专题03函数的基本性质与应用（七大题型+好题推送）（期末真题汇编 ，北京专用）高一数学上学期人教A版

丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数基本性质与应用（七大题型+好题推送) ☆1大高频考点概览 考点01函数定义域 考点02相同函数 考点03函数单调性 考点04函数基本性质综合 考点05零点的存在性定理 考点05函数的应用 考点07函数新定义 目目 考点01 函数的定义域 1.（2425高-上北京期未)函数y=+1-0的定义域为 2.(2425高一上北京期末)函数川)=+8(2-刊的定义域是 3.(2425高一上北京丰台期末)函数列=8(x-的定义城为一 4.(23-24高一上北京密云期末)函数f川x)=+n(x+2)的定义域是一 5.(23-24高一上北京东城期末)函数y=1nx+ x+1的定义域为 6. (23-24高一上北京丰台期未)函数=lgx+V4-x 的定义域为 目 考点02 相同函数 y=x-1 7.(23-24高一上·北京东城期末)下列函数中，与 是同一函数的是() A.y=F-1B.y=Vx-1明 C.y=-1 x+1 D.y=-1 8.(23-24高一上·北京大兴·期末)下列函数中，不是表示同一函数的是() A.x=cosa y=cosx B.y=Inx2 y=2lnt 1/16 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 x,x≥0， C.y=1,y=sin2x+cos2x D. -x,x<0.,y=x 9,(24-25高一上：北京东城期末)下列函数中，与函数)=x 有相同图象的是() A.(r)=Ine B./(r)=el C./(x)=V D.f)= 10.(24-25高一上北京大兴·期末)下列函数中，与y=x是同一函数的是() A.y=vx2 B.y= C.y=)2 D.=10x 山.(23-24高一上北京通州期末)下列函数中，其定义域和值域分别与函数=© 的定义域和值域 相同的是() 1 A.y=x B.y=Ine* C.y= D. √x 考点03 函数的单调性 12.(23-24高一上北京丰台期末)下列函数在区间 (0,+o )上单调递减的是() A.y=Inx B.y=cosx C.y=er D.y=川 13.(2-23高二下陕西汉中期未)下列函数中，在区间0，+0)上单调递增的是（) 1 A.y=-Inx B.y= 2 C.y=-1 x D.y=x2-x 0,+∞) 14.(23-24高一上·北京通州·期末)下列函数中，在区间 上为增函数的是() A.y=x+1 B.y=(x-1) C.y=2 D.f(x)=-Inx 2/16 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 0,1 15.(24-25高一上北京朝阳·期末)下列函数中，在区间 上单调递增的是() A.y=(x-1)B.y=-Inx C.y=2 D.y=cosx (0,+0) 16.(24-25高一上·北京大兴·期末)在区间 上单调递增的函数可以是() A.少=-x B.y=x- C.y=(x-102 D.y=er-ex 17.(23-24高一上北京顺义期末)下列函数中，在区间0+切)上单调递增的是《) A.=x2 B.y=-Inx 1 C.y 2 D.y=e 18。(23-24高一上北京朝阳期末)已知函数 )的图象是在R上连续不断的曲线， f(x) 在区间项 [山+o)上单调递增，且满足(2-)+/)=0，(2)=3 则不等式3<(x+)<3的解集为() A.（22) B (1,) (0,2) C. D.03) 19.(15-16高二下·海南期末)如果函数x对任意的实数x,都有f1+=f(-x,且当x≥2时， f八d=1o,3x-1,那么函数在-2,0上的最大值与最小值之和为（) A.2 B.3 C.4 D.-1 x3,x≤a 20.(24-25高一上北京大兴期末)已知函数f()= x2,x>a,若a=-1,则函数f)的减区间为一： 若存在b,使函数f(x)的图象与直线y=b有两个交点，则a的取值范围是一· [x,x>a, 21.(2425高一上：北京丰台期末)设a∈R,函数f八- x2+a2,x≤a.给出下列四个结论： 3/16 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ①当a=0时， f(f(-)=1, ②当a<0时，f国存在最小值： 图若f在区间0，+o)上单调递增，则a的取值范围是∞，0小2，+∞)， ④设M,x川x≤a,N训>a,记M,N两点之间的距离为d,则存在负数“，使得 ds、1 2025· 其中所有正确结论的序号是 目目 考点04 函数基本性质综合 22.(24-25高一上·北京东城期末)下列函数中，是奇函数的是() A.f)=3+ 1 B.f)=x-1 C.f(x)=v1+x2 D.f(x)=x2+sinx 23.(24-25高一上北京顺义期未)下列函数中，是偶函数且在0，+0)上单调递增的是() A.y=cosx B.y=x3 C.y=2 D.y=In 24.(23-24高一上·北京东城期末)下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（) A.f(x)=x3 B.f(x)=2 C.f(x)=-1 D.f(x)=tanx 25.(23-24高一上·北京密云·期末)下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是() A.f(x)=sinx B.f(x判=2 C.f(x)=x D.= 26.(23-24高一上北京东城期末)已知是定义在-5，上的偶函数，当5≤x≤0时，f的图象 4/16 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 f(x) >0 如图所示，则不等式sinx的解集为() VA -5 A.（-元，-2U(0,2u(元，5列 B.（-元-2U2,) c.-5-U(-2,01U(2, D.【-5-2U(元列 0)为R上的奇函数，且在 [0,+o 27.(24-25高一上·北京东城期末)已知函数 上单调递增，f2)=1 -1≤f(3x-1)≤0 若 ,则的取值范围是一 28.(23-24高-一上北京平谷期末)已知函数)=2-，g)=x,x∈R,用M(0表示f)8)的最 小值，记为M()=min/8,那么M四的最大值为， 292324肉-上-北京翻时期未)已知函数儿a2一的阁象过原点，则°-一：者对xeR f(x)>m 都有 ,则m的最大值为一· Vx-2+a,x≥2 30.(23-24高一上北京通州期末)设函数f(x= a-2,x<2（。且，)给出下列四个结论： a>0a≠1 ①当4=2时，方程)= “有唯一解； ②当“0时，方程 )=“有三个解： ®对任意实数a(a>0且a1),f心0； [0,+0) 的值域为 5/16 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ④存在实数a,使得/四在区间 0，+0)上单调递增： 其中所有正确结论的序号是， 31.(24-25高一上北京东城期未)已知是定义在R上的函数，若TeR,且T≠0，使得x∈R, 都有八x+T)=,则称函数（冈具有性质P.给出下列四个结论： ①函数=r具有性质P: ②函数f(=si 具有性质P； ③若函数具有性质P,且是偶函数，则是周期函数： ④若函数具有性质P,且刊是奇函数，则？，是刊的一个对称中心 其中所有正确结论的序号是一 32.(23-24高一上北京顺义期末)如图，函数)的图象为折线4CB,函数8（是定义域为R的奇函 数，满足84+8(=0，且当x∈(02到时，8(=f八刊，给出下列四个结论： B -10 00-0,©酒数4网内有且促有3个ta:骨》82>1，不式 ≤oex+圳的实 1,2 其中正确结论的序号是 33.(23-24高一上北京平谷期末)已知函数)=m+r+C 如图所示。 6/16 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 f(x) (1)求 的解析式； f(x) (2)求的最大值： f(x) (3)将 的图象向右平移2个单位长度后得到函数3) (x)>log2x 的图象，直接写出不等式 的解集。 34。(23-24高一上北京密云期未)已知函数f(=3+(a-3 )考为奇函数， (i)求a的值，并说明理由： (ⅱ)比较0与3)的大小：（结论不要求证明） 2考3式，c0,1,使得(x)≤6，求“的取值范围， 1og2(4x),0<x<2 35. (23-24高一上北京东城期末)已知函数f= x2-2x-a,x22· (1)当a=1时， ①求f)的值： ②求f 的图象与直线'=2的交点坐标 ②若（口的值域为R,求实数a的取值范围。 36,(2324高一上北京顺义期末)已知丽数八d-号是定义在R上的奇雨数 (I)求实数a的值： ②判断函数八刊在区间2+切)上的单调性，并用定义证明： ③)若8()=-k(k∈R有两个零点，请写出太的范围（直接写出结论即可）. 7/16 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 3。（23-24高-上北京东城期未)已知f到是定义在R上的奇函数，当≥0时八= x+2 山)求的解析式： ②)根据定义证明在0，+切)上单调递减，并指出（在定义域内的单调性： ⊙)若对任意的xeR,不等式/k-2r+fr-4r-3到>0 恒成立，求实数k的取值范围. 考点05 零点的存在性定理 38.(23-24高一上北京大兴期末)下列区间中，方程2+4x-3=0 的解所在区间是() 。1 c. 39。(23-24高一上·北京通州：期末)已知函数f)=1og,+2x- ,在下列区间中，包含四零点的区间 是() A.(10) B(0) C.02) D.(23) 0。(10Ⅱ商三浙江温州月考)设)=3+3x-8,用二分法求方程3+3-8=0 的近似解的过程中， 有f0<0,f.2<0f0,5>0 则该方程的根所在的区间为() A.0,1.25) (1.25,1.5) C.1.52 D.不能确定 41.(24-25高一上北京顺义期末)函数/=e+2x-4 零点所在的大致区间是() A.0,) B.1,2 c.(2,3) D.(34 42,(2425高一上北京密云期未)已知函数)-，在下列区间中，包含侧零点的区间是 () A.(0,1)B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+0) 8/16 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 考点06 函数的应用 43.(24-25高一上北京东城期未)将函数八川的图象向右平移1个单位长度，所得图象与函数 8=V的图象关于原点对称，则-5)=() A.-v6 B.-2 C.2 D.6 log2x,x0, 44。(24-25高一上北京密云期末)已知函数(0)= -4x2-4x,x≤0，函数g()=f()+m-2.若g(x)有四 个不同的零点，出心，则+出++的取值范围为() A,0 B.(1,2) c.G2 D.(2,+0) 45.(23-24高一上北京通州期末)设函数=2，g9=”,m)=log。xa>))=kk>0 则下列结论正确的是() A.函数四和 的图象有且只有两个公共点 B.6eR,当>时，使得f)<g0)恒成立 C.,∈0，+w）,使得<m成立 D.当k≤1时，方程 m(x)=n(x 有解 x+C,x≥C 1 ce∈R 46.(23-24高一上·北京密云·期末)设 函数/ 2+0x<c,若f恰有一个零点，则。的 取值范围是() A.-2,0 B.(0u-∞，-2 c.-1,0 D.10U-∞，-l 9/16 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 47.(23-24高一上北京东城期末)某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t(单位：年)之 间的关系为'=%©，其中”为初始量，k为降解系数。已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75% 若该品牌塑料袋需要经过年，使其残留量为初始量的lO%,则n的值约为()（参考数据： 1g2≈0.301，lg3≈0.477) A.20 B.16 C.12 D.7 48.23-24高一上北京通州期末)两数f)-r-1n的零点个数为一 49.(2019北京通州一模)能说明“若函数f满足f0)f八2列>0，则在0,2内不存在零点” 为假命题的一个函数是一 一上·北京东城期末)已知符号x表示不超过x的最大整数，若函数fx】 给出下列四个结论：①当x(01时，f八=0；②f为偶函数：③在2单调递减：④若方程 =a有且仅有3个根，则a的取值范围是45行 .其中所有正确结论的序号是一 51.(23-24高一上·北京平谷·期末)在早高峰，某路口通过的车辆m与时间t的关系近似地符合 1 m(t)= 1 1 +10,t∈[5,9] 25t-6.5+」 在早高峰这段时间内.给出下列四个结论： 20 ①通过该路口的车辆数m随着时间t逐渐增多； ②早上6时和早上7时通过该路口的车辆数m相等； ③在任意时刻，通过路口的车辆m不会超过35辆： ④在任意时刻，通过路口的车辆m不会低于14辆. 依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是一： 52.(24-25高一上北京丰台期末)设函数f)=ar+(2a-4到x-a+5 其中a>0 )当a=1时，求（刊在区间0，上的最大值和最小值： 10/16 专题03 函数基本性质与应用（七大题型+好题推送） 7大高频考点概览 考点01 函数定义域 考点02 相同函数 考点03 函数单调性 考点04 函数基本性质综合 考点05 零点的存在性定理 考点05 函数的应用 考点07 函数新定义 地 城 考点01 函数的定义域 1．（24-25高一上·北京·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由二次根式有意义的条件以及复合对数函数的定义域即可得解. 【详解】由题意函数有意义，当且仅当，解得，即函数的定义域为. 故答案为：. 2．（24-25高一上·北京·期末）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据函数定义域求法解决即可. 【详解】由题知，函数， 所以，解得， 所以定义域为， 故答案为： 3．（24-25高一上·北京丰台·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由真数大于0得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得，解得，故函数定义域为. 故答案为： 4．（23-24高一上·北京密云·期末）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据分式函数分母不为零和对数函数的真数大于零列不等式组求解即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 5．（23-24高一上·北京东城·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据已知列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】要使函数有意义，则应有，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 6．（23-24高一上·北京丰台·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据开偶次方被开方数为非负数，结合对数函数的定义域得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 地 城 考点02 相同函数 7．（23-24高一上·北京东城·期末）下列函数中，与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域与对应关系逐项判断即可得答案. 【详解】函数的定义域为， 对于A，函数的定义域为，且对应关系与函数相同，故A正确； 对于B，函数的定义域为，但是，对应关系与函数不相同，故B错误； 对于C，函数的定义域为，定义域不同，则不是同一函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，且，则对应关系与函数不相同，故D错误. 故选：A. 8．（23-24高一上·北京大兴·期末）下列函数中，不是表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据定义域、值域和对应法则依次判断即可. 【详解】对于A选项，两个函数的定义域都为，值域都为，且对应法则一样，所以表示同一函数，故A选项错误； 对于B选项，的定义域为，值域为，的定义域为，值域为，定义域不同，所以不是同一函数，故B选项正确； 对于C选项，与的定义域都为，值域都为，且对应法则一样，所以表示同一函数，故C选项错误； 对于D选项，与定义域都为，值域都为，且对应法则一样，所以表示同一函数，故D选项错误. 故选：B. 9．（24-25高一上·北京东城·期末）下列函数中，与函数有相同图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象相同函数是同一函数分别判断各个函数的定义域或值域解题即可. 【详解】函数定义域为,值域为, 对于A：定义域为,值域为相同有相同图象,A选项正确； 对于B：定义域为,定义域不同没有相同图象，B错误； 对于C：值域为,值域不同没有相同图象，C错误； 对于D：定义域为,定义域不同没有相同图象，D错误； 故选：A. 10．（24-25高一上·北京大兴·期末）下列函数中，与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项验证函数的定义域和对应关系是否都相同即可. 【详解】由题意，函数的定义域为. 对于A，函数的定义域为，但，故A错误； 对于B，函数的定义域为，但，故B正确； 对于C，函数的定义域为，故C错误； 对于D，函数的定义域为，故D错误； 故选：B. 11．（23-24高一上·北京通州·期末）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的定义域、值域一一判定选项即可. 【详解】易知，且，，故其定义域与值域均为. 显然A选项定义域与值域均为，故A错误； 因为，且恒成立，即其定义域与值域均为，故B错误； ，即其定义域为，值域为，故C错误； ，且，故其定义域与值域均为，即D正确. 故选：D 地 城 考点03 函数的单调性 12．（23-24高一上·北京丰台·期末）下列函数在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数的单调性依次判断即可. 【详解】解:对于A项，函数在上单调递增，故A项错误； 对于B项，函数在上有增有减，故B项错误； 对于C项，函数在上单调递增，故C项错误； 对于D项，函数，则函数在上单调递减，故D项正确. 故选：D 13．（22-23高二下·陕西汉中·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐项判断即可求解. 【详解】A项，由于函数在上单调递增，所以在上单调递减，故A项错误； B项，由于在上是减函数，故B项错误； C项，由于在上单调递增，故C项正确； D项，由于是对称轴为，开口向上的二次函数，所以在上单调递减，在上单调递增，故D项错误. 故选：C. 14．（23-24高一上·北京通州·期末）下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据初等基本函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论. 【详解】对于A：因为函数在上是增函数，所以满足条件，故A正确； 对于B：因为函数在上是减函数，所以不满足条件，故B错误； 对于C：因为函数在上为减函数，所以不满足条件，故C错误； 对于D：因为函数在上为减函数，所以不满足条件，故D错误. 故选：A. 15．（24-25高一上·北京朝阳·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，根据指数函数的性质判断C，根据三角函数的性质判断D. 【详解】对于A，为二次函数，对称轴为， 根据二次函数的性质，函数在上单调递减，在上单调递增， ，所以函数在区间上递减； 对于B，根据对数函数的性质，在上单调递增， 所以在上单调递减， ，所以函数在区间上递减； 对于C，根据指数函数的性质，在单调递增， ，所以函数在区间上单调递增， 对于D，根据余弦函数的性质，在上单调递减， ，所以函数在区间上单调递减. 故选：C 16．（24-25高一上·北京大兴·期末）在区间上单调递增的函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常见幂函数的单调性和指数函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，由幂函数在上单调递增，得函数在上单调递减，故A错误； 对于B，由幂函数的单调性，得函数在上单调递减，故B错误； 对于C，由二次函数的性质，得函数在上单调递减，故C错误； 对于D，因为指数函数在上单调递增，且指数函数在上单调递减，即函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故D正确； 故选：D. 17．（23-24高一上·北京顺义·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据基本初等函数的单调性来判断. 【详解】对于A：函数在上单调递减； 对于B：函数在上单调递减； 对于C：函数在上单调递减； 对于D：函数在上单调递增. 故选：D. 18．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知函数的图象是在上连续不断的曲线，在区间项上单调递增，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过条件分析函数具有的性质，再把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】由得：的图象关于点对称； ； 又在上连续不断，且在上单调递增， 所以在上单调递增. . 故选：B 19．（15-16高二下·海南·期末）如果函数对任意的实数，都有，且当时，，那么函数在上的最大值与最小值之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．－1 【答案】C 【解析】根据，可知：关于对称，根据对称性，要求函数在上的最大值与最小值之和，即求函数在上的最大值与最小值之和，代入即可得解. 【详解】根据，可知：关于对称， 那么要求函数在上的最大值与最小值之和， 即求函数在上的最大值与最小值之和， 因为递增，所以最小值与最大值分别为： ，， ， 故答案为：C. 20．（24-25高一上·北京大兴·期末）已知函数，若，则函数的减区间为 ；若存在，使函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合函数的单调性、奇偶性、图象来求得正确答案. 【详解】当时，， 画出的图象如下图所示， 由图可知，的减区间为. 是偶函数，图象关于轴对称，且在单调递减，单调递增， 是奇函数，图象关于原点对称，且在上单调递增， 解得或， 要使函数的图象与直线有两个交点， 则需，图象如下图所示， 若，图象如下图所示， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：； 21．（24-25高一上·北京丰台·期末）设，函数给出下列四个结论： ①当时，； ②当时，存在最小值； ③若在区间上单调递增，则的取值范围是； ④设记两点之间的距离为，则存在负数，使得． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】①代入解析式求函数值即可；②根据单调性分析最小值即可；③分和两种情况讨论；④通过特殊值的思路判断即可. 【详解】当时，，，故①正确； 当时，时，单调递减，时，单调递增， ，则，图象如上所示， 所以当时，不存在最小值，故②错； 当时，，解得， 当时，成立， 所以若在区间上单调递增，则的取值范围为，故③正确； 当时，取，， ， 因为，所以， 所以存在负数，使得，故④正确. 故答案为：①③④. 地 城 考点04 函数基本性质综合 22．（24-25高一上·北京东城·期末）下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义逐项判断. 【详解】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为偶函数，A错误； 对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数，B正确； 对于C，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为偶函数，C错误； 对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 故，， 故， 所以函数为非奇非偶函数，D错误. 故选：B. 23．（24-25高一上·北京顺义·期末）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义及结合指数函数，对数函数，余弦函数的单调性分别判断各个选项即可. 【详解】对于A：函数在上单调递减，A选项错误； 对于B：函数定义域为关于原点对称，且， 所以是奇函数不是偶函数，B选项错误； 对于C：函数在单调递减，C选项错误； 对于D：函数定义域为关于原点对称， 且，所以为偶函数， 时，单调递增，D选项正确； 故选：D. 24．（23-24高一上·北京东城·期末）下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本初等函数的单调性以及奇偶性即可求解. 【详解】对于A，为奇函数，且为单调递增的幂函数，故A正确， 对于B，为非奇非偶函数，故不符合， 对于C，为反比例函数，在和均为单调递增函数，但在定义域内不是单调递增，故不符合， 对于D，在单调递增，但在定义域内不是单调递增，故不符合， 故选：A 25．（23-24高一上·北京密云·期末）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数和增函数的性质即可得出结论. 【详解】由题意， A项，定义域为R，为奇函数，函数为周期函数不是增函数，故错误； B项，定义域为R，不为奇函数，故错误； C项，定义域为R，为奇函数，函数为增函数，故正确； D项，定义域为，关于原点对称，为奇函数，函数在单调递增，在单调递增，但是在定义域上不是增函数，故错误； 故选：C. 26．（23-24高一上·北京东城·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合偶函数的对称性可确定时函数性质，然后结合分式不等式的求法可求． 【详解】因为是定义在,上的偶函数，当时，单调递减，， 所以时，函数单调递增，, 所以的解集,,，的解集， 当时，的解集,,， 时的解集,,， 则不等式可转化为或， 解得或或． 故选：C． 27．（24-25高一上·北京东城·期末）已知函数为上的奇函数，且在上单调递增，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知函数为上单调递增，根据奇函数性质结合函数单调性运算求解即可. 【详解】因为函数为上的奇函数，且在上单调递增， 则函数在上单调递增，可知函数为上单调递增， 且，，则， 若，即， 可得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 28．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知函数，用表示的最小值，记为，那么的最大值为 ． 【答案】 【分析】在在同一坐标系中，画出的图像，根据条件，利用图像即可求出结果. 【详解】由，得到或，在同一坐标系中，画出的图像，如图所示， 因为，由图知，当时，取到最大值为，    故答案为：. 29．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知函数的图象过原点，则 ；若对，都有，则m的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据函数过原点，从而求出的值；对于，只需求出，从而可求解. 【详解】对空：由函数过原点，即，得； 对空：由函数在定义域上单调递增，且恒成立，所以的最大值为. 故答案为：；. 30．（23-24高一上·北京通州·期末）设函数（且）.给出下列四个结论： ①当时，方程有唯一解； ②当时，方程有三个解； ③对任意实数a（且），的值域为； ④存在实数a，使得在区间上单调递增； 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①② 【分析】直接解方程可判定①，分类讨论解方程可判定②，利用幂函数与指数函数的单调性可判定③，利用分段函数的性质可判定④. 【详解】当时，，则方程， 若， 若，与前提矛盾，舍去， 所以当时，方程有唯一解，故①正确； 当时， 若， 若， 易知在上单调递减， 则当时,，且在上单调递减， 当时，，则， 此时， 作出函数与的草图如下， 可知当时，方程有三个解，故②正确； 因为且，可知恒成立， 若，由上可知在上单调递减， 且时，，此时； 若，易知在上单调递增，即， （i）当时，，则， （ii）当时，在时，，此时； 则当时，取不到最小值，故③错误； 由上可知和时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，故④错误. 故答案为：①② 31．（24-25高一上·北京东城·期末）已知是定义在上的函数，若，且，使得，都有，则称函数具有性质．给出下列四个结论： ①函数具有性质； ②函数具有性质； ③若函数具有性质，且是偶函数，则是周期函数； ④若函数具有性质，且是奇函数，则是的一个对称中心． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】利用反证法可判断①；取可判断②；利用题中定义结合函数的对称性、周期性可判断③④. 【详解】对于①，若函数具有性质， 则存在，使得，都有，即，则不是常数， 所以函数不具有性质，①错； 对于②，因为，即， 所以函数具有性质，②对； 对于③，函数具有性质，则存在，使得，都有， 又因为函数为偶函数，则， 又因为，即， 因为，则，故函数为周期函数，③对； 对于④，若函数具有性质，且是奇函数， 则存在，使得，都有， ，所以， 所以，是的一个对称中心，④对. 故答案为：②③④. 32．（23-24高一上·北京顺义·期末）如图，函数的图象为折线，函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论： ①；②函数在内有且仅有3个零点；③；④不等式的解集.其中正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】根据奇函数的性质可判断①，根据题意推出函数为周期函数，根据周期结合在上的图象可得函数的零点判断②，根据周期及奇函数的性质结合在上的图象判断③，利用数形结合求出不等式的解集判断④. 【详解】因为函数是定义域为R的奇函数， 所以，故，即，故①正确； 又，所以，所以， 即，所以函数周期为， 由图象可知，所以，由周期知， 故函数在内有共5个零点，故②错误； 因为，，， 由图象可知，，，又， 所以，故③正确； 由图象，利用待定系数法可知， 在同一坐标系下，作出，的图象如下， 由图易知，， 所以结合图象知不等式的解集，故④正确. 故答案为：①③④ 33．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知函数如图所示．    (1)求的解析式； (2)求的最大值： (3)将的图象向右平移2个单位长度后得到函数的图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图像知，函数过点，代入函数建立方程组，即可求出结果； （2）利用二次函数的性质即可求出结果； （3）在同一坐标系中，作出和的图像，根据图像，利用时，两函数值相等，即可求出结果. 【详解】（1）由图知，函数过点，所以，解得， 所以的解析式为. （2）由（1）知，二次函数的对称轴为，开口向下， 所以函数在处取到最大值为. （3）因为，所以， 在同一直角坐标系中，作出和的图像，如图所示， 当时，，， 由，解得，所以不等式的解集.    34．（23-24高一上·北京密云·期末）已知函数. (1)若为奇函数， （ⅰ）求的值，并说明理由； （ⅱ）比较与的大小；（结论不要求证明） (2)若，使得，求的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ），理由见详解；（ⅱ）. (2) 【分析】（1）（ⅰ）由奇函数的定义即可得到结果. （ⅱ）分别计算出与的值进行比较即可. （2）换元令，，，使得利用分离参数法可转化为，只需即可. 【详解】（1）（ⅰ），理由如下： 因为为奇函数，所以，即，化简得，所以. （ⅱ）,故. （2），，使得 令，所以，可转化为 只需即可， 令，图象开口向下，对称轴 当时，，所以. 35．（23-24高一上·北京东城·期末）已知函数． (1)当时， ①求的值； ②求的图象与直线的交点坐标； (2)若的值域为R，求实数a的取值范围． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】（1）①直接利用代入法即可求解；②令分别求出x，即可求解； （2）分别求出两段函数的值域，然后并集为R即可求解. 【详解】（1）①当时，，所以， 当时，，所以， 所以； ②当时，，得，解得； 当时，，即，解得或-1（舍去）， 所以函数的图象与直线的交点坐标为； （2）当时，，所以， 即当时，； 当时，， 由，得， 即当时，， 所以，得，解得， 即实数a的取值范围为. 36．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数是定义在R上的奇函数. (1)求实数a的值： (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)若有两个零点，请写出k的范围（直接写出结论即可）. 【答案】(1) (2)..在上单调递减；证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，即，解可得的值，即可得答案； （2）根据题意，任取，，且，由作差法分析的符号，由函数单调性的定义分析可得答案； （3）由题意转化为与有两个交点问题，利用单调性及奇偶性作出图象，数形结合即可得解。 【详解】（1）函数为奇函数，则， 即，解可得； （2）由（1）知，在上单调递减； 证明：任取，，且， 则 ， 又由，，且，则，，，， 则有，即 所以函数在上单调递减． （3）因为有两个零点， 所以方程有两个不等实根，即有两个不等的实根， 任取，，且，由（2）知， 因为，，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增，又函数为奇函数，所以图象关于原点成中心对称， 又，，时，，作出图象如图， 所以当且时，与有两个不同交点，即有两个不等实根. 故k的范围为. 37．（23-24高一上·北京东城·期末）已知是定义在上的奇函数，当时． (1)求的解析式； (2)根据定义证明在上单调递减，并指出在定义域内的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见详解；在上的单调递减 (3) 【分析】（1）当时，利于奇函数的定义求解即可； （2）根据单调函数的定义证明即可，利于奇函数的性质可判断函数的单调性； （3）根据奇函数的定义及函数的单调性，转化不等式为恒成立，利于，解不等式即可. 【详解】（1）依题是定义在上的奇函数， 当时， 当时，， 则， 所以. （2）当时，， 任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故，即， 所以在上单调递减， 根据奇函数的性质可知在上的单调递减. （3）因为， 化为， 即， 根据在上的单调递减， 则，在时恒成立， 即恒成立， 故， 解得， 故实数k的取值范围为. 地 城 考点05 零点的存在性定理 38．（23-24高一上·北京大兴·期末）下列区间中，方程的解所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，直接由表达式（指数函数、一次函数单调性）可得它的单调性，结合零点存在定理即可得解. 【详解】因为指数函数与一次函数在定义域内均单调递增， 所以函数在定义域内也单调递增， 且注意到， 所以由零点存在定理可知方程的解所在区间是. 故选：C. 39．（23-24高一上·北京通州·期末）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， 故函数零点的区间是. 故选：C 40．（10-11高三·浙江温州·月考）设，用二分法求方程的近似解的过程中，有，，，则该方程的根所在的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】先判断函数的单调性，根据已知条件结合零点存在定理即可判断. 【详解】因为，根据函数解析式可分析得函数为单调递增的连续函数， 由已知，，所以， 根据零点存在定理定理可知，方程的根所在区间为， 故选：B 41．（24-25高一上·北京顺义·期末）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别计算各选项区间端点处函数值，再根据零点存在定理判断零点所在区间. 【详解】将代入函数， . 把代入函数，则. 由于，，满足，且内图像连续，根据零点存在定理可知函数在区间内有零点. 故A正确. 将代入函数，得到. 因为，，则，所以函数在区间不一定有零点. 把代入函数，可得. 由于，，即，所以函数在区间内不一定有零点. 将代入函数，得到. 因为，，则，所以函数在区间内不一定有零点. 再由于中，时，单调递增，单调递增，则时，随着变大增大. 综上所得，函数的零点所在的大致区间是， 故选：A 42．（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（   ） A．(0， 1) B．(1， 2) C．(2，3) D．(3， ) 【答案】C 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理,把选项代入验证即可. 【详解】因为函数是减函数,又,, 所以,由零点存在性定理可得, 包含零点的区间(2，3). 故选：C 地 城 考点06 函数的应用 43．（24-25高一上·北京东城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与函数的图象关于原点对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数对称与变换求出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】函数的图象关于原点对称的函数的解析式为， 将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数， 故. 故选：B. 44．（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数函数．若有四个不同的零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数与方程的思想，将有四个不同的零点转化为函数与有四个不同的交点，作出图象，求得，利用对称性得，根据函数的图象特征可得，，借助于对勾函数的单调性即可求得的取值范围. 【详解】 由函数有四个不同的零点，可知函数与有四个不同的交点， 设这四个交点的横坐标从小到大依次为，如图所示，则，可得， 因点关于直线对称，故； 由可得， 则有，且，即得， 于是，， 因函数在上单调递减，故可得， 则的取值范围为. 故选：A. 45．（23-24高一上·北京通州·期末）设函数，，，，则下列结论正确的是（    ） A．函数和的图象有且只有两个公共点 B．，当时，使得恒成立 C．，使得成立 D．当时，方程有解 【答案】D 【分析】作出函数和的图象，结合函数图象即可判断A B；根据指数函数和对数函数的图象即可判断C；根据当时，函数和的图象都过过点，即可判断D. 【详解】对于A，如图所示，作出函数和的图象， 由图可知，函数和的图象有三个公共点，故A错误； 对于B，由A选项可知，当时，， 所以不存在，当时，使得恒成立，故B错误； 对于C，如图，作出函数，的图象，    由图可知，函数的图象在的图象的上方， 函数的图象在的图象的下方， 所以，， 所以不存在，使得成立，故C错误； 对于D，因为，， 当时，函数的图象过点， 函数的图象过点，即直线与函数图象有交点， 当时，直线斜率更小，直线与函数图象有交点， 所以当时，方程有解，故D正确. 故选：D. 46．（23-24高一上·北京密云·期末）设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论，利用函数与方程的思想，结合函数性质及图象求解即可. 【详解】若，当时，，此时函数无零点， 当时，，此时函数无零点，所以没有一个零点，不合题意； 若，，画出函数的图象如下图所示：    由图知当时，函数恰有一个零点0，满足题意； 若，当时，由得，此时函数恰有一个零点， 要使函数恰有一个零点，则当时，函数无零点， 即方程无解，又当时，，所以，即， 记，则函数单调递增，且， 所以，所以； 综上，的取值范围是. 故选：D 47．（23-24高一上·北京东城·期末）某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（    ）（参考数据：，） A．20 B．16 C．12 D．7 【答案】B 【分析】由可得，再代入，求解即可. 【详解】根据题意可得， 则，， 则经过n年时，有， 即，则， 所以， 则. 故选：B. 48．（23-24高一上·北京通州·期末）函数的零点个数为 . 【答案】1 【分析】令，直接求解，结合函数定义域，即可得出函数零点，确定结果. 【详解】的定义域为， 令，则或，解得或（舍）. 故答案为：1 49．（2019·北京通州·一模）能说明“若函数满足，则在内不存在零点”为假命题的一个函数是 ． 【答案】 【分析】可考虑函数f（x）＝（x﹣1）2，经计算，但在（0，2）内存在零点1，答案不唯一． 【详解】可举函数，可得，即有， 但在内存在零点1，可说明“若定义在R上的函数 满足， 则在区间上不存在零点”为假命题， 故答案为: 【点睛】本题考查命题的真假判断，考查函数的零点问题，考查判断能力和推理能力，属于基础题． 50．（23-24高一上·北京东城·期末）已知符号表示不超过x的最大整数，若函数（），给出下列四个结论：①当时，；②为偶函数；③在单调递减；④若方程有且仅有3个根，则a的取值范围是.其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】根据新定义分析得到的图象，即可判断①②③；将方程有且仅有3个根转化为与的图象有3个交点，然后结合图象即可判断④. 【详解】因为符号表示不超过x的最大整数，若函数， 所以当时，，则； 当时，，则； 当时，，则， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以函数的图象如图所示： 对于①，由上面的图象可知，①是正确的， 对于②，由上面的图象可知，②是错误的， 对于③，由上面的图象可知，③是正确的， 对于④，由上面的图象可知，，，， 因为方程有且仅有3个根，等价于与的图象有个交点， 结合图象可知，当或. 故答案为：①③④. 51．（23-24高一上·北京平谷·期末）在早高峰，某路口通过的车辆与时间的关系近似地符合，在早高峰这段时间内．给出下列四个结论： ①通过该路口的车辆数随着时间逐渐增多； ②早上6时和早上7时通过该路口的车辆数相等； ③在任意时刻，通过路口的车辆不会超过35辆； ④在任意时刻，通过路口的车辆不会低于14辆． 依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】因为分母是二次函数，通过分析二次函数的单调性来分析整个函数的单调性，可判断①②的正确性；通过自变量的范围分析分母的范围，从而得出整个函数的值域，可判断③④的正确性. 【详解】对于①，因为， 令； 则在内单调递减，在内单调递增， 所以先增后减，命题①错误； 对于②，因为是二次函数，函数图象的对称轴是，所以， 所以，命题②正确； 对于③，因为的最小值是， 所以的最大值是， 即在任意时刻，通过路口的车辆不会超过35辆，命题③正确； 对于④，因为， ，且，所以的最小值为， 即在任意时刻，通过路口的车辆不会低于14辆，命题④正确. 综上，所有正确结论的序号是②③④. 故答案为：②③④. 【点睛】结论点睛： （1）函数在区间上单调，函数在区间上单调，并且在上函数值集合包含于区间，则函数在区间上单调； （2）如果与单调性相同，那么是增函数，如果与单调性相反，那么是减函数. 52．（24-25高一上·北京丰台·期末）设函数，其中． (1)当时，求在区间上的最大值和最小值： (2)若在区间上不单调，求的取值范围； (3)若在区间内存在零点，求的取值范围． 【答案】(1)最小值为3，最大值为7． (2) (3)． 【分析】（1）根据二次函数的性质得出最值； （2）根据函数不单调列不等式计算求参； （3）解法1：分及两种情况分类讨论求零点或结合零点存在定理计算范围；解法2：先计算对称轴为，再分，及，结合零点存在定理计算求解. 【详解】（1）当时，， 所以的对称轴为， 所以在区间上的最小值为，最大值为． （2）由已知，得的对称轴为． 因为在区间上不单调， 所以． 由，解得， 故的取值范围是 （3）解法1：由已知，得． 1）当即，或时， 由，得，此时的零点为3，不符合题意： 由，得，此时的零点为，符合题意． 2）当即，或时， ①若，此时的对称轴 且 所以在区间内存在零点，符合题意 ②若，此时的对称轴， 所以在区间内单调递减． 又因为， 所以在区间内存在零点只需满足， 解得． 综上，的取值范围是． 解法2：由已知，得的对称轴为， 1）当即时，， 此时在区间内有零点为，符合题意． 2）当即时，， 此时在区间内无零点，不符合题意， 3）当即，且时， 由在区间内存在零点，则有以下两种情况： ①，解得，或 ②解得． 综上，的取值范围是． 53．（24-25高一上·北京顺义·期末）某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下： ①函数是区间上的增函数； ②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分； ④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分. 现有以下三个函数模型供选择：①②③ (1)请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（不必说明理由），并求出函数的解析式； (2)若每位学生每天得分不少于5分，求该学生每天至少需要锻炼的时间.（注：，结果保留整数）. 【答案】(1)②， (2)该学生每天至少篅要锻炼47分钟 【分析】（1）选择模型①②③，利用函数图象过的点求出，再验证即可得解. （2）由（1）所得解析式，建立不等式并求解即得. 【详解】（1）选择模型①，由函数过点，得，则， 当时，，不符合题意； 选择模型③，由函数过点，得，则， 当时，，不符合题意； 选择模型②，由函数过点，得，解得， 此时函数的解析式为，当时，，符合题意， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，由每位学生每天得分不少于5分， 得，即，则， 解得， 所以若每位学生每天得分不少于5分，该学生每天至少篅要锻炼47分钟. 54．（23-24高一上·北京丰台·期末）2023年9月23日第十九届亚运会在杭州开幕，本届亚运会吉祥物是“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某商家成套出售吉祥物挂件，通过对销售情况统计发现：在某个月内（按30天计），每套吉祥物挂件的日销售价格（单位：元）与第x天的函数关系满足（k为常数，且），日销售量（单位：套）与第x天的部分数据如下表所示： x 15 20 25 30 650 645 650 655 设该月吉祥物挂件的日销售收入为（单位：元），已知第15天的日销售价格为32元. (1)求k的值； (2)根据上表中的数据，若用函数模型来描述该月日销售量与第x天的变化关系，求函数的解析式； (3)利用（2）中的结论，求的最小值. 【答案】(1) (2)， ，. (3)20280元 【分析】（1）将代入，即可求得答案； （2）结合表格中数据确定m的值，再解方程，即可求得答案； （3）求出的表达式，讨论x的取值范围，结合函数单调性以及基本不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得，所以，解得. （2）根据表中数据以及，可知，当时，取得最小值； 根据表中数据可得，， 由，得，，， 所以，其中，. （3）由（1）（2）可知，，， 当时，， 可知在时随着x的增大而减小， 所以当时的最小值为； 当时，， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以当时的最小值为， 综上所述，当时，该月日销售收入的最小值为20280元. 55．（24-25高一上·北京东城·期末）在某种药物研究试验中发现其在血液内的浓度（单位：毫克／毫升）与时间（单位：小时）满足函数关系，其中，为大于的常数．已知该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程，且在小时时达到最大值毫克／毫升． (1)直接写出，的值； (2)当该药物浓度不小于最大值一半时，称该药物有效．求该药物有效的时间长度（单位：小时）． 【答案】(1)，， (2). 【分析】（1）根据时，函数取最大值，且该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程，列关系式求； （2）由关系，结合函数解析式分段列不等式求其解，即可. 【详解】（1）因为该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程， 函数在时取最大值， 所以，，， 所以，， （2）由（1）， 令可得， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以该药物有效的时间长度为（小时）. 56．（24-25高一上·北京·期末）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 【答案】(1)生产芯片关系式为，生产芯片关系式为 (2)答案见解析 (3)亿时，公司所获净利润最大净利润为9亿元 【分析】（1）由题意直接得到生产A芯片的解析式，待定系数法求出生产B芯片的解析式； （2）在（1）的基础上，得到不等式和方程，得到答案； （3）表达出，换元后求出最值. 【详解】（1）设投入资金亿元，则生产A芯片的毛收入. 将代入， 得，解得， 生产B芯片的毛收入. （2）由，得；由，得； 由，得. 当投入资金大于16亿元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16亿元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16亿元时，生产B芯片的毛收入更大. （3）由题意知投入亿元生产芯片，则投入亿元资金生产A芯片， 公司所获净利润， 令，则， ， 故当，即亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为9亿元. 57．（23-24高一上·北京东城·期末）某地要建设一座购物中心，为了减少能源损耗，计划对其外墙建造可使用30年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层的建造成本为9万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：（）．若不建隔热层，每年能源消耗费用为6万元．设S为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和． (1)求出S关于的函数解析式； (2)若使隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和S控制在90万元以内，隔热层的厚度不能超过多少厘米？隔热层的厚度为整数） 【答案】(1), (2)6 【分析】（1）利于给定条件，求出的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和. （2）根据条件建立不等式，解出后进一步分析即可. 【详解】（1）依题意，当时，，所以， 所以，， 则（万元），. （2）若， 不等式化为， 解得 又， 所以隔热层的厚度不能超过6厘米. 58．（22-23高一上·江苏南京·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间.同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.地 城 考点07 函数新定义 (1)求证：，是函数的一个“优美区间”； (2)函数是否存在“优美区间”？若存在，求出它的“优美区间”，若不存在，请说明理由. (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）通过在区间，上单调递增，利用新定义判断即可. （2）利用新定义，是已知函数的“优美区间”，推出，转化求解即可. （3）设，是已知函数定义域的子集，通过，是已知函数的“优美区间”，则，，说明､是方程的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系即可求解的最大值. 【详解】（1）函数在，上单调递增，所以，（2）， 即，，由题“优美区间”的定义可知，，是函数的一个“优美区间”. （2）假设，是函数的一个“优美区间”，的定义域为， 所以，或，，又在，上单调递减， 所以， 又，即，不符，所以不存在“优美区间”. （3）定义域为，假设，或，， 在，上单调递增，又，是函数的“优美区间”， 所以，，所以，是方程，即的两个同号且不等的实数根. 所以，解得或，又， 所以， 所以当时，取得最大值为. 59．（24-25高一上·北京顺义·期末）对于函数，若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别讨论不同情况下在时的解的情况，再根据恰有个元素这一条件得出的取值范围. 【详解】当时，，即. 因为，且. 若，当时： 对于，令，，，，， 通过分析函数与的图象可知，在时，最多有个解. 要使中恰有个元素，则（且）必须有一个解，（且）必须有一个解. 由（），通过分析函数与的图象，当时满足恰有个解. 若，当时，与相等的情况会使得满足且的元素个数多于个. 综上所得，的取值范围是， 故选：B. 60．（24-25高一上·北京·期末）华人数学家李天岩和美因数学家约克给出了“混沌的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在上的函数，对于，令，若存在正整数使得，且当时，，则称是的一个周期为的周期点. 给出下列四个结论： ①若，则存在唯一一个周期为1的周期点； ②若，则存在周期为2的周期点； ③若，则存在周期为3的周期点； ④若，则对任意正整数，都不是的周期为的周期点． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据周期点的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对①：，当时，， 解得，故存在唯一一个周期为1的周期点； 对②：，当时，， 解得，但当时，，不满足题意， 故，不存在周期为2的周期点； 对③：，不妨取，则， ，显然存在周期为3的周期点； 对④：， 故 对任意正整数，都不是的周期为的周期点. 综上所述，正确的是：①③④. 故答案为：①③④. 61．（23-24高一上·北京顺义·期末）对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. (1)判断函数和函数是否存在“优美区间”?（直接写出结论，不要求证明） (2)如果函数在R上存在“优美区间”，求实数a的取值范围. 【答案】(1)存在优美区间是，不存在优美区间 (2)或 【分析】（1）由函数的单调性及值域及新定义求解； （2）由函数的单调性，分类讨论，，确定函数的最大值和最小值，转化为一元二次方程的根的分布，可得结论． 【详解】（1），在上单调递增， 由得或1，所以存在优美区间， 是增函数，若存在优美区间，则，无解， 即函数不存在优美区间； （2）函数在上存在“优美区间”，设是一个优美区间， 在上递减，在上递增， 若，则，即有两个不等的非负根， 即，可得，当，即时， 设方程两根分别为， 则，则，所以； 若，则，即， 两式相减得，即， 所以，所以方程有两个不等的非正根， 方程整理为， 由，解得， 又满足题意，由，解得， 所以； 综上，的取值范围是或． 【好题推送】 62．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递减，则下列结论正确的是（   ） A． B．是以2为周期的周期函数 C．在区间上单调递减 D．若关于的方程在区间上有两个实数根，分别记为，则 【答案】D 【分析】对于选项A，定义在上的奇函数，则.令得出判定；对于选项B，要通过已知条件推导出函数的周期；对于选项C，根据函数的周期性和已知区间的单调性来判断指定区间的单调性；对于选项D，利用函数的对称性来确定方程两根的和. 【详解】对于A，由于函数是定义在上的奇函数，则. 由，取可得，故A错误； 对于B，因为是定义在上的奇函数，则， 又因，则. 用替换可得，故有. 所以是以为一个周期的周期函数，故B错误； 对于C，已知在上单调递减，因是奇函数，故在上也单调递减，即在上单调递减. 由于的周期是，那么在上的单调性与上的单调性相同. 由可知的图象关于直线对称， 所以在上的单调性与上的单调性相反，即在上单调递增，所以在上单调递增，故C错误； 对于D，因的图象关于直线对称，且周期可取为，故的图象关于直线对称. 若关于的方程在区间上有两个实数根，， 根据函数图象的对称性可知，则，故D正确. 故选：D. 63．（24-25高一上·北京密云·期末）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则下列正确的命题是（   ）    A．函数的定义域是 B．函数是增函数 C．当时，有最大值 D．函数的最大值是 【答案】D 【分析】由题意，根据可得，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 所以. 作出的图象，如图，    由图可知，函数在上单调递增， 所以当时取到最大值，为，故D正确. 故选：D 64．（10-11高三下·湖南长沙·月考）下图展示了一个由区间到实数集R的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1）；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合（从到是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点的坐标为（如图3），图3中直线与x轴交于点，则的象就是，记作． 则下列命题中正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．在其定义域上单调递增 D．的图象关于轴对称 【答案】C 【分析】借助于图形来看四个选项，先由可判断A，实数所在区间不关于原点对称，知B错，从图形上可得在定义域上单调递增，C对，先找到，再利用图形判断D错， 【详解】如图，因为点在以为圆心，为半径的圆上运动， 对于A，当时，的坐标为，， 直线的方程为，即，所以点的坐标为， 故，即A错. 对于B，因为实数所在区间不关于原点对称，所以不存在奇偶性．故B错． 对于C，当实数越来越大时，直线与轴的交点也越来越往右，即也越来越大，所以在定义域上单调递增，即C对． 对于D，当实数时，对应的点在点的正下方，此时点，所以， 再由图形可知的图象关于点，对称，而非关于轴对称，即D错． 故选：C． 被除所得的余数为的元素有； 被除所得的余数为0的元素有． 因为是集合中的最小元素，所以上述各行任意两个相邻元素中，至多有一个元素属于集合． 设为不大于的最大整数， 则在前行中，每行至多有个元素符合题意， 在剩下的行中，每行至多有个元素符合题意， 所以 构造集合， 因为，所以集合是集合的和谐子集， 故集合中元素个数的最大值是1013． 65．（24-25高一上·北京顺义·期末）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”.若函数的图象关于点对称，且当时，. (1)求的值； (2)设函数. （i）证明函数的图象关于点对称； （ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）直接将和代入的表达式求出与，再求和. （2）（i）要证明函数的图象关于点对称，需利用函数图象关于点对称的性质进行证明.（ii）先求出在的值域，再根据条件得出在的值域与在的值域的关系，进而求出的取值范围. 【详解】（1）解：因为函数的图象关于点对称， 所以，所以 （2）（i）因为， 所以. 所以， 即对任意，都有成立. 故的图象关于点对称； （ii）因为，所以在区间上单调递增， 所以在区间上的值域为. 记在上的值域为集合在上的值域为集合. 由于对任意，总存在，使得成立， 所以. 由的对称性可知，只需 ①当，即时，函数在上单调送增， 因为，所以 所以. ②当，即时，在上单调遂减，在上单调递增， 因为，所以，即 解得，又因为 所以. ③当，即时，函数在上单调递减， 所以， 结合，得. 综上，实数的取值范围为. 66．（24-25高一上·北京顺义·期末）已知函数，且函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断； (3)设函数，写出函数的零点个数.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)函数在区间上单调递增，证明见解析 (3)2个零点 【分析】(1)根据奇函数定义，由，代入计算可求得； (2)利用函数单调性的定义证明函数的单调性； (3)借助函数奇偶性和单调性可得零点的个数. 【详解】（1）令，解得，所以函数的定义域为. 由于函数是奇函数， 所以函数在其定义域内满足， 则. 整理得：， 注意到对任意的上式均成立，可得，解得. （2）因为，可知函数在区间上单调递增. 证明如下（方法一）： 对任意，且， 则. 因为， 可得，即 所以函数在区间上单调递增. 证明单调性（方法二）： 对任意，且， 则 因为， 可得，即， 所以函数在区间上单调递增. （3）由题意得, 根据第(2)小问得在区间上单调递增， 又函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增， 当时，， 当时，， 根据零点存在定理得在区间上存在一个零点， 同理可得在区间上存在一个零点， 所以函数有2个零点. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $