专题03 对指幂函数（七大题型+好题推送）（期末真题汇编 ，北京专用）高一数学上学期人教B版

专题03 对指幂函数（七大题型+好题推送） 7大高频考点概览 考点01 指数、对数混合运算 考点02 指数、对数比大小 考点03 指数函数综合题型 考点04 对数函数综合题型 考点05 幂函数 考点06 指对幂函数综合应用 考点07 指对数与其他知识点综合 地 城 考点01 指数、对数混合运算 1．（24-25高一上·北京延庆·期末）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】将对数式变成指数式，再根据指数、对数的运算性质求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故. 故答案为：. 2．（24-25高一上·北京房山·期末）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的运算性质求解即可． 【详解】因为，， 所以. 故选：D． 3．（23-24高一上·北京西城·期末）已知，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将指数式化为对数式得到的表示，然后根据对数的运算性质求解出的值. 【详解】因为，所以， 因为， 所以 故选：B. 4．（24-25高一上·北京·期末）计算（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】根据对数运算法则和幂的定义计算． 【详解】， 故选：C． 5．（23-24高一上·北京怀柔·期末）计算： ； ． 【答案】 3 【分析】结合指数、对数的运算法则，即可求解． 【详解】， . 故答案为：3；. 6．（24-25高一上·北京·期末）计算： ． 【答案】 【分析】利用根式的性质及对数的运算性质求解. 【详解】 . 故答案为：. 7．（23-24高一上·北京延庆·期末） 【答案】15 【分析】根据指数运算和对数运算法则计算. 【详解】 . 故答案为：15 8．（23-24高一上·北京房山·期末） ； . 【答案】 4 2 【分析】直接利用指数对数的运算性质计算即可. 【详解】， . 故答案为：；. 9．（24-25高一上·北京海淀·期末）计算：= . 【答案】 【分析】根据条件，利用指数幂的运算，即可求解. 【详解】因为， 故答案为：. 10．（24-25高一上·北京延庆·期末）计算下列各式的值或简化下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)4； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）利用对数运算性质及换底公式化简计算. （3）（4）利用指数幂的运算法则计算即得. 【详解】（1）. （2） . （3）. （4）. 地 城 考点02 指数、对数比大小 11．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合中间值，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即可. 【详解】依题意，， 因此实数的大小关系是. 故选：B 12．（24-25高一上·北京西城·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、对数函数的性质比较大小. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 13．（23-24高一上·北京怀柔·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合对数函数的单调性，即可求解． 【详解】， ， ， 综上所述，． 故选：D． 14．（23-24高一上·北京·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较函数值的大小. 【详解】因为函数在上为减函数，所以，即， 因为函数在上为增函数，所以，即， 所以. 故选：C 15．（24-25高一上·北京·期末）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】，，，. 故选：A. 16．（24-25高一上·北京·期末）设，，，则下列不等关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别构造指数函数、幂函数、对数函数，利用函数单调性，引入中量比较大小即可. 【详解】因为在上递减，所以， 又因为在上单调递增，所以， 因为在上单调递减，所以， 所以. 故选：D 17．（23-24高一上·北京延庆·期末）的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较大小. 【详解】，即，， 所以. 故选：D 18．（23-24高一上·北京昌平·期末），，三个数中最大的数是 . 【答案】 【分析】利用指数函数、对数函数等知识，与1，2进行比较即可求得正确答案. 【详解】， ，， ， 所以三个数中最大的是. 故答案为： 19．（23-24高一上·北京房山·期末）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数性质，确定与中间量0和1的大小关系即可. 【详解】, , . 所以. 故选：A. 20．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知，则实数a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合指、对数函数单调性运算求解. 【详解】因为， 由在上单调递增，可得，即； 由在内单调递增，可得，即； 由在内单调递增，可得，即； 综上所述：. 故选：D. 21．（24-25高一上·北京延庆·期末）（1）比较下列各题中两个值的大小，并说明理由： ①与； ②与； ③与0； ④已知实数a，b满足，与的大小. （2）设，其中且，比较与的大小，并证明. 【答案】（1）①；②；③；④；（2）答案见解析. 【分析】（1）利用指数函数、对数函数、幂函数单调性比较大小. （2）作差，利用对数运算，按分类，并结合对数函数单调性判断即得. 【详解】（1）①函数在R上单调递减，，所以； ②函数在上单调递减，，所以； ③函数在上单调递增，，所以； ④函数在上单调递增，由，得， 函数在上单调递减，所以. （2）函数，， ， 由，得， 当时，，因此； 当时，，因此. 地 城 考点03 指数函数综合题型 22．（24-25高一上·北京房山·期末）已知函数且，给出下列四个结论: ①函数在其定义域内单调递减； ②函数的值域为； ③函数的图象是中心对称图形； ④函数的图象过定点. 其中正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例判断①，②，利用函数的奇偶性判断③，利用指数函数的性质判断④即可. 【详解】令，此时，而， ，故函数在其定义域内不单调递减， 函数的值域不可能为；即①，②错误， 因为，的定义域关于原点对称， 故，即， 得到是奇函数，则函数的图象是中心对称图形，故③正确， 当时，，故函数的图象过定点，即④正确. 综上，其中正确结论的个数是，故B正确. 故选：B 23．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数则的单调递增区间为 ；满足的整数解的个数为 ．（参考数据：） 【答案】 215 【分析】第一个空，作出的图象，由图可知的单调递增区间；第二个空，分和两种情况解不等式. 【详解】作出的图象，由图可知，的单调递增区间为， 当时，，解得，即， 所以， 当时，，解得， 故满足的整数解的个数为215. 故答案为：；215. 24．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)记的最小值为，求的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时代入，再结合换元法和二次函数性质即可； （2）由（1）知，令，，则原函数可化为，根据对称轴与区间位置关系分情况讨论即可求得． 【详解】（1）设，因为，则， 则，， 当时，，， ∴时，，即当时，. （2）由（1）知，， 其图象的对称轴为． ①当时，在上单调递增，所以； ②当时，， ③当时，在上单调递减，所以. 综上，. 25．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (3)解关于t的不等式. 【答案】(1)； (2)单调递减，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义求出a的值. （2）利用指数函数的单调性判断在上的单调性即得. （3）由奇函数的性质及函数的单调性解不等式即得. 【详解】（1）函数的定义域为，由是奇函数，得， 因此，解得， 所以实数a的值为. （2）由（1）知，函数在上单调递减. 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 函数在上单调递减，所以函数在上单调递减. （3）因为函数是上的奇函数，且在上单调递减，则在上单调递减， 显然当时，，当时，， 不等式， 于是或或， 解，得，解，得无解，解，得， 所以不等式的解集为. 地 城 考点04 对数函数综合题型 26．（24-25高一上·北京延庆·期末）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，再借助图象关系求出不等式的解集. 【详解】在同一坐标系内作出函数的图象，如图， 观察图象知，当且仅当时，函数的图象不在直线的下方， 所以不等式的解集是. 故选：A 27．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的定义域，然后分析的单调性，再根据求解出不等式解集. 【详解】的定义域为， 因为均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以， 所以不等式解集为， 故选：B. 28．（24-25高一上·北京·期末）函数，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助函数的定义域与正负判断即可. 【详解】由的定义域为或，故排除AB， 又,则， , 故排除C. 故选：D. 29．（24-25高一上·北京西城·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用对数函数定义列出不等式求出定义域. （2）利用对数函数单调性，结合对数运算求解不等式. 【详解】（1）函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为. （2）不等式， 则，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 30．（24-25高一上·北京·期末）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)若，且，求的值； (3)若函数在的最大值与最小值之和为1，求实数的值. 【答案】(1)或； (2)1； (3)或． 【分析】（1）代入直接求解； （2）计算可知，由此得； （3）分析得函数在上最大值是1，分类讨论可求解． 【详解】（1）由题意，所以或，解得或； （2）由题意，又，且在上单调， 所以，即，所以； （3）显然时，取得最小值0，则函数在上的最大值是1， 由（2）可知， 由对数函数性质知在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，解得或． 31．（23-24高一上·北京西城·期末）已知函数. (1)求函数的零点； (2)求函数的图象与函数的图象的交点坐标； (3)若函数的图象恒在直线的下方，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指对数的运算求解即可； （2）代入可得，再整理成关于的二次方程求解即可； （3）化简令，可得，其中恒成立，再结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）令， 所以，即， 所以， 所以零点为. （2）令， 即， 所以， 整理得， ， 所以，. 所以函数的图象与函数图象的交点坐标为. （3）由得.   由题意，在恒成立， 即在恒成立. 所以在恒成立. 令， 则， 所以. 因为， 所以， 所以，. 所以的取值范围为. 32．（24-25高一上·北京延庆·期末）已知函数. (1)求函数的定义域、值域； (2)判断的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，求出反函数的解析式； (3)如果，求m的取值范围； (4)令，已知是偶函数，求a的值. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2)存在，理由见解析，； (3)； (4). 【分析】（1）利用对数函数求出定义域及值域. （2）确定单调性，结合反函数定义判断并求出解析式. （3）由单调性解不等式. （4）利用偶函数的定义求出参数值. 【详解】（1）函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为，值域为. （2）函数存在反函数， 函数在上单调递增，对每个函数值，都有唯一自变量与之对应，因此存在反函数， 由，得，，所以的反函数为. （3）函数在上单调递增，由，得，解得， 所以m的取值范围是. （4）依题意，，其定义域为R， 由是偶函数，得，则， 整理得，而不恒为0， 所以，即. 33．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知函数 (1)当时，若，求x的值: (2)若是偶函数，求出m的值: (3)时，讨论方程根的个数.并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用指数与对数的运算法则计算即可； （2）利用偶函数的定义待定系数计算即可； （3）先利用单调性定义判定函数单调性，再分类讨论结合零点存在性定理、函数奇偶性、单调性判定根的情况即可. 【详解】（1）当时, 若; （2）若是偶函数, 所以， 即: ， 所以； （3）当时，由（2）可知， 令，设， 则， 因为，则， 所以， 即 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递减， 又是偶函数，所以在上单调递增， 易知，所以为偶函数，， 则， 当时，方程没有实数根，          当时，方程，有且仅有1个实数根，              当 时，取，则， 所以在上，且在上单调递减， 由零点存在性定理可知在上，有1个实数根， 所以时，方程，有2个实数根. 综上所述：当时，方程没有实数根； 当时，方程有且仅有1个实数根； 当 时，方程有2个实数根. 34．（23-24高一上·北京房山·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)函数是定义在上的偶函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据对数函数定义域求法可得的定义域为； （2）利用定义域关于原点对称，由奇偶性定义可得为偶函数； （3）由对数函数单调性解不等式即可得不等式的解集为. 【详解】（1）由题意可得，解得. 所以函数的定义域为. （2）偶函数，证明如下： 函数的定义域为，关于原点对称. 因为， 所以. 即函数是定义在上的偶函数. （3）由， 得，即. 因为在是增函数，所以. 解得， 因为函数的定义域为. 因此不等式的解集为. 35．（24-25高一上·北京石景山·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)求证：在是减函数． 【答案】(1) (2)偶函数. (3)证明见解析 【分析】（1）根据对数型函数的定义域即可求解定义域； （2）根据奇偶性的定义即可判断奇偶性. （3）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由题意知:，解得， 所以的定义域为. （2）由（1）知的定义域为， . ， 所以是偶函数. （3）对于，且，                          因为，所以， 所以，即，                        所以，即，， 所以函数在是减函数. 地 城 考点05 幂函数 36．（24-25高一上·北京延庆·期末）已知幂函数，则“”是“在其定义域上是增函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举反例可以说明推不出在其定义域上是增函数；根据幂函数的性质可以知道在其定义域上是增函数则. 【详解】当时，，定义域为，但在定义域上不是增函数； 若幂函数在其定义域上是增函数，由其性质可以推出， 故“”是“在其定义域上是增函数”的必要不充分条件， 故选：B. 37．（22-23高一上·天津西青·月考）已知幂函数的图象过点，则这个函数的解析式为 . 【答案】 【分析】设出函数解析式，根据其图象经过的点，求得参数，则问题得解. 【详解】由题意可设，函数图象过点 即，. 故答案为：. 地 城 考点06 指对幂函数综合应用 38．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】直接代入计算即可得解. 【详解】因为，故. 故选：C.直 39．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数、对数函数和幂函数的图象与性质，结合排除法即可求解. 【详解】因为在同一坐标系中， 所以的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象， 由图象可知，所以单调递减，单调递增，故排除B， 故选：C. 40．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，即的图象在图象的上方，画出图象，即可得出答案. 【详解】因为的定义域为， 因为，， 由可得，即的图象在图象的上方， 画出的图象，如下图，    由图可知：不等式的解集是. 故选：D. 41．（20-21高一上·广东江门·期中）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（    ）． A．B．C．D． 【答案】B 【解析】根据时指数函数与对数函数均为定义域内的增函数即可得答案. 【详解】解：因为，函数为指数函数，为对数函数， 故指数函数与对数函数均为定义域内的增函数， 故选：B. 42．（23-24高一上·北京·期末）已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据分段函数的定义区间，结合函数解析式，求函数值. 【详解】函数，则. 故选：C 43．（23-24高一上·北京·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指对运算同构结合函数单调性逐项判断即可求解. 【详解】由，易得 且 , 令则，且 当，则，易知在单调递增，故，则； 当，，因为在单调递增， 又，得， 故；易知不成立，A错误； 当,则，； 当， 则，，且不成立，B错误； 故选：D 47．（23-24高一上·北京延庆·期末）假设有机体生存时碳14的含量为，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量满足的关系为（其中m₀，a都是非零实数）.若测得死亡5730年后的古生物样品，体内碳14的含量为0.5，又测得死亡11460年后这类古生物样品.体内碳14的含量为0.25.如果测得某古生物样品碳14的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为（取）（    ） A．10550年 B．7550年 C．8550年 D．9550年 【答案】D 【分析】根据已知指数函数模型列方程组求得，推测此古生物的死亡时间为年，再列方程求得（利用对数的运算）． 【详解】由已知，解得，即， 推测此古生物的死亡时间为年，则，， 所以，． 故选：D． 48．（23-24高一上·北京·期末）在企业生产经营过程中，柯布-道格拉斯生产函数有着广泛的应用，这是双自变量的函数，其表达式为：，其中自变量分别表示生产过程中劳动要素和资本要素的投入，函数值表示产量，常数是代表生产技术水平的参数，常数分别表示劳动和资本的产出弹性系数．在产量不变的情况下，点组合构成一条曲线，称为等效产出曲线．如图，某企业时的等效产出曲线分别与过原点的射线交于点，若，则约为（    ） 参考数据： A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．3.8 【答案】D 【分析】根据题目条件得到，设，求出，，从而得到，代入计算，结合，求出答案. 【详解】由题意得且， 设，则， 则， 两式相除得，， 两边取对数得，， ， 又，故， 又，即， 所以，故， 故， 因为，所以， ，所以 故选：D 49．（24-25高一上·北京石景山·期末）阿拉伯数字、十进制和对数是数学计算方面的重要发明，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，对估算“天文数字”具有独特的优势. 下列各数中与最接近的是（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用指数式与对数式的互化关系，结合对数运算即得. 【详解】令，则， 所以，即与最接近的是. 故选：B. 50．（2023·北京房山·一模）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（    ） （精确到0.1，参考数据：） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 【答案】B 【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数. 【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时， 由题意可得，，两边同时取自然对数并整理， 得，， 则，则给氧时间至少还需要小时 故选： B 51．（23-24高一上·北京海淀·期末）科赫曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据题意得出曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的，再根据题设条件即可得出结果. 【详解】由题意曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的， 因为，即，则， 所以分形维数是. 故选：D. 52．（23-24高一上·北京西城·期末）一种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中，而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得以及，解方程组即可求出. 【详解】由已知细胞5岁和60岁的分裂速度相等，即， 所以，整理得①， 又分裂速度变化是连续的，则，整理得， 所以， 解得 故选：B, 53．（24-25高一上·北京房山·期末）据说古印度国王为了奖赏国际象棋的发明者，让他提一个要求.发明者说：我想在棋盘的第个格子里放上颗麦粒，在第个格子里放上颗麦粒，在第个格子里放上颗麦粒，在第个格子里放上颗麦粒，，每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的倍，直到第个格子，国王欣然同意.通过计算，该发明者所要求的麦粒数为.你认为，，，四个数中与最接近的是 ．（参考数据：） 【答案】 【分析】计算的对数，比较可得答案. 【详解】，因为，所以， 所以，，，四个数中与最接近的是. 故答案为： 54．（24-25高一上·北京延庆·期末）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为，则有，给出下列四个结论： ①等级为0dB的声音的强度为； ②函数在定义域上是增函数； ③等级为80dB的声音与70dB的声音强度之比是10； ④等级为60dB的声音与90dB的声音强度之比是1000. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】对于①，由求出即可；对于②，利用复合函数的单调性判断即可；对于③，令，，分别求出，，计算即可；对于④，令，，分别求出，，计算即可. 【详解】对于①，由即，可得， 因此等级为0dB的声音强度为，故①正确； 对于②，令，则，易知和在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在定义域上是增函数，故②正确； 对于③，设，则，解得． 设，同理可得． 因此所求两种等级声音的强度之比为，故③正确； 对于④，设，则，解得． 设，同理可得． 因此所求两种等级声音的强度之比为，故④错误. 故答案为：①②③. 55．（23-24高一上·北京·期末）已知函数的定义域是． (1)求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得恒成立，然后可得答案； （2）利用指数函数的单调性解出答案即可. 【详解】（1）∵函数的定义域是， ∴恒成立，则，解得，∴实数a的取值范围为． （2），即，∵，∴，即，解得， 故不等式的解集为． 地 城 考点07 指对数与其他知识点综合 56．（23-24高一上·北京怀柔·期末）设，，则p是q的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件 【答案】B 【分析】分别求出命题p，q的x的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断求解． 【详解】命题p：由可得：； 命题q：由可得：， 因为⫌， 则p是q的必要不充分条件． 故选：B． 57．（24-25高一上·北京西城·期末）函数的定义域为，函数的值域为，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出函数定义域及值域化简集合，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】函数中，，即，解得，即， 函数的值域，集合是集合的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 58．（23-24高一上·北京房山·期末）在信息论中，设某随机事件发生的概率为，称为该随机事件的自信息.若按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币，则事件“恰好出现一次正面”的自信息为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】依题意计算出事件“恰好出现一次正面”的概率为，代入计算可得结果. 【详解】根据题意可知，按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币共有“正正、反反、正反、反正”四种情况， 则事件“恰好出现一次正面”的概率为， 所以“恰好出现一次正面”的自信息为. 故选：B 59．（20-21高一上·北京丰台·期末）已知函数，，，，则下列结论正确的是（    ） A．函数和的图象有且只有一个公共点 B．，当时，恒有 C．当时，， D．当时，方程有解 【答案】D 【分析】对于A，易知两个函数都过，结合特值和图象可得函数和的图像有两个公共点；对于B，由函数的增长速度可判断；对于C，当时，作图可知，有恒成立；对于D，当时，易知两个函数都过点，即方程有解； 【详解】对于A，指数函数与一次函数都过， 且，， 故还会出现一个交点，如图所示，所以函数和的图像有两个公共点，故A错误； 对于B，，均单调递增， 由对数函数的性质可得对数函数的增长速度越来越慢，逐渐趋近0，一次函数的增长速度固定，所以不存在，当时，恒有，故B错误； 对于C，当时，指数函数与对数函数互为反函数，两函数图像关于直线对称，如图所示， 由图可知，，有恒成立，故C错误； 对于D，当时，，，由知，，且两个函数都过点，即方程有解，故D正确； 故选：D 60．（24-25高一上·北京西城·期末）已知函数，．当时，若曲线和有一个公共点，则实数的一个取值为 ． 【答案】1（答案不唯一，） 【分析】构造函数，将问题转化为函数在有一个零点问题求解. 【详解】令函数， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 依题意，函数在有一个零点，因此，解得， 所以实数的取值范围是，的一个取值为1. 故答案为：1（答案不唯一，）. 61．（23-24高一上·北京延庆·期末）函数的图像如图所示，定义域为，其中，，当时.图像是二次函数的一部分，其中顶点，当时，图像是指数函数的一部分. (1)求函数的解析式: (2)求不等式的解集： (3)若对于，恒有恒成立.求出的取值范围（不要求计算过程）. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分类讨论分别用待定系数法求得解析式； （2）分类讨论解不等式可得； （3）作出函数的图象，由图象得出的解集，从而得，然后可得结论． 【详解】（1）当时，图像是二次函数的一部分，设解析式为， 根据题意可知：，解得：， 当时，图像是指数函数的一部分，设解析式为， 根据题意可知：，所以， 所以. （2）由（1）可化为：，解得， 或，解得， 综上，不等式的解集为； （3）在坐标系中再作出的图象，如图，由图象可知不等式的解集为， 所以由题意，，所以，即的范围是． . 62．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知函数① ②.    从这两个函数中选择一个、并完成以下问题. (1)求的解： (2)在x轴上取两点和，设线段的中点为C，过点A，B，C分别作x轴的垂线，与函数的图象交于，线段 中点为M. （i）求 （ii）判断 与的大小.并说明理由. 【答案】(1)选择函数；选择函数； (2)（i）选择函数；选择函数；（ii），理由见解析 【分析】（1）根据解析式代入运算求解； （2）根据题意，求出的坐标，根据向量模的坐标公式运算判断. 【详解】（1）选择①，. 选择②，. （2）选择①，线段的中点为C为，分别为，，，线段中点M 为 ，              ；                所以，       所以 即.                   选择②，线段的中点为C为，分别为，，,     线段中点M 为，                         ；          ，又 ，                 所以 即. 63．（23-24高一上·北京西城·期末）对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合. (1)分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由， ①；②； (2)若（）是集合中的元素，求的最小值； (3)若，求证：是的充分不必要条件. 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3)证明见解析 【分析】（1）判断①时，取结合定义进行分析；判断②时，根据的结果进行分析； （2）分别考虑： ，然后根据定义结合对数运算以及对数函数单调性分析出时，时，由此可确定出的最小值； （3）根据定义直接分析充分性，证明必要性成立时取，然后分析在上的单调性，由此推出矛盾完成证明. 【详解】（1）①不是. 当时，， ， 所以不是集合中的元素； ②是. ，， 所以是集合中的元素. （2）当时，，， ， 因为，在上单调递减， 故成立，即； 若，令，， ， 因为，在上单调递减， 所以，因此， 综上所述，的最小值为1. （3）充分性：因为，所以，，，进而， 同理，相加得，即，所以充分性满足； 必要性：设，，， 所以，此时，当时，， 所以在上单调递减，因此，所以必要性不满足； 综上所述，是的充分不必要条件 【好题推送】 64．（23-24高一上·北京昌平·期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（   ） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 【答案】D 【分析】变形函数解析式，再与指定函数比对即得. 【详解】函数化为：，显然把函数的图象下移2个单位长度即得的图象， 所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向下平移2个单位长度. 故选：D 65．（24-25高一上·北京房山·期末）已知函数且，那么下列命题中的假命题是（     ） A．若，则或 B．若，且，则 C．存在正数，使得函数恰有个零点 D．不存在实数，使得函数恰有个零点 【答案】D 【分析】由且即可求解判断A；由对数函数，且，为单调函数结合题设即可求解判断B；在同一坐标系中作出函数以及函数在点处的切线和函数图象即可判断C；由与图象均与直线相交于两点时可判断D. 【详解】对于A，且，所以或，故A正确； 对于B，因为函数，且，为单调函数，，且， 所以，故B正确； 对于C，当时，作出函数以及函数在点处的切线和函数图象如图所示，    由图可知存在正数，使得函数恰有个零点；故C正确； 对于D，因为与图象关于直线对称，如图：    由图可知当与图象均与直线相交于两点时，图象与函数图象相交于3个点， 所以存在实数，使得函数恰有个零点，故D错误. 故选：D. 66．（24-25高一上·北京西城·期末）给定函数．若曲线上任意一点的坐标满足，则称函数具有“线性控制”性质．给出下列四个函数： ①；                            ②； ③；                    ④ 其中具有“线性控制”性质的函数的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】对于①，直接利用题设定义，即可判断；对于②，由，当时，，即可判断；对于③，利用基本函数的图象与性质，在同一坐标系中作出和，借助图象即可判断；对于④，在同一坐标系中作出和的图象，数形结合，即可求解. 【详解】对于①，当时，因为恒成立，所以具有“线性控制”性质， 对于②，当时，因为， 当时，，此时，即，所以不具有“线性控制”性质， 对于③，令，在同一坐标系中作出和的图象， 由图1知与相交于，不妨设点的横坐标为，易知当时，， 所以当时，不成立，故不具有“线性控制”性质， 对于④，令，在同一坐标系中作出和的图象，如图所示， 由图知，当时，的图象恒在下方，即， 所以具有“线性控制”性质， 故答案为：①④. 67．（24-25高一上·北京·期末）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)若对于，恒成立，求的取值范围； (3)若关于的方程有两个不同的实数解，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先确定函数的定义域，再利用对数运算和换元法化简解析式，根据二次函数的单调性和复合函数的单调性判断方法确定函数的单调性，进而求得最值； （2）将的解析式代入不等式，利用换元法得对于，恒成立，将恒成立问题转化为最值问题，利用对勾函数的单调性求最值即可； （3）画出函数的图象，将方程有两个不同的实数解转化为函数和的图象有两个交点即可. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， ， 令，则，则． 因为二次函数开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 由，得，解得， 又因为对数函数是增函数， 所以根据复合函数的单调性判断方法可知： 函数在上单调递减，在上单调递增． 因此当时，有最小值，最小值为； （2）由，得． 令，由，得． 由题意可知，对于，恒成立，即恒成立． 令，则，． 由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 且，， 所以当时，． 因此，解得，即． （3）结合（1）可画出函数的大致图象如下： 如图所示，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 并且，， 因此当时，关于的方程有两个不同的实数解. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03对指幂函数（七大题型+好题推送） ☆7大高频考点概览 考点01指数、对数混合运算 考点02指数、对数比大小 考点03指数函数综合题型 考点04对数函数综合题型 考点05幂函数 考点06指对幂函数综合应用 考点07指对数与其他知识点综合 目目 考点01 指数、对数混合运算 1. (24-25高一上北京延庆期末)己知log4a=log2sb=2V3,则g(ab)的值为 2. (24-25高一上北京房山期末)已知log23=a,1og25=b,则1og215=() A.ab b B. C.a-b D.atb 3 9 ,(23-24高一上：北京西城：期末)已知3°=4,6=1og4,则a+b=（) A.9 B.2 C.i D.-2 4.(24-25高一上北京期末)计算210g,6-10g,4+π°=() A.1 B.2 C.3 D.6 3 5.(23-24高一上北京怀柔期末)计第：5°+42=一：1+g+lg0 6.(2425高一上北京期末)计算：1og,V5+1g20-1g2+e片--2- -2 3 7.(23-24高一上·北京延庆期末》 1 2 +42+lg2+lg5+lne2=_ 8.(23-24高一上·北京房山期末) 83 1g4+21g5= 2425宽-上老家淀期末)计算：+6 10.(24-25高一上，北京延庆期末)计算下列各式的值或简化下列各式： 1/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 ()1o8,8+1og3+lg5+lg20: (2)e5+1og2(4×2)+log169+log2m8 21 5x3y2 (3) 5 -4xy2.(-x3y4) 6 m+m1+2 (411 m2+m2 目目 考点02 指数、对数比大小 11.(24-25高一上北京海淀期末)已知a=1og:4,b=log25,c=205,则实数a,b,c的大小关系是() A.b>a>c B.bxcxa C.cxbxa D.c>a>b 12.（24-25高一上北京西城期末)已知a=10go,2024,b=2024°9，c=0.93024,则（) A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a 13.(23-24高一上北京怀柔期末)已知a=22,b=log23,c=l0g20.5,则a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 14.(23-24高一上北京期末)已知a=g0.3,b=0.31，c=0.32,则() A.c>b>a B.b>axc C.bxcx a D.a>b>c 15.(24-25高一上北京·期末)已知a=logo30.2,b=logo20.3,c=0.2°，则a,b,c的大小关系为() A.b<c<a B.a<b<c C.a<c<b D.c<b<a 16.（24-25高一上北京期末)设a=0.54,b=0.45,c=l0g0.50.4,则下列不等关系成立的是() A.a>b>c B.cxb>a C.bxaxc D.c>a>b 17.(23-24高一上北京延庆期末) b=25,c=1og,号的大小关系为() A.a<b<c B.c<b<a C.a<c<b D.c<a<b 18.(23-24高一上，北京昌平期末)0.33,1og310,27三个数中最大的数是 19.（23-24高一上北京房山期末)设a=log20.3,b=0.32,c=23,则a,b,c的大小关系为() A.a<b<c B.a<c<b 2/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.b<a<c D.b<c<a 20.(23-24高一上北京海淀期末)已知a=2,b=log25,c=logV2,则实数a,b,c的大小关系是() A.c>axb B.c>bxa C.axc>b D.axb>c 21.(24-25高一上·北京延庆·期末)(1)比较下列各题中两个值的大小，并说明理由： ①0.9与0.91； ②(a2+2)01与201； ③log0.5与0： ④已知实数a,b满足6>6，（月与（的大小 (2)设)=ogx,其中a>0且a1,比较片与f点)的大小，并证明 2 目目 考点03 指数函数综合题型 22. (24-25高一上北京房山期末)已知函数f)=a-(a>0且a≠1)，给出下列四个结论 a"+1 ①函数f(x)在其定义域内单调递减： ②函数f(x)的值域为(0,1)； ③函数f(x)的图象是中心对称图形： ④函数f(x)的图象过定点(0,0). 其中正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 23.(23-24高一上北京海淀期末)已知函数f(x)= 2,x之0，则()的单调递塔区间为 -x2,x<0, 满足|f(x)K4×104的整数解的个数为」 (参考数据：lg2≈0.30) 24.(23-24高一上云南昆明期末)已知函数f(x)=4-a21,x∈【-1,2引 (1)当a=2时，求f(x的最小值： (2)记f(x的最小值为g(a,求ga的解析式. 3/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25.(23-24高一上北京昌平期末)已知函数f)=2- +a是奇函数 (I)求实数a的值： (2)判断函数f(x)在区间(0，+o)上的单调性，并说明理由： (3)解关于t的不等式f1-3)+f(t-2)<0, 目目 考点04 对数函数综合题型 26. (24-25高一上·北京延庆期末)不等式10g,x≥二(x-1)的解集是() A.{xl≤x≤3 B.{x1≤x≤4 C.xx21 D.{x0≤x≤1或x之3 27.(23-24高一上，北京海淀·期末)已知函数f(x)=1og2(x+1)+x-2,则不等式f(x)<0的解集为() A.（-0,l B.-1,1 C.(0, D.(1,+o) 28.(2425高一上北京期末)函数f(x)=log.(x-1),(0<a<1的图象可能是() B 29.(24-25高一上·北京西城期末)己知函数f(x)=1og2(2-x)+10g2(1+x). (1)求f(x)的定义域： (2)求不等式f(x)≤1的解集. 30.（24-25高一上·北京·期末)已知函数f(x=logx(a>0,a≠1) 诺f2=求实数c的值： (2)若0<x<2,且fx)=fx2),求x2的值； 4/12 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)若函数f(x)在 23的最大值与最小值之和为1，求实数a的值 31.（23-24高一上·北京西城期末)已知函数f(x)=1og24-8) (1)求函数f(x)的零点； (2)求函数f(x)的图象与函数g(x)=x+1的图象的交点坐标： (3)若函数f(x的图象恒在直线y=4x+b的下方，求b的取值范围 32.(24-25高一上北京延庆期末)己知函数f(x)=1g(x+1) (I)求函数f(x)的定义域、值域； (2)判断f(x)的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，求出反函数的解析式： (3)如果f(2m)<f(m+2),求m的取值范围； (4)令g(x)=f10-)+2ax,已知g(x)是偶函数，求a的值 33.(23-24高一上北京延庆期末)已知函数f(x)=log1(3+1-mx,m∈R 2 (1)当m=0时，若f(x=-2,求x的值： (2)若∫(x)是偶函数，求出m的值 (③m=时，讨论方程了小到=b根的个数并说明理由 34.（23-24高一上北京房山期末)已知函数fx=l0g,(2+x+l0g,(2-x) (1)求f(x的定义域： (2)判断∫(x的奇偶性，并证明： (3)解关于x的不等式f(x)≥1. 35.(24-25高一上北京石景山期末)已知函数f(x=ln3+x+ln3-x). (1)求函数f(x)的定义域： (2)判断函数f(x的奇偶性； (3)求证：f(x在(0,3)是减函数. 目目 考点05 幂函数 5/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 36.(24-25高一上·北京延庆期末)己知幂函数f(x)=x,则“a>0”是“f(x)在其定义域上是增函数”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 37.(22-23高一上天津西青·月考)己知幂函数y=∫(x)的图象过点2,2√2)，则这个函数的解析式为】 目目 考点06 指对幂函数综合应用 log2x,x>0 38. (23-24高一上，北京延庆期末)已知函数f(x)= 3,x≤0 则4 的值为() 1 A. 9 B.5 C.-2 D.2 39.(23-24高一上北京海淀·期末)在同一个坐标系中，函数∫x=log。x,gx)=a,hx)=x的部分图象 可能是() B 40.(23-24高一上·北京石景山期末)已知函数f(x=1og2x-x+1,则不等式f(x<0的解集是() A.(0,1 B.（-0,1U(2,+o）C.(1,2) D.(0,1)U2,+0】 41.(20-21高一上广东江门期中)当a>1时，在同一坐标系中，函数y=a与y=l0g。x的图象是(). 6/12 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 42.(23-24高一上·北京期末)已知函数f(x)= 2-log2x,x≥1 4,x<1 A.-1 B.0 C.1 D.2 43.（23-24高一上北京期末)若a·2°=2b.log42b)(a≥0，则() A.2a<b B.2a>b C.2<b D.2>b 47.(23-24高一上·北京延庆·期末)假设有机体生存时碳14的含量为m。,那么有机体死亡x年后体内碳 14的含量满足的关系为y=ma◆（其中mo,a都是非零实数）若测得死亡5730年后的古生物样品，体内 碳14的含量为0.5，又测得死亡11460年后这类古生物样品.体内碳14的含量为0.25如果测得某古生物样 品碳14的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为（取g2≈0.3，g3≈0.5）() A.10550年 B.7550年 C.8550年 D.9550年 48.(23-24高一上·北京·期末)在企业生产经营过程中，柯布-道格拉斯生产函数有着广泛的应用，这是双 自变量的函数，其表达式为：Q=ALKB,其中自变量L,K分别表示生产过程中劳动要素和资本要素的投 入，函数值Q表示产量，常数A是代表生产技术水平的参数，常数，B分别表示劳动和资本的产出弹性系 数.在产量？不变的情况下，点(L,K)组合构成一条曲线，称为等效产出曲线.如图，某企业Q=10,20,30 时的等效产出曲线分别与过原点的射线交于点(L,K),(L2,K,),(L,K;),若L=2,L2=3,则L约为() 7/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0=30 K 0=20 Q=10 0 L1 L2 L3 参考数据：10g23≈1.585,35≈1.732,35≈1.830,306≈1.933 A.3.2 B.3.4 C.3.6 D.3.8 49.(24-25高一上·北京石景山期末)阿拉伯数字、十进制和对数是数学计算方面的重要发明，其中对数 的发明，大大缩短了计算时间，对估算“天文数字”具有独特的优势.下列各数中与2.5225最接近的是() (参考数据：lg2≈0.301，lg5≈0.699) A.10802 B.1006 C.10810 D.10814 50.(2023北京房山一模)血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是 95%~100%,当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模 型：S(t)=Se描述血氧饱和度S(t)随给氧时间t(单位：时)的变化规律，其中S,为初始血氧饱和度，K 为参数.已知S。=60%,给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧 时间（单位：时）为() (精确到0.1，参考数据：1n2≈0.69，ln3≈1.10) A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.9 51.(23-24高一上·北京海淀期末)科赫Koch)曲线是几何中最简单的分形.科赫曲线的产生方式如下： 如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“八”， 将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线..在分形中，一个 图形通常由N个与它的上一级图形相似。且相似比为？的部分组成。若P=人，则称D为该图形的分形维 数.那么科赫曲线的分形维数是() 8/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 n=0级 n=1级 A.log23 B.log:2 C.1 D.210g,2 52.(23-24高一上北京西城期末)一种细胞的分裂速度￥（单位：个/秒）与其年龄t(单位：岁)的关系 0.5t,0≤t≤10， 可以用下面的分段函数来表示：v(t)= 7,1>10,其中a,b∈R,而且这种细胞从诞生到死亡，它 2a b+log2 a 的分裂速度变化是连续的.若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则α≈() (参考数据：log23≈1.585) A.6.402 B.6.462 C.6.502 D.6.522 53.(24-25高一上·北京房山期末)据说古印度国王为了奖赏国际象棋的发明者，让他提一个要求发明者 说：我想在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上22颗麦粒， 在第4个格子里放上2颗麦粒，，每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个 格子，国王欣然同意通过计算，该发明者所要求的麦粒数为24-1.你认为100,105,102”，105四个数中 与264-1最接近的是 ·(参考数据：lg2≈0.3010) 54.(24-25高一上·北京延庆期末)人们通常以分贝（符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，其中 OdB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f(x)dB,则有 f=10gx10,给出下列四个结论： ①等级为0dB的声音的强度为1×102： ②函数∫x)在定义域上是增函数： ③等级为80dB的声音与70dB的声音强度之比是10； ④等级为60dB的声音与90dB的声音强度之比是1000. 其中所有正确结论的序号是 55.(23-24高上北京·期末)己知函数f(x)=log2x2-2x+a的定义域是R. (1)求实数a的取值范围： 9/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解关于x的不等式a3r-"< 目目 考点07 指对数与其他知识点综合 56.(23-24高一上北京怀柔期末)设p:x<1,q:lnx<0,则p是q的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件 57.(24-25高一上·北京西城期末)函数f(x)=V2-log2x的定义域为A,函数g(x)=4-x2的值域为B, 则“x∈A”是“x∈B”的()条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 58。(23-24高一上北京房山期未)在信息论中，设某随机事件发生的概率为P,称10g,)为该随机事件 D 的自信息若按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币，则事件“恰好出现一次正面”的自信息为() A.0 B.1 C.2 D.3 59.(20-21高一上北京丰台期末)己知函数∫(x)=2,∫x)=2x+1,81(x=log。x(a>1), 8,(x)=kx(k>0),则下列结论正确的是() A.函数(x)和∫2x)的图象有且只有一个公共点 B.3∈R,当x>x时，恒有g1x>g2x C.当a=2时，3x,e(0,+o),f(xo)<gxo) D.当a时，方程8=8：有解 24-25高一上北京西城期末)已知函数f)=1ogx,g)-a,当x∈山，2)时，若曲线y 和y=g(x)有一个公共点，则实数a的一个取值为 61.(23-24高一上北京延庆期末)函数f(x)的图像如图所示，定义域为[0，+∞)，其中A(1,8),B(2,4), 当x∈[0,2]时.图像是二次函数的一部分，其中顶点A(1,8),当x∈[2，+o)时，图像是指数函数的一部分 10/12