专题01 集合与命题逻辑（五大题型+好题推送）（期末真题汇编 ，北京专用）高一数学上学期人教A版

专题01 集合与命题逻辑（五大题型+好题推送） 5大高频考点概览 考点01 集合的交并补运算 考点02 集合的基本运算综合解答题 考点03 命题的否定 考点04 命题逻辑综合问题 考点05 集合新定义 地 城 考点01 集合的交并补运算 1．（24-25高一上·北京顺义·期末）已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集运算即可求解； 【详解】， 所以， 故选：B 2．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的并集运算求解即可. 【详解】因为集合，所以. 故选：D. 3．（24-25高一上·北京密云·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据交集的概念与运算直接得出结果. 【详解】由题意知，. 故选：C 4．（24-25高一上·北京朝阳·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 5．（24-25高一上·北京东城·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合交集运算求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：A. 6．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将集合B化简，再根据交集运算求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 7．（23-24高一上·北京通州·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求解. 【详解】因为全集，， 所以. 故选： C 8．（23-24高一上·北京密云·期末）已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出，即可得出中元素的个数. 【详解】由题意， ，， ， 故中元素的个数为3， 故选：C. 9．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接求集合的交集即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：A. 10．（23-24高一上·北京丰台·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答. 【详解】因为，， 所以. 故选：. 11．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合,，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交运算法则直接计算即可. 【详解】因为集合,， 所以， 故选：B. 12．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合交集的概念，即可求解. 【详解】由集合， 集合B由，所有偶数构成，集合A中只有-2,2两个偶数，故. 故选：B. 地 城 考点02 集合的基本运算综合解答题 13．（24-25高一上·北京丰台·期末）设集合． (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）转化为的两个根分别为，2，且，由韦达定理得到，求出结果； （2）求出，利用补集和交集概念求出集合. 【详解】（1）依题意，可知一元二次方程的两个根分别为，2，且． 由韦达定理，得， 解得，故． （2）由，可得， 所以． 由（1）知，， 所以或， 故或． 14．（23-24高一上·北京东城·期末）设全集，集合，． (1)求； (2)当时，求； (3)若，都有，直接写出一个满足条件的m值． 【答案】(1)或 (2) (3)3（答案不唯一） 【分析】（1）解出集合,直接求解即可； （2）根据集合的并运算直接求解即可； （3）根据条件可知，列出条件，可解得m的范围，在范围内写出一个值即可. 【详解】（1）因为，， 所以或. （2）当时，， 则. （3）， 若，都有，则, 所以，则， 故的值可以为3（答案不唯一）. 15．（24-25高一上·北京密云·期末）已知集合，． (1)求集合； (2)当时，求； (3)若，写出一个符合条件的m的值． 【答案】(1)或 (2) (3)(区间里的任何实数都符合) 【分析】（1）根据补集定义易得； （2）利用并集的定义易得； （3）根据条件可得，从而得不等式组，求出的范围，依题只需在范围内取任何实数都符合. 【详解】（1）由可得或； （2）当时，，则； （3）由可得.， 因恒成立，故； 要使，需使， 解得，故区间里的任何实数都符合. 16．（24-25高一上·北京大兴·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数函数的单调性解不等式，即可得集合，将代入不等式，即可得集合，最后根据补集、交集的定义计算即可； （2）根据得关于的不等式在上恒成立，利用判别式列不等式，求解即可； （3）根据，且，可得，则使得不等式成立，即可解得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则，即， 由，解得，则， 所以. （2）因为，所以关于的不等式在上恒成立， 所以，解得， 故的取值范围是. （3）由（1）知，， 所以，又因为， 所以，所以，解得， 故的取值范围是. 17．（23-24高一上·北京平谷·期末）设集合． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，求出集合，再利用集合的运算即可求出结果； （2）根据条件，借助数轴，利用集合的运算即可求出结果. 【详解】（1）由，得到，即， 由，得到，即， 所以. （2）由（1）知，由，得到， 又，由图知，.    18．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简集合，直接利用并集运算求解即可； （2）化简集合，根据交集运算结果求解参数. 【详解】（1）由题知，， ， 因为，所以， 所以. （2）因为， 且，， 所以. 19．（23-24高一上·北京密云·期末）已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据补集和并集概念计算出答案； （2）分与两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）时，，或， ； （2），当时，，解得， 当时，，解得， 故实数的取值范围是. 20．（24-25高一上·北京朝阳·期末）已知集合，． (1)当时，求集合及； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出集合和，利用集合的交并补运算求解即可； （2）根据，得，分别讨论，，即可. 【详解】（1）因为，即，解得或， 所以或，， 当时，， 所以，； （2）若，则， 由（1）知， 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，当时，， 综上， 所以实数的取值范围是. 21．（23-24高一上·北京丰台·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出集合，然后即可求出，. （2）根据，列出相应的不等式组从而可求解. 【详解】（1）当时，，所以或， 因为，所以， 所以，所以. （2）由（1）知，又， 所以，解得：. 所以实数的取值范围为. 22．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知不等式的解集为A，非空集合. (1)求集合A； (2)当时，求； (3)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法进行求解即可； （2）根据集合并集的定义进行求解即可； （3）根据子集的定义进行求解即可. 【详解】（1）由； （2）当时，， 所以； （3）因为，， 所以有， 因此实数m的取值范围为. 地 城 考点03 命题的否定 23．（22-23高一上·浙江·期中）命题“，都有”的否定为（    ） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定知识即可求解. 【详解】由“，使得”的否定为“，使得”，故A正确. 故选：A. 24．（24-25高一上·北京顺义·期末）命题，都有，则命题的否定为（    ） A．，使得 B．，都有 C．，使得 D．，都有 【答案】C 【分析】由全称命题的否定，可得答案. 【详解】由题意可得. 故选：C. 25．（2020·北京朝阳·一模）已知命题：，，那么命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由全称命题的否定是特称命题即可得解. 【详解】原命题是全称命题， 命题的否定是“，”. 故选：A. 【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题. 26．（23-24高一上·北京顺义·期末）命题“，使得”的否定为（   ） A．， B．，都有 C．， D．，都有 【答案】D 【分析】根据特称命题的否定是全称命题来选择. 【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得 命题“，使得”的否定为，都有. 故选：D. 27．（24-25高一上·北京密云·期末）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时， 一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论， 所以，全称命题的否定为特称命题， 故选：A. 28．（24-25高一上·北京朝阳·期末）已知命题，，则命题的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据特称命题的否定，可得答案. 【详解】由题意可得命题的否定为“，. 故选：A. 地 城 考点04 命题逻辑综合 29．（24-25高一上·北京顺义·期末）已知均为第二象限角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据已知角所在象限，分析余弦值大小关系与正弦值大小关系之间的逻辑联系 【详解】在第二象限，余弦函数值是负数且单调递减，正弦函数值是正数且单调递减. 已知α，β均为第二象限角，当时，根据余弦函数在第二象限的单调性可知 . 因为正弦函数在第二象限单调递减，当时，可得. 这说明由可以推出. 当时，根据正弦函数在第二象限单调递减可知，再根据余弦函数在第二象限单调递减，可得. 说明由也可以推出. 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C 30．（24-25高一上·北京大兴·期末）设均为锐角，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用三角函数的性质以及成分必要条件可得结果. 【详解】因为均为锐角且“”，得到，故； 得到，故，故是充分必要条件. 故选：C 31．（24-25高一上·浙江·月考）“是等腰三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】因为等腰三角形不一定是等边三角形，所以“是等腰三角形”推不出“是等边三角形”， 又等边三角形一定是等腰三角形，所以“是等边三角形”可以推出“是等腰三角形”， 所以“是等腰三角形”是“是等边三角形”的必要不充分条件， 故选：B. 32．（24-25高一上·北京朝阳·期末）设函数，则“”是“是偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件、必要条件的概念结合偶函数的定义即可判断； 【详解】当时，，，为偶函数， 当是偶函数时，由， 即恒成立， 可得：恒成立，即， 所以“”是“是偶函数”的充要条件， 故选：C. 33．（24-25高一上·北京东城·期末）已知，命题：若，则．能说明为假命题的一组a，b，c的值为 ， ， ． 【答案】 1（答案不唯一，满足即可） 0（答案不唯一，满足即可） （答案不唯一，满足即可） 【分析】根据不等式的性质分析判断即可. 【详解】因为，则， 若，则； 若，则，可得； 综上所述：. 所以对于任意，命题均为假命题， 例如. 故答案为：1；0；（答案不唯一，满足即可）. 34．（24-25高一上·北京东城·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据诱导公式结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】因为对任意恒成立， 可知可以推出，但不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 35．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行求解判断即可. 【详解】函数的对称轴为， 当函数在区间上单调递增时，有， 因此“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件， 故选：A 36．（23-24高一上·北京密云·期末）已知，，，则“”的一个充分而不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性结合充分、必要条件逐项分析判断. 【详解】当时，满足，但不成立，不满足充分性，A选项错误； 由指数函数单调性可知，若，则，反之，若，则， 所以是的充要条件，B选项错误； 当时，满足，但不成立，不满足充分性，C选项错误； 若，则有，反之，不能得到，比如当时，不成立， 所以是的充分不必要条件，D选项正确. 故选：D 37．（23-24高一上·北京·期末）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】用诱导公式结合正弦函数性质得出的关系，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】，所以或，， 即或， 因此题中应是必要不充分条件． 故选：B． 38．（23-24高一上·北京·期末）设R，则“＞1”是“＞1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件 考点：充分条件与必要条件 39．（23-24高一上·北京·期末）“角与的终边关于直线对称”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据终边关于对称，得两角的关系，再由，得两角满足 的关系，根据充分必要条件的定义即可求解. 【详解】角与的终边关于直线对称,则, ,则， “角与的终边关于直线对称”是“”的充分必要条件. 故选:A 40．（23-24高一上·北京丰台·期末）若α，β都是第一象限角，则“”是“”成立的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】设，且，由和在上单调递增，可判断. 【详解】因为α，β都是第一象限角， 设，且， 因为和在上单调递增， 当时，即， 所以，则， 所以； 反之，当时，即， 所以，则，即, 所以“”是“”成立的充分必要条件. 故选：C 41．（23-24高一上·北京·期末）“”是“”的 A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据包含关系，直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为“”不能推出“”； “”能推出“”， 所以，“”是“”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 42．（23-24高一上·北京·期末）若，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】两个角不相等，正弦值可能相等，两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等——由此判断出正确选项. 【详解】当两个角不相等时，正弦值可能相等，如；如果两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等，故“”是“”的必要不充分条件.故选B. 【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果，则是的充分条件，是的必要条件；否则，不是的充分条件，不是的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行和各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件. 43．（23-24高一上·北京·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】分别解出、，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由，得， 由，得， 又， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 地 城 考点05 集合新定义 44．（24-25高一上·北京密云·期末）已知集合A包含有个元素，． (1)若，写出； (2)写出一个，使得； (3)当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据集合的新定义，写出中的元素即得； （2）根据条件分析集合中的元素性质即得； （3）根据题意可得出不存在这样的集合，利用反证法证明即可. 【详解】（1）因，， 则都是中的元素， 故； （2）取，此时，符合； （3）当时，不存在集合A，使得，理由如下： 假设存在，且，则， 故为中7个不同的元素， 则， 由解得：， 此时与矛盾，故假设不成立，即不存在这样的集合. 【点睛】思路点睛：本题主要考查集合新定义的应用问题，属于难题. 解题应从集合新定义的规定入手，吃透其内涵，经常遵循从特殊到一般的思维方式，有时需要从反面角度考虑，运用反证法予以证明. 45．（23-24高一上·北京丰台·期末）设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”： ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明：对于任意，都有； ②若存在，使得，记，证明：中的所有奇数都属于. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）取，则，即可得到结论； （2）①假设存在，使得，记的最小值为，得到，设B中最小的元素为，求得 不同属于，列出方程组，即可得到结论； ②由①知 ，设中最小的元素为, 得出 矛盾， 求得，进而得到，，得到对于任意奇数 都有 ，进而得到结论. 【详解】（1）解：不是. 理由如下：取，则，说明不是“无和划分”. （2）解：①假设存在，使得, 记的最小值为，则； 设B中最小的元素为，则，所以， 所以，（否则与矛盾）， (否则与 矛盾)，所以 ， 因为 ，所以 不同属于， 所以 这与矛盾，所以假设不成立. ②因为是“无和划分”, 且存在, 使得 记i的最小值为， 所以 ， 由①知 ， 因为, 所以 ，所以， 设中最小的元素为, 若，则，所以 ， 所以 (否则与 矛盾)， 所以 (否则 与 矛盾)， 所以 ，又因为 和 不同属于C，所以 ， 这与 矛盾， 所以，即， 所以，所以，所以， 所以(否则与 矛盾)，所以 ， 若，则与 和 矛盾， 所以所以, (否则与 矛盾)， (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意奇数 都有 ， 所以为偶数(否则， 与2∈B和 矛盾), 所以 均为奇数. 因为 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 所以 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意大于，小于或等于的奇数都属于集合， 综上所述，中的所有奇数都属于集合. 46．（24-25高一上·北京·期末）对于正整数，存在唯一一对整数和，使得，. 特别地，当时，称能整除，记作.已知. (1)已知存在，使得，试求的值； (2)求证：不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则； (3)若，，（指集合B 中的元素的个数），且存在，，，则称为“和谐集”. 求最大的，使含的集合的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)的最大值为7，理由见解析 【分析】（1）由2024除以91求解； （2）利用反证法证明； （3）先证明时，不存在含的集合的有12个元素的子集为非“和谐集”．再证明：含的任意集合的有个元素的子集为“和谐集”． 【详解】（1）解：因为，且， 所以； （2）假设存在这样的函数：，使得对任意的整数，若，则， 设，， 由已知， 由于， 所以， 不妨设，且， 同理， 因为只有三个元素， 所以，即， 但，与已知矛盾， 所以假设不成立，即不存在这样的函数：，使得对任意的整数，若，则 （3）当时，记 记，则， 显然对任意，不存在，使得成立． 故是非“和谐集”，此时. 同样的，当时，存在含的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”． 因此 下面证明：含的任意集合的有个元素的子集为“和谐集”． 设若中之一为集合的元素，显然为“和谐集”． 现考虑都不属于集合， 构造集合． 以上每个集合中的元素都是倍数关系．考虑的情况， 也即中5个元素全都是的元素，中剩下6个元素必须从这个集合中选取个元素， 那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合中至少有两个元素存在倍数关系． 综上所述，含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”，即的最大值为7. 47．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据子集的定义， 即可求解； （2）取，求得，再利用反证法假设，推得，与矛盾即可. 【详解】（1）当时，，所以的所有子集为：. （2）当时，取，因为，所以是的子集，此时符合题意； 若，设且， 根据题意，，其中， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，与矛盾， 综上所述，只有满足题意. 48．（2021高三·北京·专题练习）对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”. (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数； (3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)7 【分析】（1）根据集合中这5个数字的特征,可以去掉2即可判断出集合不是“和谐集”； （2）判断任意一个元素（）的奇偶性相同，分类讨论，可以证明出若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数； （3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解. 【详解】（1）当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况： , 经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和谐集”； （2）设正整数集合（，）所有元素之和为，由题意可知 均为偶数，因此任意一个元素（）的奇偶性相同. 若是奇数，所以（）也都是奇数，由于，显然为奇数； 若是偶数，所以（）也都是偶数.此时设（）, 显然也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以使得各项都为奇数的“和谐集”， 此时各项的和也是奇数，集合中元素的个数也是奇数， 综上所述：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数. （3）由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”， 当时，不妨设，若A为“和谐集”，去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”， 当，设，去掉1后，， 去掉3后，，去掉5后，， 去掉7后，，去掉9后，， 去掉11后，，去掉13后，， 故是“和谐集”，元素个数的最小值为7. 49．（23-24高一上·北京通州·期末）已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对. 条件①：； 条件②：. (1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由； (2)试证明不存在8元完备数对. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用元完备数对的定义推理判断即得. （2）令，根据元完备数对的定义确定的所有可能情况，再导出矛盾即可. 【详解】（1）当时，由，得，不符合题意， 所以不存在3元完备数对； 当时，当，，，时， 满足且，符合题意， 所以为4元完备数对. （2）假设存在8元完备数对， 当时，令，则，且， 则有以下三种可能：①；②；③ 当时，于是，即， 由，得或， 而，则有， 因此，，…，，分别为1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1， 由得或，与已知矛盾，则当时，不存在8元完备数对； 当或时，同理不存在8元完备数对， 所以不存在8元完备数对. 50．（24-25高一上·北京朝阳·期末）对于给定的正整数，设集合，集合，是的非空子集且满足，．若对于任意，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数，则记，并称为从集合到集合的“函数”． (1)当时，若集合，写出集合，并判断从集合到集合是否存在“函数”？说明理由； (2)若集合至少包含一个奇数，且为从集合到集合的“函数”，求证：存在，使得； (3)若为从集合到集合的“函数”，且对于任意，都有，求满足条件的集合的所有可能． 【答案】(1)，不存在，理由见解析 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据“函数”的定义写出集合并判断即可； （2）假设不存在使得，即对于任意都有，得出与假设矛盾即可； （3）利用“函数”的定义，结合已知条件“对于任意，都有”，讨论当为奇数时，集合的情形有①个奇数，0个偶数；②0个奇数，个偶数；③个奇数，个偶数；当为偶数时，集合的情形有①个奇数，0个偶数；②0个奇数，个偶数；③个奇数，个偶数即可. 【详解】（1）． 从集合到集合不存在“函数”，理由如下： 因为集合中的元素均为奇数，集合中的元素均为偶数， 任取，，则为奇数，不合题意， 所以从集合到集合不存在“函数”； （2）假设不存在使得， 即对于任意都有． 因为是中唯一确定的数，使得为偶数，所以． 设为奇数，则，设是奇数． 若，则与均为偶数，不合题意，所以， 又因为，所以，与矛盾． 所以存在使得； （3）当为奇数时，集合中共有个奇数，个偶数， 因为对于任意，在集合中有唯一确定的数， 使得为偶数，且都有． 根据奇数与奇数的和为偶数，偶数与偶数的和为偶数， 集合有以下三种不同的情形： ①个奇数，0个偶数； ②0个奇数，个偶数； ③个奇数，个偶数； 因为对于任意，都有，集合中元素必然选择奇数或偶数中较小的元素， 即且． 所以有当， 时， 对于任意，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数， 且，满足题意； 当， 时， 对于任意，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数， 且，满足题意； 当， 时， 对于任意奇数，在集合中有唯一确定的，使得为偶数， 且，满足题意； 对于任意偶数，在集合中有唯一确定的，使得为偶数， 且，满足题意； 同理，当为偶数时，集合中共有个奇数，个偶数， 集合有以下三种不同的情形： ①个奇数，0个偶数； ②0个奇数，个偶数； ③个奇数，个偶数； 当， 时， 对于任意，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数， 且，满足题意； 当， 时， 对于任意，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数， 且，满足题意； 当， 时， 对于任意奇数，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数， 且，满足题意； 对于任意偶数，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数， 且，满足题意； 综上，当为奇数时， ， 或， 或． 当为偶数时，， 或， 或. 51．（23-24高一上·北京丰台·期末）记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件可得或，再根据集合中的方程的根的个数，对参数进行分类讨论即可求得实数的所有可能取值，即可得出结果. 【详解】由定义得，又，则或， 由方程，得或， 当时，方程只有一个实数根， 而方程有一根为0，则另一根必为0，，此时无实根，因此； 当时，必有，方程有两个不相等的实数根， 并且都不是方程的根， 显然方程有两个相等的实数根，且异于， 于是，解得或， 当时，方程的根为，满足题意， 当时，方程的根为，满足题意， 因此或，所以，. 故选：C 52．（24-25高一上·北京东城·期末）已知集合中都至少有个元素，且，满足： ①，且，总有； ②，且，总有． (1)若集合，直接写出所有满足条件的集合； (2)已知， （ⅰ）若，且，求证：． （ⅱ）求证：． 【答案】(1)，，，； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）由条件证明，设设，由条件列方程求，由此可得结论； （2）（ⅰ）由条件先证明，再证明， （ⅱ）先证明中至少有两个正整数，设正整数，由此证明，同理证明出大于等于的正整数属于，结合（ⅰ）证明小于的正整数属于，由此完成证明. 【详解】（1）因为，又，且，总有， 所以，即， 设，由，且，总有， 可得， 所以或或， 但， 所以满足条件的集合有，，，； （2）（ⅰ）又，，，， 由①知，，， 由②知，， （ⅱ）因为中至少有个元素，， 不妨设，其中，互不相等的整数， 则，且， 所以中至少存在两个正整数， 不妨设，，，又， 由①知，，，， 由②知，，， 故由，，，，可推出， 同理由可推出，， 由，可推出， ， 所以对于大于等于的正整数，都属于， 因为， 由（ⅰ），，，， 所以任意的正整数都属于， 所以. 【好题推送】 53．（24-25高一上·北京顺义·期末）已知全集，集合. (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出，结合并集概念计算；（2）求出，结合交集概念和得到取值范围. 【详解】（1）由，解得或， 可得或， 若，则，所以或. （2）由（1）知可得或， 所以， 又因为，若， 则实数的取值范围是. 54．（24-25高一上·北京丰台·期末）设集合其中，且．若集合同时满足下列两个条件，则称集合是集合的和谐子集． 条件①：； 条件②：对集合中任意三个元素不存在，使得． (1)若集合，请判断集合，是否为集合的和谐子集（不需要说明理由）； (2)若集合，集合是集合的和谐子集，且集合中的最小元素是3，求集合中元素个数的最大值： (3)若集合，且集合是集合的和谐子集，求集合中元素个数的最大值． 【答案】(1)集合不是集合的和谐子集，集合是集合的和谐子集 (2)4 (3)1013． 【分析】（1）首先要理解和谐子集的定义，根据定义来判断给定集合是否为和谐子集； （2）（3）对于求元素个数最大值，需要根据和谐子集的条件，通过分析元素之间的关系，逐步确定可以选取的元素. 【详解】（1）对于集合，其中，不满足和谐子集的条件②， 所以不是集合的和谐子集. 对于集合，满足和谐子集的条件①， 且对集合中任意三个元素， 不存在，使得，满足条件②， 所以是集合的和谐子集. 综上所得，集合不是集合的和谐子集，集合是集合的和谐子集. （2）将集合中大于3的元素按照被3除所得的余数进行分类： 被3除所得的余数为0的元素有6： 被3除所得的余数为1的元素有4，7： 被3除所得的余数为2的元素有5，8． 因为，所以4与7，5与8不能同时属于集合， 否则，或者，与已知矛盾． 设为集合中元素的个数，则． 构造集合， 因为，所以集合是集合的和谐子集， 故集合中元素个数的最大值是4. （3）不妨设集合中的最小元素是， 则存在唯一非负整数数对，使得，其中． 将集合中大于的元素按照被除所得的余数进行分类： 被除所得的余数为1的元素有； 被除所得的余数为2的元素有；… 被除所得的余数为的元素有； 被除所得的余数为的元素有； …… 被除所得的余数为的元素有； 被除所得的余数为0的元素有． 因为是集合中的最小元素，所以上述各行任意两个相邻元素中，至多有一个元素属于集合． 设为不大于的最大整数， 则在前行中，每行至多有个元素符合题意， 在剩下的行中，每行至多有个元素符合题意， 所以 构造集合， 因为，所以集合是集合的和谐子集， 故集合中元素个数的最大值是1013． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01集合与命题逻辑（五大题型+好题推送） ☆5大高频考点概览 考点01集合的交并补运算 考点02集合的基本运算综合解答题 考点03命题的否定 考点04命题逻辑综合问题 考点05集合新定义 目目 考点01 集合的交并补运算 1,(2425高-上北京顺义期末)已知集合1=-1.0,2，B={-2,-1,0,则集合4nB=（) A.10y B.{-1,0 c.10,2 D.{-2,-10,2 2.(24-25高一上北京丰台期末)已知集合1=2,3,4，B=3,45,则4UB=（) A./34 B.1,2,45 c.12,3 D.12,3,45 3.(24-25高一上北京密云期末)已知集合4=1≤x≤2，B=012,3,则AnB=() A.{-10, B.{-10,12 c.{01,2 D.,2,3 4.(2425高一上北京朝阳期末)已知集合1={x0<x<3列，B=xK>,则AnB=() A.(-∞，3 B.(1,+o c.(0,3) D.(13) 5.(24-25高一上北京东城期末)已知集合 M=-3<x<0,N=-l≤r<8,则MnN=() A.d-1≤x<0y B.3 C.-3<x<4 D. 1/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 6.(23-24高一上北京平谷期末)已知集合4=2,46，B=x-2x-4到≤0，则4nB等于（) A.0 B./2y C.4) D.2,49 7.(23-24高一上北京通州期末)已知全集U=R,4=(2<x≤到，则SA=（) A.{r≤ B.{r≥ c.{x≤-2或x>刘 D.{x<-2或≥ 8.（23-24高-上北京密云期末)已知集合4=12,35,1川，B=3,51112,则AnB中元素的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 9.(23-24高一上北京顺义期末)已知集合M=2≤x<2,N={x+1≥0，则M∩N=（) A.{1≤x<2 B.{1<x<2 c.{x2≤x≤- D.{xh≤x<2 10.(23-24高一上北京丰台期末)已知集合M={2<x<1,B=1≤x<2,则4nB=（) A.{-2<x<2 B.x-1sx<1 C.{l≤xs D.{1≤x<2 1.(23-24高一上北京东城期未)已知集合A=N,B={2<r<2,则4∩B=（) A.叫 B./0 c.{-l0,y D.{-2,-101,2 12.(23-24高一上北京朝阳期末)已知集合4=-2,2,3，B=对x=2k,ke乙，则4nB=（) A.2,5 B.2,2 C.24 D.23y 2/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 考点02 集合的基本运算综合解答题 13.(24-25高一上北京丰台期末)设集合4={-5≤2x-1≤，B=Hr2+br+2>0 B={-1<x<2} (1)若 ,求b- “的值； ②在()的条件下，求(GBnA 14.(23-24高一上北京东坡期末)设全集U=R,集合A=+x-2≤0，B=xeR+1<m 4 2当m时，求 AUB (3)若x∈A,都有x∈B，直接写出一个满足条件的m值. I.(24-25高一上北京密云期末)已知集合1={0≤x≤7)，B={xm+1≤x≤m+3,m∈R (1)求集合 G4 2当m=5时，求 AUB ； A∩B=B (3)若 ,写出一个符合条件的m的值. 16.(24-25高一上·北京大兴期末)已知集合M={x3≥9}，B=x×-ax+4>0 ①当a=5时，求 A∩(CRB) (2)若B=R,求a的取值范围： (3)若1∈(AUB),求a的取值范围. 17.(23-24高一上北京平谷期末)设集合4={x9-r≥0，B=xlog,x<3,C={xx-a≤0，aeR AUB (1)求 (2)若B∩C=),求实数a的取值范围 18.（23-24高一上北京朝阳期末)已知集合1={产-3x-4≤0，B=x-a>0 3/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 0①当a=4时，求 UB 2若1n9B)= ,求实数a的取值范围. 19.(23-24高一上北京密云期末)已知集合1=(x≤，B={xm≤x≤2m- )当m=4时，求 CB AUB 和 BCA (2)若 ，求实数”的取值范围。 20.(2425高一上北京朝阳期末)已知集合1=r+4-5>0,B=xx-ax-1)≤0 ()当a=3时，求集合AnB及 (GAUB (2)若AUB=R,求实数a的取值范围. 21.(23-24高一上北京丰台期末)已知集合A=-l≤x≤a+10,B=xr2-4x-21≤0 ①若a=0,求 、GA AUB BCA (2)若 ，求实数的取值范围. 22.(23-24高一上北京顺义期末)已知不等式-X-6≤0 解集为A,非空集合 B={xm-1<x<2m+1} (I)求集合A: 2当m2 AUB 时，求 BCA (3)若 ，求实数m的取值范围。 考点03 命题的否定 23.（2-23高一上浙江期中)命题4r∈R 1x|+x20 ,都有 ”的否定为() |x|+x<0 A.rR,使得 B.r∈ ,使得 |x|+x≥0 4/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 C.VrER |x|+x≤0 |x|+x<0 ,都有 D.r∈R ,都有 p:x∈ 24.(24-25高一上·北京顺义·期末)命题 R,都有<1，则命题”的否定为（) A.∈R 使得e>1 都有e1 B.VreR 使得e*≥1 C.3∈R D.r∈R 都有e≥1 25.(2020北京朝阳一模)已知命题P:x∈R,e>1, ，那么命题的否定为() 4. 3x,∈Re≤1 x∈Re<I B. C.36∈Rc>1 D.VxeR e'sI 26.(23-24高一上北京顺义期末)命题“3xeR,使得K-2≤3，的香定为（) A.3r∈R,x-2≥3 B.r∈R,都有x-2s3 C.eR-2>3 D.r∈R,都有 x-2>3 27.(24-25高一上北京密云期末)命题：reRr42>0 的否定是() 4. 3x∈R,x2+2≤0 3r∈R,x2+2>0 B. C.3reR,r2+2<0 x∈R,x2+2≤0 D. 28,（2425商-上北京朝阳期末)已知命整P:3xe八，-2x+3>0,则命题的否定是() A.VxeN x-2x+350 B.r∈N.x2-2x+3>0 C.3reN,r2-2+3s0 D.rgN.2-2r+3>0 目目 考点04 命题逻辑综合 5/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 均为第二象限角，则：c0sa>c0sf, 0,B 29.(24-25高一上·北京顺义·期末)已知 ,是sna>sinB,的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B均为锐角，则2a<P,是。s加a<sB-0,的{) 30.(24-25高一上·北京大兴·期末)设 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 31.(24-25高一上·浙江·月考)“△ABC是等腰三角形”是“△ABC是等边三角形”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 32.(2425高一上北京朝阳期末)设函数/=x+(a-2到x+1(acR),则“a=2”是 是偶函 数”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 R,命题P:若>b>c,则b<少.能说明P为假命 ,b,c∈R 33.(24-25高一上北京东城期末)已知 题的一组a,b,c的值为Q=一，b=一，C=一· 2425高一上北京东城期末)已知aR,则a0,2,是“smz-a)=na”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 35.(23-24高一上北京顺义：期末)已知函数f(d=-2x+1 则“a<0”是“函数)在区间 (0,+0)上单调递增”的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 36.(23-24高一上北京密云·期末)已知a,b,c∈R,则“a>b”的一个充分而不必要条件是() 6/11 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 Aa2>62 B.2°>20 C.sina>sinb D.ac'be? 37.(2324高-上：北京期末)“如u=c0sB”是“a+B=+2x(keZ”的() 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 38.(23-24高一上北京期未)设∈R,则“术>1是：x>1的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 39.(23-24高一上北京期未)“角a与P的终边关于直线=对称”是：si血a+B)=1”的() A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件。D.既不充分也不必要条件 (23-24高一上·北京丰台期末)若a,B都是第一象限角，则“”是“anB, ”是“ 立的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 41.(23-24高一上北京期末)“x>0”是“x>1”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 42.(23-24高一上·北京·期末)若 R,则。&B,是血smB,的 ,B∈ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要 43.(23-24高一上北京·期末)设x∈R,则“c0sr=0”是“sinr=1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 7/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 考点05 集合新定义 4。(24-25高一上北京密云期末)已知集合A包含有m∈N)个元素， A={x+yx,y∈A 0若4=012，写出4： (2)写出一个A,使得A=A: 6)当”=4时，是香存在集合4，使得4=2,3567,810？若存在，求出此时的集合4，若不存在，请说 明理由. 45.(23-24高一上北京丰台期未)设”eN, A,B,C A,B,C ，若非空集合 同时满足以下4个条件，则称是 “n-无和划分”： AUBUC={L,2,…,n} ① A∩B=☑，B∩C=☑，A∩C= ② ③1∈A,且C中的最小元素大于B中的最小元素： x∈A,y∈B,z∈C ④ X+y生C,y+z生A,z+x生B ,必有 )诺4=山3，B=24,C=5,6,判断4B,C是香是“6-无和划分”，并说明理由。 (2)已知A,B,C是“n-无和划分”(n≥4). m,k∈C(m<k) ①证明：对于任意 k-m≠1 ,都有 1eC,使得=i+2,记2=ABU ,j∈C ②若存在 ,记 C,证明：P中的所有奇数都属于4， 46.(24-25高一上·北京·期末)对于正整数，存在唯一一对整数和’，使得 a=bg+r0≤r<b .特别地， 当=0时，称b能整除0，记作b1a.已知1=L2,3,23} ()尼知存在9∈A】 2024=91q+(0≤r<91) ，使得 D,试求9，的值： 2)求证：不存在这样的函数f:A→1,23形，使得对任奇的整数∈4，若-e孔2,3，则 8/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 fx)≠f); (3)BA,card(B)=12 card(B) 指集合B中的元素的个数)，且存在a,b∈B,b<a,b1a,则称 B为“和谐集”.求最大的m∈A,使含m的集合A的有I2个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由 47.(2324高一上北京平谷期未)已知集合1=，2,3，，1∈Nn≥3引，严≤A,若甲中元素的个数为 mm≥2，且存在4，veWu≠)，使得”+v=2(keN,则称P是A的Pm）子集， P(4) ①若”=5，写出1的所有P4子集： 2若"为4的 P(m) ,t∈W(s≠t) 子集，且对任意的 ）,存在eN,使得5+=2，求m的值. 48.(2021高三北京专题练习)对于正整数集合1=(a,a,,a}(n∈N,m≥3)如果去掉其中任意 一个元素a1=山2…川之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集 合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”. ①)判断集合123,45是香是“和谐集”，并说明理由： (2)求证：若集合A是“和谐集”.则集合A中元素个数为奇数； (3)若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值 49。(23-24高一上北京通州期末)已知有m个连续正整数元素的有限集合5。=12,3，，m-山m meN,m≥2)，记有序数对1=4，，…a,若对任意，je12mi≠》，4，a,∈5且 a0,4同时满足下列条件，则称1为m元完备数对 条件0：a-asla,-as…≤a-a. 条件②：a-a+la,-a++la1-a.小=m+2 (1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由； (2)试证明不存在8元完备数对. 9/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 50.(24-25高一上北京朝阳期末)对于给定的1正整数mn≥2)，设集合M=k∈Zn≤k≤川，集合A, B是M的非空子集且满足AUB=M,A∩B=).若对于任意x∈A,在集合B中有唯一确定的数y,使 得+》为偶数，则记'=P川，并称P:A→B为从集合A到集合B的“P函数” )当”=3时，若集合1=-3-13 ,写出集合B,并判断从集合A到集合B是否存在“P函数”？说明 理由； (2)若集合A至少包含一个奇数，且 :A→B →B为从集合A到集合B的。P函数”，求证：存在x∈A,使得 p(x)=-x 3)若D:A→B为从集合4到集合B的“P函数”，且对于任意x∈A,都有P≥x, 求满足条件的集合 A的所有可能。 51.(23-24高一上北京丰台期末)记R4为非空集合A中的元素个数，定义 R(A-R(B),R(A≥R(B A*B= {RB-RA,R4<RB)若A=L,2,B=r+ar+ar+5列=0，且A*B=1'设实数a 的所有可能取值组成的集合是S,则RS)等于() A.1 B.2 C.3 D.4 A,B,ASZ,BSZ,A, 52.(24-25高一上·北京东城期末)已知集合 中都至少有个元素，且1,8满足： Vx,y∈Ax≠y ① .Ix+yl∈B ，且 ,总有 ②%少eB x≠y x-yEA 且 ，总有 B={L,2,3} (1)若集合 直接写出所有满足条件的集合A: (2)已知-1∈A, (i)若x,y∈A,且y>x>0,求证：y-x∈A. 10/11