2．3 直线的交点坐标与距离公式（思维导图+5大知识点+9大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册)

2．3 直线的交点坐标与距离公式 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：直线的交点 4 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 4 知识点三：两点间的距离公式 4 知识点四：点到直线的距离公式 5 知识点五：两平行线间的距离 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：判断两直线的位置关系 6 题型二：交点系方程 8 题型三：交点问题 10 题型四：对称问题 12 考点1：点点对称 12 考点2：点关于直线对称 13 考点3：直线关于点对称 16 考点4：直线关于直线对称 17 题型五：两点间距离的应用 20 题型六：点到直线距离的应用 22 题型七：两平行直线间距离的应用 24 题型八：距离问题的综合应用 25 题型九：线段和与差的最值问题 30 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数． 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点三：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 知识点四：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 知识点五：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 题型一：判断两直线的位置关系 【典例1-1】（2025·高二·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【答案】B 【解析】直线的斜率存在， ∴， 由题意， 则， 故：与：相交， ∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则， 则点，在直线，即上， 但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线， ∴不可能是方程组的一组解，C错误. 故选：B. 【典例1-2】（2025·高二·全国·单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ） A．过点P且与直线l斜交 B．过点P且与直线l重合 C．过点P且与直线l平行 D．过点P且与直线l垂直 【答案】C 【解析】在直线外，所以， 方程与两变量的系数完全相同，而，即常数项不同， 它们的方程组成的方程组无解，所以两直线的位置关系是平行， 又，所以直线必过点，所以直线过点且与直线平行. 故选：C 【方法技巧与总结】 分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意． 【变式1-1】曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【解析】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点． 故选：A 【变式1-2】（2025·高二·浙江台州·期中）是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（    ） A．无论如何，总是无解 B．无论如何，总有唯一解 C．存在，使是方程组的一组解 D．存在，使之有无穷多解 【答案】B 【解析】由题意，则， ∵直线的斜率存在，∴，，∴方程组总有唯一解．A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则，则点在直线，即上，但已知这两个在直线上，这两条直线不是同一条直线，∴不可能是方程组的一组解，C错误． 故选：B． 【变式1-3】（2025·高二·上海宝山·开学考试）已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，与函数图像的交点分别为C，D，则直线与（    ） A．相交，且交点在坐标原点 B．相交，且交点在第一象限 C．相交，且交点在第二象限 D．相交，且交点在第四象限 【答案】A 【解析】由得，得， 所以直线AB的方程为，即 由得，得 所以直线CD的方程为，即， 直线与相交，且交点在坐标原点， 故选：A. 题型二：交点系方程 【典例2-1】（2025·高二·湖北武汉·月考）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【答案】 【解析】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为： 【典例2-2】若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①． 又直线l的斜率为，则，解得． 将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程． 故答案为：. 【方法技巧与总结】 直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用． 【变式2-1】经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【答案】 【解析】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 【变式2-2】（2025·高二·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 . 【答案】 【解析】依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为. 故答案为： 【变式2-3】设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 . 【答案】或 【解析】方法一：由，得， 所以两条直线的交点坐标为（14，10）, 由题意可得直线的斜率为1或-1， 所以直线的方程为或， 即或. 方法二：设直线的方程为，整理得， 由题意，得，解得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 【变式2-4】（2025·高三·江苏·月考）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 题型三：交点问题 【典例3-1】（2025·高二·河北邯郸·月考）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 两直线的交点在第四象限，则有，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：D. 【典例3-2】（2025·高二·湖北襄阳·期中）过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】联立与， 将的代入得， 整理得， 化简得，所以.再将代入得，即交点为. 直线的斜率为，由垂直关系得直线斜率. 所以过点且斜率为的直线点斜式为，即. 故选：D 【方法技巧与总结】 直接联立两直线方程，解方程即可． 【变式3-1】（2025·高二·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，解得， 所以直线和的交点坐标为， 故选：B 【变式3-2】（2025·高二·河北邯郸·期中）点为直线和直线的交点，为坐标原点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立方程,可得点的坐标为, 所以直线的方程为. 故选：B. 【变式3-3】已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 【答案】D 【解析】三条直线，与不能围成三角形， ①若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ②若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ③若三条直线交于同一点，则联立，得， ∴交点坐标为，代入直线，得， ∴． 综上所述，则或或. 故选：D. 题型四：对称问题 考点1：点点对称 【典例4-1】（2025·高二·安徽·月考）已知点和，若线段AB的中点为，则a的值为（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】B 【解析】因为线段AB的中点为，所以有. 故选：B 【典例4-2】（2025·高二·全国·单元测试）在数轴上，已知的中点为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】方法一  由题意，，又为的中点，所以． 方法二  因为为的中点，所以点的坐标为，所以． 故选：C. 【变式4-1】（2025·高二·浙江·月考）在平面直角坐标系中，设点，，则线段的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，线段的中点坐标为，即为. 故选：C 【变式4-2】（2025·高二·新疆阿克苏·期末）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【解析】设，则， 即， 所以. 故选：A 考点2：点关于直线对称 【典例5-1】（2025·高二·江苏连云港·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点为， 由中点坐标公式得的中点为， 则的中点在直线上且直线与垂直， 所以，化简得，则， 所以点关于直线的对称点为. 故选：B 【典例5-2】（2025·高二·江苏苏州·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得：， 点关于直线的对称点为. 故选：B. 【变式5-1】（2025·高二·新疆克拉玛依·期中）已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由点，得出其关于轴的对称点为， 又点在反射光线所在的直线上，且经轴反射后经过点， 所以反射光线所在的直线为，化简得. 故选：A 【变式5-2】（2025·高二·河南·期中）台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由点关于轴的对称点为，则点在直线上， 点关于轴的对称点为，则关于轴的对称点为， 所以点在直线上，则， 所以直线的方程为， 令，解得，则点的坐标为. 故选：D. 【变式5-3】（2025·高二·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以, 建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点， 设，则 因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 得，， 则, 故的周长等于 故选：C. 考点3：直线关于点对称 【典例6-1】与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 【典例6-2】（2025·高二·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 【变式6-1】（2025·高二·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【解析】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 【变式6-2】关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 【变式6-3】（2025·高二·河南南阳·月考）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【解析】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 考点4：直线关于直线对称 【典例7-1】（2025·高二·江苏常州·月考）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立直线和的方程，得到，故直线和的交点为， 在上取一点，设它关于直线的对称点为， 则有，整理得，解得，即， 由，，可得所求直线方程为，即， 故选：C. 【典例7-2】直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：A. 【变式7-1】（2025·高二·湖北武汉·期中）已知直线：与关于直线对称，与平行，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】直线关于直线对称的直线，即是交换位置所得， 即，相互平行，的斜率为， 故. 故选：C. 【变式7-2】（2025·高二·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 【变式7-3】（2025·高二·河北石家庄·月考）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 【方法技巧与总结】 （1）点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 （2）点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． （3）直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． （4）直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 题型五：两点间距离的应用 【典例8-1】（2025·高二·天津滨海新·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 【答案】C 【解析】由两点间距离公式可得. 故选：C 【典例8-2】（2025·高二·重庆·期中）一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【解析】由题意得关于x轴的对称点为， 所以. 故选：D. 【方法技巧与总结】 两点间的距离公式为． 【变式8-1】（2025·高二·江西宜春·期中）已知，直线上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线方程可化为：， 令得：，直线恒过定点， 由得：， 当直线上存在点满足时，直线与线段有交点，如图所示， ，，由直线斜率不为， 直线的斜率， . 故选：B. 【变式8-2】（2025·高二·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长. 故选：B. 【变式8-3】（2025·高一·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【解析】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 题型六：点到直线距离的应用 【典例9-1】（2025·高二·天津东丽·期中）已知斜率为的直线过点，则直线与坐标原点的距离为 ． 【答案】7 【解析】斜率为的直线过点，则直线为 坐标原点到直线的距离为． 故答案为：7. 【典例9-2】（2025·高二·山东临沂·期中）已知直线过点，且坐标原点到直线的距离为4，则直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，点到直线的距离为3，不符合题意，所以直线的斜率存在． 因为直线过点，所以设直线的方程为． 因为点到直线的距离为4，所以，解得或． 所以直线的方程为或 故答案为：或 【方法技巧与总结】 点到直线的距离为． 【变式9-1】（2025·高二·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为 . 【答案】3 【解析】点到直线的距离， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最大值为3. 故答案为：3 【变式9-2】（2025·高二·安徽合肥·期中）点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】点到直线的距离. 故答案为：. 【变式9-3】（2025·高二·四川自贡·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，则面积为 【答案】/ 【解析】由题意知，设， ∵AB的中点在直线上， ∴，解得，∴. 由角平分线的性质，点A关于平分线的对称点在直线BC上， 得，解得，所以， 由和B得BE的方程. 由，解得，即， 得， 点A到直线BE的距离为， 所以. 故答案为： 题型七：两平行直线间距离的应用 【典例10-1】（2025·高二·山东济南·期中）若直线与之间的距离为，则实数 . 【答案】4或/或4 【解析】由题意知，直线，可变形为， 所以两平行线与之间的距离为 ，解得或4. 故答案为：或4 【典例10-2】（2025·高二·广西钦州·期中）若直线与直线间的距离为1，则 . 【答案】6或 【解析】直线化为， 根据平行线间的距离公式：， 解得：或. 故答案为：6或-14 【方法技巧与总结】 直线与直线的距离为． 【变式10-1】（2025·高二·广东清远·期中）两平行直线与的距离为则等于 . 【答案】10或30 【解析】由，知两平行线之间的距离为， 解得或30. 故答案为：10或30 【变式10-2】（2025·高二·广东广州·期中）已知直线与平行，求这两条直线间的距离 . 【答案】 【解析】直线与直线的距离为. 故答案为：. 【变式10-3】（2025·高二·山东泰安·期中）已知两条平行直线，，则与间的距离为 . 【答案】 【解析】可化为， 则与间的距离为. 故答案为：. 题型八：距离问题的综合应用 【典例11-1】（2025·高二·山东济宁·期中）设直线l的方程为（）. (1)求证无论a取何值，直线l恒过定点B，并求定点B的坐标. (2)已知直线m是过点B的直线，点到直线m的距离为2，求直线m的方程. 【解析】（1）证明：由已知得，， ∴直线l经过直线和直线的交点, 解得交点坐标， 所以无论a取何值，直线l恒过定点； （2）直线m斜率不存在时，可得，点与直线的距离为2，符合题意. 当直线m斜率存在时，设直线斜率为k，故可得直线m的方程为，即， 因为点到直线m的距离为2，即，解得， 故可得直线m的方程为，即， 综上所述：直线m的方程为或. 【典例11-2】（2025·高二·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，已知两直线：和：，定点. (1)若与相交于点，求直线的方程； (2)若恰好是的角平分线所在的直线，是中线所在的直线，求的边所在直线的方程. 【解析】（1）由题意有：，所以， 所以，所以 ，即， 所以直线的方程为： （2）由题意，可设，又为的中点，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 所以， 所以， 又的方程为，所以的斜率为， 因为恰好是的角平分线所在的直线， 所以，即，解得， 所以，即， 所以直线的方程为：. 【方法技巧与总结】 利用距离的几何意义进行等价转换． 【变式11-1】（2025·高二·甘肃张掖·期中）已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【解析】（1）由直线可得直线的斜率为， 依题意，所求直线斜率为，则其方程可设为， 该直线经过点，则，解得， 故所求直线方程为，即； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入解得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上，所求直线方程为或. （3）由题可知， 在中，令，解得，即得A， 再令，可得，即得， 故， 则 当且仅当，即时取等号， 故S的最小值为16，此时直线l的方程为． 【变式11-2】（2025·高二·上海·期中）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的角平分线所在直线的方程． 【解析】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以边所在直线的斜率为，且经过点， 所以边所在直线的方程为， 即所在直线的方程为； （2）设点B的坐标为，因为边上的高所在直线方程为， 又因为点是边的中点，所以点A的坐标为， 由边所在直线的方程为， 所以，即， 由，得，所以点B的坐标为. （3）由（2）可得点A的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即， 设的角平分线上任意一点的坐标为， 又直线所在直线的方程为， 则，所以， 所以或， 即或，又因为，， 所以的角平分线所在直线的方程为． 【变式11-3】（2025·高二·河南·月考）在中，，边上的中线所在直线的方程为：，边上的高所在直线的方程为：，求： (1)点的坐标； (2)边所在直线的方程； (3)中的角平分线所在直线的方程． 【解析】（1）设， 因为边上的中线所在直线：经过点A，所以， 因为边上的高所在直线的方程为：， 所以，即， 又，所以，即， 由得 所以点A的坐标为． （2）设，因为边上的高所在直线：经过点C， 所以． 因为边上的中线所在直线的方程为：， 所以边的中点在：上， 即，所以， 由得 所以点C的坐标为． 因为边所在直线的斜率， 所以边所在直线的方程为，即． （3）因为边所在直线的斜率， 所以边所在直线的方程为，即． 因为：过B，C两点， 所以边所在直线的方程为． 设是的角平分线所在直线上任意一点， 由角平分线的性质可得P到边所在直线，边所在直线的距离相等， 即． 所以或． 因为的角平分线应该与边（不含端点）有交点， 所以的角平分线所在直线的斜率， 所以不符合，符合， 所以中的角平分线所在直线的方程为． 题型九：线段和与差的最值问题 【典例12-1】（2025·高二·北京·月考）曼哈顿距离（）是由十九世纪赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在平面直角坐标系内有两个点，它们之间的曼哈顿距离．已知点，点是直线上的动点，点是直线上的动点，其中．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记直线，则， 由得：，恒过定点； 记直线，则， 由得：，恒过定点； ，； 若过点，则，解得：，与矛盾，不过点； 若过点，则，解得：，符合题意，可过点； 设曼哈顿距离，其中，则点到定点的曼哈顿距离为定值的轨迹是正方形，该正方形以为中心，其中一条对角线在轴上，另一条对角线平行于轴，且对角线长的一半为定值，如下图所示， ，，， ，可知轨迹为该正方形； 当正方形与相交于一点时，；当正方形与相交于一点时，， （当过，即重合时取等号）， 当过时，，此时，则， 的最小值为. 故选：A. 【典例12-2】（2025·高二·贵州贵阳·月考）若点在直线，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设点为直线上的动点， 由， 则其几何意义为与的距离和与的距离之和， 设点， 则点关于直线的对称点为点， 故，且， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：B. 【方法技巧与总结】 利用三角形的性质进行判断. 【变式12-1】（2025·高二·江苏淮安·月考）已知两定点，动点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】取点关于直线对称点，设， 则，解得，即， 则， 当且仅当、、三点共线时取等. 故选：D. 【变式12-2】（2025·高二·山西太原·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最小值5 D．有最大值 【答案】D 【解析】易知，， 不妨设, 可将看作是，则， 当且仅当三点共线，且在线段上时取得等号，所以A，B错误； 可将看作是，则， 且存在点A使得，即C错误，D正确. 故选：D 【变式12-3】（2025·高二·山西晋中·期中）已知点为直线上一点，则的最小值是（    ） A． B．7 C． D．5 【答案】D 【解析】因为在直线上，设点关于直线的对称点为， 则解得故，连接交直线于点， 当在点时，取得最小值，其最小值为. 故选：D. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．3 直线的交点坐标与距离公式 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：直线的交点 4 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 4 知识点三：两点间的距离公式 4 知识点四：点到直线的距离公式 5 知识点五：两平行线间的距离 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：判断两直线的位置关系 6 题型二：交点系方程 7 题型三：交点问题 7 题型四：对称问题 8 考点1：点点对称 8 考点2：点关于直线对称 8 考点3：直线关于点对称 9 考点4：直线关于直线对称 10 题型五：两点间距离的应用 11 题型六：点到直线距离的应用 11 题型七：两平行直线间距离的应用 12 题型八：距离问题的综合应用 12 题型九：线段和与差的最值问题 14 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数． 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点三：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 知识点四：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 知识点五：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 题型一：判断两直线的位置关系 【典例1-1】（2025·高二·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【典例1-2】（2025·高二·全国·单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ） A．过点P且与直线l斜交 B．过点P且与直线l重合 C．过点P且与直线l平行 D．过点P且与直线l垂直 【方法技巧与总结】 分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意． 【变式1-1】曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【变式1-2】（2025·高二·浙江台州·期中）是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（    ） A．无论如何，总是无解 B．无论如何，总有唯一解 C．存在，使是方程组的一组解 D．存在，使之有无穷多解 【变式1-3】（2025·高二·上海宝山·开学考试）已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，与函数图像的交点分别为C，D，则直线与（    ） A．相交，且交点在坐标原点 B．相交，且交点在第一象限 C．相交，且交点在第二象限 D．相交，且交点在第四象限 题型二：交点系方程 【典例2-1】（2025·高二·湖北武汉·月考）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【典例2-2】若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ． 【方法技巧与总结】 直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用． 【变式2-1】经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【变式2-2】（2025·高二·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 . 【变式2-3】设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 . 【变式2-4】（2025·高三·江苏·月考）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 题型三：交点问题 【典例3-1】（2025·高二·河北邯郸·月考）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2025·高二·湖北襄阳·期中）过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 直接联立两直线方程，解方程即可． 【变式3-1】（2025·高二·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·高二·河北邯郸·期中）点为直线和直线的交点，为坐标原点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 题型四：对称问题 考点1：点点对称 【典例4-1】（2025·高二·安徽·月考）已知点和，若线段AB的中点为，则a的值为（    ） A．2 B． C．5 D． 【典例4-2】（2025·高二·全国·单元测试）在数轴上，已知的中点为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式4-1】（2025·高二·浙江·月考）在平面直角坐标系中，设点，，则线段的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·高二·新疆阿克苏·期末）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 考点2：点关于直线对称 【典例5-1】（2025·高二·江苏连云港·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2025·高二·江苏苏州·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·高二·新疆克拉玛依·期中）已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·高二·河南·期中）台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·高二·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 考点3：直线关于点对称 【典例6-1】与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2025·高二·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·高二·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【变式6-2】关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·高二·河南南阳·月考）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 考点4：直线关于直线对称 【典例7-1】（2025·高二·江苏常州·月考）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·高二·湖北武汉·期中）已知直线：与关于直线对称，与平行，则（    ） A． B． C． D．2 【变式7-2】（2025·高二·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·高二·河北石家庄·月考）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 （2）点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． （3）直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． （4）直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 题型五：两点间距离的应用 【典例8-1】（2025·高二·天津滨海新·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 【典例8-2】（2025·高二·重庆·期中）一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（    ） A．4 B．5 C． D． 【方法技巧与总结】 两点间的距离公式为． 【变式8-1】（2025·高二·江西宜春·期中）已知，直线上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·高二·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·高一·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 题型六：点到直线距离的应用 【典例9-1】（2025·高二·天津东丽·期中）已知斜率为的直线过点，则直线与坐标原点的距离为 ． 【典例9-2】（2025·高二·山东临沂·期中）已知直线过点，且坐标原点到直线的距离为4，则直线的方程为 ． 【方法技巧与总结】 点到直线的距离为． 【变式9-1】（2025·高二·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为 . 【变式9-2】（2025·高二·安徽合肥·期中）点到直线的距离为 . 【变式9-3】（2025·高二·四川自贡·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，则面积为 题型七：两平行直线间距离的应用 【典例10-1】（2025·高二·山东济南·期中）若直线与之间的距离为，则实数 . 【典例10-2】（2025·高二·广西钦州·期中）若直线与直线间的距离为1，则 . 【方法技巧与总结】 直线与直线的距离为． 【变式10-1】（2025·高二·广东清远·期中）两平行直线与的距离为则等于 . 【变式10-2】（2025·高二·广东广州·期中）已知直线与平行，求这两条直线间的距离 . 【变式10-3】（2025·高二·山东泰安·期中）已知两条平行直线，，则与间的距离为 . 题型八：距离问题的综合应用 【典例11-1】（2025·高二·山东济宁·期中）设直线l的方程为（）. (1)求证无论a取何值，直线l恒过定点B，并求定点B的坐标. (2)已知直线m是过点B的直线，点到直线m的距离为2，求直线m的方程. 【典例11-2】（2025·高二·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，已知两直线：和：，定点. (1)若与相交于点，求直线的方程； (2)若恰好是的角平分线所在的直线，是中线所在的直线，求的边所在直线的方程. 【方法技巧与总结】 利用距离的几何意义进行等价转换． 【变式11-1】（2025·高二·甘肃张掖·期中）已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【变式11-2】（2025·高二·上海·期中）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的角平分线所在直线的方程． 【变式11-3】（2025·高二·河南·月考）在中，，边上的中线所在直线的方程为：，边上的高所在直线的方程为：，求： (1)点的坐标； (2)边所在直线的方程； (3)中的角平分线所在直线的方程． 题型九：线段和与差的最值问题 【典例12-1】（2025·高二·北京·月考）曼哈顿距离（）是由十九世纪赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在平面直角坐标系内有两个点，它们之间的曼哈顿距离．已知点，点是直线上的动点，点是直线上的动点，其中．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【典例12-2】（2025·高二·贵州贵阳·月考）若点在直线，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【方法技巧与总结】 利用三角形的性质进行判断. 【变式12-1】（2025·高二·江苏淮安·月考）已知两定点，动点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式12-2】（2025·高二·山西太原·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最小值5 D．有最大值 【变式12-3】（2025·高二·山西晋中·期中）已知点为直线上一点，则的最小值是（    ） A． B．7 C． D．5 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $