专题11 平面解析几何（必备知识+21大考点+专练，复习讲义）（上海专用）2026年春季高考数学

专题11 平面解析几何 目录 一、考情分析与命题趋势 二、知识体系构建 知识点1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 4 1. 直线的倾斜角与斜率 4 2. 直线方程的形式（注意方程形式的局限性） 4 3. 求直线方程的方法 4 知识点2 两条直线的位置关系 4 1. 两条直线位置关系的判断 4 2. 两条直线垂直的判断 5 3. 两条直线的夹角 5 4. 点到直线的距离 5 5. 两平行线之间的距离 5 知识点3 圆的方程 5 1. 圆的定义 5 2. 圆的标准方程 5 3. 圆的一般方程 5 4. 点与圆的位置关系 6 5. 求圆的方程，采用待定系数法 6 6. 在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质： 6 知识点04 直线与圆、圆与圆的位置关系 6 1. 直线与圆相切 6 2. 直线与圆相交及弦长 6 3. 圆与圆的位置关系 6 知识点5 椭圆 7 1. 椭圆的概念 7 2. 椭圆的标准方程 7 3. 椭圆的性质 7 4. 直线与椭圆位置关系的判断 8 5. 直线与椭圆的相交问题 8 6. 焦点三角形 8 7. 焦点弦（过焦点的弦） 8 知识点6 双曲线 8 1. 双曲线的定义 8 2. 双曲线的标准方程 9 3. 渐近线与离心率 9 4. 直线和双曲线的位置关系 10 5. 几个重要结论 10 6. 重要思想方法 10 知识点7 抛物线 11 1.抛物线及其简单性质 11 2.抛物线的综合问题 11 知识点8 圆锥曲线的综合问题 12 1.圆锥曲线中的范围、最值问题 12 2.圆锥曲线中的定点、定值、探究性问题 13 三、考点精析与突破 考点1 直线的倾斜角与斜率 14 考点2 几种特殊形式的直线方程 14 考点3 直线的一般式方程 15 考点4 已知直线平行求参数 15 考点5 已知直线垂直求参数 15 考点6 点到直线的距离 16 考点7 圆的标准方程 17 考点8 圆的一般方程 17 考点9 直线与圆的位置关系 18 考点10 圆与圆的位置关系 19 考点11 椭圆的标准方程 19 考点12 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 21 考点13 椭圆的性质 23 考点14 双曲线的标准方程 26 考点15 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 28 考点16 双曲线的性质 29 考点17 已知方程求双曲线的渐近线 33 考点18 抛物线的标准方程 36 考点19 抛物线的性质 38 考点20 求轨迹的方程 38 考点21 简单的参数方程 40 四、实战精练与提升 一、考试要求 知识点 新课程标准 重点 知识点1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1. 理解直线的倾斜角与斜率的概念； 2. 掌握直线方程的不同形式（点斜式、斜截式等）及适用范围； 3. 会用待定系数法等方法求直线方程 1. 直线倾斜角与斜率的转化； 2. 不同形式直线方程的选择与应用； 3. 求直线方程的方法（待定系数法） 知识点2 两条直线的位置关系 1. 掌握两条直线位置关系（平行、相交）的判断方法； 2. 会判断两条直线的垂直关系； 3. 理解两条直线的夹角概念并会计算； 4. 掌握点到直线、两平行线间的距离公式 1. 两条直线平行/垂直的判定； 2. 直线夹角的计算； 3. 距离公式的熟练应用 知识点3 圆的方程 1. 理解圆的定义； 2. 掌握圆的标准方程与一般方程； 3. 会判断点与圆的位置关系； 4. 能用待定系数法求圆的方程； 5. 会利用圆的几何性质（如弦的垂直平分线过圆心）解题 1. 圆的方程的转化（标准→一般）； 2. 待定系数法求圆的方程； 3. 圆的几何性质的应用 知识点4 直线与圆、圆与圆的位置关系 1. 掌握直线与圆相切的判定及性质； 2. 会求直线与圆相交的弦长； 3. 理解圆与圆的位置关系（相离、外切、相交等）的判定 1. 直线与圆相切的应用（如切线方程）； 2. 弦长公式的计算； 3. 圆与圆位置关系的判定及应用 知识点5 椭圆 1. 理解椭圆的定义； 2. 掌握椭圆的标准方程与性质； 3. 会判断直线与椭圆的位置关系； 4. 会处理直线与椭圆的相交问题（弦长、中点弦）； 5. 理解焦点三角形、焦点弦的概念 1. 椭圆性质（离心率、范围）的应用； 2. 直线与椭圆相交的弦长、中点弦问题； 3. 焦点三角形的面积与角度计算 知识点6 双曲线 1. 理解双曲线的定义； 2. 掌握双曲线的标准方程、渐近线与离心率； 3. 会判断直线与双曲线的位置关系； 4. 掌握双曲线的重要结论与思想方法 1. 双曲线渐近线的求解与应用； 2. 离心率的计算； 3. 直线与双曲线位置关系的判定 知识点7 抛物线 1. 理解抛物线的定义与简单性质； 2. 会处理抛物线的综合问题（如焦点弦、最值） 1. 抛物线定义的转化应用； 2. 焦点弦的结论（如弦长、坐标关系）； 3. 抛物线的最值问题 知识点8 圆锥曲线的综合问题 1. 会解决圆锥曲线中的范围、最值问题； 2. 会处理圆锥曲线中的定点、定值及探究性问题 1. 范围/最值问题的求解方法（判别式、基本不等式）； 2. 定点/定值问题的证明； 3. 探究性问题的假设与推理 二、命题分析 平面解析几何考查分析表 模块 考频 考查内容 命题趋势 平面解析几何 2025年第10题、2025年第21题；2024年第10题、2024年第22题；2023年第8题、2023年第21题；2022年第11题、2022年第20题；2021年第10题、2021年第20题 直线的方程与斜率、两直线位置关系；圆的方程、直线与圆的位置关系；椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系（交点、弦长、最值）；轨迹方程的求解；解析几何与向量、函数的综合应用 高频核心考点，小题侧重基础性质（直线、圆、圆锥曲线定义与性质），难度中等，注重公式应用与计算准确性；解答题多为压轴或次压轴题，结合直线与圆锥曲线位置关系、最值、轨迹等，难度较大，强调数形结合思想、分类讨论思想及运算能力，注重知识综合运用与逻辑推理 -考查内容及命题趋势表（2021~2025年春考数据） 知识点1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1. 直线的倾斜角与斜率 （1）设直线与轴相交于点，将轴绕点按逆时针方向旋转至与直线重合时所成的最小正角叫做直线的倾斜角。当直线与轴平行或重合时，规定倾斜角为，故； （2）当时，角的正切值叫做直线的斜率，记作，当时，斜率不存在； （3）直线过点、（），则直线的斜率。 2. 直线方程的形式（注意方程形式的局限性） （1）点斜式：「直线过点，斜率为」； （2）斜截式：（直线在轴上截距为，斜率为）； （3）两点式：「直线过、两点，且、」； （4）一般式：（、不同时为零）； （5）点法式：「直线的一个法向量为，、不同时为零」。 3. 求直线方程的方法 （1）根据以上形式直接写出直线方程； （2）待定系数法； （3）利用直线方程的定义。 知识点2 两条直线的位置关系 1. 两条直线位置关系的判断 方法一：利用系数比 方法二：利用法向量 方法三：利用斜率、截距 2. 两条直线垂直的判断 （、不同时为零） （、不同时为零） （1）； （2）当、的斜率都存在，分别设为、，则。 3. 两条直线的夹角 （1）设直线和（、不全为零，、不全为零），与的夹角为，则； （2）设两条直线、的斜率分别为、，与的夹角为，则。 4. 点到直线的距离 点到直线（、不全为零）的距离为。 5. 两平行线之间的距离 设直线和（、不全为零），则它们之间的距离为。 知识点3 圆的方程 1. 圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。 2. 圆的标准方程 （1）若圆心为，半径为，则该圆的标准方程为：； （2）方程表示圆心为，半径为的圆； （3）单位圆的方程：。 3. 圆的一般方程 （1）任意一个圆的方程都可化为：，这个方程就叫做圆的一般方程； （2）对方程： ① 若，则方程表示以为圆心，为半径的圆； ② 若，则方程只表示一个点； ③ 若，则方程不表示任何图形。 说明：类似地，可研究方程表示圆的充要条件。 提示：，，，请写出此时的圆心坐标和半径。 4. 点与圆的位置关系 （1）点在圆内； （2）点在圆上； （3）点在圆外。 5. 求圆的方程，采用待定系数法 （1）若已知条件与圆心和半径有关，可设圆的标准方程； （2）若已知条件没有明确给出圆心和半径，可选择圆的一般方程。 6. 在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质： （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在任一弦的垂直平分线上。 知识点04 直线与圆、圆与圆的位置关系 1. 直线与圆相切 （1）直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点； （2）几何法：圆心到直线的距离等于半径，即； （3）代数法：，方程组有一组不同的解。 2. 直线与圆相交及弦长 （1）直线与圆相交：直线与圆有两个公共点； （2）几何法：圆心到直线的距离小于半径，即； （3）代数法：，方程组有两组不同的解。 相离 相切 相交 图形 方程观点 几何观点 3. 圆与圆的位置关系 设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、（）。 （1）两圆相离：无公共点；，方程组无解； （2）两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解； （3）两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解； （4）两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解； （5）两圆内含：无公共点；，方程组无解。特别地，时，为两个同心圆。 知识点5 椭圆 1. 椭圆的概念 （1）定义：平面上到两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫椭圆。这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 （2）集合的记号表示：集合。 ① 若，则集合为椭圆； ② 若，则集合为线段； ③ 若，则集合为空集。 2. 椭圆的标准方程 （1）焦点在轴：； （2）焦点在轴：。 3. 椭圆的性质 条件 图形 标准方程 范围 对称性 曲线关于轴，原点对称 曲线关于轴，原点对称 顶点 长轴顶点， 短轴顶点 长轴顶点， 短轴顶点 焦点 焦距 离心率 ，其中 通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为 4. 直线与椭圆位置关系的判断 （1）代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去，整理得到关于的方程。记该一元二次方程根的判别式为，① 若，则直线与椭圆相交；② 若，则直线与椭圆相切；③ 若，则直线与椭圆相离； （2）几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图像和性质可判断直线与椭圆的位置关系。 5. 直线与椭圆的相交问题 （1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点，则弦长公式为或； 说明：或，此方法是典型的化归思想之应用。 （2）焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小（近日点与远日点）。 6. 焦点三角形 椭圆上的点与两焦点构成的叫做焦点三角形，，的面积为，则在椭圆中 （1）当为短轴端点时，最大； （2），当时，即点为短轴端点时，取最大值，最大值为； （3）焦点三角形的周长为。 7. 焦点弦（过焦点的弦） 焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长。 知识点6 双曲线 1. 双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线： （1）在平面上； （2）动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； （3）这一定值一定要小于两定点的距离。 2. 双曲线的标准方程 标准方程 图形 标准方程 图形 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 渐近线 ，可由而得 ，可由而得 离心率 ，其中 实虚轴 线段叫作双曲线的实轴，它的长；线段叫作双曲线的虚轴，它的长；叫作双曲线的实半轴长，叫作双曲线的虚半轴长 的关系 3. 渐近线与离心率 的一条渐近线的斜率为。可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小。 4. 直线和双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为。如消去，可得：。 若，即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若，即， ①直线和双曲线相交，有两个交点； ②直线和双曲线相切，有一个公共点； ③直线和双曲线相离，无公共点。 5. 几个重要结论 （1）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径； （2）与双曲线有共同渐近线的方程可表示为； （3）双曲线的焦点到其渐近线的距离为； （4）若是双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，则，。 6. 重要思想方法 （1）待定系数法求双曲线方程的常用方法 ① 与双曲线共渐近线的可设为； ② 若渐近线方程为，则可设为； ③ 若过两个已知点，则设为。 （2）应用双曲线的定义需注意的问题： 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”。若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支。同时注意定义的转化应用。 （3）求双曲线方程时，一是标准形式判断；二是注意的关系易错易混。 （4）双曲线的标准方程中对的要求只是，易误认为与椭圆标准方程中的要求相同。 若，则双曲线的离心率； 若，则双曲线的离心率； 若，则双曲线的离心率。 （5）等轴双曲线的离心率与渐近线关系 双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）等轴双曲线的方程为，即。 知识点7 抛物线 1.抛物线及其简单性质 （1）抛物线的定义：平面上到一个定点和到一条定直线（不在上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。过点作准线的垂线，设垂足为，则线段的中点称为此抛物线的顶点。 （2）抛物线的标准方程及其性质 图形 标准方程 顶点 范围 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 2.抛物线的综合问题 （1）直线和抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为。如消去，可得：。 - 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； - 若， ①直线和抛物线相交，有两个交点； ②直线和抛物线相切，有一个公共点； C ③直线和抛物线相离，无公共点。 （2）直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点、两点，则，同理可得（）。 （3）常用思想方法 （1）抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用（用抛物线的定义可化斜为直）； （2）利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关。实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化： ① 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解； ② 将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决。 （4）常见与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点。设、，则： ① 焦点弦长或（为的倾斜角）； ②，； ③，其中叫做焦半径，。 知识点8 圆锥曲线的综合问题 1.圆锥曲线中的范围、最值问题 （1）直线和圆锥曲线的位置关系 判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程（不同时为0）代入圆锥曲线的方程，消去（也可以消去）得到一个关于变量（或变量）的一元方程。 即消去，得。 ①当时，设一元二次方程的判别式为， 则直线与圆锥曲线相交； 直线与圆锥曲线相切； 直线与圆锥曲线相离。 ②当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合。 （2）弦长问题和中点弦问题 ①弦长公式 设斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点，、，则（其中是方程中二次项的系数）。 ②处理中点弦问题常用的求解方法 点差法： 设出弦的两端点坐标为、后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率（此方法为整体消元，体现数学的整体思想）。 根与系数的关系： 联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，消元化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解。 注意：中点弦问题常用的两种求解方法，各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足（缺少位置关系的判断）。 （3）求解范围、最值问题的常见方法 a.利用判别式来构造不等关系； b.利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系； c.利用隐含或已知的不等关系建立不等式； d.利用基本不等式。 2.圆锥曲线中的定点、定值、探究性问题 （1）动线过定点问题的两大类型及解法 ①动直线过定点问题，解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点； ②动曲线过定点问题，解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点。 （2）求解定值问题的两大途径 ①由特例得出一个值（此值一般就是定值）→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数（某些变量）无关（将一般问题特殊化，体现“退步简化条件”的思想）； ②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值。 （3）探索性问题的求解策略 ①若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律； ②若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述的问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论。 考点1 直线的倾斜角与斜率 例1直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2直线与直线的夹角大小等于 . 变式1（2025·上海·三模）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为 ． 变式2（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 变式3已知直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角 ． 变式4（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 考点2 几种特殊形式的直线方程 例1（24-25高三上·上海·期中）经过点且法向量为的直线方程为 . 例2若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时， . 变式1（24-25高三上·上海·期中）过点倾斜角为的直线方程是 . 变式2已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 ． 变式3已知向量，，直线l经过点且与向量垂直，则直线l的方程为 . 考点3 直线的一般式方程 例1（2024·上海嘉定·一模）直线的倾斜角为 .（用反三角函数表示） 例2（24-25高三上·上海·期中）已知直线1过点，且它的一个法向量，则该直线的一般式方程为 变式1设，若直线过曲线（，且）的定点，则的最小值为 ． 变式2过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为 变式3过点与直线垂直的直线方程为 . 考点4 已知直线平行求参数 例1（2025·上海·模拟预测）“”是“直线与直线相互平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 变式1（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 变式2已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（    ） A．个 B．2个 C．个 D．无数个 变式3已知直线与直线，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 变式4（2025·上海黄浦·三模）直线，直线，若，则 ． 考点5 已知直线垂直求参数 例1若直线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 变式1（2024·上海奉贤·一模）若直线：与直线：互相垂直，则 ． 变式2已知直线和，若，则 . 变式3已知直线，，若，则 . 考点6 点到直线的距离 例1将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 例2（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. (1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离； (2)若，求直线的方程； (3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 变式1（2024·上海·三模）设集合，点P的坐标为，满足“对任意，都有”的点P构成的图形为，满足“存在，使得”的点P构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为（    ）． A．①、②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①、②都不正确 变式2已知点与点在直线的两侧，给出以下结论： ①； ②当时，有最小值，无最大值； ③； ④当且时，的取值范围是. 正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道．若该设备水平截面矩形的宽为米，则该设备能水平通过直角型过道的长不超过 米． 考点7 圆的标准方程 例1（24-25高三上·上海金山·期末）以为圆心且过点的圆的标准方程是 ． 例2水平放置的边长为1的正方形沿x轴正向滚动，初始时顶点A在坐标原点，（沿x轴正向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续）设顶点的轨迹方程是，则 . 变式1（2024·上海长宁·一模）以为圆心，为半径的圆的标准方程是 . 变式2（2024·上海·模拟预测）平面点集所构成区域的面积为 . 变式3已知，则的最小值为 ． 考点8 圆的一般方程 例1（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 例2（2024·上海·模拟预测）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）    例3（2024·上海普陀·模拟预测）已知圆的周长为，则实数的值为 . 变式1（24-25高三下·上海虹口·期中）若直线与直线平行，且经过圆的圆心，则的方程为 变式2（2025·上海浦东新·二模）设圆方程为，则圆的半径为 ． 变式3已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为 变式4若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 考点9 直线与圆的位置关系 例1（2024·上海普陀·二模）直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（    ） A．3 B．5 C．10 D．12 例2设直线系，对于下列四个命题： ①M中所有直线均经过一个定点； ②存在定点P不在M中的任一条直线上； ③对于任意整数，存在正n边形，使其所有边均在M中的直线上； ④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等． 其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号） 例3（2025·上海浦东新·模拟预测）已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为 . 变式1（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 变式2（2024·上海·一模）已实数满足，则的取值范围是 ． 变式3（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 . 变式4设，，三条直线，，，则与的交点M到的距离的最大值为 ． 变式5已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为 . 变式6（2025·上海浦东新·模拟预测）直线被圆截得的弦长为 . 考点10 圆与圆的位置关系 例1已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 例2（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 变式1用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ． 变式2（25-26高三上·上海·期中）已知圆与圆无公共点，则的取值范围是 . 变式3已知圆C：（x+1）2+y2＝a（a＞0），定点A（m，0），B（0，n），其中m，n为正实数． (1)当a＝m＝n＝3时，判断直线AB与圆C的位置关系； (2)当a＝4时，若对于圆C上任意一点P均有PA＝λPO成立（O为坐标原点），求实数m，λ的值； (3)当m＝2，n＝4时，对于线段AB上的任意一点P，若在圆C上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求实数a的取值范围． 考点11 椭圆的标准方程 例1如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 例2已知椭圆 的右焦点为 ， 点 是椭圆上三个不同的点， 则 “ 成等差数列” 是 “”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3（2024·上海·模拟预测）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是 . 例4（2024·上海普陀·模拟预测）已知椭圆的焦点为，点在椭圆上且，则点到轴的距离为 . 变式1已知椭圆的一个焦点坐标为，则 . 变式2方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围是 . 变式3（2024·上海·三模）已知椭圆C的焦点、都在x轴上，P为椭圆C上一点，的周长为6，且，，成等差数列，则椭圆C的标准方程为 ． 变式4已知，两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为 . 变式5（2024·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 变式6以为圆心的动圆与圆和圆均相切，若点的轨迹为椭圆，则的取值范围是 . 变式7已知，为椭圆：的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是 . 变式8已知椭圆的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为 . 变式9设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为 . 变式10已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于 . 变式11以坐标原点为对称中心，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若点，动点满足，求动点的轨迹所围成的图形的面积； (3)过圆上一点（不在坐标轴上）作椭圆的两条切线.记的斜率分别为，求证：. 考点12 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 例1（2025·上海·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆的左焦点，若与椭圆上任一点距离的最大值为. (1)求椭圆的离心率； (2)若为椭圆的上顶点，为椭圆上的点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的的个数，并说明理由. (3)若斜率为的直线交椭圆于､两点，为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 变式1若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为 ． 变式2（2025·上海杨浦·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 变式3（2025·上海浦东新·三模）设有椭圆和直线．椭圆的左、右焦点分别为、．是上位于第一象限内的一点． (1)当时，求椭圆的离心率； (2)若且点在直线上，求的值； (3)设点满足，其中是点到的距离．当变化时，求的最小值． 变式4（2025·上海松江·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 考点13 椭圆的性质 例1定义曲线：为椭圆：的“倒曲线”，给出以下三个结论：①曲线有对称轴，②曲线有对称中心，③曲线与椭圆有公共点．其中正确的结论个数为（    ） A． B． C． D． 例2（2024·上海·模拟预测）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中至少有两个顶点为椭圆的顶点．这样的等腰三角形有 个． 例3（2024·上海奉贤·三模）如图，已知椭圆的方程为和椭圆，其中分别是椭圆的左右顶点． (1)若恰好为椭圆的两个焦点，椭圆和椭圆有相同的离心率，求椭圆的方程； (2)如图，若椭圆的方程为.是椭圆上一点，射线分别交椭圆于，连接（均在轴上方）.求证：斜率之积为定值，求出这个定值； (3)在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为，求正数的值． 变式1（2024·上海普陀·一模）设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为 . 变式2（2025·上海浦东新·三模）短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为 . 变式3（2025·上海杨浦·二模）如图，阿基米德椭圆规是由基座､带孔的横杆､两条互相垂直的空槽､两个可动滑块组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块固定在带孔的横杆上，令滑块在中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当之间的距离为厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则之间的距离为 .厘米. 变式4（2024·上海宝山·一模）已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.    (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 变式5已知椭圆的中心在原点，且它的一个焦点为.点分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点，的面积为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若把直线的斜率分别记作，若，求点的坐标； (3)设直线与轴交于点，直线与轴交于点.令，求实数的取值范围. 变式6已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值； (3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点和点三点共线，求的值. 变式7（2025·上海·模拟预测）如图1，已知椭圆Γ的方程为和椭圆其中A，B分别是椭圆τ的左右顶点．若A，B恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率． (1)求椭圆Γ的方程； (2)如图2，若P是椭圆τ上一点，射线AP，BP分别交椭圆于，N，连接AN，BM（P，M，N均在x轴上方）．求证：NB，MA斜率之积为定值，求出这个定值； (3)在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为求正数k的值． 变式8（2025·上海黄浦·二模）椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 考点14 双曲线的标准方程 例1已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ． 例3双曲线的焦点为 . 例4已知双曲线的离心率为2，C的左右焦点分别为，，点P在C的右支上，的中点N在圆上，其中c为半焦距，则 ． 变式1在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 变式2（2025·上海·模拟预测）平面直角坐标系中有两点和.以为圆心，正整数为半径的圆记为.以为圆心，正整数为半径的圆记为.对于正整数，，点是圆与圆的交点，且都位于第二象限，则这5个点都位于（   ）上. A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 变式3（2023·上海浦东新·模拟预测）已知平面上的点满足，则 . 变式4（2024·上海宝山·一模）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为.延长切线交双曲线的右支于点，为坐标原点，点为线段的中点，则 . 变式5已知，双曲线的左､右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为.若，则 . 变式6不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为 . 变式7已知双曲线经过点，离心率2，直线l交双曲线于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值； (3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由． 变式8在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.设直线，的斜率分别为，. ①求证：为定值； ②设直线，相交于点，求证：为定值. 考点15 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 例1（2025·上海杨浦·模拟预测）设双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记作圆，过作圆的切线分别交的两支于点，若，则的离心率为 . 变式1（2025·上海普陀·二模）设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（   ） A． B． C． D． 变式2已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则 ． 变式3（2025·上海徐汇·二模）已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为 . 变式4（24-25高三下·上海虹口·期中）已知点和是双曲线的左、右焦点. (1)若是双曲线的一条渐近线，求的离心率； (2)当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积； (3)若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围. 考点16 双曲线的性质 例1（2024·上海嘉定·二模）双曲线和双曲线具有相同的（    ） A．焦点 B．顶点 C．渐近线 D．离心率 例2（2025·上海·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得．若的面积为，则a的值为 ． 例3（2024·上海奉贤·三模）若曲线得右顶点，若对线段上任意一点，端点除外，在上存在关于轴对称得两点、使得三角形为等边三角形，则正数的取值范围是 ． 例4双曲线的离心率为3，则其渐近线方程为 ． 变式1若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（   ） A． B． C． D． 变式2已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（    ） A．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 B．当曲线表示双曲线时，的取值范围是 C．当时，曲线表示一条直线 D．存在，使得曲线为等轴双曲线 变式3如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 变式4（2024·上海静安·一模）以双曲线的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则的值为 . 变式5（2024·上海闵行·二模）双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则 . 变式6等轴双曲线的焦距为 . 变式7（2025·上海·模拟预测）双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 ． 变式8（2024·上海·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 . 变式9（2024·上海宝山·二模）已知双曲线的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点. (1)求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值； (2)若，求的取值范围； (3)椭圆的长轴长为，且短轴的端点恰好是、两点，直线与椭圆的另一个交点为记、的面积分别为、求的最小值，并写出取最小值时点的坐标. 变式10已知双曲线T：离心率为e，圆O：． (1)若e=2，双曲线T的右焦点为，求双曲线方程； (2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求的值； (3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B时总有，求离心率e的取值范围． 变式11（2024·上海徐汇·一模）已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 变式12（2024·上海·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为、． (1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： (2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； (3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 变式13已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）. (3)若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍． 变式14（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 考点17 已知方程求双曲线的渐近线 例1（2025·上海金山·三模）已知双曲线的右焦点为． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； (3)过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 变式1（24-25高三上·上海金山·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（   ）．    A． B． C． D． 变式2（2025·上海浦东新·模拟预测）已知双曲线的上、下焦点分别为，双曲线以为焦点，且过点，则的渐近线方程为 ． 变式3（2025·上海杨浦·二模）已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点. (1)求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； (2)过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值； (3)若，如图，过作圆的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点.设，求实数的取值范围. 变式4（2025·上海奉贤·二模）如图1，曲线是与组合的． (1)过点，求的渐近线方程； (2)，设，，曲线上找一个点，使得达到最小； (3)若，如图2，存在过点的两条直线，与曲线的交点分别是点、点、点、点，点在第二象限，点在第一象限．是否存在非零实数使得成立，请说明理由． 变式5（2025·上海闵行·二模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 考点18 抛物线的标准方程 例1已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（     ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 例2（2025·上海普陀·二模）设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 例3（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 例4（2025·上海奉贤·二模）抛物线的准线与圆相切，将圆绕直径所在直线旋转一周形成一个几何体，则该几何体的表面积为 ． 变式1（2024·上海徐汇·一模）下列抛物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 变式2已知点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 变式3（2024·上海虹口·一模）双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为 ． 变式4（2024·上海长宁·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，则点的横坐标为 ． 变式5（2025·上海青浦·模拟预测）已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 . 变式6已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是曲线上一动点，则的最小值为 ． 变式7（2024·上海奉贤·二模）抛物线上一点到点的距离最小值为 ． 变式8（2025·上海黄浦·二模）抛物线的焦点到其顶点的距离为 ． 变式9已知抛物线C：的焦点为F，点P在C上且位于第一象限，过点P作直线垂直于C的准线，垂足为A，若直线AF的倾斜角为，则 . 变式10若抛物线的顶点到它的准线距离为，则正实数 . 变式11《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”，设点F是抛物线的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”，“股”，则抛物线的方程为 ． 变式12如图，已知是抛物线上的三个点，且直线分别与抛物线相切，为抛物线的焦点． (1)若点的横坐标为，用表示线段的长； (2)若，求点的坐标； (3)证明：直线与抛物线相切． 变式13已知椭圆的左、右焦点分别为、，A，B分别为椭圆的上、下顶点，到直线的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)已知点M为抛物线上一点，直线与椭圆的一个交点N在y轴左侧，满足，求p的最大值； (3)直线与椭圆交于不同的两点C，D，直线AC，AD分别交x轴于P，Q两点．问：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由． 变式14（2024·上海闵行·二模）如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设△OMN、的面积分别为、． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的取值范围. 考点19 抛物线的性质 例1（2025·上海浦东新·二模）设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 变式1（2024·上海普陀·一模）设，直线与曲线和曲线分别交于、两点，则的最大值是 . 考点20 求轨迹的方程 例1已知平面直角坐标系中的直线、.设到、距离之和为的点的轨迹是曲线，、距离平方和为的点的轨迹是曲线，其中、.则、公共点的个数不可能为（    ） A．0个 B．4个 C．8个 D．12个 例2已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为 ． 变式1已知正方体的棱长为为的中点，为所在平面上一动点，为所在平面上一动点，且平面，则下列命题正确的个数为（    ） （1）若与平面所成的角为，则动点所在的轨迹为圆； （2）若三棱柱的侧面积为定值，则动点所在的轨迹为椭圆； （3）若与所成的角为，则动点所在的轨迹为双曲线； （4）若点到直线与直线的距离相等，则动点所在的轨迹为抛物线 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2已知曲线，对坐标平面上任意一点，定义．若两点，满足，称点在曲线同侧；若，称点在曲线两侧． (1)直线过原点，线段上所有点都在直线同侧，其中、，求直线的斜率的取值范围； (2)已知曲线，为坐标原点，求点集的面积； (3)记到点与到轴距离和为的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点在曲线两侧，求曲线的方程与实数的取值范围． 变式3（2024·上海·二模）在中，已知，，设分别是的重心、垂心、外心，且存在使. (1)求点的轨迹的方程； (2)求的外心的纵坐标的取值范围； (3)设直线与的另一个交点为，记与的面积分别为，是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式4设抛物线的方程为，其中常数，F是抛物线的焦点． (1)若直线被抛物线所截得的弦长为6，求的值； (2)设是点关于顶点O的对称点，是抛物线上的动点，求的最大值； (3)设是两条互相垂直，且均经过点F的直线，与抛物线交于点,与抛物线交于点，若点G满足，求点G的轨迹方程． 考点21 简单的参数方程 例1参数方程（其中）表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 变式1已知直线的参数方程为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 变式2已知椭圆为参数，，的焦点分别、，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的普通方程为 ． 变式3曲线的焦点坐标为 ． 1（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ． 2直线的倾斜角 ．（用反三角表示） 3已知直线与直线平行，则 . 4已知正实数满足，则的取最小值 . 5（24-25高三上·上海宝山·期中）已知圆的一般方程为，则圆的半径为 . 6若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 7（2024·上海静安·二模）江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸． (1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来； (2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米） (3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）． 8已知双曲线，点为双曲线上的动点. (1)求以为焦点且经过点的椭圆的标准方程； (2)若直线经过点且与双曲线恰好有一个公共点，求直线的方程； (3)点在什么位置时，取得最大？求出最大值及点的坐标. 9设双曲线：（），点是的左焦点，点为坐标原点. (1)若的离心率为，求双曲线的焦距； (2)过点且一个法向量为的直线与的一条渐近线相交于点，若，求双曲线的方程； (3)若，直线：（，）与交于，两点，，求直线的斜率的取值范围. 2 / 148 1 / 148 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 平面解析几何 目录 一、考情分析与命题趋势 二、知识体系构建 知识点1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 11 1. 直线的倾斜角与斜率 11 2. 直线方程的形式（注意方程形式的局限性） 11 3. 求直线方程的方法 12 知识点2 两条直线的位置关系 12 1. 两条直线位置关系的判断 12 2. 两条直线垂直的判断 12 3. 两条直线的夹角 12 4. 点到直线的距离 12 5. 两平行线之间的距离 12 知识点3 圆的方程 13 1. 圆的定义 13 2. 圆的标准方程 13 3. 圆的一般方程 13 4. 点与圆的位置关系 13 5. 求圆的方程，采用待定系数法 13 6. 在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质： 13 知识点04 直线与圆、圆与圆的位置关系 14 1. 直线与圆相切 14 2. 直线与圆相交及弦长 14 3. 圆与圆的位置关系 14 知识点5 椭圆 14 1. 椭圆的概念 14 2. 椭圆的标准方程 14 3. 椭圆的性质 14 4. 直线与椭圆位置关系的判断 15 5. 直线与椭圆的相交问题 15 6. 焦点三角形 15 7. 焦点弦（过焦点的弦） 16 知识点6 双曲线 16 1. 双曲线的定义 16 2. 双曲线的标准方程 16 3. 渐近线与离心率 17 4. 直线和双曲线的位置关系 17 5. 几个重要结论 17 6. 重要思想方法 18 知识点7 抛物线 18 1.抛物线及其简单性质 18 2.抛物线的综合问题 19 知识点8 圆锥曲线的综合问题 20 1.圆锥曲线中的范围、最值问题 20 2.圆锥曲线中的定点、定值、探究性问题 21 三、考点精析与突破 考点1 直线的倾斜角与斜率 21 考点2 几种特殊形式的直线方程 23 考点3 直线的一般式方程 25 考点4 已知直线平行求参数 26 考点5 已知直线垂直求参数 29 考点6 点到直线的距离 30 考点7 圆的标准方程 36 考点8 圆的一般方程 38 考点9 直线与圆的位置关系 41 考点10 圆与圆的位置关系 49 考点11 椭圆的标准方程 53 考点12 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 62 考点13 椭圆的性质 71 考点14 双曲线的标准方程 87 考点15 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 97 考点16 双曲线的性质 103 考点17 已知方程求双曲线的渐近线 123 考点18 抛物线的标准方程 133 考点19 抛物线的性质 146 考点20 求轨迹的方程 147 考点21 简单的参数方程 157 四、实战精练与提升 一、考试要求 知识点 新课程标准 重点 知识点1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1. 理解直线的倾斜角与斜率的概念； 2. 掌握直线方程的不同形式（点斜式、斜截式等）及适用范围； 3. 会用待定系数法等方法求直线方程 1. 直线倾斜角与斜率的转化； 2. 不同形式直线方程的选择与应用； 3. 求直线方程的方法（待定系数法） 知识点2 两条直线的位置关系 1. 掌握两条直线位置关系（平行、相交）的判断方法； 2. 会判断两条直线的垂直关系； 3. 理解两条直线的夹角概念并会计算； 4. 掌握点到直线、两平行线间的距离公式 1. 两条直线平行/垂直的判定； 2. 直线夹角的计算； 3. 距离公式的熟练应用 知识点3 圆的方程 1. 理解圆的定义； 2. 掌握圆的标准方程与一般方程； 3. 会判断点与圆的位置关系； 4. 能用待定系数法求圆的方程； 5. 会利用圆的几何性质（如弦的垂直平分线过圆心）解题 1. 圆的方程的转化（标准→一般）； 2. 待定系数法求圆的方程； 3. 圆的几何性质的应用 知识点4 直线与圆、圆与圆的位置关系 1. 掌握直线与圆相切的判定及性质； 2. 会求直线与圆相交的弦长； 3. 理解圆与圆的位置关系（相离、外切、相交等）的判定 1. 直线与圆相切的应用（如切线方程）； 2. 弦长公式的计算； 3. 圆与圆位置关系的判定及应用 知识点5 椭圆 1. 理解椭圆的定义； 2. 掌握椭圆的标准方程与性质； 3. 会判断直线与椭圆的位置关系； 4. 会处理直线与椭圆的相交问题（弦长、中点弦）； 5. 理解焦点三角形、焦点弦的概念 1. 椭圆性质（离心率、范围）的应用； 2. 直线与椭圆相交的弦长、中点弦问题； 3. 焦点三角形的面积与角度计算 知识点6 双曲线 1. 理解双曲线的定义； 2. 掌握双曲线的标准方程、渐近线与离心率； 3. 会判断直线与双曲线的位置关系； 4. 掌握双曲线的重要结论与思想方法 1. 双曲线渐近线的求解与应用； 2. 离心率的计算； 3. 直线与双曲线位置关系的判定 知识点7 抛物线 1. 理解抛物线的定义与简单性质； 2. 会处理抛物线的综合问题（如焦点弦、最值） 1. 抛物线定义的转化应用； 2. 焦点弦的结论（如弦长、坐标关系）； 3. 抛物线的最值问题 知识点8 圆锥曲线的综合问题 1. 会解决圆锥曲线中的范围、最值问题； 2. 会处理圆锥曲线中的定点、定值及探究性问题 1. 范围/最值问题的求解方法（判别式、基本不等式）； 2. 定点/定值问题的证明； 3. 探究性问题的假设与推理 二、命题分析 平面解析几何考查分析表 模块 考频 考查内容 命题趋势 平面解析几何 2025年第10题、2025年第21题；2024年第10题、2024年第22题；2023年第8题、2023年第21题；2022年第11题、2022年第20题；2021年第10题、2021年第20题 直线的方程与斜率、两直线位置关系；圆的方程、直线与圆的位置关系；椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系（交点、弦长、最值）；轨迹方程的求解；解析几何与向量、函数的综合应用 高频核心考点，小题侧重基础性质（直线、圆、圆锥曲线定义与性质），难度中等，注重公式应用与计算准确性；解答题多为压轴或次压轴题，结合直线与圆锥曲线位置关系、最值、轨迹等，难度较大，强调数形结合思想、分类讨论思想及运算能力，注重知识综合运用与逻辑推理 -考查内容及命题趋势表（2021~2025年春考数据） 知识点1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1. 直线的倾斜角与斜率 （1）设直线与轴相交于点，将轴绕点按逆时针方向旋转至与直线重合时所成的最小正角叫做直线的倾斜角。当直线与轴平行或重合时，规定倾斜角为，故； （2）当时，角的正切值叫做直线的斜率，记作，当时，斜率不存在； （3）直线过点、（），则直线的斜率。 2. 直线方程的形式（注意方程形式的局限性） （1）点斜式：「直线过点，斜率为」； （2）斜截式：（直线在轴上截距为，斜率为）； （3）两点式：「直线过、两点，且、」； （4）一般式：（、不同时为零）； （5）点法式：「直线的一个法向量为，、不同时为零」。 3. 求直线方程的方法 （1）根据以上形式直接写出直线方程； （2）待定系数法； （3）利用直线方程的定义。 知识点2 两条直线的位置关系 1. 两条直线位置关系的判断 方法一：利用系数比 方法二：利用法向量 方法三：利用斜率、截距 2. 两条直线垂直的判断 （、不同时为零） （、不同时为零） （1）； （2）当、的斜率都存在，分别设为、，则。 3. 两条直线的夹角 （1）设直线和（、不全为零，、不全为零），与的夹角为，则； （2）设两条直线、的斜率分别为、，与的夹角为，则。 4. 点到直线的距离 点到直线（、不全为零）的距离为。 5. 两平行线之间的距离 设直线和（、不全为零），则它们之间的距离为。 知识点3 圆的方程 1. 圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。 2. 圆的标准方程 （1）若圆心为，半径为，则该圆的标准方程为：； （2）方程表示圆心为，半径为的圆； （3）单位圆的方程：。 3. 圆的一般方程 （1）任意一个圆的方程都可化为：，这个方程就叫做圆的一般方程； （2）对方程： ① 若，则方程表示以为圆心，为半径的圆； ② 若，则方程只表示一个点； ③ 若，则方程不表示任何图形。 说明：类似地，可研究方程表示圆的充要条件。 提示：，，，请写出此时的圆心坐标和半径。 4. 点与圆的位置关系 （1）点在圆内； （2）点在圆上； （3）点在圆外。 5. 求圆的方程，采用待定系数法 （1）若已知条件与圆心和半径有关，可设圆的标准方程； （2）若已知条件没有明确给出圆心和半径，可选择圆的一般方程。 6. 在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质： （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在任一弦的垂直平分线上。 知识点04 直线与圆、圆与圆的位置关系 1. 直线与圆相切 （1）直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点； （2）几何法：圆心到直线的距离等于半径，即； （3）代数法：，方程组有一组不同的解。 2. 直线与圆相交及弦长 （1）直线与圆相交：直线与圆有两个公共点； （2）几何法：圆心到直线的距离小于半径，即； （3）代数法：，方程组有两组不同的解。 相离 相切 相交 图形 方程观点 几何观点 3. 圆与圆的位置关系 设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、（）。 （1）两圆相离：无公共点；，方程组无解； （2）两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解； （3）两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解； （4）两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解； （5）两圆内含：无公共点；，方程组无解。特别地，时，为两个同心圆。 知识点5 椭圆 1. 椭圆的概念 （1）定义：平面上到两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫椭圆。这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 （2）集合的记号表示：集合。 ① 若，则集合为椭圆； ② 若，则集合为线段； ③ 若，则集合为空集。 2. 椭圆的标准方程 （1）焦点在轴：； （2）焦点在轴：。 3. 椭圆的性质 条件 图形 标准方程 范围 对称性 曲线关于轴，原点对称 曲线关于轴，原点对称 顶点 长轴顶点， 短轴顶点 长轴顶点， 短轴顶点 焦点 焦距 离心率 ，其中 通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为 4. 直线与椭圆位置关系的判断 （1）代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去，整理得到关于的方程。记该一元二次方程根的判别式为，① 若，则直线与椭圆相交；② 若，则直线与椭圆相切；③ 若，则直线与椭圆相离； （2）几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图像和性质可判断直线与椭圆的位置关系。 5. 直线与椭圆的相交问题 （1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点，则弦长公式为或； 说明：或，此方法是典型的化归思想之应用。 （2）焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小（近日点与远日点）。 6. 焦点三角形 椭圆上的点与两焦点构成的叫做焦点三角形，，的面积为，则在椭圆中 （1）当为短轴端点时，最大； （2），当时，即点为短轴端点时，取最大值，最大值为； （3）焦点三角形的周长为。 7. 焦点弦（过焦点的弦） 焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长。 知识点6 双曲线 1. 双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线： （1）在平面上； （2）动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； （3）这一定值一定要小于两定点的距离。 2. 双曲线的标准方程 标准方程 图形 标准方程 图形 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 渐近线 ，可由而得 ，可由而得 离心率 ，其中 实虚轴 线段叫作双曲线的实轴，它的长；线段叫作双曲线的虚轴，它的长；叫作双曲线的实半轴长，叫作双曲线的虚半轴长 的关系 3. 渐近线与离心率 的一条渐近线的斜率为。可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小。 4. 直线和双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为。如消去，可得：。 若，即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若，即， ①直线和双曲线相交，有两个交点； ②直线和双曲线相切，有一个公共点； ③直线和双曲线相离，无公共点。 5. 几个重要结论 （1）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径； （2）与双曲线有共同渐近线的方程可表示为； （3）双曲线的焦点到其渐近线的距离为； （4）若是双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，则，。 6. 重要思想方法 （1）待定系数法求双曲线方程的常用方法 ① 与双曲线共渐近线的可设为； ② 若渐近线方程为，则可设为； ③ 若过两个已知点，则设为。 （2）应用双曲线的定义需注意的问题： 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”。若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支。同时注意定义的转化应用。 （3）求双曲线方程时，一是标准形式判断；二是注意的关系易错易混。 （4）双曲线的标准方程中对的要求只是，易误认为与椭圆标准方程中的要求相同。 若，则双曲线的离心率； 若，则双曲线的离心率； 若，则双曲线的离心率。 （5）等轴双曲线的离心率与渐近线关系 双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）等轴双曲线的方程为，即。 知识点7 抛物线 1.抛物线及其简单性质 （1）抛物线的定义：平面上到一个定点和到一条定直线（不在上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。过点作准线的垂线，设垂足为，则线段的中点称为此抛物线的顶点。 （2）抛物线的标准方程及其性质 图形 标准方程 顶点 范围 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 2.抛物线的综合问题 （1）直线和抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为。如消去，可得：。 - 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； - 若， ①直线和抛物线相交，有两个交点； ②直线和抛物线相切，有一个公共点； C ③直线和抛物线相离，无公共点。 （2）直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点、两点，则，同理可得（）。 （3）常用思想方法 （1）抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用（用抛物线的定义可化斜为直）； （2）利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关。实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化： ① 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解； ② 将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决。 （4）常见与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点。设、，则： ① 焦点弦长或（为的倾斜角）； ②，； ③，其中叫做焦半径，。 知识点8 圆锥曲线的综合问题 1.圆锥曲线中的范围、最值问题 （1）直线和圆锥曲线的位置关系 判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程（不同时为0）代入圆锥曲线的方程，消去（也可以消去）得到一个关于变量（或变量）的一元方程。 即消去，得。 ①当时，设一元二次方程的判别式为， 则直线与圆锥曲线相交； 直线与圆锥曲线相切； 直线与圆锥曲线相离。 ②当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合。 （2）弦长问题和中点弦问题 ①弦长公式 设斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点，、，则（其中是方程中二次项的系数）。 ②处理中点弦问题常用的求解方法 点差法： 设出弦的两端点坐标为、后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率（此方法为整体消元，体现数学的整体思想）。 根与系数的关系： 联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，消元化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解。 注意：中点弦问题常用的两种求解方法，各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足（缺少位置关系的判断）。 （3）求解范围、最值问题的常见方法 a.利用判别式来构造不等关系； b.利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系； c.利用隐含或已知的不等关系建立不等式； d.利用基本不等式。 2.圆锥曲线中的定点、定值、探究性问题 （1）动线过定点问题的两大类型及解法 ①动直线过定点问题，解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点； ②动曲线过定点问题，解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点。 （2）求解定值问题的两大途径 ①由特例得出一个值（此值一般就是定值）→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数（某些变量）无关（将一般问题特殊化，体现“退步简化条件”的思想）； ②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值。 （3）探索性问题的求解策略 ①若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律； ②若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述的问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论。 考点1 直线的倾斜角与斜率 例1直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意知,若 a = 0  ,则倾斜角为, 若,则, ①当时，(当且仅当时，取“”)， ②当时，(当且仅当时，取“”)， ，故， 综上，， 故选：C. 例2直线与直线的夹角大小等于 . 【答案】 【分析】求出两直线的倾斜角，从而得到夹角的大小. 【详解】的斜率为2，倾斜角为， 的斜率为0，倾斜角为，故两直线的夹角为 故答案为： 变式1（2025·上海·三模）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为 ． 【答案】 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角. 【详解】因为是直线的一个法向量，故直线的斜率为，则该直线的倾斜角为． 故答案为：. 变式2（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 【答案】 【分析】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可. 【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 变式3已知直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角 ． 【答案】/ 【分析】求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量是， 所以直线的斜率，设直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故答案为： 变式4（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率. 【详解】由直线方程：得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故答案为：. 考点2 几种特殊形式的直线方程 例1（24-25高三上·上海·期中）经过点且法向量为的直线方程为 . 【答案】 【分析】首先求出直线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】因为直线的法向量为，则直线的斜率， 所以直线方程为，即. 故答案为： 例2若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时， . 【答案】/ 【分析】根据题意，由条件可得，再结合基本不等式即可得到当取最小值的条件，即可得到结果. 【详解】因为直线经过点，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为， 此时，则. 故答案为：. 变式1（24-25高三上·上海·期中）过点倾斜角为的直线方程是 . 【答案】 【分析】根据条件，知直线斜率不存在，且过点，即可求解. 【详解】因为直线过点，且倾斜角为，所以直线方程为， 故答案为：. 变式2已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 ． 【答案】 【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线倾斜角的大小. 【详解】由直线经过点，可得，解之得， 设直线倾斜角为，则， 又，则 则直线倾斜角的大小为 故答案为： 变式3已知向量，，直线l经过点且与向量垂直，则直线l的方程为 . 【答案】 【分析】设是直线上异于的任意一点，表示出、，由已知可得，，化简即可得到方程. 【详解】设是直线上异于的任意一点， 则为直线的一个方向向量， 又，直线与向量垂直， 所以，，即， 整理可得，. 故答案为：. 考点3 直线的一般式方程 例1（2024·上海嘉定·一模）直线的倾斜角为 .（用反三角函数表示） 【答案】 【分析】由直线的一般式方程求得斜率，根据倾斜角与斜率的关系，建立方程，可得答案. 【详解】由直线，则该直线的斜率为，设其倾斜角为，则， 解得. 故答案为：. 例2（24-25高三上·上海·期中）已知直线1过点，且它的一个法向量，则该直线的一般式方程为 【答案】 【分析】由直线的法向量可求得直线的斜率，再由点斜式方程可得解. 【详解】直线1的一个法向量，则该直线的斜率为，直线过， 由点斜式得到直线方程为,化简得到一般方程：. 故答案为：. 变式1设，若直线过曲线（，且）的定点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据指数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】因为曲线过定点， 所以，即，则 ， 当且仅当时,即时取“”，所以的最小值为2． 故答案为：2 变式2过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为 【答案】和 【分析】根据斜率是否为0，分两种情况，结合直线的截距式方程即可求解. 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程为，且在轴，轴的距离均为0，符合题意， 当直线在轴，轴均不为0时，设直线方程为， 将代入得，解得，故直线方程为， 故答案为：和 变式3过点与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程可得， 解得， 故所求直线方程为. 故答案为：. 考点4 已知直线平行求参数 例1（2025·上海·模拟预测）“”是“直线与直线相互平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件建立方程求出，再检验即可得解. 【详解】若直线与直线相互平行， 则，即，解得或， 当时，直线与直线相互平行，符合题意； 当时，直线即， 直线，两直线重合，不符合题意； 所以“”是“直线与直线相互平行”的充要条件. 故选：C 变式1（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系. 【详解】若，则直线，直线，此时平行， 若平行，则即， 当时，平行， 当时，直线，直线，此时也平行， 故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件， 故选：A. 变式2已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（    ） A．个 B．2个 C．个 D．无数个 【答案】C 【分析】考虑三条直线交于一点或与或平行时，满足条件，求出答案. 【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分， 联立与，解得， 则将代入中，，解得， 当与平行时，满足要求，此时， 当与平行时，满足要求，此时， 综上，满足条件的的值共有3个. 故选：C 变式3已知直线与直线，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】由，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，直线，直线， 因为，可得,，即，解得， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 变式4（2025·上海黄浦·三模）直线，直线，若，则 ． 【答案】1 【分析】利用直线平行的判定列方程求参数值，注意验证. 【详解】由题设及，有，则， 所以或， 当，则，重合，不符合； 当，则，，符合. 所以. 故答案为：1 考点5 已知直线垂直求参数 例1若直线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两条直线垂直的条件列出等量关系式，求得的值. 【详解】直线与直线垂直， 则，解得， 故选：B. 变式1（2024·上海奉贤·一模）若直线：与直线：互相垂直，则 ． 【答案】0 【分析】根据直线互相垂直求出的值. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：0 变式2已知直线和，若，则 . 【答案】 【分析】直接根据直线垂直公式计算得到答案. 【详解】直线和，， 则，解得. 故答案为：. 变式3已知直线，，若，则 . 【答案】 【分析】根据给定的条件，利用两直线的垂直关系列式计算作答. 【详解】若，则，解得. 故答案为：. 考点6 点到直线的距离 例1将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 【答案】 【分析】折痕为点与点的中垂线，得方程，再根据点与原点对称可得答案. 【详解】如图：可知折痕为点与点的中垂线， 中点坐标为， 设折痕直线的斜率为，则，得， 故折痕直线方程为，即， 由题意点与原点关于折痕对称， 故得，故. 故答案为： 例2（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. (1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离； (2)若，求直线的方程； (3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）由题意，求出点的坐标和渐近线方程，根据点到直线的距离公式计算即可求解； （2）易知直线不与x轴重合，设其方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理表示，结合计算求得即可； （3）如图，由（2），利用弦长公式求出，利用平行线之间的距离公式求出平行线与之间的距离，进而表示，结合换元法计算即可求解. 【详解】（1）由题，右焦点，渐近线方程为， 因此焦点到渐近线的距离为. （2）显然，直线不与x轴重合，设直线方程为， 由，得， 由，得， 其中，恒成立， ，， 代入，消元得，， 即，解得， 所以，直线的方程为. （3）延长交双曲线于点P，延长交双曲线于点Q.则由对称性得， 四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍. 由题，设，直线程为，直线方程， 由第（2）问，易得， 因为，得，因而， 平行线与之间的距离为， 因此，. 令，则， 得在上是严格增函数， 故（等号当且仅当时成立）， 所以，四边形面积的取值范围为. 变式1（2024·上海·三模）设集合，点P的坐标为，满足“对任意，都有”的点P构成的图形为，满足“存在，使得”的点P构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为（    ）． A．①、②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①、②都不正确 【答案】C 【分析】先确定所表达的意义，了解满足该条件的点的轨迹，再求点轨迹区域的面积，可以得到问题的答案. 【详解】因为，表示除原点外的平面内的所有点. ， 所以表示到直线和的距离之和不大于4的点. 如图：    易知直线和垂直， 则，. 当时，. 因为，所以. 因为要求任意，所以是以原点为圆心，半径为的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外）， 因为要求存在，所以是以原点为圆心，半径在范围内的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），故①不正确； 当时，存在使得，故②正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是把条件转化成，借助点到直线的距离公式，明确点坐标满足的条件. 变式2已知点与点在直线的两侧，给出以下结论： ①； ②当时，有最小值，无最大值； ③； ④当且时，的取值范围是. 正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由与的位置关系有，数形结合法判断位置，结合的几何意义判断、的范围，应用点线距离公式有判断③. 【详解】将代入有， 而与在的两侧，则，①错误； 由上知：且，则在直线上方与y轴右侧部分， 所以，故无最值，②错误； 由上图知：在直线左上方，则，③正确； 由过且且，即在直线上方与y轴右侧部分， 而表示与连线的斜率，由图知：，④正确. 故选：B 变式3某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道．若该设备水平截面矩形的宽为米，则该设备能水平通过直角型过道的长不超过 米． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用直线的方程求得设备的长的表达式，再利用均值定理求得的最小值，进而得到该设备能水平通过直角型过道时不超过的值. 【详解】分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系如图， 则，令， 则直线的方程为， 则在直线的上方，且到直线的距离为1， 即， 则， 整理得， 设，则， 则可化为， 令，则，则 , 由，得， 又在上单调递增， 则， 则（当且仅当时等号成立） 则该设备能水平通过直角型过道的长不超过米 故答案为： 考点7 圆的标准方程 例1（24-25高三上·上海金山·期末）以为圆心且过点的圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】由圆心和圆上的点求出圆的半径，代入圆的标准方程即可. 【详解】圆心为，圆过点，则圆的半径， 所以圆的标准方程是. 故答案为：. 例2水平放置的边长为1的正方形沿x轴正向滚动，初始时顶点A在坐标原点，（沿x轴正向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续）设顶点的轨迹方程是，则 . 【答案】/ 【分析】由题意确定是周期为4的周期函数，再确定在一个周期内图象，并求出相应部分解析式，利用周期性即可求值. 【详解】如图，    经过三次旋转后点回到轴，此时的坐标为， 由初始时点A在坐标原点， 可知的是周期为的周期函数， 所以， 由，， 所以扇形所在圆的方程为， 所以当时，，所以， 又因为图象在轴上方，所以， 所以，故. 故答案为：. 变式1（2024·上海长宁·一模）以为圆心，为半径的圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】直接根据已知写出圆的标准方程得解. 【详解】由题得圆的标准方程为. 故答案为：. 变式2（2024·上海·模拟预测）平面点集所构成区域的面积为 . 【答案】 【分析】先根据题目得到区域为一个圆环，进而求圆环的面积即可. 【详解】点集为以为圆心，为半径的圆上的点的集合， 又点在以为圆心，为半径的圆上， 所以平面点集所构成区域为图中阴影， 面积为. 故答案为：. 变式3已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，将代入，将问题转化为圆上动点到定点距离的最值问题. 【详解】因为， ， 所以=，如图所示，当三点共线时，距离最短.所以最小值为. 故答案为： 考点8 圆的一般方程 例1（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围. 【详解】因为，变形得， 所以，解得. 故答案为：. 例2（2024·上海·模拟预测）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）    【答案】 【分析】利用给定条件求解圆的半径，再求周长即可. 【详解】如图，以为原点建系，易知，连接，    不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为， 化简得，所以圆心为，半径为，且经过点 即，化简得， 解得， 结合题意可得，故圆的周长为. 故答案为： 例3（2024·上海普陀·模拟预测）已知圆的周长为，则实数的值为 . 【答案】-3 【分析】由周长求出圆的半径，从而根据半径得到方程，求出实数的值. 【详解】设圆的半径为r，则由题意，故， 将圆一般式化为标准式得， 则. 故答案为：-3 变式1（24-25高三下·上海虹口·期中）若直线与直线平行，且经过圆的圆心，则的方程为 【答案】 【分析】求出圆心坐标，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为， 因为直线与直线平行，且经过圆的圆心， 所以，直线的方程为. 故答案为：. 变式2（2025·上海浦东新·二模）设圆方程为，则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出圆的半径. 【详解】将圆的方程化为标准方程可得，故圆的半径为. 故答案为：. 变式3已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为 【答案】 【分析】先求得圆的标准方程，从而求得圆的半径. 【详解】圆即， 所以圆的半径为. 故答案为： 变式4若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 【答案】 【分析】设抛物线交轴于点，交轴于点、，根据题意设圆心为，求出，写出圆的方程，可得出关于、的方程组，即可得出圆所过定点的坐标. 【详解】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 考点9 直线与圆的位置关系 例1（2024·上海普陀·二模）直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（    ） A．3 B．5 C．10 D．12 【答案】C 【分析】先设动圆的圆心坐标为，，，结合直线与圆相切的性质可得，当圆与直线相切于点处时，圆半径最小，结合两点间距离公式即可求解． 【详解】设动圆的圆心坐标为， 即圆半径，由题意， 设，，圆与直线相切于点，则，， 所以， 即的周长为， 所以的周长最小即为圆半径最小，因为， 则，整理得， 解得或, 当时，圆心在内，不合题意； 当时，符合题意，即圆半径的最小值为，周长的最小值为． 故选：C． 例2设直线系，对于下列四个命题： ①M中所有直线均经过一个定点； ②存在定点P不在M中的任一条直线上； ③对于任意整数，存在正n边形，使其所有边均在M中的直线上； ④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等． 其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号） 【答案】②③ 【分析】令，消去，即可得到直线系表示圆的切线的集合，即可判断①②③，再利用特殊值判断④； 【详解】解：由直线系， 可令，消去可得， 故直线系表示圆的切线的集合，故①不正确； 因为对任意，存在定点不在直线系中的任意一条上，故②正确； 由于圆的外切正边形，所有的边都在直线系中，故③正确； 中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，故它们的面积不一定相等，如图中等边三角形和面积不相等，故④不正确． 综上，正确的命题是②③． 故答案为：②③． 例3（2025·上海浦东新·模拟预测）已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为 . 【答案】 【分析】依题意，直线l与以为圆心，2为半径作圆C至少有一个交点，根据直线与圆的位置关系求出直线倾斜角的范围即可. 【详解】以为圆心，2为半径作圆C，如图所示， 依题意直线l与圆C至少有一个交点， ①当直线l的科率不存在时，直线l与圆C有2个交点，此时直线l的倾斜角； ②当直线l的斜率存在时，设为，则，即 依题意，解得或， 此时直线l的倾斜角 综上所述，直线l的倾斜角， 故直线l的倾斜角的最大值为． 故答案为： 变式1（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，根据题意可得为圆的直径，得，将求范围问题转化为直线与圆相切的问题. 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 变式2（2024·上海·一模）已实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】确定动点的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得. 【详解】显然点在圆及内部，直线，直线， 由，得直线与圆相离，且， 由，解得或，即直线与圆交于点， ①当时，即点在直线与圆所围成的小弓形及内部， ， 目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系， 画出直线，平移直线分别到直线， 当过点时，取得最大值，最小， 当过点时，取得最小值，最大， 因此，，从而； ②当时，即点在直线与圆所围成的大弓形及内部（不含直线上的点）， ， 目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系， 画出直线，显直线，平移直线分别到直线，直线与圆分别相切于点， 当过点时，取得最大值，最小，因此， 当过点时，取得最小值，最大，因此， 从而， 所以的取值范围是. 故答案为：    【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值． 变式3（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 . 【答案】/ 【分析】结合图象得到，问题转化成求最小值即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， ， 当最小时，最大. 的最小值为圆心到直线的距离， 根据点到直线距离公式， 所以. 故答案为：.      变式4设，，三条直线，，，则与的交点M到的距离的最大值为 ． 【答案】/. 【分析】根据直线与的方程易知，而过定点，过定点，得到与的交点M在以AB为直径的圆上，求出圆心和半径，结合恒过原点， 即可利用圆心到原点的距离加半径解出． 【详解】因为，所以． 而直线，整理为， 令，解得：， 故过定点， ，变形为，过定点， 所以与的交点M在以AB为直径的圆上，圆心为，即， 直径为，故半径为， 所以圆的方程为， 因为恒过原点， 所以M到的距离的最大值为的长加上半径，即． 故答案为：． 变式5已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】 根据与的位置关系分析可得. 【详解】   如图：与轴焦点为， 当点在圆外， 则表示的两条射线与圆相切与相切时恰有两个公共点， 联立得， 由， 得， 因，所以， 故， 当点在圆上，    如图，此时与有3个或1个交点不符合题意， 当点在圆内，    如图，此时与有2个交点符合题意， 此时，， 得 综上的取值范围为：. 故答案为：. 变式6（2025·上海浦东新·模拟预测）直线被圆截得的弦长为 . 【答案】4 【分析】求出直线与圆的交点坐标，即可求出弦长. 【详解】当，代入圆方程可得， 解得或， 即直线与圆的两交点坐标为， 所以弦长为4， 故答案为：4 考点10 圆与圆的位置关系 例1已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据两圆相交圆心距验证各选项即可. 【详解】因为两圆相交，所以两圆的圆心距即，仅有C满足， 故选：C 例2（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，利用两圆有公共点的条件建立不等式求解. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1， 由两圆有公共点，得， ，当且仅当时取等号， 当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点， 所以当取到最小值时，的值为1. 故答案为：1 变式1用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ． 【答案】3 【分析】由圆心距与半径的关系可得到两圆相离，再由题意与圆的知识即可求解． 【详解】如图所示，   得到圆心； 得到圆心； 由于，所以两圆相离，因为为上的动点，， 所以要使取得最大值，只需最大即可， 因为，则的最大值为. 故答案为：3. 变式2（25-26高三上·上海·期中）已知圆与圆无公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出圆心距，根据两圆的位置关系列出不等式求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1， 则， 因为两圆无交点，所以两圆外离或内含， 若外离：； 若内含：，或（舍）， 综上：. 故答案为：. 变式3已知圆C：（x+1）2+y2＝a（a＞0），定点A（m，0），B（0，n），其中m，n为正实数． (1)当a＝m＝n＝3时，判断直线AB与圆C的位置关系； (2)当a＝4时，若对于圆C上任意一点P均有PA＝λPO成立（O为坐标原点），求实数m，λ的值； (3)当m＝2，n＝4时，对于线段AB上的任意一点P，若在圆C上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)相离 (2)m＝3，λ＝2 (3) 【分析】（1）把a＝m＝n＝3分别代入圆与直线方程，由圆心到直线的距离,即可判断直线与圆的位置关系； （2）设点P（x，y），由PA＝λPO，得，结合，化简得，由P为圆C上任意一点，列式求得实数m，λ的值； （3）求出直线方程，由点的坐标得到点的坐标，将点M，N的坐标代入圆C的方程，利用方程有解，以及直线与圆相离，即可求解a的范围． 【详解】（1）当a＝3时，圆心为，半径为， 当m＝n＝3时，直线AB方程为， ∴圆心到直线距离为， ∵，∴直线与圆相离； （2）设点P（x，y），则，， ∵PA＝λPO，∴， 即， 由得，，∴， 代入得，， 化简得， ∵P为圆C上任意一点，∴， 又m，λ＞0，解得m＝3，λ＝2； （3）直线AB的方程为，设，N（x，y）， ∵点M是线段PN的中点，， 又M，N都在圆C：（x+1）2+y2＝a上，， 即． ∵关于x，y的方程组有解，即以（﹣1，0）为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点， ∴， 又P为线段AB上的任意一点，∴对所有成立． 而在[0，2]上的值域为， ∴，即． 根据题意可知线段AB与圆C无公共点，∴，则． 故实数a的取值范围为． 考点11 椭圆的标准方程 例1如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的右焦点为，连接，由可得，可求得，由椭圆的定义可求得，利用之间的关系可求得，即可得到答案 【详解】如图，设椭圆的右焦点为，则，连接， 因为，所以， 所以， 由椭圆的定义可得，则， 又因为，所以， 所以椭圆的方程为， 故选：D 例2已知椭圆 的右焦点为 ， 点 是椭圆上三个不同的点， 则 “ 成等差数列” 是 “”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用焦半径公式结合充分条件、必要条件的定义可得正确的选项. 【详解】由题设有， 故 ， 而，故，同理，， 若 成等差数列，则，故， 若，则即， 故 成等差数列， 故“ 成等差数列” 是 “”的充要条件， 故选：C 例3（2024·上海·模拟预测）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据方程表示椭圆列出不等式组得解. 【详解】因为方程表示的曲线是椭圆， 所以，解得且， 所以实数k的取值范围是. 故答案为： 例4（2024·上海普陀·模拟预测）已知椭圆的焦点为，点在椭圆上且，则点到轴的距离为 . 【答案】 【分析】设，根据题意，得到，从而联立椭圆方程求得，由此得解. 【详解】由椭圆，可得，，所以， 设，因为，则， 所以，则， 又因为点在椭圆上，可得， 联立方程组，解得，即， 所以点到轴的距离为. 故答案为：． 变式1已知椭圆的一个焦点坐标为，则 . 【答案】 【分析】由椭圆的标准方程直接求解即可. 【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，解得. 故答案为：. 变式2方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】 方程表示焦点在轴上的椭圆的充要条件是，即可求解. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得. 故答案为： 变式3（2024·上海·三模）已知椭圆C的焦点、都在x轴上，P为椭圆C上一点，的周长为6，且，，成等差数列，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合等差中项的意义及椭圆的定义列式求出即可得解. 【详解】令椭圆长半轴长为，半焦距为，依题意，， 即，解得，则椭圆短半轴长， 所以椭圆C的标准方程为. 故答案为： 变式4已知，两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】讨论焦点在轴和在轴上两种情况，设出椭圆的标准方程，再利用条件建立方程组，求出，即可得到结果. 【详解】当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 又因，在椭圆上，所以，解得，， 此时，，故舍弃. 当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 又因，在椭圆上，所以，解得，，所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 变式5（2024·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】依题意，， 则点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆， 由，得， 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 变式6以为圆心的动圆与圆和圆均相切，若点的轨迹为椭圆，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件，进行以为圆心的动圆与两圆相外切和与圆外切，与圆内切，两种情况讨论，利用点的轨迹为椭圆，即可得出结果. 【详解】由题知，若以为圆心的动圆与两圆均外切，如图，    令以为圆心的动圆半径为， 则，， 因， 所以此时点的轨迹不是椭圆，不符合题意； 若以为圆心的动圆与圆外切，与圆内切，如图，    令以为圆心的动圆半径为， 则，， 因， 若点的轨迹为椭圆， 则，即， 且圆与圆不相交，即， 综上，若点的轨迹为椭圆，则. 故答案为： 变式7已知，为椭圆：的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是 . 【答案】/. 【分析】如图，连接，则可得，所以△ABC的周长为，再求出，即可求得结果. 【详解】如图，连接， 因为l垂直平分线段， 所以， 所以△ABC的周长为， 由题意得，则 的中点为，， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 因为直线过， 所以，解得， 所以， 所以△ABC的周长为， 故答案为：. 变式8已知椭圆的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为 . 【答案】12 【分析】根据椭圆的定义以及三角形中两边之和大于第三边的关系即可求解. 【详解】如图.设与x轴相交于点C，椭圆右焦点为， 连接， 所以周长为 故的周长的最大值为12， 故答案为：12. 变式9设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为 . 【答案】6 【分析】根据椭圆的性质判断为上下顶点时的大小判断直角三角形个数，再加上、对应直角三角形个数，即可得结果. 【详解】由椭圆性质知：当为上下顶点时最大，此时，， 所以，故焦点三角形中最大为，故有2个； 又、对应的直角三角形各有2个； 综上，使得是直角三角形的点的个数为6个. 故答案为：6 变式10已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于 . 【答案】 【分析】因为是等边三角形，可得轴，再根据椭圆的定义可得，进而求得，再根据椭圆中的关系求解即可 【详解】因为是等边三角形，故，故关于轴对称，故轴.故，，故，又，故，故，即，所以， 故答案为： 变式11以坐标原点为对称中心，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若点，动点满足，求动点的轨迹所围成的图形的面积； (3)过圆上一点（不在坐标轴上）作椭圆的两条切线.记的斜率分别为，求证：. 【答案】(1) (2)面积为. (3)证明见解析 【分析】（1）由已知条件列方程组，结合，解出a和b，即可得椭圆的方程； （2）设， 由可得轨迹方程，再求面积即可； （3）过点的直线与椭圆相切，与椭圆方程联立，利用得出的一元二次方程，结合韦达定理化简，进而可求出为定值. 【详解】（1）由题设知椭圆中，得 由得         所以椭圆的方程为； （2）设， 由得 化简得.                                            表示的是以为圆心，为半径的圆，其面积为. （3）设，且 设过点的直线与椭圆相切，联立 化简得             由得         点在直线上，得代入上式 化简得 因为是椭圆的两条切线，所以是上面方程的两根 由韦达定理得.                               由得 所以                                   又 所以. 考点12 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 例1（2025·上海·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆的左焦点，若与椭圆上任一点距离的最大值为. (1)求椭圆的离心率； (2)若为椭圆的上顶点，为椭圆上的点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的的个数，并说明理由. (3)若斜率为的直线交椭圆于､两点，为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 【答案】(1)； (2)3个，理由见解析； (3). 【分析】（1）由已知可得，可求离心率； （2）不妨设直线方程为，与椭圆方程联立可得，进而可得，求得，从而有，求解可得结论. （3）设直线与椭圆方程联立，由韦达定理求得的中点为，利用弦长公式求得，进而得到以为直径的圆的半径，由，三角换元利用三角函数性质求出最大值. 【详解】（1）依题意有，解得. 所以离心率. （2）不妨设直线方程为，代入， 整理得，可得，所以， 将带入得， 由得， 所以， 解得 所以满足条件的的个数是3个. （3）设直线，设， 联立，得， 所以，所以. 所以，所以的中点为， 所以 又的轨迹是以为圆心，半径的圆， 所以. 令， 记， 又，所以时，. 变式1若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】或 【分析】直线与坐标轴的交点为和，分两种情况讨论，得到椭圆的离心率. 【详解】直线与坐标轴的交点为和， 若是椭圆的焦点，是椭圆的一个顶点， 此时椭圆的焦点在轴且，所以，离心率， 若是椭圆的焦点，是椭圆的一个顶点， 此时椭圆的焦点在轴且，所以，离心率， 所以椭圆的离心率为或， 故答案为：或. 变式2（2025·上海杨浦·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)答案详见解析 (3) 【分析】（1）根据题意:利用为为面积为1的直角三角形，可得到，再求解离心率即可. （2）设，利用两点间距离公式表示，转化为二次函数分类讨论求解最值即可. （3）设直线的方程为，利用圆锥曲线“设而不求”的方法可以把四边形的面积可表示为关于的函数，再利用函数单调性求得范围即可. 【详解】（1）如图，设椭圆的焦距为， 易得，，， 又因为为面积为1直角三角形，， 所以椭圆的离心率. （2）有第一问知，故椭圆方程为， 设，且，即， ， 其对称轴为，而，当，即时， 在时取得最大值，； 当，即时， 在时取得最大值，. 综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为. （3）设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则，. 因为点分别在第一、四象限， 所以，即， 故，解得， 得到四边形的面积为， ， 因为，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增， 故，即四边形面积的取值范围为. 变式3（2025·上海浦东新·三模）设有椭圆和直线．椭圆的左、右焦点分别为、．是上位于第一象限内的一点． (1)当时，求椭圆的离心率； (2)若且点在直线上，求的值； (3)设点满足，其中是点到的距离．当变化时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出和，求出即可求解； （2）设，求出，求出和，求出和，根据椭圆的定义即可求解； （3）求出，设，对于每一个固定的设点到的距离为，利用点到直线距离公式求出，利用辅助角公式求出，证明是第一象限的角，据此即可求解. 【详解】（1）由题可知，， ， 所以椭圆的离心率为； （2） 如图，设， ， 又， 是第一象限上的点， ，即解得， ， 由椭圆的定义知，. （3）由椭圆的定义知． ，设， 对于每一个固定的设点到的距离为， 利用点到直线距离公式有， 由辅助角公式得， 是第一象限内的一点， ，注意到， 是第一象限的角， 设， 当时为在固定下的最小值， 由题意知对于有解， ， 两边平方可得， 要求的最小值，即求的最大值， ，当时取到． 变式4（2025·上海松江·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据题意利用为正三角形得到，再求解离心率即可. （2）利用的面积求出基本量，进而得到椭圆方程设，利用两点间距离公式表示，转化为二次函数分类讨论求解最值即可. （3）设直线的方程为，与椭圆联立方程组可得，根据点分别在第一、四象限，得，解得，四边形的面积可表示为，可得，令，得到，再利用对勾函数单调性求得范围即可. 【详解】（1）如图，设椭圆的焦距为，则， 因为，所以中， 又因为为正三角形，所以，即， 所以椭圆的离心率. （2）由于正三角形的面积为，得到， 解得，，又，得到，故椭圆方程为， 设，且，即， ， 其对称轴为，而，当，即时， 在时取得最大值，； 当，即时， 在时取得最大值，. 综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为. （3）设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则，. 因为点分别在第一、四象限， 所以，即， 故，解得， 得到四边形的面积为， ， 因为，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增， 故，即四边形面积的取值范围为. 考点13 椭圆的性质 例1定义曲线：为椭圆：的“倒曲线”，给出以下三个结论：①曲线有对称轴，②曲线有对称中心，③曲线与椭圆有公共点．其中正确的结论个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】曲线：上取点，利用点的坐标证得对称性，从而判断出①②，利用的范围可以判断出③，从而得出结论. 【详解】曲线：上取点，则该点关于轴对称的点也在曲线，故曲线关于轴对称，同理可证曲线关于轴对称，则该点关于原点对称点也在曲线，故曲线关于原点对称，故①②正确；曲线：，则，而椭圆：中，，故曲线与椭圆无公共点，③错误；综上，正确的有2个， 故选：C. 例2（2024·上海·模拟预测）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中至少有两个顶点为椭圆的顶点．这样的等腰三角形有 个． 【答案】24 【分析】分别以椭圆顶点连线为等腰三角形的腰或底，进行分类讨论，得到答案. 【详解】不妨设， 先讨论三角形有两个顶点为椭圆的顶点的情况， 如图1，连接，当为等腰三角形的底时， 作的垂直平分线交椭圆于两点， 连接，则为等腰三角形，满足题意， 同理当为等腰三角形的底时， 也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个； 如图2，当为等腰三角形的腰时，以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 联立， 解得或或或， 即圆与椭圆相交于点，连接， 其中满足要求，三个顶点均为椭圆顶点，不合题意， 同理当为等腰三角形的腰时， 也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个； 如图3，以为圆心，为半径作圆，则圆的方程为， 联立， 解得或或， 此时圆与椭圆相交于点， 连接，此时为等腰三角形，满足题意，共有2个， 如图4，以为圆心，为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点， 连接， 此时为等腰三角形，满足题意，共有2个， 由椭圆性质可知，为椭圆中的最长弦， 所以不能作为等腰三角形的腰，而作为底时， 刚好等腰三角形的顶点为上顶点或下顶点，不合要求， 最后再算3个顶点都在椭圆顶点的情况，易知这样的等腰三角形有4个， 综上：满足要求的等腰三角形个数为． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：两圆一线，是平面几何中等腰三角形存在性问题的通用解法，这里以椭圆为背景进行考察，基本思路没有变化，但要注意两圆一线所得到的等腰三角形有不满足要求的，要舍去. 例3（2024·上海奉贤·三模）如图，已知椭圆的方程为和椭圆，其中分别是椭圆的左右顶点． (1)若恰好为椭圆的两个焦点，椭圆和椭圆有相同的离心率，求椭圆的方程； (2)如图，若椭圆的方程为.是椭圆上一点，射线分别交椭圆于，连接（均在轴上方）.求证：斜率之积为定值，求出这个定值； (3)在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为，求正数的值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 (3) 【分析】（1）根据椭圆顶点坐标、焦点坐标、离心率和的关系直接求解即可； （2）设，利用两点连线斜率公式表示出，结合在椭圆上直接化简整理即可； （3）设直线与椭圆交于另一点，知关于坐标原点对称，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，利用可构造方程求得结果. 【详解】（1）由得：，，且的离心率为； 恰为的两个焦点，即椭圆的半焦距， 又椭圆的离心率，，， 椭圆的方程为：. （2）设，则，即， ，， ， 为定值，定值为. （3） 设直线与椭圆交于另一点，由椭圆对称性可知：关于坐标原点对称， 设直线，，，则， 由得：， 则， ，， ， 由（2）知：， ， 解得：，又，. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中的定值、参数值的求解问题；本题第三问求解的关键是能够通过椭圆的对称性将问题转化为一条直线与椭圆的交点问题，进而根据已知等量关系，利用韦达定理来进行求解. 变式1（2024·上海普陀·一模）设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意写出焦点与左顶点的坐标，表示出线段长，利用离心率写出等量关系，可得答案. 【详解】由题意可得，则，， 由椭圆离心率为，可得，则， 所以. 故答案为：. 变式2（2025·上海浦东新·三模）短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，求出长半轴长，再由周长为求解. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则， 又离心率为，则，解得， 所以周长为. 故答案为：. 变式3（2025·上海杨浦·二模）如图，阿基米德椭圆规是由基座､带孔的横杆､两条互相垂直的空槽､两个可动滑块组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块固定在带孔的横杆上，令滑块在中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当之间的距离为厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则之间的距离为 .厘米. 【答案】21 【分析】根据给定条件，确定椭圆的长短半轴长，再利用椭圆离心率求法列式计算得解. 【详解】依题意，当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的短半轴长， 当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的长半轴长，则， 由椭圆的离心率为，得，解得，即，解得， 所以之间的距离为21厘米. 故答案为：21 变式4（2024·上海宝山·一模）已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.    (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)直线经过定点. 【分析】（1）根据椭圆方程确定、，利用解出即可求解； （2）设直线的方程，直曲联立根据韦达定理得：，结合为中点解出坐标，再利用，解出，即可求解； (3)分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时，设出方程，直曲联立，利用韦达定理，结合已知条件，求出直线过定点；斜率不存在时，设出、两点坐标，根据中点坐标公式，求出、坐标，结合已知条件，求出直线过定点，两种情况综合即可求解. 【详解】（1）由得，所以焦距，离心率 . （2）   ，设直线的方程， 与椭圆:，联立得：， 整理得：，， 因为点与点不重合，为中点，所以， 代入方程，解得，所以可得点， 于是由得，直线的方程：. （3）    ①当直线斜率存在时，设方程为：，与椭圆:， 联立，得：， 整理得：， 设，由韦达定理得， 且，化简得， 又，从而，， 由可得，从而， 又因为，， 所以上式化为： 整理得：， 韦达定理代入：， 化简得：. ，所以或 当时，直线为：， 直线经过点，舍去； 当时，直线为：， 此时成立，直线经过定点 ②当直线斜率不存在时，设，， 则，，， 代入，得 与联立得：解得 此时直线也经过点. 综上，直线经过定点. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于设分斜率存在与不存在两种情况设出直线方程， 利用直曲联立得到方程，结合韦达定理解决问题. 变式5已知椭圆的中心在原点，且它的一个焦点为.点分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点，的面积为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若把直线的斜率分别记作，若，求点的坐标； (3)设直线与轴交于点，直线与轴交于点.令，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点坐标、三角形面积、就是可得答案； （2）设，利用点在椭圆上和可求出点坐标； （3）求出直线、直线的方程可得点坐标及，利用得到，再由可得，即，利用的范围可得答案. 【详解】（1），所以椭圆标准方程为； （2）设，， 得到，所以； （3）因为点是椭圆上在第一象限内的点，所以， 直线的方程为， 直线的方程为， 所以， ，， ， ， ， ，则， . 变式6已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值； (3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点和点三点共线，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知条件列方程组求得得标准方程； （2）设，由对称求得点坐标，代入椭圆方程可得，计算即可； （3）设，直线的斜率为，直线的方程为，代入椭圆方程求得点C坐标，同理求得点D坐标，由三点共线得向量共线，由向量共线的坐标表示可得结论． 【详解】（1）椭圆的长轴长为，离心率为， 则，则，则， 则椭圆的方程为. （2）设椭圆上点关于直线的对称点， 则， 解之得，则， 由在椭圆上，可得， 整理得，解之得或， 当时与点重合，舍去， 则. （3）设，则， 又，则，直线的方程为， 由，整理得， 则，则， 又，则， 则，则， 令则，直线的方程为， 由，整理得， 则，则， 又，则， 则，则， 则， ， 由点和点三点共线，可得， 则， 整理得，则.    【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 变式7（2025·上海·模拟预测）如图1，已知椭圆Γ的方程为和椭圆其中A，B分别是椭圆τ的左右顶点．若A，B恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率． (1)求椭圆Γ的方程； (2)如图2，若P是椭圆τ上一点，射线AP，BP分别交椭圆于，N，连接AN，BM（P，M，N均在x轴上方）．求证：NB，MA斜率之积为定值，求出这个定值； (3)在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为求正数k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合离心率相等列关于的关系式，即可求得； （2）设点坐标，表示结合椭圆方程即可求得； （3）设，联立方程组，根据韦达定理和第二问的结论即可求得结果. 【详解】（1）由椭圆的方程可知，椭圆的离心率为，， 设椭圆的半焦距为， 由已知，， 所以，， 所以椭圆的方程为. （2）设，则，的斜率即的斜率，的斜率即的斜率， 因为， ，， 所以， 所以，斜率之积为定值，且定值为. （3）设，由于，所以， 设直线方程为，直线方程为， 联立得：， 联立，， 因为且， 所以是方程的两个实数根，恒成立 ，则， ， 整理得， ， 解得，又， 所以. 变式8（2025·上海黄浦·二模）椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解. （2）求出以线段为直径的圆方程，再与椭圆方程联立，按求出方程组的交点坐标即可. （3）设，表示出点的坐标，将点坐标代入椭圆方程，建立的关系，进而建立不等式求解. 【详解】（1）依题意，，而，则直线的方程为， 即，所以点到直线的距离. （2）由，得点在以线段为直径的圆上，， 由消去得，即， 当时，，，因此点，共2个； 当时，，解得，， 因此点，共4个， 所以当时，点的个数为2；当时，点的个数为4. （3）设，由，且在线段上，得， 则，解得，而， 由点在上，得，即， 整理得，即，由，得，解得， 所以的取值范围是. 考点14 双曲线的标准方程 例1已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据双曲线方程的特点分焦点在轴或轴两种情况进行讨论分析，可得到正确答案. 【详解】当表示双曲线时，均不为0. 若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以 若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以 当时，若则表示焦点在轴上的双曲线， 若则表示焦点在轴上的双曲线. 所以“”是“为双曲线方程”的充要条件． 故选：C. 例2已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】根据双曲线标准方程的特点求解. 【详解】 是焦点在x轴的双曲线， ，即 ； 故答案为： . 例3双曲线的焦点为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的方程求，进而可得焦点坐标，注意焦点所在的位置. 【详解】由题意可得：，且双曲线的焦点在x轴上， 故双曲线的焦点为. 故答案为：. 例4已知双曲线的离心率为2，C的左右焦点分别为，，点P在C的右支上，的中点N在圆上，其中c为半焦距，则 ． 【答案】/ 【分析】连接,是的中位线，所以，再由双曲线的定义可得，又因为双曲线的离心率为2，所以，进而得，在中，利用余弦定理即可求得答案. 【详解】解：如图所示： 连接， 则是的中位线， 又因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 又因为双曲线的离心率为2， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得：. 故答案为： 变式1在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】由双曲线方程的特征计算得m的范围，再由集合的包含关系可得结果. 【详解】∵表示双曲线， ∴. ∴是表示双曲线的充要条件. 故选：C. 变式2（2025·上海·模拟预测）平面直角坐标系中有两点和.以为圆心，正整数为半径的圆记为.以为圆心，正整数为半径的圆记为.对于正整数，，点是圆与圆的交点，且都位于第二象限，则这5个点都位于（   ）上. A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】根据题意可得，根据双曲线的定义判断点所在的曲线. 【详解】 因为圆以为圆心，正整数为半径，圆以为圆心，正整数为半径， 且点是圆与圆的交点， 所以，， 所以. 由，可得.     因为为定值，，且都位于第二象限， 所以根据双曲线的定义可知，点、、、、都位于双曲线的左支上. 故选：C. 变式3（2023·上海浦东新·模拟预测）已知平面上的点满足，则 . 【答案】 【分析】根据双曲线和圆的定义，求出所在曲线的方程，联立方程组，求出的横坐标，再利用向量数量积的坐标公式即可求解. 【详解】以中点为原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系， 则， 因为，， 所以点､分别在以，为焦点的双曲线的右支和左支上，且，， 所以，， 所以双曲线方程为； 因为，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 即点在圆上， 因为，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 即点在圆上， 联立，因为，可求， 联立，因为，可求， 因为，， 故. 故答案为：.    变式4（2024·上海宝山·一模）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为.延长切线交双曲线的右支于点，为坐标原点，点为线段的中点，则 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，中位线的性质，可转化为，根据勾股定理计算，然后利用及解方程求解即可. 【详解】如图， 取双曲线右焦点，连接，由题知，，所以， 因为O为，T为PF的中点，所以TO为的中位线， 可得.又， 所以， 又，所以，又， 所以，解得. 故答案为：5 变式5已知，双曲线的左､右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为.若，则 . 【答案】 【分析】依题意求出，由直线的斜率为求出，设，，再由双曲线的定义，余弦定理及正弦定理计算可得. 【详解】双曲线，即，所以，所以， 又直线的斜率为，即，所以， 显然为锐角，所以，， 设，， 则， 另一方面，在中，由正弦定理， 即，解得， 代入上述方程组，解得，（负值舍去）.    故答案为： 变式6不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为 . 【答案】 【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得. 【详解】设， 则，两式相减得， 即， 即 ，所以， 因为是AB垂直平分线，有，所以， 即，化简得，故，则. 故答案为： 变式7已知双曲线经过点，离心率2，直线l交双曲线于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值； (3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）由题意，代入已知点的坐标以及离心率的计算，结合，建立方程组，可得答案； （2）根据双曲线的对称性，设出点的坐标，利用斜率的计算公式，结合双曲线的方程，等量代换，可得答案； （3）由题意，分直线斜率存在与不存在两种情况，设直线方程，联立方程，写韦达定理，根据向量数量积的坐标公式，整理方程，可得答案. 【详解】（1）由题意得，解得，则双曲线． （2）证明：设A点坐标为，则由对称性知B点坐标为． 设，则，由，得，所以． （3）存在．当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消y得， 所以，得，且． 设， 假设存在实数m，使得，则对任意恒成立． 所以，解得． 当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立． 综上，存在，使． 【点睛】直线与圆锥曲线的位置问题，常用思路：联立直线与圆锥曲线方程，写出韦达定理，根据题目中其他条件，整理方程，解得参数的值或者参数之间的等量关系，解决问题，设直线方程时，要注意斜率是否存在. 变式8在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.设直线，的斜率分别为，. ①求证：为定值； ②设直线，相交于点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义可知点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上，即可求出轨迹方程； （2）①设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可得到再由斜率公式计算可得；②作关于轴的对称点，则，，三点共线，设，表示出直线、的方程，即可得到，，代入椭圆方程得到轨迹方程，结合双曲线的定义即可证明. 【详解】（1）由，， 所以点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上， 设椭圆方程为，焦距为， 则，，所以， 所以的方程为. （2）①由，直线的斜率存在且不为． 设直线的方程为，，，， 联立，得， 则，，， 所以． 又，所以，， 所以 . ②由①知，所以． 作关于轴的对称点，则，，三点共线． 又，，设. 则直线方程即为直线方程. 又直线方程为， 作差，得， 所以， 所以，， 由，得． 又因为，所以， 即，即， 所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动， 所以． 考点15 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 例1（2025·上海杨浦·模拟预测）设双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记作圆，过作圆的切线分别交的两支于点，若，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据已知有且点位于双曲线的右支，应用正弦定理及双曲线的定义得、，再应用余弦定理得到齐次方程，即可求离心率. 【详解】由题知，、两点位于双曲线的两支，且， 且点位于双曲线的右支，如图所示， 在中，由正弦定理得， ， ， ， 在中，， 即， 化简得，即. 故答案为： 变式1（2025·上海普陀·二模）设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定直线与圆的位置关系，表示出直线的斜率，数形结合，根据直线斜率与双曲线渐近线斜率的关系，得到的关系，求出离心率的取值范围，即可进行判断. 【详解】如图： 因为，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，方程为：. 因为点到直线：的距离为：， 所以直线与圆相切. 又过点，且，直线与双曲线的右支在第一象限内交于点， 所以直线的斜率为：. 又一、三象限双曲线的渐近线的斜率为：. 又. 即. 故选：D 变式2已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则 ． 【答案】 【分析】以为圆心的圆与l相切于点P，，所以由点到直线的距离求出，由余弦定理求出，再由余弦定理求出，即可求出的值． 【详解】设双曲线的一条渐近线为， 则到直线的距离为， 因为以为圆心的圆与l相切于点P，，所以， 又因为双曲线的离心率为，所以，则， 在中，， 在，， 解得：， 由余弦定理可得：， 所以， 故答案为：．    变式3（2025·上海徐汇·二模）已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，再结合双曲线定义，求得，结合△为直角三角形，利用勾股定理，建立的等量关系，进而求解即可. 【详解】设中点为，连接，作图如下所示：    在△中，因为分别为的中点，故//，且； 由题可知，，且，故，且； 根据双曲线定义可知，，又， 故在△中，由勾股定理，也即， 整理得，故，也即该双曲线的离心率为. 故答案为：. 变式4（24-25高三下·上海虹口·期中）已知点和是双曲线的左、右焦点. (1)若是双曲线的一条渐近线，求的离心率； (2)当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积； (3)若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程可得出的值，由此可求得该双曲线的离心率的值； （2）不妨设点位于第一象限，利用双曲线的定义和已知条件求出、，结合勾股定理得出，再利用三角形的面积公式即可得解； （3）取点关于原点的对称点，由双曲线的对称性可知，点在双曲线上，连接、，设点、，设直线的方程为，分析可知，可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合可得出，令，利用二次方程根的分布可得出关于的不等式组，由此可解得正实数的取值范围. 【详解】（1）若是双曲线的一条渐近线，则，可得， 此时，双曲线的离心率为. （2）若，不妨设点位于第一象限，且，则， 由双曲线的定义可得， 又因为，则，， 所以，， 所以，， 故. （3）取点关于原点的对称点，由双曲线的对称性可知，点在双曲线上， 连接、， 则为、的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，， 又因为，则，即、、三点共线， 易知，直线不与轴重合，设直线的方程为， 设点、， 因为， 所以，，则， 联立可得， 由题意可得，可得， 由韦达定理可得，， 所以，， 整理可得， 令，则，则关于的二次方程在上有解， 设，则二次函数在上单调递减， 所以，，解得， 因此，的取值范围是. 考点16 双曲线的性质 例1（2024·上海嘉定·二模）双曲线和双曲线具有相同的（    ） A．焦点 B．顶点 C．渐近线 D．离心率 【答案】D 【分析】分别计算出两双曲线的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程与离心率即可得. 【详解】双曲线的焦点坐标为、左右顶点坐标为、 渐近线方程为、离心率为； 双曲线的焦点坐标为、上下顶点坐标为、 渐近线方程为、离心率为； 故其离心率相同. 故选：D. 例2（2025·上海·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得．若的面积为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，结合双曲线的标准方程，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则，解得，且， 则，， 设，则，解得， 由题意可得直线的斜率，则方程为， 将代入上式，则，解得， 由题意可得， 易知. 故答案为：. 例3（2024·上海奉贤·三模）若曲线得右顶点，若对线段上任意一点，端点除外，在上存在关于轴对称得两点、使得三角形为等边三角形，则正数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，转化为渐近线的斜率大于或等于，即可求解. 【详解】由任意点线段上，端点除外，在上存在关于轴对称得两点使得为等边三角形， 即存在点使得，所以存在点使得， 由双曲线的其中一条渐近线方程为， 则满足的斜率大于或等于，即，所以， 又由，所以实数的取值范围为. 故答案为：.    例4双曲线的离心率为3，则其渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】根据离心率求出的值，即可求出渐近线方程. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 又离心率，所以，则或（舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 变式1若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线标准方程直接判断. 【详解】方程即为， 由方程表示双曲线，可得， 所以，， 所以虚轴长为， 故选：B. 变式2已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（    ） A．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 B．当曲线表示双曲线时，的取值范围是 C．当时，曲线表示一条直线 D．存在，使得曲线为等轴双曲线 【答案】A 【分析】根据二元二次方程表示椭圆、双曲线的基本要求依次判断ABD选项即可；由时，曲线的方程可知C错误. 【详解】对于A，当时，，，， 表示焦点在轴上的椭圆，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，A正确； 对于B，若曲线表示双曲线，则，解得：或， 即实数的取值范围为，B错误； 对于C，当时，曲线，即， 即曲线表示两条直线，C错误； 对于D，若曲线为等轴双曲线，则，解集为， 不存在，使得曲线为等轴双曲线，D错误. 故选：A. 变式3如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线和椭圆的离心率与图形的关系即可判断. 【详解】根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在之间，则都大于， 根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故， 根据双曲线开合程度越大，则离心率越大，故， 综上， 故选：C. 变式4（2024·上海静安·一模）以双曲线的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出双曲线渐近线方程、离心率及右焦点坐标，再利用圆的切线性质列式计算得解. 【详解】双曲线的渐近线为，离心率，右焦点， 依题意，，所以. 故答案为： 变式5（2024·上海闵行·二模）双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则 . 【答案】4 【分析】由双曲线的对称性可得四边形为平行四边形，根据双曲线的定义和，得，，中，由余弦定理得，，代入求值即可. 【详解】双曲线，实半轴长为1，虚半轴长为，焦距， 由双曲线的对称性可得，有四边形为平行四边形， 令，则，由双曲线定义可知， 故有，即，即，， 中，由余弦定理， ， 即，得， . 故答案为：4. 变式6等轴双曲线的焦距为 . 【答案】 【分析】根据等轴双曲线定义得到，进而求出，得到焦距. 【详解】由题意得，，故，故，焦距为. 故答案为： 变式7（2025·上海·模拟预测）双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 ． 【答案】16 【分析】利用双曲线的渐近线方程直接求解即可. 【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程为值，， 所以，得，. 故答案为：16 变式8（2024·上海·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 . 【答案】 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，即可得到方程，解得即可. 【详解】双曲线的渐近线为， 依题意，解得. 故答案为： 变式9（2024·上海宝山·二模）已知双曲线的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点. (1)求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值； (2)若，求的取值范围； (3)椭圆的长轴长为，且短轴的端点恰好是、两点，直线与椭圆的另一个交点为记、的面积分别为、求的最小值，并写出取最小值时点的坐标. 【答案】(1)； (2)； (3)，. 【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程及其方向向量，再利用向量的夹角公式计算得解. （2）设出点的坐标，利用数量积及向量模的坐标表示，结合双曲线有范围求解即得. （3）求出椭圆方程，设出直线方程，与椭圆、双曲线方程联立分别求出点的坐标，再建立的关系式，利用基本不等式求解即得. 【详解】（1）双曲线的两条渐近线方程为，则它们的方向向量， 设两条直线夹角为，则， 所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为. （2）设，，显然、，，， 则，即，又点在双曲线上，有，即， 从而，解得，而点是双曲线在第一象限的点，则， ， 所以. （3）在椭圆中，，焦点在轴上，标准方程为， 设，，直线的斜率为，， 则直线的方程为， 由，得，该方程的两根分别为和， 由，得，同理，于是， 记，， 则 ，当且仅当即时取等号， 所以的最小值为，此时点的坐标为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 变式10已知双曲线T：离心率为e，圆O：． (1)若e=2，双曲线T的右焦点为，求双曲线方程； (2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求的值； (3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B时总有，求离心率e的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据离心率和右焦点即可求出答案. （2）根据对称性分析，，则，代入曲线方程即可求得结果. （3）根据已知，利用圆心到直线距离为，得出，再由，可得，然后联立，得出，，上式联立化简可得，进而利用关系，得出的范围. 【详解】（1）因，双曲线T的右焦点为， 则，，，， 则双曲线方程为. （2）如图所示，    因为圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周， 则，， 则， 代入双曲线方程， 可得， 令，则，解得， 即. （3）由题知，作图如下，    因为直线l：y=kx+m与圆O相切，且， 则圆心到直线距离为， 化简得，① 又，设， 则，即， 则，② 联立得， 则，，③ 联立①②③，得， 则， 又， 则， 则， 即离心率e的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的性质，直线与双曲线和圆的位置关系，训练“点差法”的应用，计算量较大，属于中档题. 变式11（2024·上海徐汇·一模）已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是，定值为 【分析】(1)利用双曲线的渐近线方程可设出双曲线的方程，再将点的坐标代入即可求解； (2)要证，只需证即可； (3)构造直角三角形，利用锐角三角函数即可求出定值. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 则， 所以双曲线的方程为，即. （2）由(1)可知，的斜率存在且不为0，所以设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 所以，且， 所以 ， 所以，即得证. （3）由(2)可知恒成立，， 所以圆心到的距离， 半径， 设所对圆心角为， 则， 因为为劣弧，所以， 所以，所以，即所对圆心角的大小为定值. 变式12（2024·上海·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为、． (1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： (2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； (3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，由求出渐近线方程. （2）设出点的坐标，利用两点间距离公式求出有最小值，再结合已知求解即得. （3）设，结合已知可得，再按和分类建立不等式求出的范围. 【详解】（1）令双曲线的半焦距为，依题意，，由，得，则， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）设点的坐标为，，则， 于是， 当时，，因此，即，则，又，解得， 因此的最大值为. （3）设点，， 由，得，整理得：， 由，得，因此， 当时，由，得，    整理得:，解得或(舍)， 由，解得； 当时，由，得，    整理得：，在有解， 故，即，解得:或（舍）， 综上，曲线的离心率的取值范围是. 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 变式13已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）. (3)若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍． 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）根据离心率求出，即可求出渐近线方程； （2）方法1、设，，则利用基本不等式求出的最大值；方法2、设，其中，则，求得，当且仅当时，取得最大值；方法3、设直线为，联立方程组得到，从而化简得到，得到取得最大值，此时可得，则轴且，求出，即可求出，再利用二倍角公式求出； （3）设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意可得，即可求出，从而求出，再根据双曲线的定义得到，即可得证. 【详解】（1）解：设双曲线方程为，焦距为， 由离心率，所以， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）解：由（1）可得，，所以双曲线的方程为， 方法1、设，，因为点都在双曲线的右支上，所以， 所以，当且仅当时取等号，即； 当时，所以， 所以轴且 ， 又由双曲线的方程为，即， 由，解得，可知， 因为，所以， 所以. 方法2、因为点都在双曲线的右支上， 设，其中，则， 则， 当且仅当时，取得最大值，即； 当时，所以， 所以轴且 ， 又由双曲线的方程为，即， 由，解得，可知， 因为，所以， 所以. 方法3、设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，，可得且，， 可得， 因为点都在双曲线的右支上，可得异号， 所以，解得， 可得， 整理得， 当且仅当时，取得最大值，最大值为； 当时，所以， 所以轴且 ， 又由双曲线的方程为，即， 由，解得，可知， 因为，所以， 所以. （3）解：设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，，可得且，， 由，可得，故， 又因为同号，所以，即， 所以，解得， 此时直线的斜率的绝对值为，可知直线与双曲线的两支都相交， 因为，所以， 则，它等于双曲线实轴长的倍， 此时， 所以是等腰三角形. 【点睛】 方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算判别式； （3）利用一元二次方程根与系数的关系，列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为和（或和）的形式； （5）代入韦达定理，列出方程进行求解. 变式14（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)当时，； (3)的最大值为. 【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出即可； （2）如图，易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解； （3）设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解. 【详解】（1）由双曲线的方程知，， 因为离心率为2，所以，得. （2）当时，双曲线，且. 因为点在第一象限，所以为钝角. 又为等腰三角形，所以. 设点，且，则 得，所以. （3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称. 设，则. 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程得 消去，得， 且，即，得. ， 由，得， 所以，即， 整理得， 所以， 整理得，所以. 又，所以，解得， 所以，又， 故的取值范围是，故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系. 考点17 已知方程求双曲线的渐近线 例1（2025·上海金山·三模）已知双曲线的右焦点为． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； (3)过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可； （2）分和两种情况讨论即可求解； （3）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为． （2）①当时，横坐标代入双曲线方程可得， 则；    ②当时，设，∴， 则， 解得，则.    （3）①当斜率不存在时， ，∴； ②当斜率存在时，设为，则直线的方程为， 设，∴，    联立方程，可得， 由题可知①， 同理②， ①②式可得： ， ∴， ∴， ∴， ∴， 则为定点． 变式1（24-25高三上·上海金山·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令双曲线为，根据已知建立合适坐标系，并求出双曲线参数，进而得渐近线方程，利用二倍角正切公式求得夹角正切值，即可得其余弦值. 【详解】如下图建系，令双曲线为，且，则，， 如图，，，则，故， 将代入，得，可得，故渐近线为， 若它们的夹角为，且，则，故.         故选：D 变式2（2025·上海浦东新·模拟预测）已知双曲线的上、下焦点分别为，双曲线以为焦点，且过点，则的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】由待定系数法求得，进一步得的渐近线方程为. 【详解】设所求方程为，由题意，， ，所以， 故所求双曲线的方程为，则的渐近线方程为. 故答案为：. 变式3（2025·上海杨浦·二模）已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点. (1)求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； (2)过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值； (3)若，如图，过作圆的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点.设，求实数的取值范围. 【答案】(1)焦点坐标为，渐近线方程为 (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线方程求出，从而求出焦点坐标与渐近线方程； （2）设，则，求得双曲线的渐近线方程分别与相应的垂线方程联立，求得交点，，以及、的坐标，由向量数量积的坐标表示，化简整理，即可得解； （3）设切点，则切线的方程为，且，联立直线与曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式表示出、，从而得到的式子，再根据的取值范围计算可得. 【详解】（1）双曲线的标准方程为，则， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为； （2）设，则， 由，解得，所以， 由，解得，所以， 所以，， 所以 ， 即． （3）设切点，则切线的方程为，且， 由，解得，所以， 设，，，， 由，消去得，所以； 由，消去得，所以； 所以，， 所以 ， 又，所以， 因为，所以，所以，所以， 即. 变式4（2025·上海奉贤·二模）如图1，曲线是与组合的． (1)过点，求的渐近线方程； (2)，设，，曲线上找一个点，使得达到最小； (3)若，如图2，存在过点的两条直线，与曲线的交点分别是点、点、点、点，点在第二象限，点在第一象限．是否存在非零实数使得成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析，理由见解析 【分析】（1）将点代入即可求出，再计算渐近线即可； （2）分和两种情况，设点坐标，利用消元法将问题转化为求一元二次函数在区间上的最小值问题； （3）设直线和直线的方程，联立方程组求四个点的坐标，再化简即可. 【详解】（1）将点代入，得，得， 所以，渐近线方程：. （2）因，则，， ①当时，取到最小值时，点一定在上， 设点，则， 则， 当时，则或时，取最小值，此时或， 当时，当时，取最小值，此时； ②当时，取到最小值时，点一定在上， 设点，则， 则 ， 因，则， 故当时， 取最小值，此时. 综上可知，曲线上存在点，使得达到最小. （3）设，， 设 由，得，则 ， 由 ，得，则 ， 由，得，则 ， 由，得，则 ， 则 ， 同理可得，， 若存在非零实数使得成立，则，即， 即，则或， 若，则或，此时直线或的方程为，不符合题意，        故当且、均不为零时，存在非零实数使得成立 变式5（2025·上海闵行·二模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)的最小值为 【分析】（1）根据双曲线方程即可得其渐近线方程； （2）由点可得，从而可利用三角形外角关系从而可得直线的斜率，将直线方程代入双曲线方程求解即可得点的坐标； （3）设直线，代入双曲线方程得交点坐标关系，由重心可得，根据点线关系即可得的范围，再结合三角形面积关系得与的关系，由基本不等式可得最值. 【详解】（1）已知双曲线，则，所以双曲线方程为； （2）双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，解得，即， 则，所以点的坐标为； （3）设直线， ， 则， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 所以， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 考点18 抛物线的标准方程 例1已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（     ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 【答案】C 【分析】由抛物线的定义求解即可. 【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线. 故选：C 例2（2025·上海普陀·二模）设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 【答案】9 【分析】根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用抛物线的定义列式求解. 【详解】拋物线的准线为， 由点到轴的距离为3，得点的纵坐标， 由点到的焦点的距离为5，得，解得或，而， 所以. 故答案为：9 例3（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可. 【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为． 故答案为：． 例4（2025·上海奉贤·二模）抛物线的准线与圆相切，将圆绕直径所在直线旋转一周形成一个几何体，则该几何体的表面积为 ． 【答案】 【分析】利用抛物线的性质求准线，利用相切求半径，即可用球的表面积求解. 【详解】因为抛物线方程为，可知准线方程为， 又由圆与准线相切，可知：， 将圆绕直径旋转一周所成的球的表面积为：， 故答案为： 变式1（2024·上海徐汇·一模）下列抛物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出各选项中抛物线的焦点坐标，即可得出答案. 【详解】对于抛物线，，可得，故， 所以，抛物线的焦点坐标为， 同理可知，抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为，， 抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 变式2已知点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得抛物线标准方程，再去求其准线方程即可解决. 【详解】抛物线的焦点， 由，可得，不妨令 则，解之得 则抛物线方程为，其准线方程为 故选：B 变式3（2024·上海虹口·一模）双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，由是抛物线的焦点，可得，再由，可求得，在△中由余弦定理可得，再根据双曲线及离心率的定义可求出离心率． 【详解】如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设， 因为是抛物线的焦点，∴ ∵，∴， 在△中，由余弦定理得， ∴， 即，解得 又∵和是双曲线的左、右焦点， ∴， ∴. 故答案为：. 变式4（2024·上海长宁·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，由抛物线定义以及三角函数可用含的横坐标的式子表示，注意到，由此即可列方程求解. 【详解】如图所示： 过点作于点， 显然抛物线的焦点为，准线为， 由抛物线定义有，结合得， 而， 所以. 故答案为：. 变式5（2025·上海青浦·模拟预测）已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 . 【答案】 【分析】因为点在圆外，与两点间最短距离是抛物线上的点到圆心距离减去圆的半径，设出点坐标，写出距离，再根据二次函数性质即可求解. 【详解】设抛物线上的点坐标为， 圆的圆心为，半径. 点到圆心的距离. 令，则，对其求最小值， 根据二次函数性质，当时，最小为. 则与两点间最短距离为.    故答案为：. 变式6已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是曲线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】求出圆心和半径，再利用抛物线的定义及圆的性质求出最小值. 【详解】曲线是以为圆心，为半径的圆，抛物线的准线为， 过点作，垂足为，过点作，垂足为，交抛物线于点，如图， 根据抛物线的定义，得， 当且仅当点与重合，此时点与重合，点与重合， 即，当且仅当在一条直线上时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：4 变式7（2024·上海奉贤·二模）抛物线上一点到点的距离最小值为 ． 【答案】1 【分析】在抛物线上任取一点，计算它到定点的距离，求其最小值即得. 【详解】设抛物线上一点，则点到点的距离为， 因,则，故当时，抛物线上任一点到点的距离最小值为1. 故答案为：1. 变式8（2025·上海黄浦·二模）抛物线的焦点到其顶点的距离为 ． 【答案】/0.25 【分析】求出抛物线的焦点及顶点即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，顶点为， 所以该抛物线的焦点到其顶点的距离为. 故答案为： 变式9已知抛物线C：的焦点为F，点P在C上且位于第一象限，过点P作直线垂直于C的准线，垂足为A，若直线AF的倾斜角为，则 . 【答案】4 【分析】利用抛物线的定义可以判断为等边三角形,利用平面几何知识求解即可. 【详解】因为抛物线C：的焦点为F，所以， 由题意可得, 所以, 又由抛物线定义得：，所以为等边三角形， 设准线与轴交于点， 在直角中，， 所以. 故答案为：4. 变式10若抛物线的顶点到它的准线距离为，则正实数 . 【答案】2 【分析】根据顶点到它的准线距离为即可得到方程，解出即可. 【详解】，因为为正实数，则，则， 故答案为：2. 变式11《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”，设点F是抛物线的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”，“股”，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】由题可得，然后由抛物线的定义得到是等边三角形求解即得. 【详解】由题意可知，，， 可得， 所以， 由抛物线的定义得， 所以是等边三角形， 所以， 所以抛物线的方程是. 故答案为：. 变式12如图，已知是抛物线上的三个点，且直线分别与抛物线相切，为抛物线的焦点． (1)若点的横坐标为，用表示线段的长； (2)若，求点的坐标； (3)证明：直线与抛物线相切． 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义将的长度转化成点到准线的距离即可； （2）设与直线，根据直线直线分别与抛物线相切，可将直线与抛物线方程联立得到判别式为0，进而得出的两根，结合韦达定理与可得即可求解； （3）根据题设，直线分别与抛物线相切，可将直线分别与抛物线联立得到等量关系，要证明直线与抛物线相切，最后再将直线与抛物线联立证明判别式为0即可． 【详解】（1）设，且在抛物线上，故满足 为抛物线的焦点，，抛物线的准线为 ， 线段的长等于点到准线的距离，即． （2）设，显然直线的斜率存在且不为0，设直线， 联立，化简得：， 直线与抛物线相切，，即 ①， 又直线均与抛物线相切， 为方程①的两根，且有， ，，解得， 将代入得：，故的坐标为． （3）设，，， ，直线， 联立，化简可得：， 又直线与抛物线相切，，即 ②， 同理，直线与抛物线相切，可得③， 由方程②③可得，为方程的两根， ，， 又，，故直线， 联立，化简得：， ， 直线与抛物线相切，故得证． 变式13已知椭圆的左、右焦点分别为、，A，B分别为椭圆的上、下顶点，到直线的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)已知点M为抛物线上一点，直线与椭圆的一个交点N在y轴左侧，满足，求p的最大值； (3)直线与椭圆交于不同的两点C，D，直线AC，AD分别交x轴于P，Q两点．问：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，且． 【分析】（1）在中由面积公式得出关系，从而求得得椭圆方程； （2）设，，由由，用表示点的坐标，把点坐标代入抛物线方程得的表达式，利用在椭圆上，可把化为关于的函数，利用换元法、基本不等式可得最大值； （3）假设存在点使得，设，求得，然后设，，由直线方程求得坐标，代入上式，并利用在椭圆上可求得值，得结论成立． 【详解】（1）中由面积公式得，即，解得， 椭圆方程为； （2）设，，由（1）， 由，得， 所以， 是抛物线（）上的点， 所以，又， 所以， ， 令，则， ，当且仅当时等号成立， 所以． （3）假设存在点使得，设， 因为，所以，即， 所以，所以， 直线与椭圆交于不同的两点C，D，易知关于对称， 设，（）， 由（1）知，直线方程是，令得， 直线方程是，令得， 由，得，又在椭圆上，所以， 所以，， 所以存在点，使得成立． 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题，椭圆中的定点问题、最值问题．解题方法是设出椭圆上点的坐标，通过它求出另外点的坐标，由另外的点满足的性质得出所要结论，本题考查了学生的逻辑思维能力，运算求解能力，创立意识，属于难题． 变式14（2024·上海闵行·二模）如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设△OMN、的面积分别为、． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求的值； （2）设直线的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理求的值； （3）设直线、的方程，与椭圆联立方程组表示出，由，化简并结合基本不等式求取值范围. 【详解】（1）椭圆的上顶点坐标为， 则抛物线的焦点为，故. （2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点、， 联立可得，恒成立，则， . （3）设直线、的斜率分别为、，其中，， 联立可得，解得， 点在第三象限，则， 点在第四象限，同理可得， 且    ， 当且仅当时，等号成立. 的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 考点19 抛物线的性质 例1（2025·上海浦东新·二模）设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 变式1（2024·上海普陀·一模）设，直线与曲线和曲线分别交于、两点，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题意可得曲线对应的函数关于直线对称，直线关于直线对称，从而可得关于直线对称，利用直线与直线相交、曲线与直线相交得坐标，结合函数性质可得的最值. 【详解】 曲线和曲线对应的函数互为反函数，则关于直线对称， 又或，即两曲线交点坐标为， 又直线与直线相互垂直，则直线关于直线对称， 所以关于直线对称，设直线与直线相交于，且于， ，则，且，所以， 联立，解得， 因为，所以， 则， 令，则，则， 所以， 因为，所以，所以， 故的最大值为. 故答案为：. 考点20 求轨迹的方程 例1已知平面直角坐标系中的直线、.设到、距离之和为的点的轨迹是曲线，、距离平方和为的点的轨迹是曲线，其中、.则、公共点的个数不可能为（    ） A．0个 B．4个 C．8个 D．12个 【答案】D 【分析】由题意结合点到直线距离公式，整理等式，可判断曲线为矩形，曲线为椭圆，通过联立方程组求曲线、公共点的个数. 【详解】由题意，直线与直线相互垂直，设曲线上的点为，满足，即， 则当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，， 所以曲线是以、、、为顶点的矩形， 设曲线上的点为，满足，即，所以的轨迹为椭圆， 当时，联立可得，方程组无解，即直线与椭圆没有交点，同理可得与椭圆没有交点， 联立可得，方程组无解，即直线与椭圆没有交点，同理直线与椭圆没有交点，所以曲线、公共点的个数0， 当时，联立可得，所以，即直线与椭圆有一个交点，同理可得与椭圆有一个交点， 联立可得，解得，即直线与椭圆有一个交点，同理直线与椭圆有一个交点，所以曲线、公共点的个数4， 当时，联立可得，所以，即直线与椭圆有两个交点，同理可得与椭圆有两个交点， 联立可得，解得，即直线与椭圆有两个交点，同理直线与椭圆有两个交点，所以曲线、公共点的个数8， 故选：D 例2已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为 ． 【答案】 【分析】确定在平面上，根据得到的轨迹为平面内的一条抛物线，建立坐标系确定抛物线方程，计算交点得到答案. 【详解】若P到平面ABCD、距离相等，根据对称性知在平面上， 平面，平面，故平面平面， 故到平面的距离即到的距离， 设正方体的中心为，即，故的轨迹为平面内的一条抛物线， 不妨取正方体边长为，中点为，以所在的直线为轴， 以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 抛物线方程为，时，，故抛物线与棱和相交， 故共有个点满足条件. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何，抛物线的轨迹方程，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中根据题意得到动点的轨迹方程是解题的关键， 变式1已知正方体的棱长为为的中点，为所在平面上一动点，为所在平面上一动点，且平面，则下列命题正确的个数为（    ） （1）若与平面所成的角为，则动点所在的轨迹为圆； （2）若三棱柱的侧面积为定值，则动点所在的轨迹为椭圆； （3）若与所成的角为，则动点所在的轨迹为双曲线； （4）若点到直线与直线的距离相等，则动点所在的轨迹为抛物线 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】对于(1)，利用圆的定义判断；对于(2)，利用椭圆的定义判断；对于(3)，易得运动成圆锥面判断；对于(4)，利用抛物线的定义判断. 【详解】如图所示： 对于(1)，因为与平面所成的角为，所以， 所以点的轨迹为圆，所以正确； 对于(2)，当三棱柱的侧面积为定值时，因为高为2，则为定值，且大于，所以点的轨迹为椭圆，正确； 对于(3)，因为、，所以， 于是满足条件的运动成圆锥面，又平面，所以圆锥面被平面所截的交线为双曲线，所以正确； 对于(4)，因为点到直线与直线距离相等，所以点的轨迹为点到点与直线的距离相等的轨迹，即抛物线，所以正确； 故选：D． 变式2已知曲线，对坐标平面上任意一点，定义．若两点，满足，称点在曲线同侧；若，称点在曲线两侧． (1)直线过原点，线段上所有点都在直线同侧，其中、，求直线的斜率的取值范围； (2)已知曲线，为坐标原点，求点集的面积； (3)记到点与到轴距离和为的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点在曲线两侧，求曲线的方程与实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)和， 【分析】（1）设直线，由可解不等式求得结果； （2）根据方程的几何意义，将问题转化为圆在直线下方的部分（不含边界）的面积的求解，结合扇形和三角形面积公式可求得结果； （3）根据已知等量关系可整理得到曲线的方程，将整理为，，通过讨论曲线上的点到的距离可构造不等关系求得结果. 【详解】（1）由题意知：直线斜率存在，可设其方程为，即， ，解得：， 直线斜率的取值范围为. （2），， ，即， 点集表示圆在直线下方的部分（不含边界），如下图阴影部分所示， 设直线与圆交于两点， 则圆心到直线的距离为，， ，， 阴影部分面积， 即点集的面积为. （3）设曲线上的动点为，则， 化简得曲线的方程为：和，其轨迹为两段抛物线弧； 由得：； 设曲线上的点，点到点的距离为， 则； 当时，； 当时，； 则曲线上的点到的距离的范围是， 曲线上总存在两点在曲线两侧， ，解得：，即实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与曲线中的位置关系的新定义问题的求解，解题关键是能够充分理解新定义的含义，将所求式子利用几何意义进行转化，从而采用数形结合的方式来帮助求解. 变式3（2024·上海·二模）在中，已知，，设分别是的重心、垂心、外心，且存在使. (1)求点的轨迹的方程； (2)求的外心的纵坐标的取值范围； (3)设直线与的另一个交点为，记与的面积分别为，是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据重心坐标公式以及向量共线可得，即可根据垂直的坐标运算求解， （2）根据外心的性质得，与椭圆方程联立可得，即可根据椭圆的有界性求解， （3）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据共线关系以及面积的表达，代入化简求解即可. 【详解】（1）设，则的重心. ，，则， 为垂心，故 因为存在使，故，所以，， 而，由垂心定义得，即，整理得， 所以点的轨迹的方程为. （2）    由外心的定义知点在轴上，则， 的中点，， 所以，整理得. 与的方程为联立，得. 因为，所以. （3）由对称性，不妨设点在第一象限，设，，直线：， 联立方程得， ，整理得； ，又，所以. 由条件知，，，所以三点共线且所在直线平行于轴， 由，知， 所以. 令，解得（舍去）. 又点在直线：上，所以， 即，所以.又，联立得，所以. 又，所以，即，所以. 所以，当点在第一、四象限时，；当点在第二、三象限时，. 故存在实数使. 【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 变式4设抛物线的方程为，其中常数，F是抛物线的焦点． (1)若直线被抛物线所截得的弦长为6，求的值； (2)设是点关于顶点O的对称点，是抛物线上的动点，求的最大值； (3)设是两条互相垂直，且均经过点F的直线，与抛物线交于点,与抛物线交于点，若点G满足，求点G的轨迹方程． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）可令，代入抛物线方程，计算可得弦长继而得； （2）根据抛物线定义转化线段比值，结合直线与抛物线的位置关系计算即可； （3）设坐标及方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理以及两直线垂直的条件，结合向量的坐标表示，以及消元转化，可得所求轨迹方程． 【详解】（1）由可得，由题意可知； （2）易知，则，抛物线准线为，      如图所示，过作准线，垂足为B， 由抛物线定义可知，故， 设直线为，， 则， 欲求的最大值，即求的最小值， 显然当直线与抛物线相切时，取得最大，此时其余弦最小， 联立抛物线方程可得， 由直线和抛物线相切可得， 结合抛物线对称性，不妨取，此时，即； （3）   由已知可知，则， 设，， 则， 与抛物线联立可得：， 即有， 同理则有， 因为点G满足， 即， 故， 可得， 则G的轨迹方程为． 考点21 简单的参数方程 例1参数方程（其中）表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】将参数方程化为普通方程即可得到结果. 【详解】由参数方程可得曲线普通方程为：，曲线为抛物线. 故选：D. 变式1已知直线的参数方程为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线参数方程可确定斜率，由斜率和倾斜角关系可得结果. 【详解】由参数方程可知：直线斜率，直线倾斜角为. 故选：D. 变式2已知椭圆为参数，，的焦点分别、，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的普通方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由椭圆的焦点坐标可得，即可得，结合椭圆的性质可得、的长，分析可得的坐标，进而可得，两式联立解可得、的值，即可得答案． 【详解】解：根据题意，椭圆为参数，，，其普通方程为， 若其焦点分别、，则，则有，① 点为椭圆的上顶点，则的坐标为， 又由，而，则，， 又由，且、、三点共线，则的坐标为， 又由，则有，② 联立①②，解可得：，； 故椭圆的方程为； 故答案为：． 变式3曲线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据消去参数，将参数方程化为普通方程，即可求出焦点坐标； 【详解】解：因为，又曲线， 所以，即，所以，即，所以， 即曲线表示焦点在轴上的抛物线，且焦点为； 故答案为： 1（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ． 【答案】/ 【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果. 【详解】设直线与直线的倾斜角分别为， 则，且， 所以， 因为， 所以，即两条直线的夹角为， 故答案为：. 2直线的倾斜角 ．（用反三角表示） 【答案】 【分析】由斜率的定义求解即可 【详解】将直线的方程化为斜截式得：， 所以直线的斜率为， 因为， 所以， 所以倾斜角为钝角， 所以， 故答案为： 3已知直线与直线平行，则 . 【答案】1 【分析】根据平行关系列出等式求解的值并检验即可. 【详解】因为与平行，所以，解得或. 当时，直线，直线，两直线平行. 当时，直线，直线，化简为， 此时两直线重合，不符合要求，舍去. 故答案为：1. 4已知正实数满足，则的取最小值 . 【答案】 【分析】利用代数式和几何图形的关系，将问题转化为距离之和的最小值即可求解. 【详解】设直线，点在直线上，且在第一象限， 设点， 所以， 如图所示， 点A关于直线对称的点设为， 则有解得， 所以，由图可知，当在直线时， 最小，最小值为， 即的最小值为， 故答案为：. 5（24-25高三上·上海宝山·期中）已知圆的一般方程为，则圆的半径为 . 【答案】 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆的半径. 【详解】圆：，即， 所以圆的半径为. 故答案为： 6若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【答案】 【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，因为，解得. 故答案为：. 7（2024·上海静安·二模）江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸． (1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来； (2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米） (3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）解法1；以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，求得圆的方程，得到，联立方程组，求得，设圆的半径为，求得圆的方程为，进而得到函数的解析式；解法2：以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设圆的半径为，求得圆的方程为，得到，，进而得到函数的解析式； （2）解法1：求得圆弧的长为，得到圆弧的长为，进而求得过桥道路的总长度；解法2：根据题意，求得，得到圆弧的长，求得圆弧的长为，进而得到过桥道路的总长度； （3）设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，提出问题，结合面积公式，分别求得铺设过桥路需要混凝土的值. 【详解】（1）解法1、如图所示，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，圆的方程为， 由，得，， 过点作圆的切线，切点为，直线的斜率为，其方程为， 所以直线的斜率为，其方程为，将其代入， 得点的坐标为， 经过点作圆与圆切于点（圆与y轴的交点），设圆的半径为， 则，即，解得， 所以，圆的方程为， 故用函数表示过桥道路为 . 解法2、如图所示，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 作圆与x轴相切于点，并和圆切于点， 设圆的半径为，则，即，解得， 所以圆的方程为， 将直线的方程代入得，点的坐标为， 所以用函数表示过桥道路为. （2）解法1：由点的坐标为，得， 所以圆弧的长为3.398， 由点的坐标为，点的坐标为，得， 所以圆弧的长为32.175， 所以过桥道路的总长度为， 解法2：因为，， 则，即， 所以圆弧的长为， 又由点的坐标为，得， 所以圆弧的长为， 所以过桥道路的总长度为63.9． （3）解：设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形为底面， 高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形（）为底面，高为10米的柱体， 提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？ 方案1：， 所以，铺设过桥路需要混凝土10（）． 方案2：， 所以，铺设过桥路需要混凝土10（）． 8已知双曲线，点为双曲线上的动点. (1)求以为焦点且经过点的椭圆的标准方程； (2)若直线经过点且与双曲线恰好有一个公共点，求直线的方程； (3)点在什么位置时，取得最大？求出最大值及点的坐标. 【答案】(1) (2)和 (3)或，最大为. 【分析】 （1）设椭圆方程为，根据题意求得，即可求得答案； （2）讨论l斜率不存在情况是否符合题意，斜率存在时，设出直线l的方程，并联立双曲线方程，结合判别式即可求得答案. （3）利用双曲线对称性，先设点在第一象限，坐标为，利用到角公式求得，结合基本不等式求得最大值，可得答案. 【详解】（1）由题意可设椭圆方程为， 则， 又因为为椭圆焦点， 故， 故椭圆方程为. （2）由于直线经过点，直线斜率不存在时与双曲线无公共点； 可设直线，与双曲线方程联立整理后得 当，得，当时，直线为双曲线的一条渐近线，不符题意，舍去； 当时，直线为， 与双曲线的另一条渐近线平行，与双曲线只有一个交点； 当时，令， 即解得，（舍去）， 此时l方程为为； 综上，满足要求的直线有两条，分别为和. （3）根据对称性，不妨设点在第一象限，，则，    于是，为锐角， 因为，当且仅当等号成立，此时， 此时，则， 根据双曲线的对称性，当或时，取得最大为. 【点睛】方法点睛：求解直线与双曲线只有一个交点时，联立方程后要注意讨论，将直线与双曲线渐近线进行比较，从而取舍；求解角的最大值时，要注意结合直线的斜率，利用到角公式并结合基本不等式求解. 9设双曲线：（），点是的左焦点，点为坐标原点. (1)若的离心率为，求双曲线的焦距； (2)过点且一个法向量为的直线与的一条渐近线相交于点，若，求双曲线的方程； (3)若，直线：（，）与交于，两点，，求直线的斜率的取值范围. 【答案】【小题1】 【小题2】见解析 【小题3】 【分析】（1）由题意得，，离心率，从而求解； （2）求出直线的斜率为，然后求出直线方程后与渐近线联立后求出点，从而求解； （3）将直线与双曲线联立后，利用根与系数的关系并结合基本不等式，从而可求解. 【详解】（1）由题意得：，，，解得， 所以曲线的焦距为：. （2）由题意可得，所以，且渐近线为， 由过点的直线的一个法向量，则得直线的斜率为， 所以直线的方程为， 当直线与渐近线交于点，即，解得, 因为，解得， 所以曲线的方程为； 当直线与渐近线交于点，即， 解得, ，所以， 利用计算器可得的近似值为0.54. （3）由,得曲线的方程为，将直线:与曲线联立得： ，化简得， 由题意知直线与曲线交于两点，设，， 则，解得：，且， 由根与系数关系得：，， 设线段中点为， 由，因为，所以，得， 所以得，即， 化简得，所以， 整理得，所以或， 所以得或， 故的取值范围为. 【点睛】关键点睛：（3）问中将直线与双曲线联立后，利用根与系数的关系并结合基本不等式，从而可求解. 2 / 148 1 / 148 学科网（北京）股份有限公司 $