专题02 函数基本性质与应用（七大题型+好题推送）（期末真题汇编 北京专用）高一数学上学期人教B版

专题02 函数基本性质与应用（七大题型+好题推送） 7大高频考点概览 考点01 函数定义域 考点02 函数单调性 考点03 函数奇偶性 考点04 函数的单调性与奇偶性综合 考点05 分段函数 考点06 函数图像与应用 考点07 函数新定义 地 城 考点01 函数的定义域 1．（24-25高一上·北京·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【解析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果. 【详解】解：根据题意，要使函数有意义， 则需满足，解得且. 所以函数的定义域为： 故答案为： 2．（23-24高一上·北京·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案. 【详解】函数需满足 ， 解得 且 ， 故函数的定义域为， 故答案为： 3．（23-24高一上·北京怀柔·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】解：函数， 则，解得且． 故选:D． 4．（23-24高一上·北京昌平·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由函数定义域的求法直接求解. 【详解】由. 故答案为： 5．（23-24高一上·北京石景山·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】利用函数有意义列式求解即得. 【详解】函数有意义，则且，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 6．（24-25高一上·北京房山·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据分母不为,根号内要大于等于且对数函数的定义域列不等式组，解不等式可得. 【详解】由题可知，解得 故答案为：. 7．（24-25高一上·北京·期末）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】由对数函数的定义域得，转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】由题意，，即，解得，则定义域为. 故答案为：. 地 城 考点02 函数单调性 8．（23-24高一上·北京石景山·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各选项中的函数直接判断单调性即可. 【详解】函数在R上单调递减，A不是； 函数在上单调递减，在上单调递增，则在上不单调，B不是； 函数的R上单调递减，C不是； 函数在R上单调递增，在上单调递增，D是. 故选：D 9．（23-24高一上·北京房山·期末）下列四个函数中，在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】ACD可根据函数图象直接判断；C选项，配方后得到函数单调性. 【详解】A选项，在上单调递增，A错误； B选项，，故在上单调递增， 在上单调递减，B错误； C选项，在上单调递增，C错误； D选项，在上单调递增，故在上单调递减，D正确. 故选：D 10．（24-25高一上·北京西城·期末）已知函数，若，则实数的取值范围 . 【答案】或 【分析】求出函数的单调区间及单调性，再利用单调性解不等式. 【详解】函数的定义域为，函数在上都递增， 因此函数在上单调递增，由， 则，解得或， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或 11．（24-25高一上·北京西城·期末）已知函数，其中． (1)证明：； (2)若在上单调递减，求的取值范围； (3)求在区间上的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）直接将代入函数解析式中，得到，再两式相加即可得到结果. （2）利用函数单调性的定义即可求出的取值范围. （3）对参数a分情况讨论，利用函数单调性即可得到在区间上的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 故. （2）因为在上单调递减，则当，有. 所以设，， 因为，所以，， 要使，则， 故的取值范围为. （3）当时，由小问2得在上单调递减， ，， 故在区间上的取值范围为； 当时，利用小问2的结论知，在上单调递增，，， 故在区间上的取值范围为. 综上：当时，取值范围为；当时，取值范围为. 12．（23-24高一上·北京·期末）已知函数的图像过点． (1)求实数m的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； 【答案】(1) (2)在区间上单调递增，证明见解析 【分析】（1）将代入解析式，得到m的值； （2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论. 【详解】（1）将点代入函数中，可得，解得． （2）单调递增，证明如下． 由（1）可得， 任取，则 ，因为， 则，，，即， 所以，即， 所以在区间上单调递增． 地 城 考点03 函数奇偶性 13．（23-24高一上·北京·期末）已知．若，则实数 ；若的图像关于原点对称，则实数 ． 【答案】 2 【分析】①直接代入解析式即可；②利用奇函数的性质，若奇函数在处有定义，则. 【详解】①得 ②图像关于原点对称，可得为奇函数， 则有，所以. 经检验，符合题意. 故答案为：2； 14．（24-25高一上·北京石景山·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】令，则，因为是定义在上的奇函数， 所以. 故答案为：. 15．（23-24高一上·北京房山·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)函数是定义在上的偶函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据对数函数定义域求法可得的定义域为； （2）利用定义域关于原点对称，由奇偶性定义可得为偶函数； （3）由对数函数单调性解不等式即可得不等式的解集为. 【详解】（1）由题意可得，解得. 所以函数的定义域为. （2）偶函数，证明如下： 函数的定义域为，关于原点对称. 因为， 所以. 即函数是定义在上的偶函数. （3）由， 得，即. 因为在是增函数，所以. 解得， 因为函数的定义域为. 因此不等式的解集为. 16．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知函数，其中为自然对数的底数，. (1)若0是函数的一个零点，求的值并判断函数的奇偶性； (2)若函数同时满足以下两个条件，求的取值范围. 条件①：，都有； 条件②：，使得. 【答案】(1)；奇函数. (2) 【分析】（1）由可求出；再由奇偶函数的定义即可判断； （2）条件①，，都有，即在上恒成立，由，即可求出的取值范围，条件②，，使得，即，令，由二次函数的性质即可得出答案，综合两个条件①②可得出的取值范围. 【详解】（1）因为0是函数的一个零点，所以， 解得：，所以， 因为的定义域为，， 所以为奇函数. （2）条件①：，都有，即， 所以，即，则在上恒成立， 因为，所以，则. 故的取值范围为. 条件②：，使得，即， 即，即， 令，，则， 令，， 当时，，所以. 若函数同时满足两个条件①②可得：故的取值范围为. 地 城 考点04 函数的单调性与奇偶性综合 17．（24-25高一上·北京房山·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式判断奇偶性和单调性即可. 【详解】因为在上单调递减，不合题意； 因为不是奇函数，不合题意； 因为不是奇函数，不合题意； 因为在上单调递增，且，是奇函数，符合题意. 故选：C 18．（23-24高一上·北京昌平·期末）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性与单调性判断即可. 【详解】对于选项A：关于原点对称，是奇函数，且在上单调递减，故A不正确； 对于选项B：关于轴对称，是偶函数，且在上单调递增，故B正确； 对于选项C：是非奇非偶函数，且在上单调递减，故C不正确； 对于选项D：关于轴对称，是偶函数，且在上单调递减，故D不正确. 故选：B. 19．（23-24高一上·北京怀柔·期末）若函数为偶函数，且在内是增函数，又，则的解集是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 【详解】因为函数为偶函数，且在内是增函数， 所以在上单调递减， 则可化为或， 所以或， 所以或. 故选:D. 20．（24-25高一上·北京延庆·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的定义及单调性，逐项分析判断得解. 【详解】对于A，的定义域为R，是偶函数，且在上单调递减，A是； 对于B，当时，在上单调递增，B不是； 对于C，函数的定义域为R，图象关于不对称，不是偶函数，C不是； 对于D，当时，在上单调递增，D不是. 故选：A 21．（23-24高一上·北京怀柔·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案． 【详解】对于A，，是反比例函数，是奇函数又在区间上单调递减，不符合题意； 对于B，，是幂函数，既是奇函数又在区间上单调递增，符合题意； 对于C，，是偶函数，不是奇函数，不符合题意； 对于D，，其定义域为，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意． 故选：B． 22．（24-25高一上·北京房山·期末）若函数满足：对定义域内任意的，都有，则称函数具有性质.下列函数中不具有性质的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式判断A，举反例判断B，利用作差法判断C，D即可. 【详解】对于A，任取定义域内任意的，且使， 故，， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，而，达不到取等条件， 得到成立， 即具有性质，故A错误， 对于B，令，则，， 故，， 由对数函数性质得，故， 即不具有性质，故B正确， 对于C，任取定义域内任意的，且使， ，， 故， ， ， ， ， 故成立， 即具有性质，故C错误， 对于D，任取定义域内任意的，且使， ，， 故， ， ，故成立， 即具有性质，故D错误. 故选：B 23．（24-25高一上·北京·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接判定各函数的奇偶性和单调性即可. 【详解】选项A：是偶函数，在区间上是减函数，A正确； 选项B：定义域为，为非奇非偶函数，B错误； 选项C：是偶函数，在区间上是增函数，C错误； 选项D：是偶函数，在区间上是增函数，D错误； 故选：A. 24．（23-24高一上·北京延庆·期末）下列函数中是奇函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】AB选项，根据幂函数的性质得到AB正确；C选项，不满足奇偶性；D选项，不满足单调性. 【详解】A选项，为奇函数且在R上单调递增，满足要求，A正确； B选项，的定义域为R，且，故为奇函数， 又，故在单调递增，B正确； C选项，为指数函数，结合图象可知其不是奇函数，C错误； D选项，，故当时，单调递减，D错误. 故选：AB 25．（24-25高一上·北京房山·期末）若幂函数同时具有以下三个性质：①的定义域为；②是奇函数；③当时，.则的一个解析式是 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据所学基本初等函数确定，也可以由已知性质构造一个函数满足题意． 【详解】满足题设三个性质的函数，如反比例（幂函数）（这类函数就有无数个）， 故答案为：（答案为唯一，如也是）． 26．（23-24高一上·北京怀柔·期末）从下列三个条件中： ①； ②，都有； ③，都有． 任选两个 作为条件，写出一个同时满足这两个条件的函数的解析式： ． 【答案】 ①②（答案不唯一） 【分析】根据题意，分析3个条件对应的函数性质，结合常见函数的性质分析可得答案． 【详解】根据题意， 若选择①②： 对于①，若，则为偶函数， 对于②，若，都有，则在上为减函数， 同时符合两个条件的函数可以为（答案不唯一）． 若选择①③： 对于①，若，则为偶函数， 对于③，若，所以， 同时符合两个条件的函数可以为（答案不唯一）． 若选择②③： 对于②，若，都有，则在上为减函数， 对于③，若，都有， 同时符合两个条件的函数可以为（答案不唯一）． 故答案为：①②，（答案不唯一）． ①③，（答案不唯一）． ②③，（答案不唯一）． 27．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数．请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题． 条件①：; 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分． (1)求实数k的值； (2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明； (3)设函数，指出函数在区间上的零点个数，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)在区间上单调递减，证明见解析 (3)在内有且仅有一个零点，理由见解析 【分析】（1）根据题意结合奇偶性的定义分析求解； （2）根据单调性的定义分析证明； （3）根据题意结合单调性以及奇偶性的性质判断在区间上的单调性，再结合零点存在性定理分析判断. 【详解】（1）令，解得，所以函数的定义域为， 若选①：因为，即为奇函数， 则， 整理得， 注意到对任意上式均成立，可得，解得； 若选②：因为，即为偶函数， 则， 整理得， 注意到对任意上式均成立，可得，解得. （2）若选①：则，可得， 可知函数在区间上单调递减，证明如下： 对任意，且， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上单调递减； 若选②：则，可得， 可知函数在区间上单调递减，证明如下： 对任意，且， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上单调递减. （3）若选①：则，则， 由（2）可知在内单调递减，且在定义域内单调递增， 可知在内单调递减， 又因为为奇函数，则在内单调递减， 且在内单调递减，可知在内单调递减， 结合，， 可知在内有且仅有一个零点； 若选②：则，则， 由（2）可知在内单调递减，且在定义域内单调递增， 可知在内单调递减， 又因为为偶函数，则在内单调递增， 且在内单调递增，可知在内单调递增， 结合，， 可知在内有且仅有一个零点. 28．（24-25高一上·北京·期末）设函数． (1)直接写出函数的奇偶性； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数在上的值域． 【答案】(1)奇函数 (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】(1)根据函数奇偶性的定义判断与证明即可； (2)定义法得到函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； (3)根据题意求出函数在内的单调性，然后在内求出最值，得到值域. 【详解】（1）是奇函数，理由如下： 的定义域为，且， 故是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 由题意得． 任取，且， 则． 因为，所以，，， 所以，即． 因此在上单调递减． （3）由题可知的定义域为． 因为是奇函数，且在上单调递减， 所以在上单调递减． 因为，所以，即． 所以在上的值域为． 29．（24-25高一上·北京延庆·期末）已知函数. (1)求函数的定义域、值域； (2)判断的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，求出反函数的解析式； (3)如果，求m的取值范围； (4)令，已知是偶函数，求a的值. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2)存在，理由见解析，； (3)； (4). 【分析】（1）利用对数函数求出定义域及值域. （2）确定单调性，结合反函数定义判断并求出解析式. （3）由单调性解不等式. （4）利用偶函数的定义求出参数值. 【详解】（1）函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为，值域为. （2）函数存在反函数， 函数在上单调递增，对每个函数值，都有唯一自变量与之对应，因此存在反函数， 由，得，，所以的反函数为. （3）函数在上单调递增，由，得，解得， 所以m的取值范围是. （4）依题意，，其定义域为R， 由是偶函数，得，则， 整理得，而不恒为0， 所以，即. 30．（23-24高一上·北京西城·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)用函数单调性定义证明：函数在上是减函数； (3)写出函数的值域（结论不要求证明）. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先分析定义域是否关原点对称，然后根据与的关系作出判断； （2）先取值，然后再计算的正负，由此可完成证明； （3）先根据解析式分析时的值域，再结合奇偶性可求的值域. 【详解】（1）是奇函数.证明如下： 的定义域为， 因为，都有， 且， 所以是奇函数. （2）任取，且， ， 因为，所以，， 所以， 所以， 所以函数在上是减函数. （3）函数的值域为. 证明如下： 当时，， 又因为为奇函数， 所以当时，， 综上可知，的值域为. 31．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (3)解关于t的不等式. 【答案】(1)； (2)单调递减，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义求出a的值. （2）利用指数函数的单调性判断在上的单调性即得. （3）由奇函数的性质及函数的单调性解不等式即得. 【详解】（1）函数的定义域为，由是奇函数，得， 因此，解得， 所以实数a的值为. （2）由（1）知，函数在上单调递减. 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 函数在上单调递减，所以函数在上单调递减. （3）因为函数是上的奇函数，且在上单调递减，则在上单调递减， 显然当时，，当时，， 不等式， 于是或或， 解，得，解，得无解，解，得， 所以不等式的解集为. 32．（23-24高一上·北京怀柔·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在单调性并用定义加以证明； (3)设函数（m∈R），若对，都有成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由及求解，再检验即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）由题意可得成立，当时，，求出函数在上的最大值，代入求解即可． 【详解】（1）由题意可得，解得， 此时，x∈R， 由于，满足为R上的奇函数， 所以； （2）函数在上单调递增，证明如下： 任取， 则， 因为， 所以即 所以， 即，所以， 所以函数在上单调递增； （3）由题意可得成立， 由（2）可知在上单调递增， 所以， 所以在上恒成立， 又因为，开口向上，对称轴， 所以当时， ； 所以当时，则有，解得； 当时，则有，解得，不满足，故舍去； 综上，． 地 城 考点05 分段函数 33．（17-18高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则的值是     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题中所给的分段函数解析式，将多层函数值从内向外求解，根据自变量的范围，选择相应的式子，代入求解. 【详解】因为，所以， ， 故选B. 34．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】D 【分析】利用基本函数的图象与性质，得出的图象，再结合条件及图象，即可求解. 【详解】因为，当时，，易知在区间上单调递增，且， 当时，，对称轴为，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 图象如图所示，由，得到或（舍）， 又在区间上既有最大值，又有最小值，由图知，，， 所以选项A，B和C错误，选项D正确， 故选：D. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于利用基本函数的图象与性质，求作出的图象，再数形结合，即可求解. 35．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．2 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】A 【分析】分段分析函数的取值集合，再分段确定的零点个数即可. 【详解】当时，函数在上单调递增，，显然， 而，即恒有，函数在上无零点； 当时，，函数取值集合为， 由，，得，解得或，在上有2个零点， 所以函数的零点个数为2. 故选：A 36．（23-24高一上·北京房山·期末）函数，若，则 ；若函数是上的增函数，则的取值范围是 . 【答案】 0 【分析】（1）利用分段函数的解析式，直接求值即可； （2）函数在上递增，必须函数的每一段都递增，且时，. 【详解】（1）当时，，. （2）因为函数在上递增，所以：. 故答案为：0； 37．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知函数， （1）若，则的最大值是 ； （2）若存在最大值，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】（1）若，则，由二次函数的性质可得出答案； （2）当时，由（1）知，存在最大值，当时，若存在最大值，在应单调递减，所以，即可得出答案. 【详解】（1）若，则， 当时，，所以， 则的最大值是. （2）当时，由（1）知，存在最大值， 当时，若存在最大值，在应单调递减， 所以，且当时，，无最大值， 当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以存在最大值为. 故的取值范围为：. 故答案为：；. 38．（23-24高一上·北京西城·期末）函数.若，则的值为 ；若有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】若，代入计算出的值，再计算的值；先确定出在各自定义域内各有一个零点，然后列出关于零点的不等式组，由此求解出的取值范围. 【详解】若，则； 因为均至多有一个零点， 所以在内有一个零点，在内有一个零点， 且的零点为，的零点为， 所以，由指数函数单调性可知， 所以的取值范围是， 故答案为：；. 39．（24-25高一上·北京房山·期末）已知函数 若，则 ；若有三个不同的实根，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】直接解方程即可，作出函数的图象与直线，观察可得的关系及范围，从而得结论． 【详解】得（舍去），得，因此的解为和4； 再作函数的图象，作直线，由图象可知时，有三个解，当时，，，因此， 所以， 故答案为：；． 40．（24-25高一上·北京西城·期末）已知函数，则 ；的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】代入求出函数值；利用分段函数单调性求出递增区间. 【详解】函数，则； 函数在上单调递增，在上单调递增， 而当时，， 所以函数的单调递增区是. 故答案为：； 41．（23-24高一上·北京东城·期中）已知函数，且． （1）时，函数的最小值为 ； （2）若函数的值域为R，那么实数a的取值范围是 ． 【答案】 0 【分析】（1）当，，分别求出和时，函数值的范围，即可求出结果； （2）因为时，的值域为，从而得出是函数值域的子集，即可求出结果. 【详解】（1）当，， 由解析式易知，当时，单调递减，时，单调递增， 所以，当时，，当时，， 故时，函数的最小值为. （2）因为时，的值域为， 所以是函数值域的子集， 故，解得， 所以实数a的取值范围是, 故答案为：（1）；（2）. 42．（23-24高一上·北京延庆·期末）设，函数 给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当存在最大值时，； ③存在,，使得； ④若存在两个不同的x，使得，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 【答案】②④ 【分析】作出函数的图象，由图象可得单调性，判断①，根据图象可分析出最大值存在的条件，判断②，利用极限点间距离判断③，由直线与函数的图象有两个交点求解后判断④． 【详解】作出函数的图象，如图，可见函数在上是减函数，若，则，①错误； 在时，没有最大值，在时，有最大值， 因此有最大值，则，，②正确； 由题意知点在图象中间一段抛物线上，点在右下曲线上，取，，则，③错； 若存在两个不同的x，使得，则直线与的图象有两个交点，因此，解得，④正确． 故答案为：②④．    43．（23-24高一上·北京昌平·期末）某旅行社不定期组成旅游团去风景区旅游，若旅游团人数在30或30以下（不低于20），则收取费用180元/人；若旅游团人数大于30，则给予如下优惠：每多1人，费用每人减少3元，直到达到满额50人为止（大客车限乘51人，含司机）．旅行社每次需支出成本费用3000元. (1)若旅游团人数为40，求每人应交的费用； (2)设旅游团人数为x时每人应交的费用为y元，求出y与x之间的关系式； (3)求旅游团人数x为多少时，旅行社可获得的利润L最大. 【答案】(1)150元； (2)； (3)45. 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）根据自变量的取值范围，分或列出函数解析式即可； （3）利用题中的函数解析式，结合自变量的取值范围和配方法，分段求最值，即可得到结论． 【详解】（1）若旅游团人数为40，每人应交的费用为：元； （2）当时，， 当时，， 即； （3）当时，， 当时，， 即. 当时，中随的增大而增大， 所以时，， 当时，， 即时，. 所以当旅游团人数为时，旅行社可获得的利润L最大. 44．（23-24高一上·北京怀柔·期末）已知函数． (1)求与的值； (2)做出函数的图象，并写出函数的单调递增区间； (3)若函数有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)图象见解析，单调递增区间为， (3) 【分析】（1）根据的解析式直接求解，代入和即可求解； （2）根据二次函数和对数函数的图象做出函数的图象，数形结合求出函数的单调递增区间； （3）若函数有三个零点，则函数与的图象有三个交点，数形结合求解. 【详解】（1），，. （2）作出函数f（x）的图象，如图所示： 由图象可知，函数f（x）的单调递增区间为，. （3）若函数有三个零点，则函数与的图象有三个交点， 由图象可知，即实数a的取值范围为． 地 城 考点06 函数图像与应用 45．（23-24高一上·北京昌平·期末）向一个给定的容器（如图所示）中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为，则以下函数图象中，可能是的图象的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】分析函数增长速度得到结论. 【详解】因为单位时间内注水的体积不变，结合容器的形状，水面的高度变化应该是：先逐渐变快，后逐渐变慢. 故选：C 46．（24-25高一上·北京西城·期末）将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象变换关系进行求解即可 【详解】将函数的图象向左平移1个单位，得到， 再向下平移1个单位，得到， 所以， 故选：A 47．（23-24高一上·北京昌平·期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（   ） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 【答案】D 【分析】变形函数解析式，再与指定函数比对即得. 【详解】函数化为：，显然把函数的图象下移2个单位长度即得的图象， 所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向下平移2个单位长度. 故选：D 48．（24-25高一上·北京延庆·期末）方程的实数解个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性结合零点存在定理可判断解的个数. 【详解】原方程等价于即， 设， 因为均为上的减函数，所以为上的减函数， 而，， 所以为上仅有一个零点即原方程只有一个实数解. 故选：B 49．（24-25高一上·北京房山·期末）函数的零点个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为指数函数与二次函数交点个数问题即可. 【详解】令，则， 在同一坐标系作出两函数图象，    从图像知当时，两函数有1个交点，则在上有1个零点， 又，所以也是的两个零点， 且在时，指数函数增长快于，则后面两函数不会有交点， 则总共有3个零点， 故选：D 50．（23-24高一上·北京怀柔·期末）下列区间中，一定存在函数零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出函数的单调性，根据零点存在定理判断即可． 【详解】因为函数，， 又因为与在上均单调递增， 所以函数在上单调递增， 又因为，， 所以函数的唯一零点在区间内． 故选：B． 51．（24-25高一上·北京西城·期末）已知函数．下列区间中包含零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理判断得解. 【详解】函数， 当时，，则，， ，因此在区间内有函数的零点， 当时，，， 当时，，， 所以数的零点在区间内. 故选：B 52．（23-24高一上·北京·期末）已知函数的单调递增区间是，单调递减区间是的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合函数单调区间，由零点存在定理判断零点个数. 【详解】已知函数的单调递增区间是，单调递减区间是， ，， ， ，，， 时，恒成立， 所以在区间上各有1个零点，零点个数为3. 故选：C 53．（23-24高一上·北京·期末）为（    ） A．空集 B．元素个数不超过10的非空集 C．元素个数超过10的有限集 D．无限集 【答案】B 【分析】根据集合的概念和性质，以及对数的运算和图象即可判断． 【详解】， 当，当， 如图：    当时，； 当时，， 又，故集合为元素个数不超过10的非空集， 故选：B. 54．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知命题：若二次函数满足，则在区间内无零点.能说明为假命题的一个函数是 . 【答案】（答案不唯一，，满足时，或时，即可） 【分析】令，根据条件，先假设在区间内有零点，利用二次函数根的分布，建立的不等关系，通过取值，即可求解. 【详解】令，由得到， 当时，假设在区间内有零点，则有①， 不妨取，显然满足①式，此时， 令，得到， 所以，满足，但在区间内有零点，故满足题意， 当时，假设在区间内有零点，则有②， 不妨取，显然满足②式，此时， 令，得到， 所以，满足，但在区间内有零点，故满足题意， 故答案为：（答案不唯一，，满足时，或时，即可）. 55．（24-25高一上·北京·期末）已知命题p：若二次函数满足，则在区间内无零点．能说明p为假命题的一个二次函数是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的零点进行分析，从而确定正确答案. 【详解】为假命题，则二次函数满足，且在区间内有零点， 如，， 且在区间内有零点. 故答案为：（答案不唯一） 56．（24-25高一上·北京·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.若茶水原来的温度是，经过分钟后的温度是，满足，其中表示室温，是由物体和空气接触状况而定的常数.在室温恒为的房间中，已知一杯的茶水，测得温度降到50℃需要10分钟，则这杯茶水还需要继续放置 分钟，茶水温度才降至35℃达到最佳饮用口感. 【答案】10 【分析】把温度变为和的数据代入已知公式，两式比较可求得结论． 【详解】由题意温度降到50℃时， 温度降到35℃时，， 所以，所以， , 故答案为：10. 57．（24-25高一上·北京·期末）2024年1月11日，我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使用引力一号遥一商业运载火箭，将搭载的云遥一号18-20星3颗卫星顺利送入预定轨道，飞行试验任务获得圆满成功，引力一号运载火箭首飞即采用难度较高的海上发射，刷新了全球运力最大固体运载火箭、我国运力最大民营商业运载火箭纪录，进一步丰富了我国运载火箭型谱.1903年前苏联（俄罗斯）航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今多年来所有大小火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为. (1)当该型号火箭的质量比为10时，求该型号火箭的理想速度； (2)经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度增加，求该火箭在技术和材料改进前的质量比. （两问结果均保留一位小数，参考数据：） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将给定数据代入公式计算即得； （2）利用给定信息列出不等式求解． 【详解】（1）依题意，； （2）技术改进前的理想速度， 技术改进后的理想速度， 要使火箭的理想速率至少增加， 则，即， ，， 所以， 所以该火箭在技术和材料改进前的质量比为 58．（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出货车每小时的运输成本及行驶时间即可得函数关系. （2）借助对勾函数单调性探讨最小值，即可得解. 【详解】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 59．（23-24高一上·北京怀柔·期末）某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为y=ax2+3000，且当年产量是100吨时，总成本为6000万元．平均成本=． (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本； (2)若企业每吨产品的出厂价为90万元，当年利润不少于3000万元时，则该生产线年产量的最小值应为多少吨？（利润=销售额-成本） 【答案】(1)100吨， 60万元 (2)100吨 【分析】（1）由题意可知，当x=100时，y=6000，由此可求出a的值，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知，年利润，令，求出x的取值范围即可． 【详解】（1）当年产量是100吨时，总成本为6000万元， 所以，解得， 所以， 所以生产每吨产品的平均成本为， 当且仅当，即x=100， 所以当年产量为100吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低成本为60万元； （2）由题意可知，年利润， 令，得， 解得：， 所以该生产线年产量的最小值应为100吨． 60．（24-25高一上·北京·期末）已知二次函数，其中. (1)若的最小值为，求的值； (2)若有两个不同的零点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析． 【分析】（1）根据二次函数性质求解； （2）利用韦达定理把不等式左边表示为的函数，再结合基本不等式可证． 【详解】（1）， 所以，解得（负值舍去）； （2）由题意的两根为且， 所以，因为，故解得， ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 61．（24-25高一上·北京·期末）设函数，关于x的不等式的解集为． (1)当时，求解集S； (2)是否存在实数a，使得？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． (3)求函数的零点． 【答案】(1) (2)存在， (3)答案见解析 【分析】（1）将代入函数解析式，由得关于的一元二次不等式，求解即可； （2）将一元二次不等式解集的端点值转化为一元二次方程的解，利用韦达定理求解即可； （3）令，得方程，先根据是否等于零分类讨论，再结合一元二次方程的判别式，求根公式求解即可. 【详解】（1）当时，函数． 由，得，即，解得． 所以解集． （2）假设存在实数，使得， 则，并且，是方程的两个根， 所以，解得． 因此，存在，使得． （3）令，得关于的方程． ①当时，有，解得． ②当时，关于的一元二次方程的判别式为． （ⅰ）当，即时，方程无实数解； （ⅱ）当，即时，解得； （ⅲ）当，即且时，解得． 综上所述，当时，没有零点； 当时，的零点为； 当时，的零点为； 当且时，的零点为和． 62．（23-24高一上·北京西城·期末）已知函数. (1)求函数的零点； (2)求函数的图象与函数的图象的交点坐标； (3)若函数的图象恒在直线的下方，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指对数的运算求解即可； （2）代入可得，再整理成关于的二次方程求解即可； （3）化简令，可得，其中恒成立，再结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）令， 所以，即， 所以， 所以零点为. （2）令， 即， 所以， 整理得， ， 所以，. 所以函数的图象与函数图象的交点坐标为. （3）由得.   由题意，在恒成立， 即在恒成立. 所以在恒成立. 令， 则， 所以. 因为， 所以， 所以，. 所以的取值范围为. 地 城 考点07 函数新定义 63．（23-24高一上·北京·期末）已知函数的定义域为，若对任意的正实数，函数在上单调递增，则称函数具有性质，给出下列四个结论： ①在上单调递增，则具有性质； ②具有性质不具有性质； ③具有性质不具有性质； ④若函数具有性质，且，则． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】举反例可判断①；根据函数具有性质可判断②③；根据函数具有性质，且单调递增可判断④. 【详解】对于①，设，在上单调递增，对任意的正实数， 则在上不单调递增，故不具有性质， 故①错误； 对于②，当时，对任意的正实数，，在上单调递增， 所以具有性质；当时， 对任意的正实数，， 在上单调递增， 所以不具有性质，故②正确； 对于③，当时，对任意的正实数， ，因为时，， 所以在上单调递增，所以具有性质； 当时，对任意的正实数， ，因为时，， 所以在上单调递增，所以具有性质； 故③错误； 对于④，若函数具有性质，且， 则函数在上单调递增，当时，时， 所以， 因为，令，则有， 即，故④正确. 故答案为：②④. 64．（23-24高一上·北京西城·期末）记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. ①所有偶函数都具有性质； ②具有性质； ③若，则一定存在正实数，使得具有性质； ④已知，若函数具有性质，则. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】利用性质可判断①；利用基本不等式结合性质可判断②；根据函数的值域可判断③；根据已知条件可得出可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围，可判断④. 【详解】对于①，设函数是定义在上的偶函数， 对任意的，，所以，所有偶函数都具有性质，①对； 对于②，对任意的，， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故对任意的，， 所以，具有性质； 对于③，因为， 且函数的值域为，所以，不存在实数，使得，③错； 对于④，， 因为，易知，因为，则，则， 所以，，即，所以，， 要使得恒成立，则， 又因为，则， 所以，若函数具有性质，则，④对. 故答案为：①②④. 65．（24-25高一上·北京·期末）已知函数的定义域为，下列命题中 ①若，则函数在上单调递增； ②若，则函数是奇函数； ③若，则函数是周期函数； ④若且，则函数在上单调递增，函数在上单调递减. 所有正确命题的序号是 . 【答案】②③④ 【分析】令可判断①，利用奇函数定义判断②，由周期函数定义判断③，根据函数单调性的定义判断④． 【详解】对于①，令，满足， 但，，所以在R上不是增函数，①错； 对于②，令，则，所以，即，是奇函数，②正确； 对于③，， 所以，所以，即，所以是周期为的周期函数，③正确； 对于④，且， 因为在上是增函数，所以，， 所以， 所以且， 所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，④正确． 故答案为：②③④． 66．（24-25高一上·北京·期末）对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”．已知函数 （1）若，则函数是“ 阶准偶函数”； （2）若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是 ． 【答案】 2 【分析】（1）根据“阶准奇函数”的定义，可将问题转化为的根的问题； （2）根据“阶准偶函数”定义，分，，三种情况分析即可得答案. 【详解】①当时，函数，的取值为，的取值为，即，根据题意得,解得或， 则集合中恰有个元素， 故是“阶准偶函数” ②根据题意，函数是“阶准偶函数”， 则集合中恰有个元素， 当时,是“阶准偶函数”，不合题意； 当时，函数的图像如图①所示， 根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为，的可能取值为， 由题意知， 所以解得或 要使得集合中恰有个元素，则需要满足， 即 当时，函数的图像如图②所示， 根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为或，为， 由题意知， 当，解得不符合题意 当，解得或， 要使得集合中恰有个元素，则需要满足. 综上，若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是. 故答案为：2；范围是. 67．（24-25高一上·北京西城·期末）给定函数．若曲线上任意一点的坐标满足，则称函数具有“线性控制”性质．给出下列四个函数： ①；                            ②； ③；                    ④ 其中具有“线性控制”性质的函数的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】对于①，直接利用题设定义，即可判断；对于②，由，当时，，即可判断；对于③，利用基本函数的图象与性质，在同一坐标系中作出和，借助图象即可判断；对于④，在同一坐标系中作出和的图象，数形结合，即可求解. 【详解】对于①，当时，因为恒成立，所以具有“线性控制”性质， 对于②，当时，因为， 当时，，此时，即，所以不具有“线性控制”性质， 对于③，令，在同一坐标系中作出和的图象， 由图1知与相交于，不妨设点的横坐标为，易知当时，， 所以当时，不成立，故不具有“线性控制”性质， 对于④，令，在同一坐标系中作出和的图象，如图所示， 由图知，当时，的图象恒在下方，即， 所以具有“线性控制”性质， 故答案为：①④. 68．（23-24高一上·北京房山·期末）若，对，都有成立，则称函数在上具有性质. (1)分别判断函数与在区间上是否具有性质，如果具有性质，写出的取值范围； (2)若函数在上具有性质，求实数的取值范围. 【答案】(1)详见解析； (2). 【分析】（1）根据题意结合调性与最值分析判断； （2）令，由题意可得对，都有.方法1：利用参变分类结合恒成立问题分析求解；方法2：先取特值，求得，进而根据二次函数分析求解；方法3：分类讨论二次函数对称轴与区间的关系，结合恒成立问题分析求解. 【详解】（1）因为在上是单调递增的函数，在上是单调递减的函数， 则在上是单调递增的函数，可得， 任意，当时，， 所以函数在区间上不具有性质. 因为在区间上单调递减， 由可得，则，所以， 所以，对，， 即函数在区间上具有性质，且的取值范围是. （2）因为函数在上具有性质， 即对，都有， 且， 令， 可得对，都有， 方法1：，都有， 设，，可得，， 因为在区间上单调递增，在区间上单调递增. 则，.可得， 所以的取值范围为. 方法2：对，都有， 可得，解得， 若，函数的对称轴为， 则在上单调递减， 所以，即， 所以的取值范围为. 方法3：函数的对称轴为， 以对称轴与区间的关系分，，三种情况. （i）当时，，解得； （ⅱ）当时，，不合题意，舍去； （ⅲ）当时，，不合题意，舍去； 综上所述：的取值范围为. 69．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数的定义域均为，给出下面两个定义： ①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换； ②若对任意的，均有，则称与关于任意交换． (1)请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由； (2)设，若存在函数，使得与关于任意交换，求b的值； (3)在（2）的条件下，若与关于唯一交换，求a的值． 【答案】(1)唯一交换，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据方程解的情况判断即可； （2）根据“对任意的，成立”得到关于的方程，然后设出的解析式，根据方程左右两边对应项相同求解出的值； （3）根据条件通过分离参数将问题转化为“存在唯一实数，使得”，然后分析的奇偶性，从而确定出，由此可求的值. 【详解】（1）与关于是唯一交换，理由如下： 因为，， 令，所以，解得， 所以有唯一解， 所以与关于是唯一交换. （2）由题意可知，对任意的，成立， 即对任意的，； 因为为函数，且，故， 故， 即， 所以， 综上所述，. （3）当时，， 因为与关于唯一交换， 所以存在唯一实数，使得， 即存在唯一实数，使得， 即存在唯一实数，使得； 令，且定义域均为， 又，， 所以都是偶函数，所以为偶函数， 因此，若存在唯一实数使得，只能是， 所以， 综上所述，的取值为. 【好题推送】 70．（22-23高三上·北京朝阳·期中）现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数来表示.下列结论正确的是（    ） A．若，则函数为奇函数 B．若，则函数有最小值 C．若，则函数为增函数 D．若，则函数存在零点 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性、单调性、最值以及零点的判断和求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：取，满足，此时， 其定义域为，关于原点对称，且，此时为偶函数，故A错误； 对B：，令，故若存在最小值，则有最小值， 因为，故，根据对勾函数的单调性可知，有最小值，无最大值， 故当时，有最大值没有最小值，故B错误； 对C：当时，满足，又是单调减函数，是单调减函数， 故是单调减函数，故C错误； 对D：令，即，则，因为，故， 解得，故当，即为函数零点，故D正确. 故选：D. 71．（24-25高一上·北京西城·期末）已知是定义域为的奇函数，满足，且当时．给出下列三个结论： ①； ②函数在区间内有且仅有3个零点； ③不等式的解集为，． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意确定函数的周期，再结合当时，逐个判断即可； 【详解】由题意， 所以，所以，①正确； 再结合，可得：， 所以的周期为2， 由时，， 结合奇函数性质可知：当， 所以在一个周期内，的解集为， 在结合函数周期为2，可得：的解集为：，；③正确； 通过，令，可得，则， 结合函数的周期为2，在内，结合函数值的正负情况有， 所以函数在区间内有且仅有5个零点；②错误； 故选：C 72．（24-25高一上·北京石景山·期末）函数满足，给出下列三个结论： ①； ②； ③． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】利用赋值法可判断①②；根据已知条件得出，再结合以及等式的可加性可判断③. 【详解】在等式中，令，可得， 在等式中，令中，可得，故①错误； 在等式中，令，可得， 在等式中，令中，可得， 所以，故②正确； 因为，则， 所以，又因为， 上述两个等式相加可得，故③正确. 故答案为：②③. 73．（24-25高一上·北京房山·期末）已知函数的定义域为，对任意实数，都有，且当时，. (1)求； (2)证明：当时，； (3)当时，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）令，，由已知等式可得； （2）设，由题意可得，则得，再结合，可得； （3）原不等式等价于，利用单调性可得，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数的定义域为，对任意实数都有， 且当时，， 所以当，时，，即， 所以. （2）因为当时，，所以， 即，由（Ⅰ）知，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以. （3）任取，且， 则， 由已知条件及（1），（2）可知，. 又因为，所以.所以， 所以.所以， 所以， 所以函数的是上的减函数， 当时，不等式转化为. 因为函数的是上的减函数， 所以不等式转化为 ，即，解得， 所以实数的取值范围是或. 74．（11-12高二下·浙江·期末）已知函数（）在区间上有最大值4和最小值1.设. (1)求，的值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求函数的对称轴，利用二次函数的性质判断函数在区间上的单调性，利用最值求参数a和b； （2）将原不等式转化为求函数的最值. 【详解】（1）的对称轴为，因为， 所以在区间上的单调递增， 所以，， 解得，. （2），， 因为不等式在上有解，令， 则在上有解，代入得，即， 令，则在上有解， 因为在处取得最大值1，所以，实数的取值范围. 75．（23-24高一上·北京西城·期末）对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合. (1)分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由， ①；②； (2)若（）是集合中的元素，求的最小值； (3)若，求证：是的充分不必要条件. 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3)证明见解析 【分析】（1）判断①时，取结合定义进行分析；判断②时，根据的结果进行分析； （2）分别考虑： ，然后根据定义结合对数运算以及对数函数单调性分析出时，时，由此可确定出的最小值； （3）根据定义直接分析充分性，证明必要性成立时取，然后分析在上的单调性，由此推出矛盾完成证明. 【详解】（1）①不是. 当时，， ， 所以不是集合中的元素； ②是. ，， 所以是集合中的元素. （2）当时，，， ， 因为，在上单调递减， 故成立，即； 若，令，， ， 因为，在上单调递减， 所以，因此， 综上所述，的最小值为1. （3）充分性：因为，所以，，，进而， 同理，相加得，即，所以充分性满足； 必要性：设，，， 所以，此时，当时，， 所以在上单调递减，因此，所以必要性不满足； 综上所述，是的充分不必要条件. 76．（23-24高一上·北京西城·期末）已知函数，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使存在并且唯一，并完成下列问题. (1)求的值； (2)已知函数有两个不同的正数零点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 条件①：；条件②：，；条件③：，. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)条件选择见解析， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）若选条件①②：先计算出的值，再根据对称轴求解出，则结果可知；若选条件①③：先计算出的值，再根据最小值确定出对称轴，所以可求，则结果可知，若选择②③，则根据二次函数的性质可知存在但不唯一； （2）（i）先表示出，然后根据二次函数的零点分布列出不等式组，由此求解出的取值范围；（ii）根据以及（i）中的范围求解出的值. 【详解】（1）若选择条件②③：则根据二次函数的性质可知，存在但不唯一； 若选条件①②： 由①得， 由②得图象的对称轴为直线， 所以，所以，满足要求； 若选条件①③： 由①得， 由③得为的最小值， 所以对称轴，所以，满足要求. （2）由（1）知， 所以； （ⅰ）因为有两个不同的正数零点， 所以， 所以或，解得， 所以的取值范围是. （ⅱ）因为，所以， 又因为，所以. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02函数基本性质与应用（七大题型+好题推送) ☆1大高频考点概览 考点01函数定义域 考点02函数单调性 考点03函数奇偶性 考点04函数的单调性与奇偶性综合 考点05分段函数 考点06函数图像与应用 考点07函数新定义 目目 考点01 函数的定义域 1.(2425高-上北京期未)函数f)=2的定义城为 2.(23-24高一上北京期末)函数f()=1g(x-1)+ x-2的定义域为一 3.(2324高一上北京怀柔期末)函数fw)=10g,(x+2)+的定义域是（） A.{xx≥-2 B.{xx>-2 C {xx≥-2x≠0y 且. D.x|x>-2nx≠0g 且. 4.(23-24高一上北京昌平·期末)函数 1+lg(x+3) 的定义域为 5.(2324高-上北京石景山期未)函数y=gx-2刘+的定义规为一 6.(2425高一上·北京房山期末)函数)一3+1g(5-0的定义域为一 1-x 7. (24-25高一上·北京·期末)函数y=血1+x的定义域是 e 考点02 函数单调性 1/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 8.(23-24高一上北京石景山期末)下列函数中，在区间 0,+0)上单调递增的是（) A.y=() B.y=(x-1)2 C.y=-x+1 D.y=x 9.(23-24高一上北京房山期末)下列四个函数中，在0+切)上单调递减的是《) A.=vr B.y=-2+x C.y=2 D.y=-log2 10,(2425高一上北京西接期未)已知函数)--是，若/心-0+)<0，则实数，的取值范国- 1.。(2425高一上北京西被期末)已知函数八-，2，其中≠0 )证明： f(=x)+f(x)=a 2若在心，+0)上单调递减，求“的取值范围； 6)求口在区间-，2上的取值范围。 12.（23-24商-上北京期未)心知压数八受的图像过点( (1)求实数m的值： 2判断八在区间 -o,-1 上的单调性，并用定义证明： 考点03 函数奇偶性 13. (23-24高一上北京期末)已知f=e+e.若f0)=3,则实数a=:若y=f儿的图像 关于原点对称，则实数a=一 14.(2425高一上北京石景山期未)已知)是定义在R上的奇函数，且当<0时，f)=3x-2x, 则当x>0时，fx)=一· 2/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 15.(23-24高一上北京房山期末)已知函数 f(x)=l0g (2+x)+log;(2-x) )求 的定义域： 2判断f 的奇偶性，并证明； ③)解关于*的不等式f≥1 16,（2324高一上北京石景山期末)已知函数(=e+a©，其中为自然对数的底数，a∈R. ①)若0是函数四的一个零点，求“的值并判断函数刊的奇偶性： 2诺函数（同时满足以下两个条件，求“的取值范围 条件①：r∈R, 都有（刘>0 条件②： ,-1,使得≤4 目目 考点04 函数的单调性与奇偶性综合 (-0,+00) 17.(24-25高一上·北京房山期末)下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是() A.f(x)=x3 B.f(x)=2 C.f(x)=x3 D.f(x)=lgx (0,+0) 18.(23-24高一上北京昌平·期末)下列函数中，是偶函数且在 上单调递增的是() A.y= x B.y=x2-1 C.y=2 D.y=log 2 19.(23-24高一上北京怀柔期未)若函数为偶函数，且在0+0内是增函数，又川-2列=0，则 xf(x)>0 的解集是() A.（-2,0u(0,2 B.（-0,-2U(0,2) C.(-∞，-2u(2,to D.（-2,0U(2,+∞j 3/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (-0,0) 20.(24-25高一上·北京延庆·期末)下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的是() A.y=x3 B.y=( C.y=x2-x D.y=log 2 21.(23-24高一上·北京怀柔·期末)下列函数中，既是奇函数又在区间 0,+∞)上单调递增的是（） A.f)= B.f(x)=x3 C.f(x)=log D.J(x)=Vx 22.(2425高一上北京房山期未)若函数0满足：对定义域内任意的 玉，G≠)，都有 心)>1心三)，则称函数具有性质H下列函数中不具有性质H的是（） 2 A.=(令 B.f(x)=log2x C.fx)=x2(x≥0) D.f(x)=-(x>0) 0,+00) 23.(24-25高一上·北京·期末)下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的是() A.y=x2 B.ylog 2 C.y=24 D.y=x2 24.(23-24高一上北京延庆期末)下列函数中是奇函数且在0，+)上单调递增的是(） A.y=x3 B.y=x3 C.y=er D.y=n (x) f(x) 25.(24-25高一上北京房山期末)若幂函数同时具有以下三个性质：①的定义域为 (-oo,0)U(0,+o)。f(x) ② 是奇函数：③当<0时，<0则； 的一个解析式是一 26.(23-24高一上·北京怀柔·期末)从下列三个条件中： 4/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 of-刘=fy, fx-f八x<0 ②x,x2∈(0，+0)，都有 x1-x2 ③x,x2∈(0，+0)，都有 2 任选两个一作为条件，写出一个同时满足这两个条件的函数的解析式： f(x)=In(1-x)+k In(1+x) 27.(23-24高一上·北京海淀·期末)已知函数 请从条件①、条件②这两个条件 中选择一个作为己知，解答下面的问题， f(x)+f(-x)=0 条件①： 条件②：f(x)-f(-x)=0, 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分 (1)求实数k的值： 2)设函数F(9=0-1+ ，判断函数 F刊在区间(Q,少上的单调性，并给出证明： 3)设函数8(0=f)+x+21k1 指出函数80在区间一1.0上的零点个数，并说明理由。 28.(24-25高一上北京·期末)设函数 a-. f(x) (1)直接写出函数 的奇偶性： f(x),(0+o) (2)判断函数 在 上的单调性，并用单调性的定义证明； (x),[-2,-1] (3)求函数 在 上的值域. f(x)=1g(x+1) 29.(24-25高一上·北京延庆·期末)已知函数 f(x) (1)求函数 的定义域、值域； (x) (2)判断 的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，求出反函数的解析式： 5/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 f(2m)<f(m+2) (3)如果 求m的取值范围： ④令8)=f10)+2a,已知80是偶函数，求u的值， 30.(23-24高一上北京西城期末)已知函数10)=11+ f(x) ()判断函数的奇偶性，并证明你的结论： (2)用函数单调性定义证明：函数f在0，+w 上是减函数； f(x) (3)写出函数 的值域（结论不要求证明）. (23-24高一上北家昌平·期末)已知函数)=，一+0是奇函委 (1)求实数a的值： f(x) 0,+00) (2)判断函数在区间 上的单调性，并说明理由： f(1-3t)+f(t-2)<0 (3)解关于t的不等式 23-24高一上北京怀柔期末)已知函数)十是定义在R上的奇函数，且f正 )求函数f( 的解析式： 2判断函数八在-1山单调性并用定义加以证明： 3)设函数8(=2-2mr+4 (m∈R),若 对c0则，3五，c0,都有8≤f)+2 成立，求m的 取值范围， 目目 考点05 分段函数 log;x,x>0 f(x)= 33.(17-18高一上·黑龙江哈尔滨期中)已知函数 3,x≤0，则兮》的值是 1 A.9 B.9 C.9 D.-9 6/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 2,x≤1 34。(24-25高一上北京海淀期末)已知函数= x2-4x,x>1,若fx)在区间(a,b)上既有最大值， 又有最小值，则下列说法正确的是() A.a有最小值 B.a有最大值 C.b有最小值 D.b有最大值 f(x)= e* 2rs0 35.(23-24高一上·北京昌平期末)己知函数 n,x>0，则函数g()=fx)-k(0<k≤)的零 21 点个数为() A.2 B.1或2 C.3 D.1或3 3-a)x-l,x<1 36.(23-24高一上北京房山期未)函数= log。x,x≥1，若a=4,则f(f(-2)=一：若函 数)是-0+切)上的增函数，则“的取值范围是 -x2+ax+l,x≤1 37.(23-24高一上北京石景山期末)已知函数/)= ax,x>1 1)若a=0,则f 的最大值是一： (2)若存在最大值，则“的取值范围为一 log2x-a,x >1 38。（23-24高一上北京西城期末)函数)- x-a,x≤1.若a=0,则f八f2)的值为一；若f(x 有两个零点，则a的取值范围是一 x2,x≤1， 39。(24-25高一上北京房山期末)已知函数)= log2x,x>1.若f(x)=2,则x=一；若f)=m有 三个不洞的实根，西，且满足<无<。，则低+m+听的取值范围是一· 7/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 x2,x≥0 40.(24-25高一上北京西城期未)已知函数/)= x-1,x<0,则f(①)+f(-1)=一；f(x)的单调递增 区间为一 2-4aa+a,x<1 41.(23-24高一上北京东城期中)已知函数()= lnx,x≥1 ,a>0且a≠1 (1)a=4时，函数f(x的最小值为一： (2)若函数的值域为R,那么实数a的取值范围是一 x+2,x<-0.5, 42.(23-24高一上北京延庆·期末)设 ,函数f儿-口_-05≤≤给出下列四个结论： a>0 -x-I,x>a. @y (a-1,+o) 在区间】 上单调递减： ②当f(x)存在最大值时，aV6 Γ2； ®存在M,fM-0.5≤≤@，Nx,fx>四，使得MNK1 ④若有在两个不同的，使得)- 67 2,则a的取值范围是22 其中所有正确结论的序号是 43.(23-24高一上北京昌平·期末)某旅行社不定期组成旅游团去风景区旅游，若旅游团人数在30或30 以下（不低于20），则收取费用180元/人：若旅游团人数大于30，则给予如下优惠：每多1人，费用每 人减少3元，直到达到满额50人为止（大客车限乘51人，含司机）.旅行社每次需支出成本费用3000元. (1)若旅游团人数为40，求每人应交的费用； (2)设旅游团人数为x时每人应交的费用为y元，求出y与x之间的关系式： (3)求旅游团人数x为多少时，旅行社可获得的利润L最大 [x2+4x+3,x≤0 4。(23-24高一上北京怀柔期末)已知函数)= log;x,x>0 8/17 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 5 4 3 2 -5-4-3-21-10 1 2345 、 )求f0与f0)的值： (2)做出函数x 的图象， 并写出函数x 的单调递增区间： (3)若函数8(x)=f(x-a 三个零点，求实数“的取值范围。 考点06 函数图像与应用 45. (23-24高一上·北京昌平·期末)向一个给定的容器（如图所示）中倒水，且任意相等的时间间隔内所 倒的水的体积相等，记容器内水面的高度y随时间：变化的函数为'=， 则以下函数图象中，可能是 y=f(④的图象的是（） 9/17 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 上∠上 46。（24-25高一上北京西城期末)将函数’=e 的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到 函数八的图象，则八川=（） A.e-1 B.e*+1 C.e*2-1 D.e2+1 47.《23-24高一上·北京昌平·期末)为了得到函数y=lg0的图象，只需把函数y=gx的图象上所有的 点() A.向左平移2个单位长度 B.向右平移2个单位长度 C.向上平移2个单位长度 D.向下平移2个单位长度 +3=4 48.(24-25高一上·北京延庆·期末)方程 的实数解个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 49。（24-25高一上·北京房山期未)函数)=2- 的零点个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 50.(23-24高一上北京怀柔·期末)下列区间中，一定存在函数 八x=e+x-4 零点的是() A.(0) B.(1,2 c.(2,3 D.(34列 51.(24-25高一上北京西城期末)已知函数()=x-x+1 下列区间中包含的零点的是（) A.（-2-1 B.(L,0) c.(0,1 D.1,2 52。(23-24高一上北京期末)已知函数f()=r(x-3引c+1的单调递增区间是-c,0,3-√5,3+5， 10/17