4.3.2 课时2 等比数列前n项和的性质及应用同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.2 课时2 等比数列前n项的性质及应用 【基础巩固】 1．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的公比为（ ） A． B． C． D． 2．已知等比数列的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 3．若等比数列的前项和为（为常数），且的公比为，则（ ） A． B． C． D． 4．已知数列的前项和满足，（），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知数列满足，（），记的前项和为，则（ ） A．为等差数列 B．为等比数列 C． D． 6．已知是公比为的等比数列，若，则______． 6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，……”，意思是：有一个人要走里路，第天健步行走，从第天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.由此可得，该人第天走了________里路. 7．某市年共有一万辆燃油型公交车.现计划于年投入辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加，试问： (1)该市在年应该投入多少辆电力型公交车? (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？ 【能力拓展】 9．记为数列的前项和．下列说法正确的是（ ） A．数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有 B．数列成等比数列的充分不必要条件是对于任意的正整数，都有 C．已知数列的前项和，则数列是等差数列的充分不必要条件是实数 D．已知数列的前项和，则数列是等比数列的充要条件是 10．（多选）下列说法中错误的是（ ） A．若数列满足，其中是关于的一次函数，则数列一定是等差数列 B．若数列的前项和，则数列一定是等比数列 C．若数列是等差数列，为数列的前项和，则数列，，一定是等差数列 D．若数列是等比数列，为数列的前项和，则数列，，一定是等比数列 11．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号）_____. ①； ②； ③的最大值为； ④的最大值为. 【素养提升】 12．“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． (1)求与的关系； (2)判断是不是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过？ 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.2 课时2 等比数列前n项的性质及应用 【基础巩固】 1．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的公比为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：，所以． 故选：D. 2．已知等比数列的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】是等比数列，， 成首项为，公比为的等比数列， ，故. 故选：D. 3．若等比数列的前项和为（为常数），且的公比为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在等比数列中，由，得， ，， 因此公比，，解得， 此时，符合题意，所以. 故选：C. 4．已知数列的前项和满足，（），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，则，且， 两式相减得：，因为，所以，故， 则数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 由于随的增大而减小，故单调递增，所以， 综上，. 故选：C. 5．（多选）已知数列满足，（），记的前项和为，则（ ） A．为等差数列 B．为等比数列 C． D． 【答案】BC 【解析】因为，（m，），令，可得， 即是首项和公比均为的等比数列，故A错误，B正确； 对于C，由上面的分析，可得，，故C正确； 对于D，，故D错误.故选：BC. 6．已知是公比为的等比数列，若，则______． 【答案】 【解析】记等比数列的公比为，则. 因， 故． 故答案为：. 6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，……”，意思是：有一个人要走里路，第天健步行走，从第天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.由此可得，该人第天走了________里路. 【答案】 【解析】依题意，此人每天走的路程构成以为公比的等比数列，前项和， 则，解得，所以（里）. 故答案为：. 7．某市年共有一万辆燃油型公交车.现计划于年投入辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加，试问： (1)该市在年应该投入多少辆电力型公交车? (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？ 【答案】见解析 【解析】(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列，其中， 则在2027年应该投入的电力型公交车为（辆）． (2)记，依题意，得， 于是，即，则有，因此． 答：到2028年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的． 【能力拓展】 9．记为数列的前项和．下列说法正确的是（ ） A．数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有 B．数列成等比数列的充分不必要条件是对于任意的正整数，都有 C．已知数列的前项和，则数列是等差数列的充分不必要条件是实数 D．已知数列的前项和，则数列是等比数列的充要条件是 【答案】A 【解析】是等差数列，A选项正确； 若对都成立，满足，但不是等比数列，充分性不成立，B选项错误； 若是等差数列，则， ，因为是等差数列，所以，得 必要性成立，C选项错误；若，则，当时，，当时，，不适合上式，不是等比数列，充分性不成立，D选项错误， 故选：A． 10．（多选）下列说法中错误的是（ ） A．若数列满足，其中是关于的一次函数，则数列一定是等差数列 B．若数列的前项和，则数列一定是等比数列 C．若数列是等差数列，为数列的前项和，则数列，，一定是等差数列 D．若数列是等比数列，为数列的前项和，则数列，，一定是等比数列 【答案】ACD 【解析】对于A，当时，，此时不是等差数列，所以A错误； 对于B，，符合等比数列的形式，所以B正确； 对于C，应把改为，C错误； 对于D，当公比为时，，D错误. 故选ACD． 11．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号）_____. ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 【答案】①②③ 【解析】因为，，，所以，所以，故①正确. ，故②正确.又，所以的最大值为，故③正确. 因为，，所以恒有，所以无最大值，故④错误. 故答案为：①②③. 【素养提升】 12．“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． (1)求与的关系； (2)判断是不是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过？ 【答案】见解析 【解析】(1)由题意时，， 所以，. (2)数列是等比数列．理由如下：由(1)得， 设，可得，所以，，可得， 所以，，且， 因此，数列是首项为，公比为的等比数列． (3)由(2)可知，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，即． 令，得，两边取常用对数，得， 所以， ，所以，，所以，至少经过年，绿洲面积可超过． 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $