第三章 概率的进一步认识 学情评估试卷 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第三章 概率的进一步认识 一、单选题 1．某公园有A，B，C，D四个入口，每个游客都是随机从一个入口进入公园，则甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率是（    ） A． B． C． D． 2．如图是一个正方形及其内切圆，随机往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为（   ） A． B． C． D． 3．假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为（正，反），如此类推，出现（反，反）的概率是（    ） A． B． C． D． 4．用三种不同的颜色，将如图所示的四个区域涂色，每种颜色至少用1次，则相邻的区域不涂同一种颜色的概率为（　　　） A． B． C． D． 5．质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ） A．点数都是偶数 B．点数的和为奇数 C．点数的和小于13 D．点数的和小于2 6．一个不透明的袋子中装有5个标号为2、4、7、11、15的小球，它们除标号外均相同，摇匀后任意取出两个小球记下标号，则两个标号的差的绝对值是2的倍数的概率是（　　） A． B． C． D． 7．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（ ） A．32个 B．36个 C．40个 D．42个 8．如图所示的两个转盘，每个转盘均被分成四个相同的扇形，转动转盘时指针落在每一个扇形内的机会均等，同时转动两个转盘，则两个指针同时落在标有奇数扇形内的概率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在如图所示的正方形和圆形组成的盘面上投掷飞镖，飞镖未落在阴影区域的概率是 ． 10．在一个盒子中有张形状、大小相同质地均匀的卡片，上面分别标着，，，这四个数字，从盒子里随机抽出两张卡片，则所得卡片上的两数之和是的概率是 ． 11．在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则 ． 12．甲、乙、丙三位同学打乒乓球，想通过“手心手背”游戏来决定其中哪两人先打．规则如下：三人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两人手势相同(都是手心或都是手背)，则这两人先打；若三人手势相同，则重新决定．那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是 ． 13．一个不透明的袋中装有2枚白色棋子和n枚黑色棋子，它们除颜色不同外，其余均相同．若小明从中随机摸出一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%．则n很可能是 枚． 14．把两张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合均匀成三堆，从这三堆图片中随机各抽出一张，则这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为 ． 三、解答题 15．王强和李刚在学习概率时，做掷骰子（质地均匀的正方体形状）试验，他们共掷了60次，出现朝上点数的次数如下表： 朝上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 8 11 6 9 16 10 (1)计算出现朝上点数为3的频率及出现朝上点数为5的频率． (2)根据以上试验，王强说：“根据试验结果，一次试验中出现朝上点数为5的概率最大．”李刚说：“如果掷600次，那么出现朝上点数为6的次数正好是100次．”这两名学生的说法是否正确？为什么？ 16．如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 17．某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 18．某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 b 604 落在“可乐”区域的频率” 0.6 0.61 0.6 a 0.59 0.604    (1)______，______； (2)请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率是______；（结果精确到0.1） (3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角是多少度？ 19．李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后；放回，如表所示是试验得到的一组统计数据. 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 （1）补全表中的有关数据，根据表中数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是_______. （2）估算袋中白球的个数为________. （3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算出两次都摸出白球的概率_________ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中确定出甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的结果数，再利用概率公式计算可得． 【详解】画树状图如下： 由树状图知共有16种等可能结果，其中甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的结果有4种， 所以甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后利用概率公式求事件A的概率． 2．C 【分析】根据题意算出正方形的面积和内切圆面积，再利用几何概率公式加以计算，即可得到所求概率．本题考查了几何概率的知识，求米落入指定区域的概率．着重考查了正方形、圆面积公式和几何概型的计算等知识. 【详解】解：设正方形的边长为，则圆的直径为， 故随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为=， 故选：C 3．D 【分析】由列举法可得：掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（反，反）的情况有1种，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（反，反）的情况有1种， ∴（反，反）的概率． 故选：D 【点睛】本题考查了列举法求概率，解本题的关键在熟练掌握概率公式．概率=所求情况数与总情况数之比． 4．B 【分析】设三种不同颜色分别用1，2，3表示，列举第一格涂1或2或3的所有可能，找出符合条件的情况，利用概率公式求即可． 【详解】设三种不同颜色分别用1，2，3表示， 根据题意，可以设第一格涂1， 可列举所有可能： 1123，1132，1312，1321，1322，1323，1332，1213，1223，1231，1232，1233， 此时所有可能的结果又12种，符合条件的有6种， 其它2或3同理， 所以四个格的所有可能的结果共有36种， 符合条件的结果共有18种， 所以相邻的区域不涂同一种颜色的概率为： P=． 故选择：B． 【点睛】本题考查用列举法求概率问题，掌握列举时采用分类思想列出每种情况的所有可能结果，从中找出满足条件情况是解题关键． 5．C 【详解】画树状图为： 共有36种等可能的结果数， 其中点数都是偶数的结果数为9， 点数的和为奇数的结果数为18， 点数和小于13的结果数为36， 点数和小于2的结果数为0， 所以点数都是偶数的概率==， 点数的和为奇数的概率=， 点数和小于13的概率=1， 点数和小于2的概率=0， 所以发生可能性最大的是点数的和小于13． 故选C． 6．A 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个标号的差的绝对值是2的倍数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图如下：    共有20种等可能的结果，其中两个标号的差的绝对值是2的倍数的结果有8种， ∴两个标号的差的绝对值是2的倍数的概率为， 故选：A． 【点睛】此题考查了用列表法或树状图法求概率．通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A的概率． 7．A 【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数” 【详解】设盒子里有白球x个， 根据 得： 解得：x=32． 经检验得x=32是方程的解． 答：盒中大约有白球32个． 故选；A． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根． 8．C 【详解】解：列表得： 共有16种情况，两个指针同时落在标有奇数扇形内的情况有4种情况，所以概率是， 故选C． 9． 【分析】本题考查了几何概率，以及正方形与圆的对称性，求出其他部分面积与总面积的比值是解决本题的关键． 用阴影部分的面积除以总面积即可求得飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：根据正方形与圆的对称性可知，阴影部分占所有面积的， ∴其他部分的面积占所有面积的， ∴飞镖未落在阴影区域的概率是 ． 故答案为： ． 10． 【分析】本题主要考查了列举法求概率，概率公式等知识点，熟练掌握列举法求概率是解题的关键． 列举出所有可能出现的情况，再用所求情况数除以总的情况数即可得解． 【详解】解：从张卡片中随机抽出两张卡片共有种可能的结果，即： ，，，，，， 所得卡片上的两数之和是的情况共有种，即：，， 所得卡片上的两数之和是的概率是， 故答案为：． 11．8 【分析】根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】∵在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球， ∴共有(2+n)个球，其中黄球n个， 根据概率公式知：P(摸到黄球)=， 解得n=8. 故答案为8. 【点睛】此题考查概率公式，解题关键在于根据概率公式列出方程. 12． 【分析】略 【详解】分别用A、a表示手心和手背， 画树状图为： 共有8种等可能的结果数，其中甲打乒乓球的结果数为4， 所以通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率=． 故答案为. 【点睛】略 13．8． 【分析】不透明的布袋中的棋子除颜色不同外，其余均相同，共有n+2个棋子，其中黑色棋子n个， 【详解】根据古典型概率公式知：P（黑色棋子）==80%， 解得n=8． 故答案为8． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率． 14．/ 【分析】先画出树状图，从而可得从这三堆图片中随机各抽出一张的所有等可能的结果，再找出这三张图片恰好组成一张完整风景图片的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【详解】解：将第一张图片的上、中、下三段分别记为，第二张图片的上、中、下三段分别记为，则有；；三堆， 则画树状图如下：    由图可知，从这三堆图片中随机各抽出一张共有8种等可能的结果，其中，这三张图片恰好组成一张完整风景图片的结果有2种， 则这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键． 15．(1)出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率 (2)都不正确，理由见解析 【分析】本题考查了频率（频数）和概率． （1）求一个点数朝上的频率，就是用出现的次数除以抛的总次数即可； （2）根据概率的概念和概率公式，可知各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍，可得结论． 【详解】（1）解：出现向上点数为3的频率：， 出现向上点数为5的频率：， 即出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率； （2）解：王强和李刚的说法都不正确，理由如下： 他们混淆了频率与概率的概念．概率是确定的常数，频率（频数）是不确定的、随机的．只有当试验次数足够大时，频率才稳定于概率这一数值．在该试验中，各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍 16．不公平，设计一个公平的规则见解析，理由见解析 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得用所指的两个数字作乘积的所有等可能的结果，再找出所得的积是偶数的结果、所得的积是奇数的结果，然后利用概率公式求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得这样的规则不公平．设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜．同样的方法求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字作乘积，共有24种等可能的结果，其中，所得的积是偶数的结果有18种，所得的积是奇数的结果有6种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则不公平． 设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜． 这样的规则是公平的，理由如下： 由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字求和，共有24种等可能的结果，其中，所得的和是偶数的结果有12种，所得的和是奇数的结果有12种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则公平． 17．(1)、 (2)， (3) 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：、； （2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； 故答案为：，； （3）解：，，， ． 18．(1)0.6，472； (2)0.6；0.6； (3)144°． 【分析】（1）根据频率的定义计算m=298时的频率和频率为0.59时的频数； （2）从表中频率的变化，可得到估计当很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率得“可乐”的概率约是； （3）可根据获得“洗衣粉”的概率为−，然后根据扇形统计图的意义，用乘以即可得到表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角． 【详解】（1）解：÷≈；； 故答案为：，； （2）解：估计当很大时，频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是； 故答案为：；； （3）解：， 所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 19．（1）0.25；（2）3；（3）. 【分析】（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可； （2）列用概率公式列出方程求解即可； （3）用画树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）补全表格如下： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.25 0.25 （1）0.25 根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是0.25，故答案填0.25. （2）3 设口袋中白球有个，根据从袋中摸出一个黑球的概率大约是0.25，可得，解得，经检验，是原分式方程的解， 所以估算袋中白球的个数为3. （3）画树状图如下： 开始 第一次      黑           白           白        白 第二次 黑 白 白 白 黑 白 白 白  黑 白 白 白 黑 白 白 白 由树状图可知，共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种结果， 所以两次都摸出白球的概率为. 【点睛】此题考查列表法与树状图法，利用频率估计概率，解题关键在于利用画树状图将所有可能列举出来. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $