专题05 统计与概率（五大题型+好题推送）（期末真题汇编 ，北京专用）高一数学上学期人教B版

专题06 统计与概率（六大题型+好题推送） 6大高频考点概览 考点01 随机抽样 考点02 统计相关数值（平均数、方差） 考点03 频率分布直方图 考点04 茎叶图 考点05 古典概型 考点06 独立事件的概率 地 城 考点01 随机抽样 1．（24-25高一上·北京延庆·期末）某科研院所共有科员人员800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的240人，无职称的80人，欲了解该科研院所科研人员的创新能力，决定采取分层抽样的方法抽取样本，其中含无职称的8人，则共抽取（   ） A．20人 B．40人 C．60人 D．80人 2．（24-25高一上·北京房山·期末）某单位共有名职工，其中岁以下的有人，-岁的有人，岁及以上的有人.现用分层抽样的方法，从中抽取名职工进行问卷调查，则抽取的岁及以上的职工人数为 . 3．（24-25高一上·北京·期末）某市准备建一个体育文化公园，针对公园中的体育设施，某社区采用分层随机抽样的方法对成年居民进行了调查．已知该社区青年居民有840人，中年居民有700人，老年居民有560人．若从中年居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是（   ） A．200 B．250 C．280 D．300 4．（24-25高一上·北京石景山·期末）某田径队有运动员人，其中男运动员人，女运动员人．为了解该田径队运动员的睡眠情况，采用分层抽样的方法获得一个容量为的样本，那么应抽取男运动员的人数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·北京房山·期末）为估计某森林内松鼠的数量，使用以下方法：先随机从森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号后放回森林.再随机从森林中捕捉50只，若尾巴上有记号的松鼠共有5只，估计此森林内约有松鼠 只. 6．（23-24高一上·北京海淀·期末）某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（    ） A．150人 B．200人 C．250人 D．300人 7．（23-24高二上·湖北武汉·月考）某中学高三年级共有学生800人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有女生11人，则该校高三年级共有男生（    ）人 A．220 B．225 C．580 D．585 8．（24-25高一上·北京海淀·期末）某校高一年级有名男生，名女生.为了解高一学生研学路线的选择意向，采用分层抽样的方法，从该校高一学生中抽取容量为的样本进行调查，其中女生名，则的值为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 统计相关数值（平均数、方差） 9．（24-25高一上·北京延庆·期末）已知甲、乙两组数可分别用图（1）、（2）表示，记甲、乙两组数的平均数和方差分别为、、、，则它们的大小关系是（   ）    A．， B．， C．， D．， 10．（24-25高一上·北京西城·期末）甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下： 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 甲地 19 17 8 4 6 4 9 乙地 20 17 11 10 9 9 11 记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为．根据上述信息，下列结论中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（24-25高一上·北京西城·期末）甲乙两人独立的掷一枚质地均匀的骰子，骰子向上的点数可能是中的某一个数，设甲掷出的点数为，乙掷出的点数为，求： (1)求为奇数的概率； (2)求的概率； (3)若甲乙两人各掷出骰子5次，的值依次为：；的值依次为：1，3，4，6，5；试比较两组数据的均值和方差的大小（直接写出结论，不必写过程） 12．（23-24高一上·北京房山·期末）甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击10次，两人的测试成绩如下表： 甲的成绩 乙的成绩 环数 6 7 8 9 10 环数 6 7 8 9 10 频数 1 2 4 2 1 频数 3 2 1 1 3 甲、乙两人成绩的平均数分别记作，，标准差分别记作，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 13．（23-24高一上·北京房山·期末）有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，下面有四个结论： ①，，，的中位数等于，，…，的中位数； ②，，，的平均数等于，，…，的平均数； ③，，，的标准差不大于，，…，的标准差； ④，，，的极差不大于，，…，的极差. 则所有正确结论的序号是 . 14．（23-24高一上·北京·期末）某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下： 甲  8.1  7.9  8.0  7.9  8.1 乙  7.9  8.0  8.1  8.5  7.5 记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为，则： （填“>”，“=”或“<”）． 15．（23-24高一上·北京石景山·期末）甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下： 甲队 88 91 93 96 乙队 89 94 97 92 (1)在4次比赛中，求甲队的平均得分； (2)分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，求这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率； (3)甲，乙两队得分数据的方差分别记为，，试判断与的大小（结论不要求证明） 16．（23-24高一上·北京西城·期末）2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，成为纪念“一带一路”倡议十周年最隆重的活动.此次活动主题为“高质量共建‘一带一路’，携手实现共同发展繁荣”，而作为“一带一路”重要交通运输的中欧班列越来越繁忙.下表是从2018年到2022年，每年中欧班列运行的列数（单位：万列）. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 运行列数 0.63 0.82 1.24 1.5 1.6 (1)计算中欧班列从2018到2022年的平均运行列数； (2)从2018年到2022年这5年中随机选取2年，求这两年运行列数和大于2.4（单位：万列）的概率； (3)设2018年，2019年，2020年运行列数的方差为，2020年，2021年，2022年运行列数的方差为，从2018年到2022年这5年的运行列数的方差为，试判断，，的大小关系.（结论不要求证明） 地 城 考点03 频率分布直方图 17．（24-25高一上·北京·期末）一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． (1)求的值； (2)（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间； （ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率． 18．（23-24高一上·北京怀柔·期末）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周体育锻炼时间（单位：小时）的数据，整理得到频数分布表．从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周体育锻炼时间不少于12小时的概率是 ． 组号 分组 频数 1 6 2 8 3 17 4 22 5 25 6 12 7 6 8 3 9 1 合计 100 19．（23-24高一上·北京怀柔·期末）亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功亚运会的重要保障，为确保第19届亚运会在杭州顺利举行，2023年5月22日杭州亚运会赛会志愿者全球招募启动活动在浙大城市学院举行．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了100名候选者的面试成绩，绘制成如图所示频率分布直方图． (1)求直方图中x的值； (2)根据频率分布直方图估计样本数据的众数及中位数； (3)若在成绩为[80，90），[90，100]的两组人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中任意抽取2人分别安排去乒乓球场馆和跳水场馆志愿服务，求去乒乓球场馆服务的志愿者成绩在[90，100]的概率． 20．（24-25高一上·北京房山·期末）供电部门对某社区位居民年月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量（单位：度）分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（     ） A．在这位居民中，月份人均用电量人数最多的一组有人 B．在这位居民中，月份人均用电量不低于度的有人 C．在这位居民中，月份人均用电量为度 D．从这位居民中，任选位担任安全用电宣传员，选到的居民人均用电量在一组的概率为 21．（23-24高一上·北京房山·期末）某校为了调查学生的体育锻炼情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均锻炼时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)用分层抽样的方法从和两组中抽取了6人.求从这6人中随机选出2人，这2人不在同一组的概率； (3)假设同组中的每个数据用该区间的中点值代替，试估计全校学生周平均锻炼时间的平均数. 22．（23-24高一上·北京西城·期末）每年的3月21日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动，是国际社会公认的三项健康标准.某校高一某班学生某天睡眠时间的频率分布直方图如图所示（样本数据分组为，单位：小时）.    (1)求图中的值，估计该校高一学生该天睡眠时间不小于9小时的频率； (2)从该校高一学生中随机抽取2人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有1人该天睡眠时间不小于9小时的概率. 23．（18-19高二下·贵州·月考）某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表． 成绩分组 频数 2 6 16 14 2 （1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率； （2）在抽取的学生中，从成绩为的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自同一年级的概率； （3）记高一、高二两个年级知识竞赛的平均分分别为，，试估计，的大小关系．（只需写出结论） 24．（23-24高一上·北京昌平·期末）为促进更多人养成良好的阅读习惯，某小区开展了“我读书，我快乐”的活动.为了解小区居民最近一个月的阅读时间（单位：小时），随机抽取个居民作为样本，得到这个居民的阅读时间，整理得到如下数据分组及频数、频率分布表和频率分布直方图： 分组区间 频数 频率 合计 (1)求出表中，及图中的值； (2)若本小区有人，试估计该小区阅读时间在区间内的人数； (3)在所取样本中，从阅读时间不少于小时的居民中，按分层抽样的方法选取人，并从这人中选人去参加社区知识竞赛，求至多有人阅读时间在区间内的概率. 25．（23-24高一上·北京延庆·期末）为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”. (1)从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率； (2)从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为， 中的学生为， 中的学生为，求这2人来自同一组的概率； (3)从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下： A组:； B组:. 写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）. 26．（24-25高一上·北京西城·期末）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照［20，40），［40，60），［60，80），［80，100］分组，绘制成评分频率分布直方图如下： (1)为了更进一步了解A地区用户的不满意原因，将A地区抽取的400名用户作为一个总体，按照评分再用分层抽样的方法抽取40人进行面对面交流，那么应从评分在内的用户中抽取几人？ (2)从B地区随机抽取两名用户，且这两名用户评分独立，以频率估计概率，求这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分的概率； (3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 地 城 考点04 茎叶图 27．（23-24高一上·北京怀柔·期末）甲乙两名同学5次数学测验成绩（百分制）如茎叶图所示，则下列结论正确的是（   ） A．甲同学的平均分比乙同学高 B．甲同学的成绩比乙同学稳定 C．甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差 D．甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大 28．（24-25高一上·北京·期末）某校团委为弘扬民族精神，深化爱国主义教育，激发青年一代的历史使命感和时代责任感，在高一年级举办“一二·九”合唱比赛．甲、乙两位评委分别给参赛的13个团支部的最终评分（百分制）如下茎叶图所示，则关于这组数据的下列说法中，正确的是 ． ① 甲的极差比乙的极差大；    ② 甲的众数比乙的众数大； ③ 甲的分位数比乙的分位数相等；    ④ 甲的方差比乙的方差小． 29．（23-24高一上·北京西城·期末）下面茎叶图记录的是甲、乙两位篮球运动员在最近场比赛中的得分， 则甲得分的中位数是 ，乙得分的方差为 ． 30．（23-24高一上·北京延庆·期末）甲，乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（    ） A．在这5天中，甲加工零件数的极差小于乙加工零件数的极差 B．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同 C．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数 D．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差 31．（24-25高一上·北京西城·期末）某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．乙得分的中位数为26 D．乙得分的方差小于甲得分的方差 32．（23-24高一上·北京昌平·期末）以下茎叶图记录了甲、乙两名学生六次数学测验的成绩（百分制）.    给出下列四个结论： ①甲同学成绩的极差比乙同学大； ②甲同学成绩的平均数比乙同学高； ③甲同学成绩的分位数比乙同学小； ④甲同学成绩的方差比乙同学大 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．①③④ 33．（24-25高一上·北京延庆·期末）以下茎叶图中甲组数据的75%分位数和乙组数据的方差分别是（   ） A．168.5，65.7 B．168.5，41.7 C．170，41.7 D．170，65.7 34．（23-24高一上·北京海淀·期末）农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如下图（单位：）:    记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a，b，则 ； 若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为，则 （用“<，>或=”连接）． 地 城 考点05 古典概型 35．（24-25高一上·北京延庆·期末）人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分，决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为），另一种是隐性基因（记为）；基因总是成对出现（如），而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮；有一对夫妻，父亲的基因为，母亲的基因是，不考虑基因突变，则他们的孩子是单眼皮的概率为（   ） A．0 B． C． D． 36．（24-25高一上·北京石景山·期末）某袋中有编号为的个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·北京房山·期末）掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件“点数为奇数”，事件“点数为的整数倍”，若，分别表示事件，发生的概率，则（    ） A．， B．， C． D． 38．（13-14高三上·四川成都·月考）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： （1）两数之和为5的概率； （2）两数中至少有一个奇数的概率． 39．（23-24高一上·北京·期末）为研究拇指指纹规律，人大附中生物社团随机抽样调查了500名北京市民的左右手拇指指纹，各种纹形出现次数的统计结果如表所示．①从左右手拇指纹形同为“”或同为“”的样本中，随机抽2人，这2人纹形不同的概率是_______；②随机调查3名北京市民，其中1人左右手拇指指纹都是“，”，另外2人左手拇指指纹都是“”，右手拇指指纹都不是“”的概率是 纹形 拇指 左手 右手 左右手纹形相同 20 2 2 ， 279 304 250 3 6 2 32 27 10 30 28 9 59 79 34 65 37 18 12 17 8 总人数 500 500 333 40．（23-24高一上·北京房山·期末）在信息论中，设某随机事件发生的概率为，称为该随机事件的自信息.若按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币，则事件“恰好出现一次正面”的自信息为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 地 城 考点06 独立事件的概率 41．（24-25高一上·北京西城·期末）已知事件相互独立，的对立事件为，若，则同时发生的概率为 ，两个事件至少有一个发生的概率为 . 42．（23-24高一上·北京昌平·期末）甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为.若三人各投篮一次，则甲、乙、丙三人都投中的概率为 ；至少有两人投中的概率为 . 43．（23-24高一上·北京房山·期末）某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为，“抽到乙级品”的概率为，则“抽到丙级品”的概率为（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高一上·北京延庆·期末）甲同学进行投篮练习，每次投中的概率都是，连续投3次.每次投篮互不影响.则该同学恰好只有第3次投中的概率为 ：该同学至少两次投中的概率为 . 45．（23-24高一上·北京延庆·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"， "第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（    ） A． B． R与G互斥但不对立 C． D．S与T相互独立 46．（23-24高一上·北京怀柔·期末）喜迎春节，某商场为吸引顾客举办购物抽奖活动，购买一定价值的商品可以获得一张奖券．甲在该商场消费后共获得2张奖券，抽奖时每次只能抽取一张，每张奖券中奖的概率都是（每次抽奖相互独立）． (1)求甲第一次没抽中，第二次抽中的概率； (2)求甲中奖的概率． 47．（24-25高一上·北京房山·期末）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是. (1)求甲、乙两人都解出这道题目的概率； (2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率； (3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率. 48．（24-25高一上·北京房山·期末）随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称）获取新闻资讯，手机应用程序已经成为人们生活中不可或缺的一部分，它悄无声息的改变着人们的生活习惯，也为人们的生活提供了极大的便利.为了解用户对某款的满意度，随机调研了名用户，调研结果如下表（单位：人）： 青年人 中年人 老年人 满意 一般 不满意 (1)从所有参与调研的人中随机选取人，求此人“不满意”的概率； (2)若用频率估计概率，从使用该款的青年人和中年人中各随机选取人，估计恰有人“满意”的概率； (3)现需从参与调研的老年人中选择人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各选取人，这种抽样是否合理？说明理由． 49．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的. (1)求丙投篮命中的概率； (2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； (3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率. 50．（24-25高一上·北京海淀·期末）某市在旅游旺季时，为应对景区可能出现人流量过大的情况，规定：当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取局部限流措施；当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取完全限流措施.小明计划假期去该市甲、乙、丙三个旅游景区旅行，他调查了甲、乙、丙三个旅游景区在去年同期天的限流措施情况，见下表：        景区限流情况 景区累计天数 不限流 局部限流 完全限流 甲景区累计天数 天 天 天 乙景区累计天数 天 天 天 丙景区累计天数 天 天 天 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三个景区限流情况相互独立. (1)小明某天到甲景区旅游，估计小明遇到完全限流的概率； (2)小明任选两天，分别到乙、丙两景区游览，估计小明在两个景区至少遇到一次限流（包括局部限流和完全限流）的概率； (3)小明计划在一天内从甲、乙、丙三个景区中选择两个景区，并分别在上午和下午游览.若存在以下两种情况之一，则不能完成游览： （ⅰ）在上午的游览中遇到局部限流，且下午的游览中遇到完全限流； （ⅱ）在上午的游览中遇到完全限流. 请帮助小明制定游览计划，使他完成游览的概率最大：上午游览 景区，下午游览 景区.（从“甲、乙、丙 ”中选择两个填写） 51．（23-24高一上·北京房山·期末）一个问题，甲正确解答的概率为，乙正确解答的概率为.记事件甲正确解答，事件乙正确解答.假设事件与相互独立. (1)求恰有一人正确解答问题的概率； (2)某同学解“求该问题被正确解答的概率”的过程如下： 解：“该问题被正确解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”， 所以随机事件“问题被正确解答”可以表示为. 所以. 请你指出这位同学错误的原因，并给出正确解答过程. 52．（24-25高一上·北京西城·期末）根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单位：秒）： 50米跑单项等级 高一男生 高一女生 优秀 7.3及以下 8.0及以下 良好 7.4～7.5 8.1～8.6 及格 7.6～9.5 8.7～10.6 不及格 9.6及以上 10.7及以上 从某校高一男生和女生中各随机抽取12名同学，将其50米跑测试成绩整理如下： 男生：7.0  7.2  7.2  7.3  7.4  7.4  7.5  7.5  7.9  8.3  8.6  9.6 女生：7.4  7.6  7.6  7.8  7.9  8.0  8.3  8.4  8.7  9.2  9.4  10.4 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． (1)分别估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率； (2)从该校高一男生中随机抽取1人，高一女生中随机抽取1人，求2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率； (3)从该校高一女生中随机抽取2人．记“2人的50米跑单项至少有1个是优秀”为事件，记“2人的50米跑单项至多有1个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） 53．（23-24高一上·北京海淀·期末）国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“A:革命遗址及革命纪念建筑物”、“B:石窟寺”、“C:古建筑及历史纪念建筑物”、“D:石刻及其他”、“E:古遗址”、“F:古墓葬”．北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表： 行政区 门类 个数 东城区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 3 C:古建筑及历史纪念建筑物 5 西城区 C:古建筑及历史纪念建筑物 2 丰台区 A:革命遗址及革命纪念建筑物 1 海淀区 C:古建筑及历史纪念建筑物 2 房山区 C:古建筑及历史纪念建筑物 1 E:古遗址 1 昌平区 C:古建筑及历史纪念建筑物 1 F:古墓葬 1 延庆区 C:古建筑及历史纪念建筑物 1 (1)某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C:古建筑及历史纪念建筑物”的概率； (2)小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A:革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C:古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率； (3)现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C:古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查．记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率记为，试判断和的大小（直接写出结论）． 54．（24-25高一上·北京·期末）已知，从四个不等式 ①，②，③，④中任选2个，事件“所选2个不等式都不成立”的概率是(    ) A． B． C． D． 55．（23-24高一上·北京·期末）从定义域及值域均为的函数中随机选一个记为，则的概率为（    ） A． B． C． D． 56．（24-25高一上·北京·期末）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为“高性能服务器芯片鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“全自动驾驶芯片”、“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择的成果属于芯片领域的概率为（   ） A． B． C． D． 57．（24-25高一上·北京延庆·期末）已知A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天），记录如下： A组 11 12 13 14 15 16 17 B组 13 14 16 17 18 15 a 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙. (1)求甲的康复时间不少于14天的概率； (2)如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (3)写出a为何值时，A，B两组病人康复时间方差相等.（结论不要求证明） 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 统计与概率（六大题型+好题推送） 6大高频考点概览 考点01 随机抽样 考点02 统计相关数值（平均数、方差） 考点03 频率分布直方图 考点04 茎叶图 考点05 古典概型 考点06 独立事件的概率 地 城 考点01 随机抽样 1．（24-25高一上·北京延庆·期末）某科研院所共有科员人员800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的240人，无职称的80人，欲了解该科研院所科研人员的创新能力，决定采取分层抽样的方法抽取样本，其中含无职称的8人，则共抽取（   ） A．20人 B．40人 C．60人 D．80人 【答案】D 【分析】由抽样比即可计算； 【详解】无职称的占比为：， 所以共抽取人， 故选：D 2．（24-25高一上·北京房山·期末）某单位共有名职工，其中岁以下的有人，-岁的有人，岁及以上的有人.现用分层抽样的方法，从中抽取名职工进行问卷调查，则抽取的岁及以上的职工人数为 . 【答案】 【分析】首先求出抽样比，即可求出岁及以上的职工应抽取的人数. 【详解】因为抽样比例为， 所以岁及以上的职工应抽取(人). 故答案为：. 3．（24-25高一上·北京·期末）某市准备建一个体育文化公园，针对公园中的体育设施，某社区采用分层随机抽样的方法对成年居民进行了调查．已知该社区青年居民有840人，中年居民有700人，老年居民有560人．若从中年居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是（   ） A．200 B．250 C．280 D．300 【答案】D 【分析】求出中年居民所占的比例，即可求得答案. 【详解】由题意知中年居民所占的比例为， 故这次抽样调查抽取的总人数是. 故选：D. 4．（24-25高一上·北京石景山·期末）某田径队有运动员人，其中男运动员人，女运动员人．为了解该田径队运动员的睡眠情况，采用分层抽样的方法获得一个容量为的样本，那么应抽取男运动员的人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分层抽样的意义求解即可. 【详解】由题得应抽取男运动员的人数为. 故选：B. 5．（23-24高一上·北京房山·期末）为估计某森林内松鼠的数量，使用以下方法：先随机从森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号后放回森林.再随机从森林中捕捉50只，若尾巴上有记号的松鼠共有5只，估计此森林内约有松鼠 只. 【答案】 【分析】直接根据比例求解. 【详解】估计此森林内约有松鼠只. 故答案为： 6．（23-24高一上·北京海淀·期末）某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（    ） A．150人 B．200人 C．250人 D．300人 【答案】A 【分析】根据各层的抽样比相同求解出结果. 【详解】因为初中学生人抽取了人，所以抽样比为， 所以高中生抽取人， 故选：A. 7．（23-24高二上·湖北武汉·月考）某中学高三年级共有学生800人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有女生11人，则该校高三年级共有男生（    ）人 A．220 B．225 C．580 D．585 【答案】C 【分析】利用分层抽样比例一致得到相关方程，从而得解. 【详解】依题意，设高三男生人数为人，则高三女生人数为人， 由分层抽样可得，解得. 故选：C. 8．（24-25高一上·北京海淀·期末）某校高一年级有名男生，名女生.为了解高一学生研学路线的选择意向，采用分层抽样的方法，从该校高一学生中抽取容量为的样本进行调查，其中女生名，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分层抽样的定义，列式计算得解. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 地 城 考点02 统计相关数值（平均数、方差） 9．（24-25高一上·北京延庆·期末）已知甲、乙两组数可分别用图（1）、（2）表示，记甲、乙两组数的平均数和方差分别为、、、，则它们的大小关系是（   ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】分类计算两组数的均值与方差后可得正确的选项. 【详解】， 故， ， ，故， 故选：B. 10．（24-25高一上·北京西城·期末）甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下： 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 甲地 19 17 8 4 6 4 9 乙地 20 17 11 10 9 9 11 记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为．根据上述信息，下列结论中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据给定的数据，利用平均数、标准差的定义计算判断即得. 【详解】依题意，，，则； ， ，， 故选：B 11．（24-25高一上·北京西城·期末）甲乙两人独立的掷一枚质地均匀的骰子，骰子向上的点数可能是中的某一个数，设甲掷出的点数为，乙掷出的点数为，求： (1)求为奇数的概率； (2)求的概率； (3)若甲乙两人各掷出骰子5次，的值依次为：；的值依次为：1，3，4，6，5；试比较两组数据的均值和方差的大小（直接写出结论，不必写过程） 【答案】(1)； (2)； (3)，方差相等. 【分析】（1）利用古典概率直接求出概率. （2）利用列举法及古典概率求出概率. （3）求出平均数与方差，进而比较大小. 【详解】（1）甲掷出的点数共有6个不同结果，其中为奇数的结果有3个， 所以为奇数的概率为. （2）甲乙掷出的结果有：， ， ，36个， 其中的事件含有，6个， 所以的概率为. （3），，因此； 值的方差， 值的方差， 所以值的方差与值的方差相等. 12．（23-24高一上·北京房山·期末）甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击10次，两人的测试成绩如下表： 甲的成绩 乙的成绩 环数 6 7 8 9 10 环数 6 7 8 9 10 频数 1 2 4 2 1 频数 3 2 1 1 3 甲、乙两人成绩的平均数分别记作，，标准差分别记作，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平均数、方差公式运算求解. 【详解】由题意可得：， ， ， ， 所以，. 故选：C. 13．（23-24高一上·北京房山·期末）有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，下面有四个结论： ①，，，的中位数等于，，…，的中位数； ②，，，的平均数等于，，…，的平均数； ③，，，的标准差不大于，，…，的标准差； ④，，，的极差不大于，，…，的极差. 则所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】由中位数、极差、方差的定义性质结合平均数公式逐一判断即可. 【详解】由题意不妨设， 对于，，，的中位数和，，…，的中位数均为，故①正确； 取，此时，，，的平均数为1，它小于，，…，的平均数，故②错误； 对于③，，，，相比，，…，去掉了两个极端的数，应更为稳定，故③正确； ，，，的极差与，，…，的极差满足，故④正确. 故答案为：①③④. 14．（23-24高一上·北京·期末）某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下： 甲  8.1  7.9  8.0  7.9  8.1 乙  7.9  8.0  8.1  8.5  7.5 记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为，则： （填“>”，“=”或“<”）． 【答案】 【分析】计算出，由此确定正确答案. 【详解】甲的得分平均值为， . 乙的得分平均值为， ， 所以. 故答案为： 15．（23-24高一上·北京石景山·期末）甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下： 甲队 88 91 93 96 乙队 89 94 97 92 (1)在4次比赛中，求甲队的平均得分； (2)分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，求这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率； (3)甲，乙两队得分数据的方差分别记为，，试判断与的大小（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平均数公式，即可求解； （2）利用列举样本空间的方法，结合古典概型概率公式，即可求解； （3）结合方差的定义和公式，即可判断. 【详解】（1）设甲队的平均分为， 则 所以甲队的平均分为； （2）分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，有 ，共包含16个基本事件， 这2个比赛得分之差的绝对值为1包含，共5个基本事件， 所以这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率; （3）乙队的平均分为， 则, 16．（23-24高一上·北京西城·期末）2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，成为纪念“一带一路”倡议十周年最隆重的活动.此次活动主题为“高质量共建‘一带一路’，携手实现共同发展繁荣”，而作为“一带一路”重要交通运输的中欧班列越来越繁忙.下表是从2018年到2022年，每年中欧班列运行的列数（单位：万列）. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 运行列数 0.63 0.82 1.24 1.5 1.6 (1)计算中欧班列从2018到2022年的平均运行列数； (2)从2018年到2022年这5年中随机选取2年，求这两年运行列数和大于2.4（单位：万列）的概率； (3)设2018年，2019年，2020年运行列数的方差为，2020年，2021年，2022年运行列数的方差为，从2018年到2022年这5年的运行列数的方差为，试判断，，的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1)万列 (2) (3) 【分析】（1）根据平均数计算公式求解出结果； （2）列出所有可能的结果，然后分析满足要求的结果数，根据比值求解出对应概率； （3）根据运行列数的数据变化情况作出判断. 【详解】（1）从2018年到2022年运行列数的平均值为：， 所以中欧班列从2018到2022年的平均运行列数为万列. （2）从2018年到2022年随机选取2年，所有可能的结果有10种，它们是： ， ， 用表示“这两年运行列数和大于万列”这一事件， 则中的结果有4个，它们是， 故所求的概率. （3）. （理由：这三年运行列数增长较慢，数据变化幅度小，所以方差最小；， 这五年运行列数增长很快，且的运行列数约是年的倍，数据变化幅度很大，所以方差最大.） 地 城 考点03 频率分布直方图 17．（24-25高一上·北京·期末）一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． (1)求的值； (2)（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间； （ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）；（ⅱ） (3) 【分析】（1）根据第三、四、五组的频率之和为列方程可解，再根据第一、二组的频率之和为列方程可解； （2）（ⅰ）根据频率分布直方图，得位于区间的频率和位于区间的频率，即可判断中位数所在的分组区间；（ⅱ）根据频率分布直方图得频率，再利用加权平均数公式计算即可； （3）根据频率确定比例，可得第四组志愿者人数为4，第五组志愿者人数为1，利用古典概型计算概率即可. 【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为， 所以，解得， 又前两组的频率之和为，则，解得． （2）（ⅰ）因为位于区间的频率为， 位于区间的频率为， 所以中位数所在的分组区间为；（学生直接写答案即可） （ⅱ）平均数为． （3）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a，b，c，d，第五组志愿者人数为1，设为e． 考虑从这5人中选出2人的试验，其样本空间可记为，则， 记事件为“选出的两人来自不同组”，则，从而， 因此，． 18．（23-24高一上·北京怀柔·期末）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周体育锻炼时间（单位：小时）的数据，整理得到频数分布表．从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周体育锻炼时间不少于12小时的概率是 ． 组号 分组 频数 1 6 2 8 3 17 4 22 5 25 6 12 7 6 8 3 9 1 合计 100 【答案】/ 【分析】根据频数分布表得到样本中学生一周课外阅读时间不少于12小时的频率，再由频率估计概率，得到答案. 【详解】根据频数分布表，可知100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有（名） 所以样本中学生一周课外阅读时间不少于12小时的频率是， 用频率估计概率，可得从该校随机选取一名学生，其该周课外阅读时间不少于12小时的概率为. 故答案为：． 19．（23-24高一上·北京怀柔·期末）亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功亚运会的重要保障，为确保第19届亚运会在杭州顺利举行，2023年5月22日杭州亚运会赛会志愿者全球招募启动活动在浙大城市学院举行．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了100名候选者的面试成绩，绘制成如图所示频率分布直方图． (1)求直方图中x的值； (2)根据频率分布直方图估计样本数据的众数及中位数； (3)若在成绩为[80，90），[90，100]的两组人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中任意抽取2人分别安排去乒乓球场馆和跳水场馆志愿服务，求去乒乓球场馆服务的志愿者成绩在[90，100]的概率． 【答案】(1) (2)众数为，中位数为72.5 (3) 【分析】（1）根据总频率为1即可计算； （2）根据众数和中位数的求法即可求解； （3）将抽出的五人编号，采用列举法即可求解. 【详解】（1）根据题意知，面试成绩落在[50，60），[70，80），[80，90），[90，100]内的频率分别为0.12，0.40，0.16，0.04， 则落在[60，70）内的频率为1-0.12-0.40-0.16-0.04=0.28， 所以． （2）根据题意，可估计样本数据的众数为， 根据（1）得，面试成绩落在[50，70）内的频率是0.12+0.28=0.40， 落在[50，80）的频率是0.12+0.28+0.4=0.8， 故这组数据的中位数在[70，80）内，设为x，所以0.4+（x-70）×0.040=0.5， 则x=72.5，所以估计样本数据的中位数为72.5． （3）成绩为[80，90），[90，100]的两组人数比例为4：1， 由分层抽样等比性质知在[80，90）抽取4人为A，B，C，D，[90，100]抽取1人为a， 所以，任意抽出2人的情况为AB、AC，AD，Aa，BC，BD，Ba，CD，Ca，Da共10种情况，考虑分配到两个场馆共有20种情况， 去乒乓球场馆服务的志愿者成绩在[90，100]的情况（考虑顺序）为：Aa，Ba，Ca，Da， 则去乒乓球场馆服务的志愿者成绩在[90，100]的概率为． 20．（24-25高一上·北京房山·期末）供电部门对某社区位居民年月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量（单位：度）分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（     ） A．在这位居民中，月份人均用电量人数最多的一组有人 B．在这位居民中，月份人均用电量不低于度的有人 C．在这位居民中，月份人均用电量为度 D．从这位居民中，任选位担任安全用电宣传员，选到的居民人均用电量在一组的概率为 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图逐一计算分析，求出12月份人数最多的一组，判断选项A正确；计算12月份用电不低于20度的频率与频数，判断选项B正确；计算12月份人均用电，判断选项C错误；求出用电量在的频数，再根据概率计算，求出选到的居民用电量在一组的概率，即可判断选项D正确. 【详解】对于A：根据频率分布直方图知，人数最多的一组是， 有（人），故选项A正确； 对于B：12月份用电量不低于20度的频率是， 有（人），故选项B正确； 对于C：12月份人均用电量为： （度），故选项C错误； 对于D，用电量在的有：人， 所以1000位居民中任选1位，选到的居民用电量在一组的概率为，故选项D正确. 故选：C. 21．（23-24高一上·北京房山·期末）某校为了调查学生的体育锻炼情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均锻炼时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)用分层抽样的方法从和两组中抽取了6人.求从这6人中随机选出2人，这2人不在同一组的概率； (3)假设同组中的每个数据用该区间的中点值代替，试估计全校学生周平均锻炼时间的平均数. 【答案】(1) (2) (3)7.92小时 【分析】（1）由频率分布直方图所有矩形的面积之和为1计算可得; （2）列举出从6人中随机选出2人的所有情况，再求得2人不在同一组的情况，即可求得其概率； （3）由频率分布直方图计算平均数公式代入计算即可求得结果. 【详解】（1）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1， 易知组距为2，所以， 解得. （2）由频率分布直方图可知和两组的频数的比为 所以利用分层抽样的方法抽取6人，这两组被抽取的人数分别为4，2， 记中的4人为，，，，中的2人为，， 从这6人中随机选出2人，则样本空间 ，共15个样本点 设事件：选出的2人不在同一组， ，共8个样本点， 所以 （3） 估计全校学生周平均锻炼时间的平均数为7.92小时 22．（23-24高一上·北京西城·期末）每年的3月21日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动，是国际社会公认的三项健康标准.某校高一某班学生某天睡眠时间的频率分布直方图如图所示（样本数据分组为，单位：小时）.    (1)求图中的值，估计该校高一学生该天睡眠时间不小于9小时的频率； (2)从该校高一学生中随机抽取2人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有1人该天睡眠时间不小于9小时的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据频率和为求解出的值，根据频率分布直方图中的数据可求睡眠时间不小于9小时的频率； （2）先根据频率分布直方图先求各睡眠时间段的频率并以此作为概率，然后根据对立事件的概率求解出结果. 【详解】（1）因为， 所以； 该校高一学生该天睡眠时间不少于9小时的频率为： . （2）由题知，该校高一学生该天睡眠时间为小时的频率分别为： ，，，，， 用频率估计概率，该校高一学生该天睡眠时间为小时的概率分别为，，，，， 记从该校高一学生中随机抽取2人，这两位学生至少有一人该天睡眠时间不小于9小时为事件， 则. 23．（18-19高二下·贵州·月考）某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表． 成绩分组 频数 2 6 16 14 2 （1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率； （2）在抽取的学生中，从成绩为的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自同一年级的概率； （3）记高一、高二两个年级知识竞赛的平均分分别为，，试估计，的大小关系．（只需写出结论） 【答案】（1）0.85 （2）（3）. 【分析】（1）由频率分布直方图可得不达标率，从而得到达标率. （2）用枚举法可得基本事件的总数和随机事件中基本事件的总数，再利用古典概型的概率公式计算即可. （3）根据频率分布直方图和频数分布表可得. 【详解】解：（1）高一年级知识竞赛的达标率为. （2）高一年级成绩为的有名，记为，，，， 高二年级成绩为的有2名，记为，． 选取2名学生的所有可能为： ，，，，，，，，，，，，，，，共15种； 其中2名学生来自同一年级的有，，，，，，，共7种． 设2名学生来自同一年级为事件，所以. （3）. 24．（23-24高一上·北京昌平·期末）为促进更多人养成良好的阅读习惯，某小区开展了“我读书，我快乐”的活动.为了解小区居民最近一个月的阅读时间（单位：小时），随机抽取个居民作为样本，得到这个居民的阅读时间，整理得到如下数据分组及频数、频率分布表和频率分布直方图： 分组区间 频数 频率 合计 (1)求出表中，及图中的值； (2)若本小区有人，试估计该小区阅读时间在区间内的人数； (3)在所取样本中，从阅读时间不少于小时的居民中，按分层抽样的方法选取人，并从这人中选人去参加社区知识竞赛，求至多有人阅读时间在区间内的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率与频数求得，结合图表求得. （2）根据阅读时间在区间内的频率求得对应的人数. （3）根据分层抽样以及古典概型概率计算公式求得正确答案. 【详解】（1）依题意，， 所以， . （2）阅读时间在区间内的人数为. （3）抽取人，记为， 抽取人，记为. 从这人中选人去参加社区知识竞赛，基本事件有： ，共个， 至多有人阅读时间在区间内包含的基本事件有： ，共个， 所以至多有人阅读时间在区间内的概率为. 25．（23-24高一上·北京延庆·期末）为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”. (1)从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率； (2)从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为， 中的学生为， 中的学生为，求这2人来自同一组的概率； (3)从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下： A组:； B组:. 写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）. 【答案】(1)0.3 (2) (3)81或84 【分析】（1）由频率分布直方图中的频率，估计事件发生的概率； （2）由两组学生的人数，列举样本空间和事件所包含的样本点，可求出2人来自同一组的概率； （3）利用方差的定义求解. 【详解】（1）频率分布直方图中，成绩优秀的两组学生，频率为，        所以估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率为0.3. （2）样本中，组中有人，组中有人，                 从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，其样本空间可记为： 共包含15 个样本点, 记事件A：两人来自同一组， 则，共包含7个样本点， 所以这2人来自同一组的概率 . （3）这两组学生的得分记录：A组:； B组:. 方差反映的是数据的离散程度，要使A、B两组学生得分的方差相等， 对比两组数据，可知：或. 26．（24-25高一上·北京西城·期末）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照［20，40），［40，60），［60，80），［80，100］分组，绘制成评分频率分布直方图如下： (1)为了更进一步了解A地区用户的不满意原因，将A地区抽取的400名用户作为一个总体，按照评分再用分层抽样的方法抽取40人进行面对面交流，那么应从评分在内的用户中抽取几人？ (2)从B地区随机抽取两名用户，且这两名用户评分独立，以频率估计概率，求这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分的概率； (3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图及分层抽样的概念求解； （2）利用频率分布直方图求概率，再结合独立事件概率乘积公式计算求解； （3）利用频率分布直方图，结合平均数的公式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图及分层抽样的概念得： 应从评分在内的用户中抽取的人数为：； （2）由频率分布直方图得： B地区用户对该公司产品的评分小于60分的概率为：， B地区用户对该公司产品的评分大于60分的概率为：， 设这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分为事件A， 则； （3）， ， 所以 ，， 则. 地 城 考点04 茎叶图 27．（23-24高一上·北京怀柔·期末）甲乙两名同学5次数学测验成绩（百分制）如茎叶图所示，则下列结论正确的是（   ） A．甲同学的平均分比乙同学高 B．甲同学的成绩比乙同学稳定 C．甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差 D．甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大 【答案】C 【分析】从茎叶图中可以得到甲、乙两名同学的成绩数据，分别计算两者的平均数、方差、中位数和极差，从而可作出判断. 【详解】平均数：甲同学平均分为，乙同学平均分为， 因此甲同学平均分比乙同学低，选项A错误， 方差：甲同学方差为， 乙同学方差为， 因此甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差， 所以甲同学的成绩比乙同学不稳定，选项C正确，选项B错误， 中位数和极差：甲同学中位数为83，极差为19；乙同学中位数为88，极差为13， 因此，甲同学成绩的中位数比乙同学小，极差也比乙同学大，选项D错误． 故答案为：C． 28．（24-25高一上·北京·期末）某校团委为弘扬民族精神，深化爱国主义教育，激发青年一代的历史使命感和时代责任感，在高一年级举办“一二·九”合唱比赛．甲、乙两位评委分别给参赛的13个团支部的最终评分（百分制）如下茎叶图所示，则关于这组数据的下列说法中，正确的是 ． ① 甲的极差比乙的极差大；    ② 甲的众数比乙的众数大； ③ 甲的分位数比乙的分位数相等；    ④ 甲的方差比乙的方差小． 【答案】②④ 【分析】由茎叶图可知，将甲，乙的数据从小到大依次排列，然后计算极差，众数，分位数逐项判断即可，由茎叶图可知，甲的数据比乙更集中，波动小，故甲的方差比乙小判断即可. 【详解】由茎叶图可知，将甲，乙的数据从小到大排列依次为： 甲：， 乙：， 甲的极差为：，乙的极差为：，故①错误； 甲的众数为：，乙的众数为：，故②正确； 由于，故甲分位数为：，乙的分位数为：，故③错误； 由茎叶图可知，甲的数据比乙更集中，波动小，故甲的方差比乙小，故④正确； 故答案为：②④. 29．（23-24高一上·北京西城·期末）下面茎叶图记录的是甲、乙两位篮球运动员在最近场比赛中的得分， 则甲得分的中位数是 ，乙得分的方差为 ． 【答案】 【分析】利用中位数的定义和方差公式可求得结果. 【详解】甲得分由小到大排列依次为：、、、、，所以，甲得分的中位数为， 乙得分由小到大排列依次为：、、、、， 所以，乙得分的平均数为， 方差为. 故答案为：；. 30．（23-24高一上·北京延庆·期末）甲，乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（    ） A．在这5天中，甲加工零件数的极差小于乙加工零件数的极差 B．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同 C．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数 D．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差 【答案】C 【分析】根据茎叶图计算极差、中位数、平均数、方差即可. 【详解】甲在5天中每天加工零件的个数为：， 乙在5天中每天加工零件的个数为：， 对于A，甲加工零件数的极差为，乙加工零件数的极差为， 故A错误； 对于B，甲加工零件数的中位数为，乙加工零件数的中位数为，故B错误； 对于C，甲加工零件数的平均数为， 乙加工零件数的平均数为，故C正确； 对于D，甲加工零件数的方差为 ， 乙加工零件数的方差为， 故D错误； 故选：C 31．（24-25高一上·北京西城·期末）某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．乙得分的中位数为26 D．乙得分的方差小于甲得分的方差 【答案】B 【分析】由甲得分的极差求出判断A；由乙得分的平均值求出判断B；将乙得分数据从小到大排列求得中位数判断C；由数据的集中程度判断D. 【详解】对于A，甲得分的极差为，最小值为，最大值为，即，A正确； 对于B，乙得分的平均值为，，解得，即，B错误； 对于C，乙得分为，，，，，中位数为，C正确； 对于D，乙数据分布相对甲数据集中，则乙得分的方差小于甲得分的方差，D正确. 故选：B 32．（23-24高一上·北京昌平·期末）以下茎叶图记录了甲、乙两名学生六次数学测验的成绩（百分制）.    给出下列四个结论： ①甲同学成绩的极差比乙同学大； ②甲同学成绩的平均数比乙同学高； ③甲同学成绩的分位数比乙同学小； ④甲同学成绩的方差比乙同学大 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据茎叶图、极差、平均数、百分位数、方差等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①甲同学成绩的极差为， 乙同学成绩的极差为，所以①正确，排除C选项. ②甲同学成绩的平均数为， 乙同学成绩的平均数为，所以②错误. ③，所以甲同学成绩的分位数是， 乙同学成绩的分位数是，所以③错误，排除BD选项.所以A选项正确. 同时，通过观察茎叶图可知甲同学的成绩相对分散，乙同学的成绩相对集中， 所以甲同学成绩的方差比乙同学大，④正确. 故选：A 33．（24-25高一上·北京延庆·期末）以下茎叶图中甲组数据的75%分位数和乙组数据的方差分别是（   ） A．168.5，65.7 B．168.5，41.7 C．170，41.7 D．170，65.7 【答案】C 【分析】将甲组数据从小到大排列，然后根据百分位数的求法求解即可；写出乙组数据，求其平均数，再根据方差的计算公式计算即可. 【详解】甲组数据从小到大排列为：， 因为，所以甲组数据的75%分位数是第五个数据，为； 乙组数据为：，其平均数为：， 其方差为： 故选：C. 34．（23-24高一上·北京海淀·期末）农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如下图（单位：）:    记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a，b，则 ； 若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为，则 （用“<，>或=”连接）． 【答案】 【分析】空根据题意分别求出甲乙环境下的个高度数据，从而求出中位数，即可求解；空利用标准差公式分别求出，从而求解. 【详解】对空：由题意得甲环境的幼苗高度为：，其中位数， 乙环境的幼苗高度为：，其中位数， 所以； 对空：甲环境下的幼苗平均高度为：， 所以 甲环境下的幼苗平均高度为： 所以 所以. 故答案为：；. 地 城 考点05 古典概型 35．（24-25高一上·北京延庆·期末）人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分，决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为），另一种是隐性基因（记为）；基因总是成对出现（如），而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮；有一对夫妻，父亲的基因为，母亲的基因是，不考虑基因突变，则他们的孩子是单眼皮的概率为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】由古典概型概率计算公式即可求解； 【详解】用连着写的两个字母来表示孩子的成对的基因，其中第一个字母表示父亲提供的基因，第二个字母表示母亲提供的基因. 则所有的基本事件有：，共4个基本事件， 孩子要是单眼皮，成对的基因只能是， 因此所求概率为. 故选：C 36．（24-25高一上·北京石景山·期末）某袋中有编号为的个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据（甲，乙）方法得出总的取法的结果，求得符合题意的个数，可求甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率． 【详解】甲先从袋中摸出一个球，有4种可能的结果，乙再从袋中摸出一个球，有4种可能的结果， 如果按（甲，乙）方法得出总共的结果为：16个， 甲、乙两人所摸出球的编号不同的结果为12个， 甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是. 故选：A． 37．（24-25高一上·北京房山·期末）掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件“点数为奇数”，事件“点数为的整数倍”，若，分别表示事件，发生的概率，则（    ） A．， B．， C． D． 【答案】B 【分析】利用古典概型求解概率即可. 【详解】首先，我们知道投掷的点数有， 对于，符合条件的有，对于，符合条件的有， 故，，故B正确. 故选：B 38．（13-14高三上·四川成都·月考）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： （1）两数之和为5的概率； （2）两数中至少有一个奇数的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用列举法和古典概型概率公式计算可得概率为； （2）利用列举法和古典概型概率公式计算可得概率为. 【详解】将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件． （1）将一颗骰子先后抛掷2次，向上的点数有：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5），（3,6），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（4,5），（4,6），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5），（5,6），（6,1），（6,2），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6），共36个基本事件， 其中两数之和为5的基本事件有：（1,4），（4,1），（2.3），（3、2），共4种， 所以两数之和为5的为. （2）由（1）知，两数中至少有一个奇数的基本事件有：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,1），（2,3），（2,5），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5），（3,6），（4,1），（4,3），（4,5），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5），（5,6），（6,1），（6,3），（6,5），共27个基本事件， 所以两数中至少有一个奇数的概率为. 39．（23-24高一上·北京·期末）为研究拇指指纹规律，人大附中生物社团随机抽样调查了500名北京市民的左右手拇指指纹，各种纹形出现次数的统计结果如表所示．①从左右手拇指纹形同为“”或同为“”的样本中，随机抽2人，这2人纹形不同的概率是_______；②随机调查3名北京市民，其中1人左右手拇指指纹都是“，”，另外2人左手拇指指纹都是“”，右手拇指指纹都不是“”的概率是 纹形 拇指 左手 右手 左右手纹形相同 20 2 2 ， 279 304 250 3 6 2 32 27 10 30 28 9 59 79 34 65 37 18 12 17 8 总人数 500 500 333 【答案】①；②/. 【分析】①写出抽取的2人的所有可能情况，即可求出这2人纹形不同的概率；②分别求出1人左右手拇指指纹都是“，”的概率和1人左手拇指指纹都是“”，右手拇指指纹都不是“”的概率，即可得出结论. 【详解】由题意及表知，随机抽样调查了500名北京市民， ①从左右手拇指纹形同为“”或同为“”的各有2人， 设左右手拇指纹形同为“”的人为，左右手拇指纹形同为“”的人为 随机抽2人，共有下列6种情况，其中2人纹形不同的有4种： ∴随机抽2人，这2人纹形不同的概率是：, ②由表格知，1人左右手拇指指纹都是“，”的概率为， 1人左手拇指指纹都是“”，右手拇指指纹都不是“”的概率是， ∴随机调查3名北京市民，其中1人左右手拇指指纹都是“，”，另外2人左手拇指指纹都是“”，右手拇指指纹都不是“”的概率是， 故答案为：；##. 40．（23-24高一上·北京房山·期末）在信息论中，设某随机事件发生的概率为，称为该随机事件的自信息.若按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币，则事件“恰好出现一次正面”的自信息为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】依题意计算出事件“恰好出现一次正面”的概率为，代入计算可得结果. 【详解】根据题意可知，按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币共有“正正、反反、正反、反正”四种情况， 则事件“恰好出现一次正面”的概率为， 所以“恰好出现一次正面”的自信息为. 故选：B 地 城 考点06 独立事件的概率 41．（24-25高一上·北京西城·期末）已知事件相互独立，的对立事件为，若，则同时发生的概率为 ，两个事件至少有一个发生的概率为 . 【答案】 【分析】根据独立事件和对立事件概率公式，先求出，再分别计算、同时发生的概率以及、至少有一个发生的概率. 【详解】已知，可得. 因为事件、相互独立，，已知，，所以. 根据公式， ，，，则. 故答案为：；. 42．（23-24高一上·北京昌平·期末）甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为.若三人各投篮一次，则甲、乙、丙三人都投中的概率为 ；至少有两人投中的概率为 . 【答案】 / / 【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【详解】甲、乙、丙三人都投中的概率为. 至少有两人投中的概率为. 故答案为：； 43．（23-24高一上·北京房山·期末）某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为，“抽到乙级品”的概率为，则“抽到丙级品”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率之和为1求解. 【详解】“抽到甲级品”，“抽到乙级品”，“抽到丙级品”是互斥事件， 因为“抽到甲级品”的概率为，“抽到乙级品”的概率为， 则“抽到丙级品”的概率为. 故选：A 44．（23-24高一上·北京延庆·期末）甲同学进行投篮练习，每次投中的概率都是，连续投3次.每次投篮互不影响.则该同学恰好只有第3次投中的概率为 ：该同学至少两次投中的概率为 . 【答案】 【分析】利用独立事件的概率公式即可得解. 【详解】因为甲同学每次投中的概率都是，连续投3次，则投不中的概率为， 所以甲同学恰好只有第3次投中的概率为， 至少两次投中的概率为. 故答案为：；. 45．（23-24高一上·北京延庆·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"， "第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（    ） A． B． R与G互斥但不对立 C． D．S与T相互独立 【答案】D 【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义求解， 【详解】对于A，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”是对立事件， 所以，故A正确； 对于B，"两次都摸到红球"和"两次都摸到绿球”，不能同时发生，但能同时不发生， 所以R与G互斥但不对立，故B正确； 对于C，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”， 所以，故C正确； 对于D，从袋中不放回地依次随机揽出2个球，不同的结果有： ，共12种结果， 事件S包含这6种结果，， 事件T包含这6种结果，， 事件ST包含这2种结果，， ，所以S与T不是相互独立事件，故D错误. 故选：D. 46．（23-24高一上·北京怀柔·期末）喜迎春节，某商场为吸引顾客举办购物抽奖活动，购买一定价值的商品可以获得一张奖券．甲在该商场消费后共获得2张奖券，抽奖时每次只能抽取一张，每张奖券中奖的概率都是（每次抽奖相互独立）． (1)求甲第一次没抽中，第二次抽中的概率； (2)求甲中奖的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解； （2）利用间接法，结合对立事件和独立事件的概率公式求解． 【详解】（1）设事件A表示“甲第一次没抽中，第二次抽中的概率”， 则. （2）设事件B表示“甲中奖”，则事件表示“甲没中奖”， 则， 所以 47．（24-25高一上·北京房山·期末）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是. (1)求甲、乙两人都解出这道题目的概率； (2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率； (3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可； （2）分甲解出乙没有解出和乙解出甲没有解出两种情况，利用对立事件的性质和相互独立事件的概率乘法公式求解即可； （3）分甲、乙两人都解出和只有一人解出，利用对立事件的性质和相互独立事件的概率乘法公式求解即可. 【详解】（1）设事件“甲、乙两人都解出这道题目”， 则. （2）设事件“甲、乙两人恰有一人解出这道题目”， 则. （3）设事件“这道题目被甲、乙两人解出”， 则. 48．（24-25高一上·北京房山·期末）随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称）获取新闻资讯，手机应用程序已经成为人们生活中不可或缺的一部分，它悄无声息的改变着人们的生活习惯，也为人们的生活提供了极大的便利.为了解用户对某款的满意度，随机调研了名用户，调研结果如下表（单位：人）： 青年人 中年人 老年人 满意 一般 不满意 (1)从所有参与调研的人中随机选取人，求此人“不满意”的概率； (2)若用频率估计概率，从使用该款的青年人和中年人中各随机选取人，估计恰有人“满意”的概率； (3)现需从参与调研的老年人中选择人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各选取人，这种抽样是否合理？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这种抽样不合理，理由见解析 【分析】（1）利用古典概型求解概率即可. （2）由相互独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式可求解概率. （3）利用分层抽样的性质判断即可. 【详解】（1）所有参与调研的人共有人， 不满意的人数是. 记事件“从所有参与调研的人中随机选取人，此人不满意”， 则所求概率为 （2）参与调研的青年人共有人，满意的有人. 记事件“从使用该款的青年人中随机选取人，此人满意”， 则的估计值为. 参与调研的中年人共有人，满意的有人. 记事件“从使用该款的中年人中随机选取人，此人满意”， 则的估计值为. 则从使用该款的青年人和中年人中各随机选取人， 恰有人“满意”的概率估计为， ； （3）这种抽样不合理. 理由：参与调研的名老年人中不满意的人数为， 满意和一般的总人数为，说明满意度之间存在较大差异， 所以从三种态度的老年中各选取人不合理.合理的抽样方法是采用分层抽样， 根据，，的具体数值来确定抽样的数目. 49．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的. (1)求丙投篮命中的概率； (2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； (3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先设甲，乙，丙投篮命中分别为事件，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，根据公式，即可求解； （3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根据概率的运算公式，即可求解. 【详解】（1）设甲投篮命中为事件，乙投篮命中为事件，丙投篮命中为事件， 由题意可知，，，， 则，, 所以丙投篮命中的概率为； （2）甲和乙命中，丙不中为事件， 则， 所以甲和乙命中，丙不中的概率为； （3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件， 则, 50．（24-25高一上·北京海淀·期末）某市在旅游旺季时，为应对景区可能出现人流量过大的情况，规定：当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取局部限流措施；当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取完全限流措施.小明计划假期去该市甲、乙、丙三个旅游景区旅行，他调查了甲、乙、丙三个旅游景区在去年同期天的限流措施情况，见下表：        景区限流情况 景区累计天数 不限流 局部限流 完全限流 甲景区累计天数 天 天 天 乙景区累计天数 天 天 天 丙景区累计天数 天 天 天 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三个景区限流情况相互独立. (1)小明某天到甲景区旅游，估计小明遇到完全限流的概率； (2)小明任选两天，分别到乙、丙两景区游览，估计小明在两个景区至少遇到一次限流（包括局部限流和完全限流）的概率； (3)小明计划在一天内从甲、乙、丙三个景区中选择两个景区，并分别在上午和下午游览.若存在以下两种情况之一，则不能完成游览： （ⅰ）在上午的游览中遇到局部限流，且下午的游览中遇到完全限流； （ⅱ）在上午的游览中遇到完全限流. 请帮助小明制定游览计划，使他完成游览的概率最大：上午游览 景区，下午游览 景区.（从“甲、乙、丙 ”中选择两个填写） 【答案】(1)； (2)； (3)甲，丙； 【分析】（1）由表格中数据求出频率即可. （2）利用相互独立事件及对立事件的概率求解. （3）按上下午选择景区情况分类，利用相互独立事件及对立事件的概率求出概率并比较大小得解. 【详解】（1）由数表知，天中，甲景区完全限流的天数是2，所以小明遇到完全限流的概率为. （2）由数表知，乙景区不限流的概率为，丙景区不限流的概率为， 所以小明在两个景区至少遇到一次限流的概率. （3）若小明上午选甲景区，下午选乙景区能完成游览的概率； 若小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率； 若小明上午选乙景区，下午选甲景区能完成游览的概率； 若小明上午选乙景区，下午选丙景区能完成游览的概率； 若小明上午选丙景区，下午选甲景区能完成游览的概率； 若小明上午选丙景区，下午选乙景区能完成游览的概率， 而最大，即小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率最大. 51．（23-24高一上·北京房山·期末）一个问题，甲正确解答的概率为，乙正确解答的概率为.记事件甲正确解答，事件乙正确解答.假设事件与相互独立. (1)求恰有一人正确解答问题的概率； (2)某同学解“求该问题被正确解答的概率”的过程如下： 解：“该问题被正确解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”， 所以随机事件“问题被正确解答”可以表示为. 所以. 请你指出这位同学错误的原因，并给出正确解答过程. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分析可知，事件“恰有一人正确解答”可表示为，利用互斥事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）指出该同学作答的错误之处，分析可知，“问题被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，可以表示为，利用互斥事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率，或利用对立事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）解：事件“恰有一人正确解答”可表示为， 因为、互斥，与相互独立， 所以. （2）解：该同学错误在于事件、不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式. 正确的解答过程如下： “问题被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”， 可以表示为，且、、两两互斥，与相互独立， 所以 . 或者. 52．（24-25高一上·北京西城·期末）根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单位：秒）： 50米跑单项等级 高一男生 高一女生 优秀 7.3及以下 8.0及以下 良好 7.4～7.5 8.1～8.6 及格 7.6～9.5 8.7～10.6 不及格 9.6及以上 10.7及以上 从某校高一男生和女生中各随机抽取12名同学，将其50米跑测试成绩整理如下： 男生：7.0  7.2  7.2  7.3  7.4  7.4  7.5  7.5  7.9  8.3  8.6  9.6 女生：7.4  7.6  7.6  7.8  7.9  8.0  8.3  8.4  8.7  9.2  9.4  10.4 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． (1)分别估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率； (2)从该校高一男生中随机抽取1人，高一女生中随机抽取1人，求2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率； (3)从该校高一女生中随机抽取2人．记“2人的50米跑单项至少有1个是优秀”为事件，记“2人的50米跑单项至多有1个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） 【答案】(1)，； (2)； (3)相互不独立. 【分析】（1）根据给定数据求出抽取的男生、女生中50米跑测试成绩为优秀等级的人数，再求出频率即可. （2）利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出结果. （3）利用相互独立事件的定义判断即可. 【详解】（1）由给定数据得，12名高一男生50米跑测试成绩在7.3及以下的有4人， 高一女生50米跑测试成绩在8.0及以下的有6人， 所以估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率分别为和. （2）该校高一男生中随机抽取1人50米跑单项等级是优秀的事件为， 高一女生中随机抽取1人50米跑单项等级是优秀的事件为， 抽取的2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的事件为，则， 由（1）知，，显然事件相互独立， 因此， 所以2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率为. （3）依题意，，， ，因此， 所以与相互不独立. 53．（23-24高一上·北京海淀·期末）国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“A:革命遗址及革命纪念建筑物”、“B:石窟寺”、“C:古建筑及历史纪念建筑物”、“D:石刻及其他”、“E:古遗址”、“F:古墓葬”．北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表： 行政区 门类 个数 东城区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 3 C:古建筑及历史纪念建筑物 5 西城区 C:古建筑及历史纪念建筑物 2 丰台区 A:革命遗址及革命纪念建筑物 1 海淀区 C:古建筑及历史纪念建筑物 2 房山区 C:古建筑及历史纪念建筑物 1 E:古遗址 1 昌平区 C:古建筑及历史纪念建筑物 1 F:古墓葬 1 延庆区 C:古建筑及历史纪念建筑物 1 (1)某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C:古建筑及历史纪念建筑物”的概率； (2)小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A:革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C:古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率； (3)现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C:古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查．记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率记为，试判断和的大小（直接写出结论）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意知总样本数为，C:古建筑及历史纪念建筑物共有，利用古典概率从而求解. （2）由题意可知小王参观A:革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C:古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区，然后分别求出他们参观东城区的概率，从而求解. （3）利用分类讨论求出相应的抽到海淀区的概率和抽不到海淀区的概率，从而求解. 【详解】（1）设选中参观单位恰好为“C:古建筑及历史纪念建筑物”为事件， 由题意知总共有，“C:古建筑及历史纪念建筑物”有， 所以. （2）设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件，由题意可知小王参观A:革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C:古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区， 所以小王参观东城区景区的概率为，小张参观东城区景区的概率为， 所以. （3）当抽到的个都是海淀区的概率为， 当抽到的个中有个是海淀区的概率为， 所以，， 所以. 【好题推送】 54．（24-25高一上·北京·期末）已知，从四个不等式 ①，②，③，④中任选2个，事件“所选2个不等式都不成立”的概率是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把四个不等式判断是否正确，进而用组合算出相应的概率. 【详解】取，，得，故①错误； 因为，所以两边同时乘以，得，故②错误； 因为，则，所以，当且仅当时取等号，显然等号无法取得，故③正确； 因为，所以，故④错误， 故四个命题中有一个是正确的，设事件“所选2个不等式都不成立”为事件A， 则. 故选：B. 55．（23-24高一上·北京·期末）从定义域及值域均为的函数中随机选一个记为，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题判断出严格增或严格减，然后根据定义域和值域得出答案. 【详解】，即且或且，即严格增或严格减； 因为定义域及值域均为，所以有3种情况，有2种情况，有1种情况，共有种情况， 其中严格增的有1种，即，严格减的有1种， 所以答案为， 故选：B. 56．（24-25高一上·北京·期末）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为“高性能服务器芯片鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“全自动驾驶芯片”、“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择的成果属于芯片领域的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】基本事件总数，至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，由此能求出至少有1名学生选择“芯片领域”的概率. 【详解】第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响,基本事件总数， 至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”， 则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率. 故选：D. 57．（24-25高一上·北京延庆·期末）已知A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天），记录如下： A组 11 12 13 14 15 16 17 B组 13 14 16 17 18 15 a 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙. (1)求甲的康复时间不少于14天的概率； (2)如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (3)写出a为何值时，A，B两组病人康复时间方差相等.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由题意可知，7人中有3人的康复时间不少于14天，据此计算即可； （2）根据表格，写出甲的康复时间比乙的康复时间长的所有可能，进而计算概率； （3）分别求出，组病人康复时间的方差，利用其相等即可求出的值. 【详解】（1）设事件为＂甲是组的第i个人＂，事件为＂乙是B组的第i个人＂，. 由题意，得 由题意可知，事件＂甲的康复时间不少于14天＂等价于＂甲是A组的第4人，第5人，或者第6人，或者第7人＂， 所以甲的康复时间不少于14天的概率是． （2）设事件C为＂甲的康复时间比乙的康复时间长＂，由题意，得 因此． （3）A组病人康复时间平均数为：， 其方差为：. B两组病人康复时间平均数为： 其方差为： 依题意：，解得或 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $