专题02 等式与不等式（五大题型+好题推送）（期末真题汇编 ，北京专用）高一数学上学期人教A版

专题02 等式与不等式（四大题型+好题推送） 4大高频考点概览 考点01 等式与不等式的性质 考点02 一元二次不等式 考点03 基本不等式 考点04 不等式综合 地 城 考点01 等式与不等式的性质 1．（24-25高一上·北京顺义·期末）已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图可得，应用不等式性质及特殊值法逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A：因为，左右乘以，所以， 所以，故A正确； 对于B：由图可得，左右乘以，所以，所以B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，取，所以，故D错误， 故选：A 2．（24-25高一上·北京丰台·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】AC可举出反例；B选项，由不等式性质判断正确；D选项，作差法比较大小. 【详解】A选项，不妨设，满足，但，A错误； B选项，，由不等式性质得，B正确； C选项，不妨设，此时满足，但，C错误； D选项，， 因为，所以，但不确定的正负，若，则， 若，则，若，则，D错误. 故选：B 3．（24-25高一上·北京密云·期末）设，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A和D，利用作差法排除；对于B，利用不等式性质推理排除；对于C，利用基本不等式可推理得到. 【详解】对于A，由，因，故得，即A错误； 对于B，由两边同除以，可得 ，故B错误； 对于C，因，则，当且仅当时取等号，因，故得，即C正确； 对于D，由，因，故得，故D错误. 故选：C. 4．（23-24高一上·北京通州·期末）若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可． 【详解】因为且， 对于A选项：当时不成立； 对于B选项：单调递减，所以不成立； 对于C选项：在单调递增，成立； 对于D选项：举反例，不成立． 故选：C． 5．（23-24高一上·北京东城·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】取特殊值结合不等式的性质，逐项判断即可. 【详解】对于A,若取， 则，即，故A错误； 对于B，令，则有，故B错误； 对于C，令，则有，故C错误； 对于D，根据不等式性质可知D正确， 故选:D. 6．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知是任意实数，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质结合反例逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：B. 7．（16-17高三上·山西运城·期中）若，，则一定有（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质可判断. 【详解】解：根据，有，由于，两式相乘有， 故选：A. 8．（23-24高一上·北京丰台·期末）若，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式性质可知，即可对A判断；由不等式性质得，即可对B判断，利用特殊值可对C、D判断； 【详解】对A：由，所以，故A错误； 对B：由，所以，故B正确； 对C：由，令，则，故C错误； 对D：由，，令，所以，故D错误. 故选：B. 地 城 考点02 一元二次不等式 9．（24-25高一上·北京大兴·期末）关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式对应的二次函数的对称性可判断. 【详解】由题意，，则不等式是一元二次不等式， 由二次函数的对称性可知，不等式的解集不可能是. 故选：D. 10．（24-25高一上·北京朝阳·期末）已知不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由不等式恒成立可得，且是方程的一个正根，从而可得的关系，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】令，其对称轴为， 当时，， 若，当时，要使不等式对任意恒成立， 则对任意恒成立， 当时，不满足题意，所以， 且是方程的一个正根， 将代入可得，即， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 11．（24-25高一上·北京密云·期末）一元二次不等式的解集是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】先分解因式，再求得不等式的解集. 【详解】由可得， 故得. 故选：B. 12．（24-25高一上·北京东城·期末）（1）计算求值： （2）解关于的不等式： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】（1）2；（2）（ⅰ）或；（ⅱ）答案见详解 【分析】（1）根据指、对数运算求解即可； （2）（ⅰ）根据分式不等式运算求解即可；（ⅱ）根据二次不等式分析讨论根的大小即可判断. 【详解】（1）原式； （2）（ⅰ）因为，可得， 等价于，解得或， 所以不等式的解集为或； （ⅱ）因为，即， 令，解得或， 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 13．（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数． (1)解关于x的不等式：； (2)当时，恒成立，试确定实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由原不等式可得 ， 对分三种情况讨论 ，分别利用二次不等式的解法即可得解； （2） 恒成立等价于 在区间 上恒成立，令 ，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1） ，即为 ， 即可得 ， 令可得或， 当，即时，或； 当，即时，； 当，即时，或， 综上，当时，不等式的解集为或； 当时， 不等式的解集为 ； 当时， 不等式的解集为或； （2）因为当 时， 恒成立， 即当 时， 恒成立， 即当 时， 恒成立， 设函数 ， 则 在区间 上单调递减， 所以 在区间 上的最小值为 ， 所以 ， 故实数 的取值范围为 地 城 考点03 基本不等式 14．（23-24高一上·北京密云·期末）已知，则有（    ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【分析】利用基本不等式求最值即可得到结果. 【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立. 故选：B. 15．（24-25高一上·北京东城·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可得，结合对数函数单调性分析判断. 【详解】因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为在定义域内单调递增， 所以. 故选：B. 16．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知正数满足，则的最大值是 ，的最小值是 ． 【答案】 /0.5 【分析】由基本不等式直接进行求解，得到，再变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，由基本不等式得， 即，解得，当且仅当，即时，等号成立， ，故，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：， 17．（24-25高一上·北京顺义·期末）已知函数，那么当 时，函数取得最小值且最小值为 . 【答案】 2 5 【分析】应用基本不等式计算最小值及根据取等条件求x的值. 【详解】因为， 所以函数， 当且仅当，即时取最小值5. 故答案为：2；5. 18．（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数，则的最小值等于 ． 【答案】5 【分析】凑项利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】由，因，故， 因，当且仅当时，即时等号成立， 即当时，取得最小值为5. 故答案为：5. 19．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知函数，那么当 时，函数取得最小值为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，又，所以， 当且仅当，即时，取等号， 故答案为：，. 20．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数，则当 时，函数取到最大值且最大值为 . 【答案】 / 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时，即时等号成立. 故答案为：； 21．（17-18高二上·河南·阶段练习）设，则的最小值为 . 【答案】5 【详解】 ，当且仅当时取等号 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 22．（22-23高一上·四川眉山·期末）若，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】，利用基本不等式可得最值． 【详解】∵， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴时取得最小值3. 故答案为：3． 23．（24-25高一上·北京东城·期末）如图，函数的图象为折线段，则不等式的解集是（    ）地 城 考点04 不等式综合 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象求出函数的解析式，解不等式求结论. 【详解】函数的图象为折线段，且, 故可设， 且，，， 所以，， 所以， 当时，不等式可化为，， 即，故（舍去）， 当时，不等式可化为，， 即，故. 所以不等式的解集是. 故选：D. 24．（24-25高一上·北京大兴·期末）已知，则 ，的最小值为 ． 【答案】 1 2 【分析】根据对数运算可解得的值，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】由题意，，由，得，即，则； 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立. 故答案为：1，2. 25．（23-24高一上·北京大兴·期末）设，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据指数、对数函数的单调性，和不等式性质逐项判断即可. 【详解】由题， 令，则单调递减，所以，①正确； 令，在单调递增，所以，②错误； 对于③，， 由知， ， 所以③正确； 对于④，， 因为，所以， 所以，故④正确； 故选：D 26．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意，利用不等式的基本性质，以及特例法，结合指数函数的单调性，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，例如，此时满足，但，所以A错误； 对于B中，当时，，所以B不正确； 对于C中，由指数函数为单调递增函数，因为，可得，所以C正确； 对于D中，例如，此时满足，但，所以D不正确. 故选：C. 27．（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数，若，则 ；若，且，则的取值范围是 . 【答案】 或 【分析】根据对数运算求解方程；根据对数函数的图象，即可去绝对值，再结合基本不等式，即可求解的取值范围. 【详解】，得或； 由题意可知，， 由函数图象可知，，则， 即，则， ， 所以的取值范围是. 故答案为：或； 【好题推送】 28．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知函数，对，用表示中的最大者，记为．若恒成立，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】A 【分析】根据题设可得时，恒成立，故可求参数的取值范围. 【详解】因为时，，故需时，恒成立， 故即，所以的最大值是， 故选：A. 29．（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数对任意的，都有成立.给出下列结论： ①；②；③；④. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】令可判断①，取特殊函数利用特例可判断②，根据所给函数性质推出可得即可判断③，利用均值不等式及③可判断④. 【详解】令，则，故①正确； 由可得， 用换可得， 令，则满足，而， ，则不恒相等，故②错误； 由，用代替可得， 又由对任意实数成立知，所以，故③正确； 由③知，，所以， 用替换可得，， 所以，当且仅当时等号成立，故④正确. 故答案为：①③④ 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02等式与不等式（四大题型+好题推送） ☆4大高频考点概览 考点01等式与不等式的性质 考点02一元二次不等式 考点3基本不等式 考点04不等式综合 目目 考点01 等式与不等式的性质 1.(24-25高一上·北京顺义·期末)已知实数m,”在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是 () m n0衣 A.m2>mn>0 B.m n C.m-n>0 D.m<n 2.(24-25高一上·北京丰台期末)下列命题为真命题的是() A.若a>6c>d a-c>b-d ，则 B.若a>6c>0 则acc 11 C.若a>6'则。6 D.若a>b>c'则ab>bc 3.(24-25高一上·北京密云期末)设 ,b,c∈Rma>b>c>0 ，且 ,则() 1.1 A.ac bc B.ab C. b、a D. a b 4.(23-24高一上·北京通州期末)若 o.hceR且>b, ,则() A.ae2>be2 C.a>b D.lab 5.(23-24高一上·北京东城期末)下列命题中正确的是() 1/5 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 11 A.若a>b则ab B.若a<b'则ac2<bc2 a、b C.若a2>b2,则a>b D.若。>。，则a>b ,C是任意实数，且>b>C,则下列不等式一定成立的是 a,b,c 6.(23-24高一上·北京顺义·期末)已知 () A. c<c ab B.a+b>2c C.alel<ble D.a+b>c 7.(16-17高三上山西运城期中)若a>b>0,c<d<0,则一定有(). A.ac<bd B.ad<be C.ac>bd D.ad>be 8.(23-24高一上·北京丰台期末)若a>b>0,c>d,则下列结论一定成立的是() A.a-b<0 B.a+c>b+c C.ac>be D.ac>bd 考点02 一元二次不等式 9. (24-25高一上：北京大兴期末)关于"的不等式r+br+c之0a≠0) 的解集不可能是() A.R B.[-1,1] D.-1,+) 10.(2425高一上北京朝阳期末)已知不等式-m(r-x-2列≥0对任意x>0恒成立，则m2+的 最小值为() A.4W2-4 B.4 C.42 D.4W2+2 1.(2425高一上北京密云期末)一元二次不等式-2x-3≤0； 的解集是() A.xx≤-l或x≥3} B.{1≤x≤3到 C.xx<-l或x>3y D.{1<x<3到 2/5 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 83 12.(24-25高一上北京东城期末)(1)计算求值： 27 -l1og√27+lg25+lg4 (2)解关于x的不等式： 2x-3 (i) >1: x-1 (ii)x<(aeR) 13。(24-25高一上·北京密云期末)已知函数f)=2r-4红+3 f(x)+2bx-3>0 ()解关于x的不等式： ； x∈[-1,1]，f(x)>2x+2m+1 (2)当 时， 恒成立，试确定实数m的取值范围. 考点03 基本不等式 14（23-24商-上：北京密云期末)已知≥0：则x+2有（) A.最大值0 B.最小值0 C.最大值-4 D.最小值-4 15.(24-25高一上·北京东城·期末)已知 ,y∈R ,则() A.log (2+xy 2 B.1e2+2j≥' C.1bg,2+2)<+y 2 D.1og(2+2>x+y 2 1.2 一十一 16.(24-25高一上·北京丰台期末)已知正数x,y满足x+2y=2,则y的最大值是一，xy+1的最小 值是一 1.(24-25高一上北京顺义期未)已知函数y=x++x>0,那么当x=时，函数，取得最小值 且最小值为一 3/5 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 18.(2425高一上北京密云期末)已知函数f)=x+4 +x二x>2),则f的最小值等于一 x2+9 19.(23-24高一上北京平谷期未)已知函数'=x (x>0) ，那么当x=时，函数y取得最小值为 20.(23.24高一上北京顺义期术)已知函致到=1-x-2x>0,则当x=时，面数f取到最 大值且最大值为一 21.（17-18高二上河南阶段练习)设>0·则Q+牛 一的最小值为一 22. 2223高一上四川眉山期末)若x则x+ -1的最小值是一 考点04 不等式综合 23.(24-25高一上北京东城期末)如图，函数)的图象为折线段ABC,则不等式f(≥(x-2到的解 集是() 4B A -20 4 [-2,0]U[3,4] (-0,0]U[3,+∞) A. B. C.(03) D.0,3) ga=-Igb 24.(24-25高一上·北京大兴期末)已知 、ab—，子5 ”的最小值为一 0<m<1<a<b 25.(23-24高一上北京大兴期末)设 给出下列四个结论：Om>m: ；③ log。m<log6m:④ a+m b+m 一其中所有正确结论的序号是（) A.①② B.③④ C.①②③ D.①③④ 4/5 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ,bc∈R 26.(23-24高一上·北京朝阳·期末)已知 GR,且>力，则下列不等式一定成立的是() 11 A.b B. ac>be C.2>2 D.ab 27.(23-24高-上北京大兴期末)已知函数n,若刊=1，则x=一；若0<a<b,且 fa=b),则a+b的取值范围是一 28.(2425高一上北京丰台期末)已知函数=(x-,8)=-x+2,对x∈R,用表示 ,8中的最大者，记为=max川，8（列.若刊≥2恒成立，则(） A.‘的最大值是V2 B.‘的最小值是V2 C.'的最大值是5 D.'的最小值是5 fx=fx-列 29.(23-24高一上北京大兴·期末)已知函数f(x)对任意的x,yeR,都有f(y) 成立给出下 列结论： 四≥2 ①f0)=1:②fx2)=2f():③f(x)>0,④2 其中所有正确结论的序号是一 5/5