专题08 期末必刷解答题（七大题型）（期末真题分类汇编 上海专用）高一数学上学期沪教版

【解析版】 专题08 期末必刷解答题（七大题型） 7大高频考点概览 考点01 集合与逻辑 考点02 等式与不等式 考点03 幂、指数与对数 考点04 幂函数、指数函数与对数函数 考点05 函数的概念、性质及应用 考点06 三角 考点07 综合题 地 城 考点01 集合与逻辑 1．(24-25上海市徐汇区2024-2025学年高一上学期学习能力诊断数学试卷) 已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或；(2)或. 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】（1）应用集合的并补运算求集合； （2）根据包含关系列不等式求参数范围即可. 【详解】（1）由题设，则或， 所以或. （2）由且恒成立，即为非空集， 所以或，即或. 2．(24-25上海市金山中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）解不等式可得集合，由交集结果可求得的取值范围为； （2）根据必要非充分条件可知集合是集合的真子集，解不等式可得的取值范围为； 【详解】（1）解不等式可得，显然 若，可得或， 解得或， 即实数的取值范围为； （2）若“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集； 可得，解得， 因为不等式两端等号不会同时成立， 所以实数的取值范围为. 地 城 考点02 等式与不等式 3．(24-25上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知集合，． (1)若，求和B； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；；(2)． 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、分式不等式、公式法解绝对值不等式 【分析】（1）分别求出集合A和集合B即可. (2) 因为“”是“”的充分不必要条件，所以,即可求出a的取值范围. 【详解】（1）当时，化为，则， ，； 化为，则， 所以 （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 又， 所以且等号不同时成立， 解得，即的取值范围为． 4．(24-25上海市七宝中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题) 对于两个实数，，规定， (1)证明：关于的不等式解集为； (2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； (3)设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，或或 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、绝对值的三角不等式应用、分类讨论解绝对值不等式、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式即可证明； （2）解集非空转化为最大值大于1解不等式即可； （3）先解一元二次不等式和绝对值不等式确定，再分和两种情况讨论求解可得的值. 【详解】（1）不等式化为， 当时，，解得，又，所以； 当时，，符合题意，则； 当时，，解得，又，所以； 综上所述：，即关于的不等式解集为. （2）不等式即解集非空， 记，则， ，当等号成立. 故，解得或，故实数的取值范围. （3）由得，解得； 不等式即，也即， 当时，，解得，故； 当时，，解得，故. 综上所述：. 故. 不等式即，也即， 当时，，解得，满足条件； 当时，设， 因为，所以， 所以，解得或. 当，， 当，， 当，，，符合题意， 当，， 当，，， 当，，，符合题意. 综上，或或. 【说明】关键点是：对于解集非空问题即有解问题，可以分离变量转化为函数的最值问题， 即有解，有解. 5．(24-25上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知函数，且为常数． (1)当时，求的解集； (2)当，恒有，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、求指数函数在区间内的值域、解不含参数的一元二次不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）令，则，解得； （2）换元得到在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，由函数单调性求出的最小值，得到. 【详解】（1）时，， 令，则，，解得， 故，解得，故不等式的解集为； （2）， ，令，则在上恒成立， 故在上恒成立， 其中在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为2， 故. 地 城 考点03 幂、指数与对数 6．(24-25上海市延安中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知函数，判断函数的奇偶性，并加以证明. 【答案】是奇函数，证明见解析 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用奇函数的定义证明是奇函数. 【详解】由，得， 所以的定义域为且关于原点对称， 又， 所以是奇函数. 地 城 考点04 幂函数、指数函数与对数函数 7．(24-25上海市金山区2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，当时，，求函数的最小值； (3)当且时，关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求对数型复合函数的值域、简单的对数方程、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据对数函数的单调性和指数函数的单调性解不等式即可； （2）利用对数运算化简函数的解析式，再由对勾函数的单调性和复合函数的单调性判断方法求函数的值域，进而得最小值； （3）利用对数运算将问题转化为方程有唯一解，化简成一元二次方程，根据一元二次方程的根使得对数有意义列不等式，求解即可. 【详解】（1）依题意，由，得，则，，解得， 所以不等式的解集为. （2）由题意知， 由，得，所以函数在区间上单调递增， 所以，则， 所以函数的最小值为. （3）由， 得①，化简得②， 当且时，方程②的解为，， 若是方程①的解，则，解得； 若是方程①的解，则，解得； 由题意，方程①的解集中恰好有一个元素，所以. 因此，a的取值范围为. 【说明】关键是：解对数不等式，指数不等式往往是化为同底，然后利用对数函数，指数函数的单调性来求解. 8．(24-25上海市虹口区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 设，已知是上的奇函数. (1)求的值，并判断函数的单调性； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，函数是上的增函数 (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、判断指数型复合函数的单调性、函数不等式恒成立问题、由奇偶性求参数 【分析】（1）利用奇函数的定义求出，再借助指数函数的单调性判断的单调性 （2）由（1）及已知，等价变形给定不等式，分离参数并利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】（1）由函数是上的奇函数，得， 则，而，解得， 函数，函数都是上的增函数，因此函数是上的增函数， 所以，函数是上的增函数. （2）由（1）知，函数是上单调递增的奇函数， 对任意，不等式 ，而，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 9．(24-25上海市上海中学东校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 完成如下问题： (1)解方程：； (2)设，解不等式：； 【答案】(1)3或4 (2) 【知识点】简单的对数方程、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）根据对数值运算求值； （2）先应用对数函数单调性及定义域化简列不等式组，最后结合指数函数单调性解指数不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以或； （2）因为单调递增，又因为， 所以， 所以，计算得， 所以，所以解集为. 10．(24-25上海市延安中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 若函数在其定义域内给定区间上存在实数使得，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点： (1)判断函数是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由： (2)设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的实数对； (3)若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围； 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)或 (3) 【知识点】函数新定义、对勾函数求最值 【分析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到，求出，即可判断出结果； （2）先由题意，得到，推出，结合题中条件，即可得出结果. （3）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在，使，利用换元法，结合对勾函数的性质，即可求出结果； 【详解】（1）由题意可知，由于， 则不是是区间上的“平均值函数”； （2）因为函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点， 所以， 即， 所以，又因为，， 所以或或， 因为1是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得， 所以满足条件的数对有或. （3）因为函数是区间上的“平均值函数”， 所以存在，使， 即，即 ， 令， 所以， 由于，故单调递增，所以， ， 因此，； 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解即可. 11．(24-25上海市吴淞中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知，函数； (1)当时，解不等式； (2)若函数的值域为，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）由题意得到对数不等式，求解不等式即可； （2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数的不等式，求解即可. 【详解】（1）由已知 时， 不等式 等价于 ， 所以 ，所以 ，所以 ， 所以不等式 的解集为 ． （2）因为函数 的值域为， 即 的值域为， 故 能够取到一切大于0的实数， 当时, ,不符合题意； 当 时， ，不符合题意； 当 时，根据二次函数的图象和性质可得 ，解得或，所以； 综上所述：的取值范围是． 12．(24-25上海市虹口区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知函数的定义域为集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、必要条件、并集的概念及运算、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）先根据函数求定义域，再根据并集的运算可得； （2）由题意，可得，进而可得. 【详解】（1）由得，得， 故函数的定义域为， 当时，， . （2）若是的必要条件，则， 故，得， 故实数的取值范围为 13．(24-25上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知函数． (1)讨论函数的定义域； (2)当时，解关于的不等式：． 【答案】(1)当时；当时，． (2) 【知识点】对数型复合函数的单调性、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）由，得，下面分类讨论：当时，；当时，即可求得的定义域； （2）根据函数的单调性解答即可； 【详解】（1）由，得， 当时，； 当时，； 所以的定义域是当时；当时，． （2）当时，任取，且， 则，所以． 因为，所以，即． 故当时，在上是增函数． ∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴，即不等式的解为. 14．(24-25上海市奉城高级中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题) 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”， 是它的一个均值点. （1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； （2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围； （3）设函数是区间上的“平均值函数”， 是函数的一个均值点，求所有满足条件的数对. 【答案】（1）函数是区间上的“平均值函数”，理由见解析；（2）；（3）. 【知识点】函数新定义、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、求指数型复合函数的值域 【解析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到，求出，即可判断出结果； （2）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在，使，利用换元法，结合指数函数的性质，即可求出结果； （3）先由题意，得到，推出，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】（1）函数是区间上的“平均值函数”，理由如下： 由题题意，，得，则， 所以函数是区间上的“平均值函数”； （2）因为函数是区间上的“平均值函数”， 所以存在，使， 即，即，令， 所以在上是增函数， 因此，； （3）因为函数是区间的“平均值函数”， 是函数的一个均值点， 所以， 即， 所以，又因为， 所以或， 因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得， 所以满足条件的数对只有. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解即可. 15．(24-25上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知函数的表达式． (1)证明：函数在其定义域上是严格减函数； (2)是否存在实数，使得函数是奇函数？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、判断指数函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）利用减函数的定义即可证明结论. （2）证明当时是奇函数即可. 【详解】（1）函数的定义域为，而对任意，，有 . 所以函数在其定义域上是严格减函数. （2）当时，有，即函数是奇函数. 所以存在，使得函数是奇函数. 16．(24-25上海市徐汇区2024-2025学年高一上学期学习能力诊断数学试卷) 已知定义在上的函数的表达式为，若此函数为奇函数. (1)求证：在上为严格增函数； (2)若为实数，解关于的不等式：. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）由是奇函数，可得对任意的成立，可得实数的值，代入验证后即可得函数解析式，设任意的，，由单调函数定义即可证明； （2）利用单调性将不等式转化为解不等式，按照、和分类讨论，根据对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为是奇函数，则， 整理得：，解得或， 当时，的定义域为，不合题意，舍去； 当时，的定义域为，符合题意，所以. 因，任取且， 由， 因，则，，，故， 即，故在上为严格增函数. （2）由（1）知函数为上的奇函数且为增函数， 则由可得 当时，不等式变为，故此时的解为； 当时，不等式变为，故此时的解为； 当时，不等式变为，故此时的解为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17．(24-25上海市曹杨第二中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题) 已知实数满足. （1）求的取值范围； （2）若函数，求的是大值和最小值，并求此时的值. 【答案】（1）；（2）当或2时，；当时，. 【知识点】求对数函数在区间上的值域、由指数函数的单调性解不等式 【解析】（1）令，原不等式等价于，解得的范围，进而可得的取值范围； （2）对函数化简可得，令，由可得，计算二次函数，的最值即可. 【详解】（1）令，则，所以， 解得：，即，解得， 所以的取值范围是， （2） 令，由可得，则， 所以即时，， 当或即或时，， 综上所述：当或2时，；当时，. 【点睛】关键点点睛：求对数复合型函数值域的关键点是利用换元法令，将原函数转化为关于的一元二次函数，求二次函数的值域即可，注意的取值范围. 18．(24-25上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 若函数在其定义域内给定区间上存在实数满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点． (1)已知函数的表达式是，判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； (2)已知函数的表达式是，若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围： (3)已知函数的表达式是，其中为正整数，函数是区间（为正整数）上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【知识点】函数新定义、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）利用“平均值函数”的定义判断即可. （2）利用“平均值函数”的定义列式，求出在有解的范围即可. （3）利用“平均值函数”的定义及均值点列式，推理求出即可. 【详解】（1）依题意，，存在成立， 所以是区间上的“平均值函数”. （2）依题意，存在，知， 即，则， 由，得，则在有解， 不妨令，得， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. （3）依题意，，则，且， 则， 即，于是，而，则， 解得，又，且，则当时，成立， 所以是满足条件的实数对. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解即可. 地 城 考点05 函数的概念、性质及应用 19．(24-25上海市行知中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知函数，记． (1)求函数的零点； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； (3)若对于恒成立，试问是否存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)0 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）令，根据指数运算和指数函数的性质解方程即可； （2）由题意得函数和在区间上的值域的交集不为空集；然后根据指数函数的单调性可求函数的值域，根据对数函数的单调性和复合函数单调性的判断方法可求函数的值域，根据交集不为空集列不等式，即可求解实数的取值范围； （3）根据复合函数单调性的判断方法可知函数有最大值，构造函数，根据单调性可知，又，所以不存在实数满足题意. 【详解】（1）由题意，，令，即， 则，即，所以或（舍去）， 所以，则函数的零点是． （2）设函数在区间上的值域分别为，由题意可得， 因为函数和在上都单调递增， 所以函数上单调递增，所以， 函数，， 令，， 则， 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且函数在区间上单调递增， 所以函数区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，函数有最大值， 当时，，当时，， 所以，又，所以，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）因为对于恒成立， 又， 所以，解得. 因为为严格增函数，所以， 因为函数为严格增函数， 所以，所以，又， 所以不存在实数，使得成立． 20．(24-25上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题中) 已知函数的表达式． (1)证明：函数在其定义域上是严格减函数； (2)是否存在实数，使得函数是奇函数？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）利用减函数的定义即可证明结论. （2）证明当时是奇函数即可. 【详解】（1）函数的定义域为，而对任意，，有 . 所以函数在其定义域上是严格减函数. （2）当时，有，即函数是奇函数. 所以存在，使得函数是奇函数. 21．(24-25上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 【答案】(1) (2) (3)或5 【分析】（1）由一元二次不等式恒成立，结合图象推得，解之即得； （2）先求函数的单调区间，依题使为其单调区间的子集，解不等式即得； （3）由函数的单调性，根据给定区间与其对称轴的关系，分类考虑分别求解即得. 【详解】（1）由题意得恒成立，则， 解得， 所以a的最大值为. （2）由题意得图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即a的取值范围为. （3）当，即时，在上单调递减，， 解得，舍去； 当，即时，在上单调递增，， 解得，符合题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得或0（，舍去）. 故或5. 22．(24-25上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 若函数在其定义域内给定区间上存在实数满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点． (1)已知函数的表达式是，判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； (2)已知函数的表达式是，若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围： (3)已知函数的表达式是，其中为正整数，函数是区间（为正整数）上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用“平均值函数”的定义判断即可. （2）利用“平均值函数”的定义列式，求出在有解的范围即可. （3）利用“平均值函数”的定义及均值点列式，推理求出即可. 【详解】（1）依题意，，存在成立， 所以是区间上的“平均值函数”. （2）依题意，存在，知， 即，则， 由，得，则在有解， 不妨令，得， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. （3）依题意，，则，且， 则， 即，于是，而，则， 解得，又，且，则当时，成立， 所以是满足条件的实数对. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解即可. 23．(24-25上海师范大学附属宝山罗店中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知函数． (1)用定义法证明函数在区间上是严格减函数； (2)写出函数在区间上的最值，以及相应的的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （2）分析函数在区间上的单调性，即可求出函数的最大值、最小值以及对应的值. 【详解】（1）任取、且，则且， 所以， ，即， 所以，函数在区间上是严格减函数. （2）因为函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，当时，函数取最小值，且最小值为， 又因为，， 所以，当时，函数取最大值，且最大值为. 24．(24-25上海市宝山区上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知函数，且不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)已知，若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意判断出即是方程的两根，即可求解； （2）设的值域为，的值域为，判断出，列不等式组，求出的范围. 【详解】（1）不等式，即， 因为不等式的解集为，即是方程的两根， 将代入方程得，解得， 再由韦达定理得，故. （2）因为存在，，使得成立， 设的值域为，的值域为，则， 的对称轴为，故在上单调递增， 则，即，所以， 当时，，不满足题意； 当时，在上单调递增， 则，即，所以， 由，得，解得； 当时，在上单调递减， 则，即，所以， 由，得，解得， 综上所述，. 25．(24-25上海市宝山区上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知函数 (1)求不等式 的解集; (2)设 均为实数，当 时， 的最大值为 1，且满足此条件的任意实数 及 的值，使得关于 的不等式 恒成立，求的取值范围; (3)设 为实数，若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根 、 且 ，试将 表示为关于 的函数，并写出此函数的定义域. 【答案】(1) (2) ； (3)，定义域为 . 【分析】（1）把转化为或，分别求得不等式组的解集，即可求解； （2）根据题意求得的范围，把不等式 恒成立，转化为恒恒成立，结合基本不等式，即可求解； （3）由题意得到，转化为分别是方程的根，且，并求得的范围，进而求得 关于的函数，即可求解. 【详解】（1） 等价为 或 ， 即为 或 ， 则不等式的解集为 ； （2）当 时， 的最大值为1，故 . 要使不等式 3 恒成立， 需要 ， 即 对任意 都成立 ， ，则 ∵ =4， ∴ 故的取值范围是 ； （3）函数，的图象如图所示 当时，，； 当0时，，； 当时，，. 所以 ① 若 ，则方程 变为， 即 ，且 ； ② 若 ，则方程 变为， 即 ，且 . 于是 分别是方程 的根，且 ，， 此函数的定义域为 . 【点睛】方法点睛：对于非二次不等式恒成立求参问题，一般先分离参数，转化为最值问题，进而可借助函数或基本不等式进行求解；方程解的个数可等价于两个不同函数交点个数，分段函数则需要考虑每一段解析式是否成立. 26．(24-25上海市松江区2024-2025学年高一上学期期末质量监控数学试卷) 已知函数 是定义域为 的奇函数，且 . (1)求函数 的表达式； (2)判断函数 在 上的单调性，并用定义证明; (3)设函数 ，若对任意的 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上递增，证明见解析； (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质可求得，再由的值，可求得，从而得到 的表达式. （2）用定义法判断证明在上的单调性即可. （3）将问题转化为，对进行分类讨论，结合一次函数的单调性，求得的取值范围. 【详解】（1）依题意函数是定义域为 的奇函数， 所以，所以 又，解得. 此时，经检验，该函数为奇函数． 故. （2）函数在上递增，证明如下： 任取，则，， 因为，，所以， 所以，故在上递增. （3）由（1）得 若对任意的，存在，使得成立，则 由（2）得在上递增，所以， 存在，成立，即 若，则在上为增函数， ， 若，则，此时符合题意． 若，则在上为减函数， ，符合题意 综上可知：. 即实数的取值范围是：. 27．(24-25上海市控江中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 设常数，． (1)根据的值，讨论函数的奇偶性，并说明理由; (2)设，,写出的表达式. 若对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当，总有，给出一个区间，并证明结论; (3)当为正整数时，如果对于任意，总有成立，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性定义判断即可得出结论； （2）利用函数单调性可得结论； （3）由不等式恒成立求出函数最值，解不等式可得结果. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 当时，，且， 此时既不是奇函数也不是偶函数； （2）①． ②所取，例如等等． ． 由于，由幂函数的单调性可得， 所以，即． （3）当时，， 所以在上是严格增函数，由得恒成立. 当时，即恒成立， 化简得恒成立，由于的取值范围为，所以，可得； 由于为正整数，所以或． 若，当时，． 当时，，不成立，舍去． 若，当时，恒成立． 综上，． 地 城 考点06 三角 28．(24-25上海市上海大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴的正半轴重合，终边交单位圆于点，且，将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点，设 、 ，分别过、作轴的垂线，垂足依次为、，记的面积为，的面积为.    (1)若，求点的坐标; (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出、，则，，利用两角和的正余弦公式计算可得； （2）根据三角函数的定义表示出，，，，即可表示出、，再由二倍角公式及两角和的正弦公式求出，即可得解. 【详解】（1）因为且，即， 解得（负值已舍去）， 将角的终边按逆时针方向旋转交单位圆于点， 则 ， ， 所以 （2）由三角函数定义，得，，， 所以， 依题意得 ， 即 整理得，因为，所以，所以，即. 29．(24-25上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题) 已知是角终边上一点，且 (1)求：实数的值 (2)求： 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义运算求解即可； （2）先求得，再利用诱导公式运算求解即可. 【详解】（1）因为，解得 又，所以. （2）由（1）可知：，则， 所以. 30．(24-25上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知． (1)化简并求； (2)若角为第二象限角，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】特殊角的三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用诱导公式及倒数关系化简，再利用特殊角的三角函数值求解. （2）利用同角公式计算即得. 【详解】（1）依题意，， 所以. （2）由角为第二象限角，且，得， 所以. 31．(24-25上海市行知中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）用诱导公式代入化简即可. （2）将原式化为分式然后利用求值. （3）用两角差的正切公式直接计算即可. 【详解】（1）原式． （2）原式， 由，，原式分子分母同时除以得到. （3）． 32．(24-25上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) （1）已知，化简并求值； （2）已知，当求满足条件的角的集合. 【答案】（1）（2）或 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、辅助角公式 【分析】（1）借助诱导公式与同角三角函数基本关系将切化弦后计算即可得； （2）借助辅助角公式化简后计算即可得. 【详解】（1）； （2），则， 令，则， 若，则或. 33．(24-25上海市东昌中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，． (1)求的值： (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）先求得两点的横坐标，然后求得. （2）利用诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案. 【详解】（1）依题意，角、的终边分别与单位圆交于，两点， 且，两点的纵坐标分别为，， 所以. 所以. （2）由（1）得， ， . 34．(24-25上海市吴淞中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知 (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1)； (2). 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】（1）由两角差的正切公式即可计算求解； （2）由倍角公式和两角和的余弦公式结合商数关系即可计算求解. 【详解】（1）； （2） . 35．(24-25上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知 (1)化简函数并计算的值； (2)若，.且，，求的值. (3)已知、、为的内角.若，求的最小值. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用诱导公式和商的关系化简，然后求函数值； （2）利用正切的和差公式计算； （3）根据得到，然后利用基本关系、正弦定理和余弦定理化简得到，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为，所以. （2）由，，得，， 所以， 因为，，所以，且， 得，则，所以. （3）， 又，所以， 所以，由正弦定理得， 又余弦定理，即，所以， 由余弦定理， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 36．(24-25上海市控江中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 设常数，，关于的方程的两个实数根是，． (1)若，，分别求和的值 (2)若，，分别求和的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再利用根与系数间的关系，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系得到，可得，进而可判断出，再利用，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 又方程的两个实数根是，， 所以，得到，. （2）由题知，又， 所以，又，解得， 因为，又，所以， 又，所以. 37．(24-25上海市建平中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题) 已知角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）根据角的终边过点求出角的三个三角函数值，代入求解即可； （2）由两角差的余弦公式和两角和的正切公式求解即可. 【详解】（1）因为角的终边过点，所以到原点的距离， 则，，， 所以； （2） . 38．(24-25上海市格致中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知及是关于的方程的两个实根，求的值． 【答案】. 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由，可得，求出的值，再化简为即可求解. 【详解】因为 与 是关于 的方程 的两个实根， ， 将 两边平方可得： ， 即 整理得： ， 解得或， 当时原方程化为无解，舍去， 经检验符合题意， . 39．(24-25上海市吴淞中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 如图A、B是半径为2，圆心在原点的圆O上的点，且点在第二象限． C是圆O与轴正半轴的交点，为等边三角形，以射线OB为终边的角为． (1)试用表示点B的坐标； (2)若，求及线段的长度 【答案】(1)； (2)，. 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 【分析】（1）由三角函数的定义即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，然后结合正弦的和差角公式代入计算，再由余弦定理即可得到的长度. 【详解】（1）因为圆的半径为，为等边三角形，所以， 以射线为终边的角，由三角函数的定义可得， ，所以. （2）因为三角形为等边三角形，所以， ，且为第二象限角，所以， 则， 所以 在中，由余弦定理可得， ， . 40．(24-25上海市奉贤区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，角的始边在正半轴上，角的终边在第二象限，设终边上有一点，且． (1)若点坐标为，求的值； (2)化简并求值． 【答案】(1)2； (2)，. 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用正弦函数的定义求出. （2）由（1）求出，再利用诱导公式、同角公式化简并求值. 【详解】（1）依题意，，，，所以. （2）由（1）知， 所以. 地 城 考点07 综合题 41．(24-25上海市实验学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知函数的表达式为，且（）. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)，偶函数 (2)上单调递减，在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，求解的解析式，按照求解实数a的值即可；再根据奇偶性的定义判断与的关系即可得奇偶性； （2）分离函数，用定义即可判断的单调性； （3）再结合单调性与奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）， 故，即． ，为偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称， 所以为偶函数. （2）在上单调递减．在上单调递增．下面证明： 设，，且.计算： 因为，，且，所以，，，. 那么，即，所以. 根据函数单调性的定义可知，函数在上单调递减. 又因为是偶函数，所以在上单调递增． （3）因为，所以， 由得， 由函数的性质得：， 则， 解得：． 故该不等式的解集为． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 【原卷版】 专题08 期末必刷解答题（七大题型） 7大高频考点概览 考点01 集合与逻辑 考点02 等式与不等式 考点03 幂、指数与对数 考点04 幂函数、指数函数与对数函数 考点05 函数的概念、性质及应用 考点06 三角 考点07 综合题 地 城 考点01 集合与逻辑 1．(24-25上海市徐汇区2024-2025学年高一上学期学习能力诊断数学试卷) 已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 2．(24-25上海市金山中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 地 城 考点02 等式与不等式 3．(24-25上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知集合，． (1)若，求和B； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 4．(24-25上海市七宝中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题) 对于两个实数，，规定， (1)证明：关于的不等式解集为； (2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； (3)设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 5．(24-25上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知函数，且为常数． (1)当时，求的解集； (2)当，恒有，求实数的取值范围． 地 城 考点03 幂、指数与对数 6．(24-25上海市延安中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知函数，判断函数的奇偶性，并加以证明. 地 城 考点04 幂函数、指数函数与对数函数 7．(24-25上海市金山区2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，当时，，求函数的最小值； (3)当且时，关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围. 8．(24-25上海市虹口区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 设，已知是上的奇函数. (1)求的值，并判断函数的单调性； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 9．(24-25上海市上海中学东校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 完成如下问题： (1)解方程：； (2)设，解不等式：； 10．(24-25上海市延安中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 若函数在其定义域内给定区间上存在实数使得，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点： (1)判断函数是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由： (2)设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的实数对； (3)若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围； 11．(24-25上海市吴淞中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知，函数； (1)当时，解不等式； (2)若函数的值域为，求的取值范围； 12．(24-25上海市虹口区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知函数的定义域为集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 13．(24-25上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知函数． (1)讨论函数的定义域； (2)当时，解关于的不等式：． 14．(24-25上海市奉城高级中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题) 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”， 是它的一个均值点. （1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； （2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围； （3）设函数是区间上的“平均值函数”， 是函数的一个均值点，求所有满足条件的数对. 15．(24-25上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知函数的表达式． (1)证明：函数在其定义域上是严格减函数； (2)是否存在实数，使得函数是奇函数？并说明理由． 16．(24-25上海市徐汇区2024-2025学年高一上学期学习能力诊断数学试卷) 已知定义在上的函数的表达式为，若此函数为奇函数. (1)求证：在上为严格增函数； (2)若为实数，解关于的不等式：. 17．(24-25上海市曹杨第二中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题) 已知实数满足. （1）求的取值范围； （2）若函数，求的是大值和最小值，并求此时的值. 18．(24-25上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 若函数在其定义域内给定区间上存在实数满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点． (1)已知函数的表达式是，判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； (2)已知函数的表达式是，若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围： (3)已知函数的表达式是，其中为正整数，函数是区间（为正整数）上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对． 地 城 考点05 函数的概念、性质及应用 19．(24-25上海市行知中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知函数，记． (1)求函数的零点； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； (3)若对于恒成立，试问是否存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由． 20．(24-25上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题中) 已知函数的表达式． (1)证明：函数在其定义域上是严格减函数； (2)是否存在实数，使得函数是奇函数？并说明理由． 21．(24-25上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 22．(24-25上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 若函数在其定义域内给定区间上存在实数满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点． (1)已知函数的表达式是，判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； (2)已知函数的表达式是，若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围： (3)已知函数的表达式是，其中为正整数，函数是区间（为正整数）上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对． 23．(24-25上海师范大学附属宝山罗店中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知函数． (1)用定义法证明函数在区间上是严格减函数； (2)写出函数在区间上的最值，以及相应的的值． 24．(24-25上海市宝山区上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知函数，且不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)已知，若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 25．(24-25上海市宝山区上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知函数 (1)求不等式 的解集; (2)设 均为实数，当 时， 的最大值为 1，且满足此条件的任意实数 及 的值，使得关于 的不等式 恒成立，求的取值范围; (3)设 为实数，若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根 、 且 ，试将 表示为关于 的函数，并写出此函数的定义域. 26．(24-25上海市松江区2024-2025学年高一上学期期末质量监控数学试卷) 已知函数 是定义域为 的奇函数，且 . (1)求函数 的表达式； (2)判断函数 在 上的单调性，并用定义证明; (3)设函数 ，若对任意的 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 27．(24-25上海市控江中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 设常数，． (1)根据的值，讨论函数的奇偶性，并说明理由; (2)设，,写出的表达式. 若对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当，总有，给出一个区间，并证明结论; (3)当为正整数时，如果对于任意，总有成立，求的值． 地 城 考点06 三角 28．(24-25上海市上海大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴的正半轴重合，终边交单位圆于点，且，将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点，设 、 ，分别过、作轴的垂线，垂足依次为、，记的面积为，的面积为.    (1)若，求点的坐标; (2)若，求的值. 29．(24-25上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题) 已知是角终边上一点，且 (1)求：实数的值 (2)求： 30．(24-25上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知． (1)化简并求； (2)若角为第二象限角，且，求的值． 31．(24-25上海市行知中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 32．(24-25上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) （1）已知，化简并求值； （2）已知，当求满足条件的角的集合. 33．(24-25上海市东昌中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，． (1)求的值： (2)求的值． 34．(24-25上海市吴淞中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知 (1)求的值； (2)求的值 35．(24-25上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知 (1)化简函数并计算的值； (2)若，.且，，求的值. (3)已知、、为的内角.若，求的最小值. 36．(24-25上海市控江中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 设常数，，关于的方程的两个实数根是，． (1)若，，分别求和的值 (2)若，，分别求和的值． 37．(24-25上海市建平中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题) 已知角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 38．(24-25上海市格致中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知及是关于的方程的两个实根，求的值． 39．(24-25上海市吴淞中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 如图A、B是半径为2，圆心在原点的圆O上的点，且点在第二象限． C是圆O与轴正半轴的交点，为等边三角形，以射线OB为终边的角为． (1)试用表示点B的坐标； (2)若，求及线段的长度 40．(24-25上海市奉贤区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，角的始边在正半轴上，角的终边在第二象限，设终边上有一点，且． (1)若点坐标为，求的值； (2)化简并求值． 地 城 考点07 综合题 41．(24-25上海市实验学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知函数的表达式为，且（）. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $