即在区间上的单调递增. （3）时，由（2）可得在上单调递增， 所以， 所以. 44．（24-25高一上·北京东城·期末）已知函数． (1)若，求的值； (2)当时，若函数在上的最大值与最小值的差为，求的值； (3)设函数，当时，的零点，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入结合对数的定义运算求解即可； （2）注意到，，结合题意可知，结合单调性列式求解即可； （3）分析可知在内单调递减，结合零点存在性定理运算求解. 【详解】（1）因为，可得， 且，所以. （2）因为，当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 且，， 若函数在上的最大值与最小值的差为，可得，即， 可知在上单调递减，则，解得， 所以的值为. （3）因为，且， 又因为在内单调递减， 可知在内单调递减， 且， 可得， 则的唯一零点，所以. 地 城 考点06 指对幂函数综合应用 45．（24-25高一上·北京·期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小整数值为（    ） （参考数据） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据已知条件求得，然后列不等式来求得的取值范围，进而求得的最小整数值. 【详解】当时，， 所以，由得， ， 所以的最小整数值为. 故选：B 46．（23-24高一上·北京密云·期末）近年来，密云区生物多样性保护成效显著，四百多种野生鸟类在密云繁衍生息，近万候鸟变留鸟，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为耗氧量的函数.若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为，则两岁燕子飞行速度为时，其耗氧量达到（    ） A．80个单位 B．120个单位 C．160个单位 D．320个单位 【答案】C 【分析】结合题意结合对数运算求得，然后列方程，利用指对互化求解即可. 【详解】因为两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为， 所以，所以，所以， 当两岁燕子飞行速度为时，，解得，所以， 即两岁燕子飞行速度为时，其耗氧量达到160个单位. 故选：C 47．（24-25高一上·北京顺义·期末）通过科学研究发现：地震时释放的能里（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9.2级地震，2019年乙地发生里氏7.4级地震，若甲，乙两地地震释放能量分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数、对数运算求得正确答案. 【详解】根据题意:,, 所以. 故选：D 48．（24-25高一上·北京丰台·期末）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，已知臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，是自然对数的底数．按照此关系推算，当臭氧含量为初始含量的时，的值约为（   ）（参考数据：） A．305 B．483 C．717 D．879 【答案】C 【分析】根据题意列出方程，再应用指对数转换计算求解. 【详解】因为臭氧含量与时间（单位：年）的关系为， 所以当臭氧含量为初始含量的时，得， 计算得，化简得， 所以. 故选：C. 49．（24-25高一上·北京密云·期末）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一点点．若每天学习的“进步率”都是1%，记一年后学习的“进步值”为，每天学习的“退步率”都是1%，记一年后学习的“退步值”为，则一年后学习的“进步值”约为学习的“退步值”的1481倍．若学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍，则至少需要经过的天数约为（   ） 参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010． A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】C 【分析】设经过的天数为天，依题得方程，运用两边取对数和对数的运算性质化简，代入近似值计算即得. 【详解】设经过天后，学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍， 由题意，可得，化简得， 两边取常用对数，可得：， 即大约经过70天，学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍. 故选：C. 50．（24-25高一上·北京朝阳·期末）新闻推送涉及到信息检索，若一个关键词在个网页中出现过，则越大，的权重越小；反之亦然．在信息检索中，使用最多的权重是“逆文本频率指数”，，其中是全部网页数，，．如果关键词的逆文本频率指数比关键词的逆文本频率指数大2，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，利用对数的运算性质即可求. 【详解】由题意可知，即， 所以， 所以，即. 故选：D. 51．（23-24高一上·北京通州·期末）国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分.图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值L：4.0，4.1，4.2…对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值V：0.1，0.12，0.15….已知标准对数记录法的数据L和小数记录法的数据V满足（K为常数）.某同学测得视力的小数记录法数据为0.6，则其标准对数记录法的数据约为（参考数据：，）（    ） 标准对数视力表    A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1 【答案】A 【分析】利用公式结合对数运算法则计算函数关系式即可. 【详解】由题意可知，所以， 故，故A正确. 故选：A 52．（23-24高一上·北京顺义·期末）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度v（单位：）可以表示为，其中Q表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为时的飞行速度为，耗氧量的单位数为时的飞行速度为，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用公式，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以 所以， 故选：D 53．（24-25高一上·北京大兴·期末）衣柜里的樟脑丸会随着时间的推移挥发而体积缩小，刚放进的新樟脑丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新樟脑丸经过天后，体积变为，则约为（   ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数关系得，即可知，两边取对数得，利用对数的运算性质化简，最后代入参考数据即可求值. 【详解】由题意，当时，，所以，化简得， 因为，，所以，即， 则， . 故选：A. 54．（23-24高一上·北京丰台·期末）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.若甲、乙两同学当下的知识储备量均为a，甲同学每天的“进步”率和乙同学每天的“退步”率均为2%.n天后，甲同学的知识储备量为，乙同学的知识储备量为，则甲、乙的知识储备量之比为2时，需要经过的天数约为（   ）（参考数据：，，） A．15 B．18 C．30 D．35 【答案】B 【分析】根据题意列式，结合对数运算，即可求得答案. 【详解】由题意可设经过n天后甲、乙的知识储备量之比为2， 则， 则（天）， 故选：B 55．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，画出的图象，数形结合，即可求得的范围. 【详解】方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根， 又， 当时，都是单调增函数，故也是单调增函数； 当时，都是单调增函数，故也是单调增函数； 则有两个不相等的实数根，也即的图象有两个不同的交点； 在直角坐标系中，作出的图象如下所示： 数形结合可知，要满足题意，则. 故选：B. 56．（23-24高一上·北京大兴·期末）设，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据指数、对数函数的单调性，和不等式性质逐项判断即可. 【详解】由题， 令，则单调递减，所以，①正确； 令，在单调递增，所以，②错误； 对于③，， 由知， ， 所以③正确； 对于④，， 因为，所以， 所以，故④正确； 故选：D 【好题推送】 57．（24-25高一上·北京·期末）当时，，则a的取值范围是 A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) 【答案】B 【分析】分和两种情况讨论，即可得出结果. 【详解】当时，显然不成立. 若时 当时，，此时对数，解得，根据对数的图象和性质可知，要使在时恒成立，则有，如图选B. 58．（23-24高一上·北京通州·期末）设函数，，，，则下列结论正确的是（    ） A．函数和的图象有且只有两个公共点 B．，当时，使得恒成立 C．，使得成立 D．当时，方程有解 【答案】D 【分析】作出函数和的图象，结合函数图象即可判断A B；根据指数函数和对数函数的图象即可判断C；根据当时，函数和的图象都过过点，即可判断D. 【详解】对于A，如图所示，作出函数和的图象， 由图可知，函数和的图象有三个公共点，故A错误； 对于B，由A选项可知，当时，， 所以不存在，当时，使得恒成立，故B错误； 对于C，如图，作出函数，的图象，    由图可知，函数的图象在的图象的上方， 函数的图象在的图象的下方， 所以，， 所以不存在，使得成立，故C错误； 对于D，因为，， 当时，函数的图象过点， 函数的图象过点，即直线与函数图象有交点， 当时，直线斜率更小，直线与函数图象有交点， 所以当时，方程有解，故D正确. 故选：D. 59．（23-24高一上·北京丰台·期末）函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可. 【详解】令，即， 令，即， 令，即，分别作出，，和的图象， 如图所示： 由图象可知：，所以. 故选：. 60．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知函数为坐标原点，若对于图象上的任意一点，将线段绕着点逆时针方向旋转后，点落在的图象上，则实数（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】设是图象上的任意一点，旋转后得点坐标变为，再根据条件，代入即可得到结果. 【详解】设图象上的任意一点，将线段绕着点逆时针方向旋转， 如图，设为旋转后的点，过作于，过作于， 则易知，得到， 所以点，依题有，得到，所以，    故选：B. 61．（24-25高一上·北京朝阳·期末）已知函数，给出下面四个结论： ①当时，只有一个零点； ②对任意，既没有最大值，也没有最小值； ③存在实数，在上单调递增； ④若存在最小值，则的最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】求出的零点可判断①；分别求出和时的范围，根据可判断②；分别讨论和时是否在上单调递增可判断③；分和两种情况求出存在最小值时的取值范围可判断④. 【详解】对于①，当时，， 当时，令，即，解得（舍）或； 当时，令，即，方程无解， 所以当时，只有一个零点，故①正确； 对于②，当时，因为在单调递增， 所以，无最大值； 又因为在单调递增，所以， 又， 即，所以，无最小值， 所以函数既没有最大值，也没有最小值，故②正确； 对于③，当时，在单调递减，在单调递增， 所以在上不单调递增； 当时，在单调递增， 所以； 在单调递增，所以， 要使在上单调递增，则，即， 当时，显然，，不满足， 所以在上不单调递增； 当时，单调递增，单调递增， 且当时，， 又因为的增长速度比的增长速度快， 所以，不满足，所以在上不单调递增， 综上，不存在实数，使在上单调递增，故③错误； 对于④，当时，因为在单调递增， 所以； 因为在单调递增，所以， 若存在最小值，则，解得，所以； 当时，在单调递减，在单调递增， 所以； 因为在单调递增，所以， 若存在最小值，则，所以， 综上，，所以的最小值为，故④正确. 故答案为：①②④ 62．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知是函数的一个零点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断出的单调性，根据是函数的一个零点求出的值域可得答案. 【详解】因为为上的单调递增函数， 所以为上的单调递增函数， 又因为是函数的一个零点， 所以时，时， 若，则. 故选：D. 63．（24-25高一上·北京密云·期末）如图，太极图通常被描绘为一个圆形图案，中间有一条S形曲线将圆形图案分为两部分，体现了数学的“对称美”．已知O为坐标原点，若函数的图象将圆O的圆周二等分，并且将这个圆及其内部分成面积相等的两部分，则记为圆O的一个“太极函数”．给出下列四个结论： ①对于圆O，它的“太极函数”有无数个； ②函数是圆O的一个“太极函数”； ③函数是圆O的一个“太极函数”； ④函数是圆O的一个“太极函数”． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案. 【详解】①：圆O，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，所以对于任意一个圆,其“太极函数”不止1个，故①正确； ②：由于函数， 当时，，则， 当时，,则，故为偶函数， 故根据对称性可知函数不是圆O的一个“太极函数”，故②错误； ③：函数定义域为，，也是奇函数， 故为圆O的一个“太极函数”，故③正确； ④：函数定义域为，，故为奇函数， 故函数是圆O的一个“太极函数”，故④正确. 故选：①③④ 64．（23-24高一上·北京顺义·期末）悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为，其中c为参数，当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数，下列说法错误的是（   ） A． B．函数的值域 C．，恒成立 D．方程有且只有一个实根 【答案】C 【分析】直接计算即可判断A；分离常数，再根据指数函数及反比例函数的性质即可判断B；举出反例即可判断C；令，根据函数的单调性结合零点的存在性定理即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， 因为，所以，所以， 所以， 所以函数的值域，故B正确； 对于C，因为， 即，故C错误； 对于D，， 令，函数为增函数，且， 而函数在上为增函数， 所以函数是增函数， 令， 因为函数都是增函数， 所以函数是增函数， 又， 所以函数有唯一零点，且在上， 即方程有且只有一个实根，故D正确. 故选：C. 65．（24-25高一上·北京大兴·期末）已知函数，其中． (1)若，，求的值； (2)用单调性定义证明：函数在区间上单调递增； (3)若当时，函数在区间上存在零点，写出的值，并说明理由． 【答案】(1)， (2)证明见详解 (3)1，理由见详解 【分析】（1）根据可解，根据，结合对数运算可解； （2）根据函数单调性的定义，以及对数函数的单调性，即可证明； （3）根据零点存在性定理，以及函数的单调性可得的值. 【详解】（1）由，得，解得， 由，得，即，解得. （2）取，且， 则 由，，得，且，即 ， 于是， 即， 因此，函数在区间上单调递增. （3），理由如下： ①当时， ，因为，所以， ，因为，所以，则， 因为，所以. 又因为函数在区间上单调递增， 因此，根据零点存在定理得： 当时，函数在区间上存在零点， ②当，时， 由，且在区间上单调递增可知： 在区间上不存在零点. 综上所述，满足题意的的值为1. 66．（23-24高一上·北京通州·期末）某城市2024年1月1日的空气质量指数（简称AQI）与时间（单位：小时）的关系满足如图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为106.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数图象的一部分.根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于101时，空气就属于污染状态. (1)求函数的解析式； (2)该城市2024年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由. 【答案】(1) (2)这一天在这个时间段的空气，空气属于污染状态，理由见解析. 【分析】（1）根据图象结合二次函数运算求解； （2）由（1）可得的解析式，分类讨论解不等式即可得结果. 【详解】（1）当时，由图像可得：二次函数开口向下，顶点坐标为，且过，，可设，， 代入点可得，解得， 故当时，； 点代入，解得， 故当时，； . （2）当时，令，解得， 当时，令，解得， 所以， 综上所述：这一天在这个时间段的空气，空气属于污染状态. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $