5.3.1组合问题课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第五章 计数原理 第3节 组合问题 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解组合与组合数的概念． 2、掌握组合数公式，并会应用公式求值． 3、理解组合数的两个性质． 1、能正确写出一些简单问题的所有组合. 2、理解组合数公式及简单应用. 1、理解组合和组合数的概念. 2、理解组合数公式及简单应用. 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 3、组合数 =______________________________________ 1、什么叫做排列？ n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)］ 2、排列的重要特征是：______________ 有序性 3 新 知 引 入 韦 达 问题1：某次团代会，要从5名候选人中选岀3名担任队长和正、副组长，共有多少种方案？ 因为正、副组长有顺序，所以这是一个排列问题，由上一节课所学可知，共有A53=5×4×3=60种方案。 问题2：某次团代会，要从5名候选人中选岀3名担任代表，共有多少种方案？ 3名代表是没有顺序的，所以这不是排列问题。该如何计算呢？ 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 用a,b,c,d,e这5个字母代表5名候选人,把所有可能都列岀来，分别是 abc , abd , abe , acd , ace , ade , bcd , bce , bde , cde. 因此，要从5名候选人中选出3名担任代表，共有10种方案. 方法1：列举法 从a,b,c,d,e这5个不同元素中取出3个元素的排列问题可以分解成以下2个步骤： 第1步： 第2步： 方法2 ：从排列问题分析. 从a,b,c,d,e这5个不同元素中取出3个元素，设其取法总数为x； 将取出的3个元素进行排列，排列数为. 因此，根据分步乘法计数原理，=x·,从而x===10. 所以从5名候选人中选岀3名担任代表，共有10种方案. 5 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 问题1：某次团代会，要从5名候选人中选岀3名担任队长和正、副组长，共有多少种方案？ 问题2：某次团代会，要从5名候选人中选岀3名担任代表，共有多少种方案？ 这两个问题的 共同点是：______________________________________________ 不同点是：______________________________________________ 都是从5个人中选出3个人 问题1中的3人有顺序；问题2中的3人没有顺序 问题1是__________问题；问题2是____________问题。 排列 组合 6 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n,且m,n∈N)个元素为一组，叫作从个不同元素中取出m个元素的一个组合. 组合 我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题. 注意： 元素的无重复性 元素的无序性 (1)共同点:______________________________________________ (2)不同点:______________________________________________ （1） （2） 排列与组合的区别与联系 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素. 排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关. 7 典 例 引 路 集合论之父——康托 （1）设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集 有多少个? （2）某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种 车票? （4）10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有 多少种分法? 组合问题 排列问题 （3）某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共有多少种不 同的火车票价？ 组合问题 组合问题 例1、判断下列问题是排列问题还是组合问题： 8 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、判断正误： ①两个组合相同，则其对应的元素一定相同．(       ) ②一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(        ) ③“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合．(       ) ④从3，5，7，11中任取两个数相除属于组合问题.(       ) ⑤从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调 查，求有多少种不同的选法是组合问题．(        ) ⑥把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且 必须分完，求有多少种分法是排列问题.(       ) × √ × × × × 9 典 例 引 路 柯 西 例2、用列举法写出“从a、b、c、d 4个不同元素中任取3个元素”的所有排列和组合。 解：所有的排列是： abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bdc cbd cdb dbc dcb 所有的组合是：abc abd acd bcd 10 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、用列举法写出“从a、b、c、d、e 5个不同元素中任取2个元 素”的所有排列和组合。 解：所有的排列是： ab ba ac ca ad da ae ea bc cb bd db be eb cd dc ce ec de ed 所有的组合是：ab ac ad ae bc bd be cd ce de 11 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 组合数 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 对于一般的组合问题，如何计算所有组合的个数呢？ 把“从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素进行排列”这件事，可以分解成以下2个步骤： 第1步：______________________________________________ 第2步:_______________________________________________ 从n个不同元素中取出m个元素，共有种取法； 将取出的m个元素进行排列，共有种排法. 因此，根据分步乘法计数原理,= • ,从而: =________=_____________________________________=______________ 规定： Cn0=1 12 典 例 引 路 牛 顿 例3、计算： (1) (2) (3)已知 ,求n. 解:(1) ==210; (3)由=,有=,n-2=6,n=8. (2)==35. 13 同 步 练 习 黎 曼 练3、计算： 解：（1） 120; (4)3-2=-=148. （1） （2） (4)3-2 (3) (2) 14 典 例 引 路 狄利克雷 例4、已知平面内有12个点，任何3个点均不在同一直线上，以每3 个点为顶点画一个三角形，一共可以画多少个三角形？ 解:依题意知以平面内12个点中的每3个点为顶点画三角形，可画的三角形的个数, 就是从12个不同元素中取出3个元素的组合数，即 === 220. 因此，一共可以画220个三角形. 15 同 步 练 习 庞加莱 练4、某城市街道如图所示，某人要走最短路程从 地前往 地，则不同的走法有_____种. 解：因为从A地到B地的路程最短， ①要走的路程最短必须走5步， 且不能重复； ②向东的走法定出后，向南的走法随之确定， 所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可.故不同走法的种数为C52=10 16 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？ 解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品. 故有：=576种可能. 17 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种. 解：采用先分组后排方法: C53C31C42A33=1080 18 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 问题3：计算“从10人中选出6人参加比赛”的方法数. 问题4：计算“从10人中选出4人不参加比赛”的方法数. C106= =210 C104= =210 组合数性质1： = 19 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 问题5：从10名普通战士和1名班长中选出5名参加军事比武大赛，共 有多少种方案? 方法1： 选出的5名可以分成以下2类： 第1类，含有班长，共有种方案； 第2类，不含班长，共有种方案. 因此，根据分类加法计数原理，共有(+)种方案. 由此，我们得到：=+. 从11名中选出5名参加军事比武大赛，共有种方案. 方法2： 组合数性质2： 20 典 例 引 路 华罗庚 例6、（1）化简：Cm9 - Cm+19 + Cm8 （2）已知Cn+17 - Cn7 = Cn8求n的值。 解：原式=(Cm9+Cm8)-Cm+19=Cm+19-Cm+19=0 解：由Cn+17 - Cn7 = Cn8, 可得Cn+17=Cn8+Cn7 则Cn+17= Cn+18， 故8+7=n+1, 解得n=14 21 同 步 练 习 洛必达 练6、（1）求C33+C43++C103的值。 （2）证明：Cnm+1+Cnm-1+2Cnm=Cn+2m+1. 解：原式= 证明：左边= 右边 22 全 课 总 结 一、组合的概念 二、组合数的概念 三、组合数公式 四、组合数的两个性质 23 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 24 $