精品解析：江西省吉安市永丰县第二中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

江西省永丰县二中2025级高一上学期期中考试数学试卷 (2025.11) 考试内容:集合、常用逻辑用语、不等式、函数及其性质 考试时间:120分钟 试卷满分:150分 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 设函数则（ ） A. 5 B. 8 C. 9 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求出，然后可求出答案. 【详解】因为，所以，所以 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 3. 已知命题；命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. ￢p和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题和特称命题判断，的真假，即可求解. 【详解】当时，，不满足对都有，故命题为假命题，则为真命题， 由于恒成立，故存在使得，故为真命题，为假命题， 故选：B 4. 函数的定义域是，且满足，当时，，则图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性可排除B,C选项，当时，可知，排除D选项，即可求解. 【详解】因为函数的定义域是，且满足， 所以是奇函数， 故函数图象关于原点成中心对称， 排除选项B,C， 又当时，， 可知，故排除选项D, 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数图象，属于中档题. 5. A，B，C，D四名学生的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质分析可得. 【详解】为简便起见，复用表示四个同学的年龄，则 则：①，②,③. ①+②得,①+③得，②+③得,由于,,故由③得,, 由①得，∵,∴，∴,∴, 综上. 故选：D. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解. 【详解】解：已知，且xy+2x+y=6， y= 2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号， 故2x+y的最小值为4. 故选:A 7. 定义：表示中较大者．若函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先令求出交点，根据交点结合已知定义分段讨论得出解析式，再利用函数在区间上的值域为讨论得出的取值范围． 【详解】令，解得或1， 当时，，； 当时，，； 当时，，． 所以， 函数在上单调递增，在上单调递减，，，， 因为函数在区间上的值域为， 所以， 当时，函数在上的值域为， 为保证在上的值域仍为，需在上满足，即。 故， 则的取值范围是． 故选：B． 8. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析在各段区间上的值域，再根据条件由外而内依次求得，从而得解. 【详解】因为， 当时，； 当时，； 当时，； 令，则由，得， 由上述分析可得且，解得，即， 所以且，解得. 故选：D. 二、多选题(本题共3小题，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.) 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最小值为2 C. 若，则的最大值为2 D 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用作差法比较大小判断A，利用基本（均值）不等式判断BCD，要注意“一正二定三相等”. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，故A正确； 因为的等号成立条件不成立，所以B错误； 因为，所以，故C错误； 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以D正确. 故选：AD 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知，，若，则m集合为 D. 若，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同一函数的定义可判断A；根据抽象函数的定义域求法判断B；化简集合，结合判断C；根据不等式恒成立，讨论k的取值，结合一元二次不等式恒成立，判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以函数与不是同一函数，故A错误； 对于B，由函数的定义域为， 则，即， 所以函数的定义域为， 令，则， 所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，由， 当时，，满足，故C错误； 对于D，当时，不等式为恒成立， 当时，则需满足，解得， 综上，的取值范围是，故D错误. 故选：ACD. 11. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如:，称为取整函数，也称为高斯函数，在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（ ） A. 对任意的 B. 对任意的 C. 集合共有个元素 D. 时，关于方程有无数个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数新定义举反例可得A错误；由函数新定义设 可得B正确；由函数新定义化简可得C正确；当 时, 方程有无数解可得D正确； 【详解】A 选项， 时, ，故A 错 误； 选项，设 ， ，又 ， 故 或 1,故 故B正确； C 选项， ， 因为 ，所以 ，故 正确； 选项，当 时, ，故方程存在无数个解，故 正确； 故选： BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键是对函数新定义的理解，其中B选项可设求解，D选项可取. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知全集，且，则 =_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题设画出Venn图即可求解. 【详解】由题意， 知全集， 又， 画出Venn图如下图所示， 即得. 故答案为：. 13. 设为实数，且满足，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，易知为奇函数，且在上为单调递增函数，再根据函数奇偶性及单调性求解即可. 【详解】构造函数，所以为奇函数，且在上为单调递增函数． 又，即， 故，所以，即． 故答案为：. 14. 已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围. 【详解】由题意，函数，， 根据二次函数的性质，当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：问题化为值域是值域的子集为关键. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15. 已知，集合，集合. （1）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将先求出集合，将题设问题转化为集合A是集合B的真子集，进而根据包含关系求解即可； （2）将题设问题转化为，先求出时的取值范围，进而得到时的取值范围. 【小问1详解】 由，. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集. 所以，解得， 当时，，符合题意， 故的取值范围是. 【小问2详解】 因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，解得或. 所以当时，的取值范围是. 16. 已知是整数，幂函数在上是单调递增函数. (1)求幂函数的解析式； (2)作出函数大致图象； (3)写出的单调区间，并用定义法证明在区间上的单调性. 【答案】(1)；(2)图象见解析；(3)减区间为；增区间为，证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据幂函数在上是单调递增函数，可知，解不等式即可. (2)由(1)可知，则，先画出的图象，再将该图象轴下方的部分翻折到轴上方，即可. (3)根据(2)的图象写出单调区间，再根据定义法证明函数单调性，即可. 【详解】(1)由题意可知，，即 因为整数，所以或 当时， 当时， 综上所述，幂函数的解析式为. (2) 由(1)可知，则 函数的图象，如图所示： (3)由(2)可知，减区间为；增区间为 当时， 设任意的，且 则 又，且 即在区间上单调递增. 【点睛】本题考查求幂函数的解析式以及画函数图象，单调性的定义法证明.属于中档题. 17. 某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中每个月份的盈利情况，得到月利润万元与销售月份之间的关系为. （1）求一年中最高月利润及对应的月份； （2）求该饮料月利润超过3万元的月份. 【答案】（1）第8个月的月利润最大，为7万元 （2）第6，7，8，9，10月. 【解析】 【分析】（1）对分段函数进行分段考虑，运用换元法和配方法分别求出的最大值，最后综合比较即得； （2）根据（1）的结果判断超过3万元的月份只可能在后面的7个月中，通过解不等式求得，取整即得. 【小问1详解】 当时，令，则，且， 则， 因，故时，即时，取得最大值3； 当时， 因，故时，取得最大值7. 综上，第8个月的月利润最大，为7万元. 【小问2详解】 由（1）可知前5个月中，最大月利润为第3个月的3万元， 故超过3万元的月份只可能在后面的7个月里， 即，由可得，， 解得. 又，所以， 故月利润超过3万元的月份有第6，7，8，9，10月. 18. 已知函数的定义域为，，当时，. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并给出证明； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令，代入题意中的等式即可求解； （2）由题意可得，令，，利用定义法即可证明函数的单调性； （3）将原不等式转化为，由（1）得，利用函数的单调性建立不等式组，解之即得. 【小问1详解】 在中，令，则，得. 【小问2详解】 函数在上单调递减.证明如下： 当时，有，且当时， ，且，则，. 由，得， 有， 即，所以函数在上单调递减. 【小问3详解】 由，得， 由，得， 即，由（1）知， 所以， 由（2）知函数在上为单调减函数， 所以，解得， 即原不等式的解集为. 19. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1． （1）求a，b的值； （2）若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； （3）设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的单调性结合题意建立方程，求解参数即可. （2）结合题意转化为一次函数的恒成立问题，进而建立不等式组，求解参数即可. （3）先求出，再利用分离参数法求解参数范围即可. 【小问1详解】 由题意得； ∵，∴在上单调递增， ，可得，解得， 则为所求值. 【小问2详解】 由上问得，当时，， 又∵存在，对任意的都成立， ∴对任意的都成立， 即对任意的都成立，其中看作自变量，看作参数， 即，解得. 【小问3详解】 由题意得， 由， 令， ，而不等式在上有解， ，又， 而， ，故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省永丰县二中2025级高一上学期期中考试数学试卷 (2025.11) 考试内容:集合、常用逻辑用语、不等式、函数及其性质 考试时间:120分钟 试卷满分:150分 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 设函数则（ ） A. 5 B. 8 C. 9 D. 17 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题；命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. ￢p和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 4. 函数的定义域是，且满足，当时，，则图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. A，B，C，D四名学生的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 7. 定义：表示中的较大者．若函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.) 9. 下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则的最小值为2 C. 若，则的最大值为2 D. 若，则 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知，，若，则m集合为 D. 若，不等式恒成立，则k的取值范围是 11. 函数函数值表示不超过的最大整数，例如:，称为取整函数，也称为高斯函数，在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（ ） A. 对任意的 B. 对任意的 C. 集合共有个元素 D. 时，关于的方程有无数个解 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知全集，且，则 =_____________ 13. 设为实数，且满足，则___________ 14. 已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________． 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15. 已知，集合，集合. （1）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求的取值范围. 16. 已知是整数，幂函数在上是单调递增函数. (1)求幂函数解析式； (2)作出函数的大致图象； (3)写出的单调区间，并用定义法证明在区间上的单调性. 17. 某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中每个月份的盈利情况，得到月利润万元与销售月份之间的关系为. （1）求一年中最高月利润及对应的月份； （2）求该饮料月利润超过3万元的月份. 18. 已知函数的定义域为，，当时，. （1）求值； （2）判断函数在上的单调性，并给出证明； （3）解不等式. 19. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1． （1）求a，b的值； （2）若存在，对任意都成立；求m的取值范围； （3）设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $