专题10 期末必刷应用题（期末真题分类汇编 上海专用）高一数学上学期沪教版

【解析版】 专题10 期末必刷应用题 1．(24-25上海市静安区2024-2025学年高一下学期期末教学质量调研数学试卷) 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、指数式与对数式的互化 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 2．(24-25上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何？"其意思为：今有直角三角形，勾（短直角边）长3步，股（长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形分别在边上）边长为多少？在求得正方形的边长后，可进一步求得的正切值为 . 【答案】 【分析】利用三角形相似求出正方形边长，再利用及两角差的正切公式，即可求解. 【详解】设正方形的边长为，则， 由，可得，即，解得， 因为， 所以. 故答案为：. 3．(24-25上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段一定时间内通过的车辆除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度.已知某道路的交通流量 ， (1)若交通流量，求道路密度的取值范围； (2)若道路密度时，测得交通流量，，求车辆密度的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、由指数函数的单调性解不等式、分段函数的值域或最值、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据条件，建立不等式关系，即可求解； （2）根据条件得到，再分和两种情况，分别求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）由题知，所以当时，，不符题意； 当时，由，整理得到，即，解得，即， 所以交通流量，道路密度的取值范围为. （2）由题意得时，，得到， 当时，， 当时，， 由于，所以当时，取得最大值， 又，所以车辆密度的最大值为. 4．(24-25上海市同济大学第一附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求． （1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值． 【答案】（1）（）；（2）当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为万元；当时，促销费用投入万元,厂家的利润最大，为万元. 【知识点】利润最大问题、利用给定函数模型解决实际问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）根据产品的利润销售额产品的成本建立函数关系； （2）利用导数可求出该函数的最值． 【详解】（1）由题意知，， 将代入化简得：（）； （2）， （ⅰ）当时， ①当时，，所以函数在上单调递增， ②当时，，所以函数在上单调递减， 从而促销费用投入万元时，厂家的利润最大； （ⅱ）当时，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增，故当时，函数有最大值， 即促销费用投入万元时，厂家的利润最大. 综上，当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为万元； 当时，促销费用投入万元，厂家的利润最大，为万元. 【说明】本题考查函数模型的选择与应用以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于综合题. 5．(24-25上海市行知中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ (2)在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解； （2）根据题意得到，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解． 【详解】（1）由题意得：， 即，又， 所以．即最多调整名员工从事第三产业． （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元， 从事原来产业的员工的年总利润为万元， 则， 所以， 所以， 即恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立． 所以，又，所以， 即的取值范围为． 【说明】本题的关键在于如何正确设置利润函数，并通过不等式条件求解.小问1通过构造利润函数并利用不等式进行求解，小问2则结合条件和之间的关系，使用不等式求得的取值范围.需要注意的是，题目中的平均利润受员工数和比例的影响，需要在不等式求解时格外小心. 6．(24-25上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 学校要建造一个面积为10000平方米的运动场. 如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成. 跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮. 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元. (1)设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系式； (2)由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低?（精确到元）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件，求出塑胶跑道面积表达式，并确定定义域； （2）根据已知条件写出运动场造价的表达式，判断函数的单调性，求最小值即可. 【详解】（1）塑胶跑道面积 因为所以，故定义域为 （2）设运动场造价为元； ，令， ，当时，解得， 所以在上恒成立，所以在上为减函数， 所以函数在上为减函数，因为， 所以当时，运动场造价最低为626510元. 7．(24-25上海师范大学附属宝山罗店中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元． (1)设仓库前面墙体的长为x米（），试将甲工程队的整体报价y表示为x的函数； (2)当仓库前面墙体的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？ (3)现有乙工程队也参与此仓库改造竞标，其给出的整体报价为元，其中，不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，求实数k的取值范围． 【答案】(1)， (2)当仓库前面墙体的长度为米时，甲工程队的整体报价最低，是元. (3) 【分析】（1）根据甲的报价方案，利用墙体面积，转化为关于的函数关系，即可求解； （2）根据基本不等式计算即可； （3）根据（1）的结果，转化为不等式，参变分离后，转化为求函数最值问题，即可求解. 【详解】（1）由题意可得：甲队的报价为元，； （2）甲队的报价为. 当且仅当，即，解得（满足）时等号成立. 所以当仓库前面墙体的长度为米时，甲工程队的整体报价最低，是元. （3）乙队给出的整体报价为元，若乙队要确保竞标成功， 则恒成立， ，，设， 则，又在为增函数， 则，则，即，又，则， 即实数的取值范围是． 8．(24-25上海师范大学附属宝山罗店中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． (1)若，，判断函数和是否为倒函数，并说明理由； (2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由； (3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 【答案】(1)是倒函数，不是倒函数 (2)没有正整数解，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用给定的定义进行判断； （2）先求出时的解析式，利用零点存在定理验证即可； （3）利用函数单调性的定义，倒函数的定义以及充分条件、必要条件的定义进行证明. 【详解】（1）对于定义域为，显然定义域中任意实数，都有成立， 又，所以是倒函数. 对于定义域为， 当时，，不符合倒函数的定义， 所以不是倒函数. （2）令，则，由倒函数的定义，可得， 所以，所以， 要使有正整数解，则， 令，则函数在上单调递增， 因为， ， 由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为， 所以没有正整数解. （3）充分性：当时，且， 因为是增函数，所以， 即，， 所以. 必要性：当时， 有， 因为恒大于，所以，即， 所以， 因为是增函数，所以，即. 综上可得是的充要条件. 【说明】本题求解的关键是理解所给倒函数的定义，使用进行转化. 9．(24-25上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段一定时间内通过的车辆除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度.已知某道路的交通流量 ， (1)若交通流量，求道路密度的取值范围； (2)若道路密度时，测得交通流量，，求车辆密度的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，建立不等式关系，即可求解； （2）根据条件得到，再分和两种情况，分别求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）由题知，所以当时，，不符题意； 当时，由，整理得到，即，解得，即， 所以交通流量，道路密度的取值范围为. （2）由题意得时，，得到， 当时，， 当时，， 由于，所以当时，取得最大值， 又，所以车辆密度的最大值为. 10．(24-25上海市徐汇区2024-2025学年高一上学期学习能力诊断数学试卷) 目前，光伏产业已经发展成我国少有的全产业链自主可控，并在全球范围内具备领先优势的产业.现有某光伏产业公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，每年的总收入为50万元，前（为正整数）年维修、保养费用总和为万元，设使用年后该设备的盈利额为万元. (1)写出与之间的函数关系式，并求从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方穼处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为） 【答案】(1)，，从第3年开始，该设备开始盈利 (2)应选用方案一，理由见解析 【分析】（1）根据题意可得解析式以及列不等式，即可求解； （2）方案一运用基本不等式可求得总利润，方案二运用二次函数求得最值，综合比较可求得结果. 【详解】（1）由题意得，， 令，则， 又，所以， 故从第3年开始，该设备开始盈利； （2）方案一：年平均盈利额， 当且仅当时，即当时，上式等号成立， 故到第7年，该设备的年平均盈利额达到最大值， 此时卖掉此设备后，该企业可获得的总利润为万元； 方案二：盈利总额， 当时，取最大值，故到第10年，该设备的盈利总额达到最大值102， 此时卖掉此设备后，该企业可获得的总利润为； 因为两种方案企业获得的总利润相同，而方案一用时较短，故应选用方案一. 11．(24-25上海市闵行区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 当某外来物种进入某地区时，种群数量会先缓慢增长，然后再加速增长，再然后增速减缓，最终与当地环境达到自然平衡（如图所示）．数学生物学研究表明，种群数量与时间t的关系可以用逻辑斯蒂方程（Logistic Equation）：来表示，其中K表示环境容量（特定环境能够稳定承载的最大种群数量），表示种群初始数量，r表示物种内禀增长率（没有环境限制时种群数量的固有增长率）．某环境保护组织计划对一个新建的池塘放养某鱼类F．已知池塘对鱼类F的环境容量为1000条，初始投入100条，鱼类F的年内禀增长率为30％． (1)预计放养5年后的同一天，该池塘里有鱼类F多少条? （结果保留整数） (2)如果某一天与它前一年的同一天相比，鱼类F的年增长率小于或等于5％，则称此时鱼类F与当地环境接近自然平衡．问至少需要经过多少年鱼类F才能与池塘环境接近自然平衡?（结果保留整数），其中，，， 【答案】(1)333 (2)14 【分析】（1）代入数据，得到，计算出，得到答案； （2）得到不等式，求出，故至少14年鱼类F才能与池塘环境接近自然平衡. 【详解】（1）由题意得， 当时，， 预计放养5年后的同一天，该池塘里有鱼类F条数为333； （2）由题意得， 化简得， 其中，，， 由于单调递减， 当时，， 当时，， 解得，故至少14年鱼类F才能与池塘环境接近自然平衡. 12．(24-25上海市上海中学东校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价-供货价格）销售量； (1)当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？ (2)每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？ 【答案】(1)245万元 (2)每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元 【分析】（1）根据供货价格的固定价格和浮动价格的概念，将单价售价为85元代入求解即可； （2）分类讨论，分别求出当和当时的销售量和供货价，从而可得单价利润，继而利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，当单价售价为85元时，销售量为10万件，浮动价格为0.5元，供货价格为元， 故总利润为：万元； （2）当时，销售量为10万件，供货价为60.5元， 则，且， 因而，当时，单价利润， 即单价利润最大为39.5元； 当时，销售量为（万件）， 同时，，解得，且， 此时单价利润为： ， 当且仅当，即时，取等号 因为， 故当每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元． 13．(24-25上海市控江中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴. (1)当时，判断该项目能否获利?如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 【答案】(1)不获利，政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损 (2)当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 【分析】（1）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用； （2）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论. 【详解】（1）当时，该项目获利为S， 则， 当时，，因此，该项目不会获利, 当时，S取得最大值， 所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损. （2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：， 当时，， 所以当时，取得最小值240； 当时，， 当且仅当，即时，取得最小值200； 因为，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 14．(24-25上海市松江区2024-2025学年高一上学期期末质量监控数学试卷) 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种新的污水净化设备. 这种净水设备的购置费（单位:万元）与设备的占地面积（单位:平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业需缴纳的总水费（单位:万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位:万元）. (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值. 【答案】(1) (2)设备占地面积为15m2时，的值最小，最小值为7万元 【分析】（1）表达出，从而得到不等式，求出，得到答案； （2）利用基本不等式求出最小值，并得到等号成立的条件，即的值. 【详解】（1）由题意得， 令即， 整理得：， 即，解得， 所以设备占地面积的取值范围为. （2），由基本不等式得 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以设备占地面积为15m2时，的值最小，最小值为7万元. 15．(24-25上海市长宁区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知某线路运行的地铁发车时间间隔（单位：分钟）满足：．经测算，该地铁每班平均载客人次（单位：人次）与发车时间间隔满足：． (1)计算的值，并说明其的实际意义； (2)若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益． 【答案】(1)，答案见解析 (2)当发车时间间隔为6分钟时，每分钟的净收益最大，每分钟的净收益最大为120元 【分析】（1）根据的解析式代入求得，其意义为间隔时间的载客量.（2）将的解析式代入即可求得的解析式.根据基本不等式性质及函数单调性可求得收益的最大值及取得最大收益时的间隔发车时间. 【详解】（1）由函数的解析式可得：， 其实际意义是：当地铁的发车时间隔为10分钟时，地铁载客量为1200，这也是地铁的最大载客量； （2）①当时， 当且仅当，即时，等号成立， ②当时，. 当且仅当时等号成立， 故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的净收益最大为120元． 16．(24-25上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气，漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律，如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期，为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯75℃的茶水放在25℃的房间，10分钟后茶水降温至50℃. (1)若欲将这杯茶水继续降温至35℃，大约还需要多少分钟？（结果保留整数） (2)为适应市场需求，2025年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产千台空调，需另投入成本万元，且，已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完，问2025年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润. 【答案】(1)13分钟 (2)30千台时，获利最大，最大利润为3400万元. 【分析】（1）由题意列方程求解； （2）由题意得出利润与的函数关系，结合基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题，可得，解得， 设经过分钟，降温至，则， 解得， 故大约还需要13分钟. （2）设利润为， 当时，， 当时，取得最大值为3400万元， 当时，， ，当且仅当时取等号， 当时，取得最大值为3380万元， 因为， 所以总产量为千台时，获利最大，最大利润为3400万元. 17．(24-25上海市宝山区2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷) 上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图，设想在其中规划出三个功能区：为露营区，为垂钓区，为活动区.已知为直角三角形，，，，为内一点，且.    (1)安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知， ①求的大小； ②求护栏的长度（精确到0.01）； (2)求露营区面积的最大值. 【答案】(1)①；②千米； (2). 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）①应用正弦定理求角的大小；②应用余弦定理求边长； （2）由余弦定理及基本不等式得，再由三角形面积公式求最大面积. 【详解】（1）①由题设，， 而，即，故； ②由上可知，而，则， 所以千米. （2）由题设， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即露营区面积的最大值. 18．(24-25上海市松江一中2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题) 如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形内的空地上植造一块“绿地”，规划在的内接正方形内种花，其余地方种草，若，，种草的面积为，种花的面积为，比值称为“规划和谐度”． (1)试用、表示、； (2)若为定值，足够长，当为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值是多少? 【答案】(1)， (2)为时，最小值为1 【知识点】三角函数在生活中的应用、基本（均值）不等式的应用、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】（1）由题意得，即的面积为，设正方形的边长为，由得，即可求解； （2）由，利用均值不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得，的面积为， 设正方形的边长为，则由得， ，； （2）由，当且仅当等号成立， 即为时，最小值为1. 19．(24-25上海市莘庄中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷) 2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点． (1)若，求的长；（本题结果精确到米，，） (2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值． 【答案】(1)米 (2)当时，为最大值，最大值为. 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得； （2）设，利用正弦定理表示出，从而表示出，，将转化为关于的三角函数，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）在为直角三角形，，，， 所以，则， 又，所以， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以（米）. （2）设，则， 在中由正弦定理，即， 所以， 所以， ， 所以 ， 因为，所以当，即时为最大值，且最大值为， 即当时，为最大值，最大值为. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 【原卷版】 专题10 期末必刷应用题 1．(24-25上海市静安区2024-2025学年高一下学期期末教学质量调研数学试卷) 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何？"其意思为：今有直角三角形，勾（短直角边）长3步，股（长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形分别在边上）边长为多少？在求得正方形的边长后，可进一步求得的正切值为 . 3．(24-25上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段一定时间内通过的车辆除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度.已知某道路的交通流量 ， (1)若交通流量，求道路密度的取值范围； (2)若道路密度时，测得交通流量，，求车辆密度的最大值. 4．(24-25上海市同济大学第一附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求． （1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值． 5．(24-25上海市行知中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ (2)在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 6．(24-25上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 学校要建造一个面积为10000平方米的运动场. 如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成. 跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮. 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元. (1)设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系式； (2)由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低?（精确到元）. 7．(24-25上海师范大学附属宝山罗店中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元． (1)设仓库前面墙体的长为x米（），试将甲工程队的整体报价y表示为x的函数； (2)当仓库前面墙体的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？ (3)现有乙工程队也参与此仓库改造竞标，其给出的整体报价为元，其中，不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，求实数k的取值范围． 8．(24-25上海师范大学附属宝山罗店中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． (1)若，，判断函数和是否为倒函数，并说明理由； (2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由； (3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 9．(24-25上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段一定时间内通过的车辆除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度.已知某道路的交通流量 ， (1)若交通流量，求道路密度的取值范围； (2)若道路密度时，测得交通流量，，求车辆密度的最大值. 10．(24-25上海市徐汇区2024-2025学年高一上学期学习能力诊断数学试卷) 目前，光伏产业已经发展成我国少有的全产业链自主可控，并在全球范围内具备领先优势的产业.现有某光伏产业公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，每年的总收入为50万元，前（为正整数）年维修、保养费用总和为万元，设使用年后该设备的盈利额为万元. (1)写出与之间的函数关系式，并求从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方穼处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为） 11．(24-25上海市闵行区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 当某外来物种进入某地区时，种群数量会先缓慢增长，然后再加速增长，再然后增速减缓，最终与当地环境达到自然平衡（如图所示）．数学生物学研究表明，种群数量与时间t的关系可以用逻辑斯蒂方程（Logistic Equation）：来表示，其中K表示环境容量（特定环境能够稳定承载的最大种群数量），表示种群初始数量，r表示物种内禀增长率（没有环境限制时种群数量的固有增长率）．某环境保护组织计划对一个新建的池塘放养某鱼类F．已知池塘对鱼类F的环境容量为1000条，初始投入100条，鱼类F的年内禀增长率为30％． (1)预计放养5年后的同一天，该池塘里有鱼类F多少条? （结果保留整数） (2)如果某一天与它前一年的同一天相比，鱼类F的年增长率小于或等于5％，则称此时鱼类F与当地环境接近自然平衡．问至少需要经过多少年鱼类F才能与池塘环境接近自然平衡?（结果保留整数），其中，，， 12．(24-25上海市上海中学东校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价-供货价格）销售量； (1)当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？ (2)每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？ 13．(24-25上海市控江中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴. (1)当时，判断该项目能否获利?如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 14．(24-25上海市松江区2024-2025学年高一上学期期末质量监控数学试卷) 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种新的污水净化设备. 这种净水设备的购置费（单位:万元）与设备的占地面积（单位:平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业需缴纳的总水费（单位:万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位:万元）. (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值. 15．(24-25上海市长宁区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知某线路运行的地铁发车时间间隔（单位：分钟）满足：．经测算，该地铁每班平均载客人次（单位：人次）与发车时间间隔满足：． (1)计算的值，并说明其的实际意义； (2)若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益． 16．(24-25上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气，漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律，如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期，为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯75℃的茶水放在25℃的房间，10分钟后茶水降温至50℃. (1)若欲将这杯茶水继续降温至35℃，大约还需要多少分钟？（结果保留整数） (2)为适应市场需求，2025年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产千台空调，需另投入成本万元，且，已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完，问2025年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润. 17．(24-25上海市宝山区2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷) 上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图，设想在其中规划出三个功能区：为露营区，为垂钓区，为活动区.已知为直角三角形，，，，为内一点，且.    (1)安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知， ①求的大小； ②求护栏的长度（精确到0.01）； (2)求露营区面积的最大值. 18．(24-25上海市松江一中2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题) 如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形内的空地上植造一块“绿地”，规划在的内接正方形内种花，其余地方种草，若，，种草的面积为，种花的面积为，比值称为“规划和谐度”． (1)试用、表示、； (2)若为定值，足够长，当为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值是多少? 19．(24-25上海市莘庄中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷) 2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点． (1)若，求的长；（本题结果精确到米，，） (2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $