易错点2.8 平衡中的临界极值问题 讲义 -2026届高考物理一轮复习

高考易错点解读和针对训练 第二章 相互作用 易错点2.8 平衡中的临界极值问题 易错点解读 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，该类问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。临界常见的种类： （1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 （2）绳子由松弛到绷紧，拉力F＝0。 （3）恰好离开接触面，支持力N＝0。 2.极值问题 平衡问题的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解决极值问题和临界问题的方法 （1）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 （2）数学方法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）。但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论或说明。 【典例剖析】 典例1（2022·浙江1月卷·T5）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（　　） A. 轻绳的合拉力大小为 B. 轻绳的合拉力大小为 C. 减小夹角，轻绳的合拉力一定减小 D. 轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 【针对性训练】 1.（2025·山东潍坊模拟预测）小明同学喜欢体育运动，他拖拉重物时拉力最大为1 000 N，某次训练中，体育老师将不同质量的重物置于倾角为15°的斜面上，让他拉动重物沿斜面向上运动， 重物与斜面间的动摩擦因数为，则他能拉动的重物质量最大为（　　） A.100 kg B.100 kg C.200 kg D.200 kg 2. 如图所示，三根轻质细线结于O点，OA另一端固定在天花板上的A点（位于圆心O'的正上方），OB、OC另一端分别连接质量为m的小球P（可视为质点）、质量为4m的物体Q。将物体Q放置于粗糙水平面上，小球P放置于半径为R的光滑半圆柱上，当A、O、O'处于同一竖直线上时，OC处于水平且物体Q恰好不滑动，此时，，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则物体Q与水平面间的动摩擦因数为（　　） A. 0.12 B. 0.16 C. 0.20 D. 0.25 3.如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行.A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为（　　） A. B. C. D. 4.[2024湖北武汉部分学校调研]某装备矢量发动机（其喷口可以偏转，以产生不同方向的推力）的战斗机沿水平方向飞行.已知战斗机的质量为m，升阻比（升力与阻力之比，升力主要由机翼上下表面空气流速不同产生，垂直机身向上，阻力平行机身向后）为k，重力加速度取g.战斗机匀速巡航时，该发动机提供的最小推力为（　　） A.mg B. C.mg D.mg 5.[2024湖南常德一中开学考]如图所示，质量均为m的铁球和木块通过轻绳a连接，轻绳b一端拴接在铁球上，另一端连接在弹簧测力计的挂钩上，通过弹簧测力计牵引铁球和木块一起沿水平方向做匀速直线运动.当轻绳b与水平方向成30°角时弹簧测力计示数最小.已知重力加速度为g，则（　　） A.木块与地面间的动摩擦因数为0.5 B.弹簧测力计示数的最小值为mg C.弹簧测力计示数最小时，轻绳a上的拉力大小为mg D.弹簧测力计示数最小时，轻绳a与竖直方向的夹角为60° 6.[2024吉林长春质量监测]如图，质量为m的光滑球体夹在竖直墙壁和斜面体之间，斜面体的质量为2m，倾角θ＝37°，设斜面体与地面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若斜面体恰好不滑动，则斜面体与水平地面间的动摩擦因数μ为（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（　　） A. B. C. D. 7. 如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行。求： （1）物体与斜面间的动摩擦因数； （2）这一临界角θ0的大小。 8. (2024年12月四川成都石室中学适应性测试) 如图所示，轻绳的一端与质量为的物块A连接，另一端跨过定滑轮与轻绳拴接于点。与水平方向成角的力作用在点，质量为的物块B恰好与地面间没有作用力。已知，定滑轮右侧的轻绳与竖直方向的夹角也为，重力加速度为。当从图中所示的状态开始顺时针缓慢转动的过程中，结点、的位置始终保持不变。则下列说法正确的是（　　） A. 的最小值为 B. C. 轻绳对定滑轮的作用力变大 D. 地面对物块B的支持力变小 9. .(2024广东中山期末) 如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为 O ，轻绳 OB 水平且 B 端与放在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳 OA 与竖直方向的夹角 ，物体甲、人均处于静止状态。已知 。 g 取10 。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则： （1）轻绳 OA 、OB 受到的拉力分别是多大？ （2）人受到的摩擦力是多大？方向如何？ （3）若人的质量 ，人与水平面之间的动摩擦因数 ，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？ 10. (2024陕西宝鸡期末)如图所示，质量为m1=10kg的物体甲通过三段轻绳相连，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平地面上的质盘为m2=50kg的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ=37°。物体甲及人均处于静止状态（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2，计算时可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力），求： （1）求OA绳的拉力FA的大小和OB绳的拉力FB的大小； （2）要保证人不会相对于地面滑动，人与水平地面间的动摩擦因数至少是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考易错点解读和针对训练 第二章 相互作用 易错点2.8 平衡中的临界极值问题 易错点解读 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，该类问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。临界常见的种类： （1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 （2）绳子由松弛到绷紧，拉力F＝0。 （3）恰好离开接触面，支持力N＝0。 2.极值问题 平衡问题的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解决极值问题和临界问题的方法 （1）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 （2）数学方法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）。但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论或说明。 【典例剖析】 典例1（2022·浙江1月卷·T5）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（　　） A. 轻绳的合拉力大小为 B. 轻绳的合拉力大小为 C. 减小夹角，轻绳的合拉力一定减小 D. 轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 【答案】B 【解析】对石墩受力分析，由平衡条件可知 联立解得 故A错误，B正确； 拉力的大小为 其中，可知当时，拉力有最小值，即减小夹角，轻绳的合拉力不一定减小，故C错误； 摩擦力大小为 可知增大夹角，摩擦力一直减小，当趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，故D错误； 【针对性训练】 1.（2025·山东潍坊模拟预测）小明同学喜欢体育运动，他拖拉重物时拉力最大为1 000 N，某次训练中，体育老师将不同质量的重物置于倾角为15°的斜面上，让他拉动重物沿斜面向上运动， 重物与斜面间的动摩擦因数为，则他能拉动的重物质量最大为（　　） A.100 kg B.100 kg C.200 kg D.200 kg 答案：C 解析：设拉力F与斜面夹角为θ，则他恰好拉动重物时有Fcos θ＝mgsin 15°＋μ，整理可得F＝＝＝，故当sin＝1时，m最大，则他能拉动的重物质量最大为m＝＝200 kg，故选C。 2. 如图所示，三根轻质细线结于O点，OA另一端固定在天花板上的A点（位于圆心O'的正上方），OB、OC另一端分别连接质量为m的小球P（可视为质点）、质量为4m的物体Q。将物体Q放置于粗糙水平面上，小球P放置于半径为R的光滑半圆柱上，当A、O、O'处于同一竖直线上时，OC处于水平且物体Q恰好不滑动，此时，，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则物体Q与水平面间的动摩擦因数为（　　） A. 0.12 B. 0.16 C. 0.20 D. 0.25 【参考答案】A 【名师解析】 根据题意，对小球P受力分析，受重力，光滑半圆柱的支持力和绳子的拉力，小球P受力平衡，画出拉力等大反向的力，即为和的合力，如图所示 由相似三角形可得 代入数据解得 由余弦定理有 代入数据解得 则 对结点O受力分析，如图所示 由O点平衡条件有 且与大小相等，对物体Q受力分析，如图所示 由平衡条件有，竖直方向 水平方向 又与大小相等，且 联立各式，代入数据解得 故选A。 3.如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行.A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为（　C　） A. B. C. D. 答案 C 解析　根据题述，物块A、B刚要滑动，可知A、B之间的摩擦力fAB＝μmgcos45°，B与木板之间的摩擦力f＝μ·3mgcos45°.隔离A分析受力，由平衡条件可得轻绳中拉力F＝fAB＋mgsin45°.对AB整体，由平衡条件有2F＝3mgsin45°－f，联立解得μ＝，选项C正确. 4.[2024湖北武汉部分学校调研]某装备矢量发动机（其喷口可以偏转，以产生不同方向的推力）的战斗机沿水平方向飞行.已知战斗机的质量为m，升阻比（升力与阻力之比，升力主要由机翼上下表面空气流速不同产生，垂直机身向上，阻力平行机身向后）为k，重力加速度取g.战斗机匀速巡航时，该发动机提供的最小推力为（　D　） A.mg B. C.mg D.mg 答案 D 解析　由题意可知战斗机在匀速巡航时受到的重力、升力、阻力的示意图如图所示， 由于＝k为一定值，所以升力和阻力的合力的方向是确定的，设此合力与阻力的夹角为θ，则tanθ＝k，易知cosθ＝，将重力向左上平移至如图所示，由图示的几何关系可知，当推力F与升力和阻力的合力垂直时，推力最小，故最小推力Fmin＝mgcosθ＝mg，D正确. 5.[2024湖南常德一中开学考]如图所示，质量均为m的铁球和木块通过轻绳a连接，轻绳b一端拴接在铁球上，另一端连接在弹簧测力计的挂钩上，通过弹簧测力计牵引铁球和木块一起沿水平方向做匀速直线运动.当轻绳b与水平方向成30°角时弹簧测力计示数最小.已知重力加速度为g，则（　D　） A.木块与地面间的动摩擦因数为0.5 B.弹簧测力计示数的最小值为mg C.弹簧测力计示数最小时，轻绳a上的拉力大小为mg D.弹簧测力计示数最小时，轻绳a与竖直方向的夹角为60° 答案 D 解析　由于弹簧测力计牵引铁球和木块一起沿水平方向做匀速直线运动，则对铁球和木块整体受力分析如图甲所示，当轻绳b与水平方向成30°角时，弹簧测力计示数最小，此时轻绳b上的拉力T、整体的重力2mg，地面给木块的支持力FN与地面给木块的摩擦力f的合力F合的关系如图乙所示，根据几何关系可知α＝30°，且tanα＝、T＝2mgsinα、f＝μFN，解得μ＝、T＝mg，故A、B错误；弹簧测力计示数最小时，轻绳a与竖直方向的夹角为θ，则对铁球受力分析有Tsin30°＋Tacosθ＝mg、Tcos30°＝Tasinθ，联立解得θ＝60°、Ta＝T＝mg，故C错误、D正确. 6.[2024吉林长春质量监测]如图，质量为m的光滑球体夹在竖直墙壁和斜面体之间，斜面体的质量为2m，倾角θ＝37°，设斜面体与地面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若斜面体恰好不滑动，则斜面体与水平地面间的动摩擦因数μ为（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（　A　） A. B. C. D. 答案 A 解析　对光滑球体受力分析，如图1所示，则由平衡条件有N1＝N2sinθ，mg＝N2cosθ，联立解得N1＝mg，对光滑球体与斜面体组成的整体受力分析，如图2所示，则由平衡条件有N1＝μN3，3mg＝N3，联立解得μ＝，A正确. 图1　　　 图2 7. 如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行。求： （1）物体与斜面间的动摩擦因数； （2）这一临界角θ0的大小。 答案：（1）　 （2）60° 解析：（1）如图甲所示，未施加力F时，对物体受力分析 由平衡条件得mgsin 30°＝μmgcos 30° 解得μ＝tan 30°＝。 （2）设斜面倾角为α时，物体无法向上滑行，受力情况如图乙所示，由平衡条件得 Fcos α＝mgsin α＋Ff' FN'＝mgcos α＋Fsin α，Ff'≤μFN' 解得F≤ 当cos α－μsin α＝0，即tan α＝时 不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，此时，临界角θ0＝α＝60°。 8. (2024年12月四川成都石室中学适应性测试) 如图所示，轻绳的一端与质量为的物块A连接，另一端跨过定滑轮与轻绳拴接于点。与水平方向成角的力作用在点，质量为的物块B恰好与地面间没有作用力。已知，定滑轮右侧的轻绳与竖直方向的夹角也为，重力加速度为。当从图中所示的状态开始顺时针缓慢转动的过程中，结点、的位置始终保持不变。则下列说法正确的是（　　） A. 的最小值为 B. C. 轻绳对定滑轮的作用力变大 D. 地面对物块B的支持力变小 【答案】A 【解析】物块恰好与地面间没有作用力，根据受力分析可知 可知 ,B错误； 受力如图 由图可知，F的最小值为, A正确； F从图中所示的状态顺时针转动90°的过程中，轻绳a的拉力大小始终等于A的重力大小，轻绳对定滑轮的作用力不变，C错误； F从图中所示的状态顺时针转动90°的过程中，轻绳b的拉力变小，故地面对物块B的支持力变大，D错误。 9. .(2024广东中山期末) 如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为 O ，轻绳 OB 水平且 B 端与放在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳 OA 与竖直方向的夹角 ，物体甲、人均处于静止状态。已知 。 g 取10 。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则： （1）轻绳 OA 、OB 受到的拉力分别是多大？ （2）人受到的摩擦力是多大？方向如何？ （3）若人的质量 ，人与水平面之间的动摩擦因数 ，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？ 【参考答案】（1） 、 ；（2） 方向水平向左；（3）24kg 【名师解析】 （1）以结点O为研究对象，如图所示 沿水平方向和竖直方向建立直角坐标系，将 分解，由平衡条件有 联立解得 （2）人水平方向受到OB绳的拉力和水平面的静摩擦力，受力如图所示 由平衡条件得 方向水平向左； （3）当甲的质量增大到人刚要滑动时，质量达到最大，此时人受到的静摩擦力达到最大值。 当人刚要滑动时，静摩擦力达到最大值 由平衡条件得 FOBm=fm 又 联立解得 即物体甲的质量 最大不能超过 24kg。 10. (2024陕西宝鸡期末)如图所示，质量为m1=10kg的物体甲通过三段轻绳相连，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平地面上的质盘为m2=50kg的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ=37°。物体甲及人均处于静止状态（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2，计算时可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力），求： （1）求OA绳的拉力FA的大小和OB绳的拉力FB的大小； （2）要保证人不会相对于地面滑动，人与水平地面间的动摩擦因数至少是多少？ 【参考答案】（1），；（2） 【名师解析】 （1）以物体甲为对象，根据受力平衡可知，点与甲之间轻绳拉力大小为；以点为对象，根据受力平衡可得 ， 解得 （2）以人为对象，根据受力平衡可得 ， 要保证人不会相对于地面滑动，则有 可得 可知人与水平地面间的动摩擦因数至少是。 学科网（北京）股份有限公司 $