专题04 导数及其应用（必备知识+14大考点+专练，复习讲义）（上海专用）2026年春季高考数学

专题04 导数及其应用 目 录 一、考情分析与命题趋势 二、知识体系构建 知识点1 导数的概念及意义、导数的运算 2 1．导数的概念 3 2.基本初等函数的导数公式和求导法则 3 知识点2 导数的应用 4 1.函数的单调性与导数的关系： 4 2．函数的极值 4 3．函数的最值 5 4．导数在实际问题中应用的步骤 5 5．导数在实际问题中应用的注意点 5 6．恒成立问题 5 7．有解问题 5 三、考点精析与突破 考点1 导数的概念及其意义 6 考点2 导数几何意义 7 考点3 极限及其运算 8 考点4 基本初等函数的导数 8 考点5 导数的加法与减法法则（共6小题） 9 考点6 导数的乘法与除法法则 9 考点7 简单复合函数的导数 10 考点8 利用导数求解函数的单调性和单调区间 10 考点9 由函数的单调性求解函数或参数 13 考点10 利用导数求解函数的极值 14 考点11 利用导数求解函数的最值 16 考点12 由函数的最值求解函数或参数 17 考点13 利用导数求解曲线在某点上的切线方程 17 考点14 不等式恒成立问题 18 四、实战精练与提升 一．选择题 20 二．填空题 20 三．解答题 21 一、考试要求 知识点 新课程标准 重点 导数的概念 1. 理解导数的概念（瞬时变化率）； 2. 理解导数的几何意义（函数图像在某点处的切线斜率） 1. 导数定义的准确理解； 2. 利用导数几何意义求切线方程的应用 基本初等函数的导数公式和求导法则 1. 掌握幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的导数公式； 2. 掌握导数的四则运算法则、复合函数求导法则 1. 各类基本初等函数导数公式的熟练运用； 2. 复合函数求导的步骤及应用 函数的单调性与导数的关系 1. 理解导数与函数单调性的关系； 2. 掌握利用导数判断函数单调性、求单调区间的方法 1. 函数单调性的证明与应用（比较大小、解不等式等）； 2. 单调区间的求解策略 函数的极值 1. 理解函数极值的定义； 2. 掌握利用导数求函数极值的方法 1. 极值点的判断与证明； 2. 函数极值的求解及应用 函数的最值 掌握利用导数求闭区间上函数最值的方法 1. 函数最值的求解步骤（与极值的区别与联系）； 2. 最值的实际应用 导数在实际问题中应用的步骤 掌握利用导数解决实际优化问题的一般步骤（建立函数模型、求导分析、确定最值） 1. 实际问题的数学建模能力； 2. 解题步骤的规范性应用 导数在实际问题中应用的注意点 1. 理解实际问题中函数定义域的重要性； 2. 掌握检验解的实际合理性的方法 1. 实际问题中定义域的准确确定； 2. 解的实际意义验证 恒成立问题 掌握利用导数将恒成立问题转化为函数最值问题的方法 1. 恒成立问题向最值问题的转化策略； 2. 函数最值求解与参数范围确定 有解问题 掌握利用导数将有解问题转化为存在性最值问题的方法 1. 有解问题与恒成立问题的区别与转化思路； 2. 参数范围的分析确定 二、命题分析 考频 考查内容 命题趋势 2025年第11、21题，2023年第21题 利用导数研究函数的最值（含单调性、极值与最值的综合应用） 高频难点考点，多在解答题中综合考查，结合函数性质、不等式、方程等知识，分值高、难度大，注重导数工具性的体现及分类讨论、数形结合思想的渗透 知识点1 导数的概念及意义、导数的运算 1．导数的概念 （1）一般地，对于一个函数 ，通常将 称为函数 在以 和 为端点的区间上的平均变化率； （2）函数 在 处的导数 就是函数 在 处的瞬时变化率； （3）函数 在点 处的导数 的几何意义是在曲线 $y=f(x)$ 在点 处的切线的斜率.相应地，切线方程为 ； （4）通常我们将导数为零的点称为函数的驻点； （5）给定函数 ，在导数存在的前提下，对于不同的 ，总有一个确定的导数值 与之对应，则 称为函数 的导函数． 2. 基本初等函数的导数公式和求导法则 (1)基本初等函数的导数公式: 原函数 导函数 （2）导数的四则运算法则： ① ； ② ； ③（其中 ）． （3）简单复合函数的导数：由 与 复合而成的 型复合函数，其求导法则为 ，其中 . （4）曲线 ＂在点 处的切线＂与＂过点 的切线＂的区别与联系． ①曲线 在点 处的切线是指 为切点，切线斜率为 的切线，是唯一的一条切线； ②曲线 过点 的切线，是指切线经过点 ．点 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 知识点2 导数的应用 1. 函数的单调性与导数的关系： 函数 在区间 内可导， （1）若 ，则 在区间 内是严格增函数； （2）若 ，则 在区间 内是严格减函数； （3）若恒有 ，则 在区间 内是常数函数． 2．函数的极值 （1）函数的极小值 函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都小， ；而且在点 附近的左侧 ，右侧 ，则点 叫做函数 的极小值点， 叫做函数 的极小值． （2）函数的极大值 函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都大， ；而且在点 附近的左侧 ，右侧 ，则点 叫做函数 的极大值点， 叫做函数 的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3．函数的最值 （1）在闭区间[a, b]上连续的函数 在[a, b]上必有最大值与最小值； （2）若函数 在[a, b]上严格增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数 在[a, b]上严格减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值． 4．导数在实际问题中应用的步骤 （1）审题：阅读理解文字含义，分清条件和结论，找出问题的主要关系； （2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3）解模：利用导数知识解模； （4）释模：对结果分析验证作出正确的判断，确定其答案． 5．导数在实际问题中应用的注意点 （1）在求实际问题的最大（小）值时，一定要注意考虑实际问题的含义，不符合实际意义的值应该舍去； （2）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使得 ，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值作比较，也可以得到这就是最大（小）值； （3）在生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题．在解决最优化问题中涉及的变量关系用函数关系给予表示，一定要确定函数关系中的自变量的定义区间． 6．恒成立问题 在函数 能取到最值的条件下，一般地，若 对 恒成立，则只需 ；若 对 恒成立，则只需 ．由此构造不等式，求解参数的取值范围． 7．有解问题 在函数 能取到最值的条件下，若存在 ，使 成立，则只需 ；若存在 ，使 成立，则只需 .由此构造不等式，求解参数的取值范围． 考点1 导数的概念及其意义 - 平均变化率：区间上的平均快慢，公式. - 瞬时变化率（导数）：某点的瞬时快慢，用求导公式（如的导数）或定义计算. 例1（2023•奉贤区三模）函数在区间，的平均变化率与在处的瞬时变化率相同，则正数　　 ． 例2（2025•嘉定区三模）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积（单位：与直径（单位：的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为　　 A． B． C． D． 变式1（2024•青浦区二模）如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率　　 ． 变式2（2024•上海模拟）某物体运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系为，则该物体在时的瞬时速度为 　　　　． 变式3（2024•浦东新区模拟）某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当时间为时，酒杯中水升高的瞬时变化率是 　　 ． 考点2 导数几何意义 一、核心逻辑锚定 曲线在某点的切线斜率等价于函数在该点的导数（即）. - 如例1求动点处切线斜率的范围，本质是求导函数的值域； - 例2通过导数定义的变形求斜率，变式1、2直接求导代入点计算斜率，均围绕这一核心关系展开. 二、题型通解技巧 1. 直接求斜率（如变式1、2）： 对函数求导（如求导得，求导得），代入点的横坐标即可. 2. 求斜率的取值范围（如例1）： 先求导函数（例1中），再分析其值域（通过二次函数配方，得值域）. 3. 导数定义求斜率（如例2）： 将极限式凑成的形式（例2中通过变形，解得）. 例1（2025•浦东新区模拟）曲线的图像上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为 　 ． 例2（2025•闵行区模拟）若为可导函数，且，则在曲线上点，（1）处的切线斜率为 　　 ． 变式1（2025•金山区二模）若直线是曲线在处的切线，则的斜率为 　 ． 变式2（2025•浦东新区模拟）曲线在点处的切线的斜率是 　　． 考点3 极限及其运算 例1（2024•闵行区三模）计算：　　 A．0 B． C． D． 例2（2024•黄浦区模拟）设函数，若对任意，皆有成立，则实数的取值范围是 　　 ． 变式1（2023•闵行区二模）　　 ． 变式2设，是直线与圆在第一象限的交点，则　　． 变式3已知等比数列，其前项和为．若，公比为3，则　　． 考点4 基本初等函数的导数 例1（2025•杨浦区模拟）下列函数中，存在驻点的是　　 A． B． C． D． 例2（2024•浦东新区四模）下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 变式1（2023•浦东新区二模）已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么　　 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 变式2（2025•上海模拟）设，，记的导数为．若函数为奇函数，则的值为 　 ． 变式3（2024•徐汇区模拟）已知函数，则（1）　　 ． 考点5 导数的加法与减法法则 例1已知函数，曲线在点，处切线的倾斜角为，则　　 A． B． C． D． 例2已知，若，则　　 A．4 B．5 C． D． 例3（2025春•闵行区期末）函数的驻点为　　 A． B． C．1 D．2 变式1已知函数（1），则（2）　　 ． 变式2（2025秋•徐汇区期中）已知函数（1），则（1）　 ． 变式3（2025春•闵行区期末）已知函数，，其导函数为． （1）若，求的值； （2）若的图像过点与，求原点到直线的距离． 考点6 导数的乘法与除法法则 例1（2025春•静安区期末）函数的导函数 ． 例2设函数，则（1）　　 ． 变式1已知，则　　 A．0 B． C． D． 变式2函数在处的导数值是　　 ． 考点7 简单复合函数的导数 例1（2025•黄浦区二模）由所有连续且在定义域内导函数存在的全体函数构成的集合，记为．则以下命题为真命题的序号是 　 ． ①对于任意的，若为奇函数，则为偶函数； ②存在，使得为非奇非偶函数，但为奇函数或偶函数； ③对于任意的，若为减函数，则为增函数； ④存在，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调． 变式1已知，则（1） 　　 ． 变式2（2024 •浦东新区期中）已知函数，则 　　． 考点8 利用导数求解函数的单调性和单调区间 一、核心解题逻辑 函数的单调性由导函数符号决定： - 若，函数在对应区间单调递增； - 若，函数在对应区间单调递减. 二、突破技巧 1. 分段函数的单调性与参数范围（如例1） - 技巧：对各分段分别求导，分析每段的单调性；再结合分段点处的函数值（或极限），确保整体满足题设条件（如值域为、连续性等）. 2. 含参数的复合函数零点问题（如例2） - 技巧：先分析原函数的单调性（求导找极值点、极值），再将复合函数零点问题转化为“的解”与“的解”的个数组合问题，通过极值与参数的大小关系推导范围. 3. 导数与抽象不等式结合（如例3） - 技巧：将不等式转化为函数单调性的分析（如构造新函数，通过求导判断的单调性），进而求解不等式或确定集合. 三、易错点规避 - 分段函数的定义域与分段点衔接：分析每段单调性后，需验证分段点处的函数行为（如例1中处左右段的函数值关系），避免遗漏. - 含参数问题的极值分析严谨性：导函数零点的确定、极值的计算需精准，否则会导致参数范围推导错误. - 抽象不等式的逻辑转化：需准确将定义式（如的定义）转化为函数单调性的语言，避免逻辑断层. 例1（2025•嘉定区三模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 　　 ． 例2（2025•浦东新区模拟）已知，函数，，其中为自然对数的底数．若函数恰有4个零点，则的取值范围是 　　 ． 例3对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义（a）（a）． （1）设，求； （2）设，若函数在处的切线经过，，求的值并求出集合； （3）若，且，求． 变式1（2025•浦东新区模拟）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，，，，，，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若，，成等差数列，则称为“等差函数”；若，，成等差数列且，，均为整数，则称为“整数等差函数”． （1）设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； （2）若为“整数等差函数”，求实数的最小值； （3）已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数，使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 变式2（2025•黄浦区二模）已知，函数． （1）若，求的单调区间； （2）是否存在实数，使得与有相同的最大值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）已知，直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为、、、，证明：． 变式3（2025•宝山区二模）定义在上的可导函数，集合，，，2，，，为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点．已知，，． （1）若，，，，求的值及的固着点； （2）若，，，，，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； （3）若，，，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：． 考点9 由函数的单调性求解函数或参数 1. 分式型函数（如例1） - 技巧：原函数单调等价于分母函数的“单调性+非零性” 同时满足. 2. 复杂结构函数（如例2、变式1） - 技巧：直接求导，将单调性转化为导函数恒成立问题，结合“分离参数、函数最值、三角函数有界性”分析. 例1函数在，上单调递增，则实数的取值范围是　 　． 例2函数在内单调递增，则实数的取值范围是　 　． 变式1（2025•杨浦区模拟）设常数．已知函数． （1）若，求在区间，上的零点； （2）若在上严格增，求的取值范围． 变式2（2025•浦东新区模拟）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数，在区间，上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线，，和曲线所围成的区域（称为曲边梯形的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即曲边梯形梯形，代入数据，进一步可以推导出不等式：． （1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：； （2）已知函数，其中，． 证明：对任意两个不相等的正数，，曲线在，和，处的切线均不重合； 当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 考点10 利用导数求解函数的极值 函数极值的求解本质是分析导函数的“零点+符号变化”，步骤为： 1. 求导：对函数f(x)求导（分段函数、复杂函数需注意求导规则的一致性）。 2. 找临界点：解方程{f'(x) = 0}，得到可能的极值点。 3. 符号分析：判断每个临界点两侧导函数的符号（左正右负→极大值，左负右正→极小值）。 4. 求极值：将极值点代入原函数，计算极值。 例1（2025•松江区二模）定义在上的函数满足， 当时，，有以下两个命题： ①当为正整数时，； ②若函数在区间，内有3个极大值点，则的取值范围是． 则以下选项正确的是　　 A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 例2（2025•上海）已知，． （1）若（1），求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 变式1（2025•浦东新区校级模拟）已知函数的表达式为． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若函数在区间上不存在驻点，求正实数的取值范围； （3）设，若函数的极值点从小到大排列构成数列，且，求实数的值． 变式2（2025•杨浦区校级模拟）设，已知． （1）若，求函数，的值域； （2）若关于的方程有且仅有三个实数解，求实数的取值范围； （3）若且函数有最小值，求的取值范围． 变式3（2025•杨浦区校级期中）已知函数． （1）讨论函数的奇偶性； （2）设函数，且存在，分别为函数的极大值点和极小值点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 考点11 利用导数求解函数的最值 例1（2025•金山区校级三模）定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”， 为“契合点”． （1）若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数的取值范围； （2）若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点” ，． ①求的取值范围； ②证明：． 变式1（2025•上海模拟）已知，． （1）证明：当时，； （2）设，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； （3）求证：有且只有两条直线与曲线、均相切． 变式2（2025•浦东新区校级模拟）已知函数． （1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）若，求的值； （3）当时，证明：有2个零点． 考点12 由函数的最值求解函数或参数 例1（2023•松江区二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 变式1（2025•杨浦区校级模拟）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为　 　 ． 考点13 利用导数求解曲线在某点上的切线方程 例1（2024•青浦区模拟）曲线在点处的切线方程为 　 ． 变式1（2025•宝山区校级模拟）从点可向曲线引三条不同切线，则的取值范围为 　 　． 变式2（2025•黄浦区校级三模）过点向曲线为正整数）引斜率为的切线，切点为，，则下列结论不正确的是　　 A． B． C．数列的前项和为 D． 考点14 不等式恒成立问题 例1（2025•金山区校级模拟）设，集合．若对任意，均存在和，，满足，，则的最大值为 　 　． 例2（2025•松江区校级三模）若不等式，对，恒成立，则 　　 ． 例3（2025•杨浦区二模）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 　　 ． 变式1（2025•杨浦区校级模拟）已知，存在，当时，都有 ，则的取值范围是 　　 ． 变式2（2025•静安区二模）若存在实数常数，，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． （1）请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） （2）求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）试探究函数为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 变式3（2025•闵行区二模）已知函数在定义域上存在导函数．对于给定的一个有序实数对，若存在，，使得，则称为在定义域上的一个“分割数对”． （1）已知，，判断数对是否为在上的“分割数对”，并说明理由； （2）已知，，若为在区间上的“分割数对”，求实数的取值范围； （3）已知，，若有且仅有一个实数满足对任意，，都不是在上的“分割数对”，求实数的值． 一．选择题 1．（2025•黄浦区校级二模）已知函数和在区间，上的图象如图所示，那么下列说法正确的是　　 A．在到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率 B．在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率 C．对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D．存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 2．（2025•黄浦区校级三模）设函数的定义域为，若是极大值点，则是　　 A．的极小值点 B．的极大值点 C．的极小值点 D．的极大值点 3．（2025•黄浦区校级三模）若、，则“”成立是“”成立的　　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 二．填空题 4．（2025•上海）如图所示，正方形是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为 　　 ． 5．（2025•浦东新区校级模拟）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 　　 ． 6．（2025•嘉定区校级三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 　 　． 三．解答题 7．（2025•上海）已知，． （1）若（1），求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 8．（2025•上海）已知函数的定义域是．对于，定义集合． （1），求； （2）对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； （3）若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 9．（2024•上海）对于一个函数和一个点，定义，若存在，，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是到点的“最近点”； （2）对于，，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； （3）已知存在导函数，函数恒大于零，对于点，，点，，若对任意，存在点同时是到点与点的“最近点”，试判断的单调性． 10．（2023•上海）已知函数，（其中，，，若任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有满足条件的函数在处取得的最小值记为． （1）若，，试判断函数是否为函数的“控制函数”，并说明理由； （2）若，曲线在处的切线为直线，证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值； （3）若曲线在，处的切线过点，且，，证明：当且仅当或时，（c）（c）． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数及其应用 目 录 一、考情分析与命题趋势 二、知识体系构建 知识点1 导数的概念及意义、导数的运算 2 1．导数的概念 2 2.基本初等函数的导数公式和求导法则 3 知识点2 导数的应用 3 1.函数的单调性与导数的关系： 3 2．函数的极值 4 3．函数的最值 4 4．导数在实际问题中应用的步骤 4 5．导数在实际问题中应用的注意点 4 6．恒成立问题 5 7．有解问题 5 三、考点精析与突破 考点1 导数的概念及其意义 5 考点2 导数几何意义 8 考点3 极限及其运算 9 考点4 基本初等函数的导数 11 考点5 导数的加法与减法法则（共6小题） 13 考点6 导数的乘法与除法法则 15 考点7 简单复合函数的导数 16 考点8 利用导数求解函数的单调性和单调区间 18 考点9 由函数的单调性求解函数或参数 28 考点10 利用导数求解函数的极值 32 考点11 利用导数求解函数的最值 40 考点12 由函数的最值求解函数或参数 46 考点13 利用导数求解曲线在某点上的切线方程 47 考点14 不等式恒成立问题 49 四、实战精练与提升 一．选择题 55 二．填空题 57 三．解答题 59 一、考试要求 知识点 新课程标准 重点 导数的概念 1. 理解导数的概念（瞬时变化率）； 2. 理解导数的几何意义（函数图像在某点处的切线斜率） 1. 导数定义的准确理解； 2. 利用导数几何意义求切线方程的应用 基本初等函数的导数公式和求导法则 1. 掌握幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的导数公式； 2. 掌握导数的四则运算法则、复合函数求导法则 1. 各类基本初等函数导数公式的熟练运用； 2. 复合函数求导的步骤及应用 函数的单调性与导数的关系 1. 理解导数与函数单调性的关系； 2. 掌握利用导数判断函数单调性、求单调区间的方法 1. 函数单调性的证明与应用（比较大小、解不等式等）； 2. 单调区间的求解策略 函数的极值 1. 理解函数极值的定义； 2. 掌握利用导数求函数极值的方法 1. 极值点的判断与证明； 2. 函数极值的求解及应用 函数的最值 掌握利用导数求闭区间上函数最值的方法 1. 函数最值的求解步骤（与极值的区别与联系）； 2. 最值的实际应用 导数在实际问题中应用的步骤 掌握利用导数解决实际优化问题的一般步骤（建立函数模型、求导分析、确定最值） 1. 实际问题的数学建模能力； 2. 解题步骤的规范性应用 导数在实际问题中应用的注意点 1. 理解实际问题中函数定义域的重要性； 2. 掌握检验解的实际合理性的方法 1. 实际问题中定义域的准确确定； 2. 解的实际意义验证 恒成立问题 掌握利用导数将恒成立问题转化为函数最值问题的方法 1. 恒成立问题向最值问题的转化策略； 2. 函数最值求解与参数范围确定 有解问题 掌握利用导数将有解问题转化为存在性最值问题的方法 1. 有解问题与恒成立问题的区别与转化思路； 2. 参数范围的分析确定 二、命题分析 考频 考查内容 命题趋势 2025年第11、21题，2023年第21题 利用导数研究函数的最值（含单调性、极值与最值的综合应用） 高频难点考点，多在解答题中综合考查，结合函数性质、不等式、方程等知识，分值高、难度大，注重导数工具性的体现及分类讨论、数形结合思想的渗透 知识点1 导数的概念及意义、导数的运算 1．导数的概念 （1）一般地，对于一个函数 ，通常将 称为函数 在以 和 为端点的区间上的平均变化率； （2）函数 在 处的导数 就是函数 在 处的瞬时变化率； （3）函数 在点 处的导数 的几何意义是在曲线 $y=f(x)$ 在点 处的切线的斜率。相应地，切线方程为 ； （4）通常我们将导数为零的点称为函数的驻点； （5）给定函数 ，在导数存在的前提下，对于不同的 ，总有一个确定的导数值 与之对应，则 称为函数 的导函数． 2. 基本初等函数的导数公式和求导法则 (1)基本初等函数的导数公式: 原函数 导函数 （2）导数的四则运算法则： ① ； ② ； ③（其中 ）． （3）简单复合函数的导数：由 与 复合而成的 型复合函数，其求导法则为 ，其中 。 （4）曲线 ＂在点 处的切线＂与＂过点 的切线＂的区别与联系． ①曲线 在点 处的切线是指 为切点，切线斜率为 的切线，是唯一的一条切线； ②曲线 过点 的切线，是指切线经过点 ．点 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 知识点2 导数的应用 1. 函数的单调性与导数的关系： 函数 在区间 内可导， （1）若 ，则 在区间 内是严格增函数； （2）若 ，则 在区间 内是严格减函数； （3）若恒有 ，则 在区间 内是常数函数． 2．函数的极值 （1）函数的极小值 函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都小， ；而且在点 附近的左侧 ，右侧 ，则点 叫做函数 的极小值点， 叫做函数 的极小值． （2）函数的极大值 函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都大， ；而且在点 附近的左侧 ，右侧 ，则点 叫做函数 的极大值点， 叫做函数 的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3．函数的最值 （1）在闭区间[a, b]上连续的函数 在[a, b]上必有最大值与最小值； （2）若函数 在[a, b]上严格增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数 在[a, b]上严格减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值． 4．导数在实际问题中应用的步骤 （1）审题：阅读理解文字含义，分清条件和结论，找出问题的主要关系； （2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3）解模：利用导数知识解模； （4）释模：对结果分析验证作出正确的判断，确定其答案． 5．导数在实际问题中应用的注意点 （1）在求实际问题的最大（小）值时，一定要注意考虑实际问题的含义，不符合实际意义的值应该舍去； （2）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使得 ，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值作比较，也可以得到这就是最大（小）值； （3）在生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题．在解决最优化问题中涉及的变量关系用函数关系给予表示，一定要确定函数关系中的自变量的定义区间． 6．恒成立问题 在函数 能取到最值的条件下，一般地，若 对 恒成立，则只需 ；若 对 恒成立，则只需 ．由此构造不等式，求解参数的取值范围． 7．有解问题 在函数 能取到最值的条件下，若存在 ，使 成立，则只需 ；若存在 ，使 成立，则只需 。由此构造不等式，求解参数的取值范围． 考点1 导数的概念及其意义 - 平均变化率：区间上的平均快慢，公式. - 瞬时变化率（导数）：某点的瞬时快慢，用求导公式（如的导数）或定义计算. 例1（2023•奉贤区三模）函数在区间，的平均变化率与在处的瞬时变化率相同，则正数　　 ． 【答案】． 【分析】根据已知条件，依次求出平均变化率、瞬时变化率，列出等式，即可求解． 【解答】解：函数在区间，的平均变化率为， ， 则， 故函数在处的瞬时变化率为， 由题意可知，，解得（负值舍去）． 故答案为：． 例2（2025•嘉定区三模）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积（单位：与直径（单位：的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接根据瞬时变化率的定义求解即可． 【解答】解：气球体积在，△内平均变化率为△△， 所以当时，气球体积的瞬时变化率为△△． 故选：． 变式1（2024•青浦区二模）如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率　　 ． 【答案】 【分析】由导数物理意义，结合变化的快慢与变化率及求导公式求解即可． 【解答】解：由题意，设时刻水面高为，水面圆半径为， 则， 即， 则此时水的体积为， 又以的匀速往杯中注水， 则此时水的体积为， 即， 即， 即， 又当水深为时， 即时，， 则， 即酒杯中水升高的瞬时变化率， 故答案为：． 变式2（2024•上海模拟）某物体运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系为，则该物体在时的瞬时速度为 　　　　． 【答案】． 【分析】根据导数定义即可求解． 【解答】解：， 求导可知，，当时，， 故该物体在时的瞬时速度为． 故答案为：． 变式3（2024•浦东新区模拟）某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当时间为时，酒杯中水升高的瞬时变化率是 　　 ． 【答案】． 【分析】设时刻水面高为，水面圆半径为，用表示，求出圆锥中水的体积，根据杯中水的体积列方程求出关于的函数，利用导数求瞬时变化率即可． 【解答】解：由题意，设时刻水面高为，水面圆半径为，则，即， 则此时水的体积为， 又以的匀速往杯中注水，则此时水的体积为，即， 则，所以， 当时，（3）． 故答案为：． 考点2 导数几何意义 一、核心逻辑锚定 曲线在某点的切线斜率等价于函数在该点的导数（即）. - 如例1求动点处切线斜率的范围，本质是求导函数的值域； - 例2通过导数定义的变形求斜率，变式1、2直接求导代入点计算斜率，均围绕这一核心关系展开. 二、题型通解技巧 1. 直接求斜率（如变式1、2）： 对函数求导（如求导得，求导得），代入点的横坐标即可. 2. 求斜率的取值范围（如例1）： 先求导函数（例1中），再分析其值域（通过二次函数配方，得值域）. 3. 导数定义求斜率（如例2）： 将极限式凑成的形式（例2中通过变形，解得）. 例1（2025•浦东新区模拟）曲线的图像上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为 　 ． 【答案】，． 【分析】求得导函数，得到导函数的取值范围，进而求解结论． 【解答】解：因为曲线， 所以，（当时，等号成立）， 故在此动点处切线的斜率的取值范围为，． 故答案为：，． 例2（2025•闵行区模拟）若为可导函数，且，则在曲线上点，（1）处的切线斜率为 　　 ． 【答案】2． 【分析】直接根据导数的定义计算得到答案． 【解答】解：，故． 故答案为：2． 变式1（2025•金山区二模）若直线是曲线在处的切线，则的斜率为 　 ． 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解． 【解答】解：， 则， 所以（3）， 直线是曲线在处的切线， 则的斜率为． 故答案为：． 变式2（2025•浦东新区模拟）曲线在点处的切线的斜率是 　　． 【答案】． 【分析】求出曲线的导函数，把切点的横坐标代入即可求出切线的斜率． 【解答】解：求导数可得：，切点为， 则切线的斜率． 故答案为：． 考点3 极限及其运算 例1（2024•闵行区三模）计算：　　 A．0 B． C． D． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解． 【解答】解：． 故选：． 例2（2024•黄浦区模拟）设函数，若对任意，皆有成立，则实数的取值范围是 　　 ． 【答案】，． 【分析】构造函数，转化为时，利用分离常数法求出实数的取值范围． 【解答】解：因为， 设，则， 又因为函数，且对任意，皆有成立， 所以，，且，所以； 设，， 则， 令，解得，所以时，，单调递增， ，时，，单调递减， 所以的最大值为， 所以实数的取值范围是，． 故答案为：，． 变式1（2023•闵行区二模）　　 ． 【答案】． 【分析】表示函数在处的导数，求导计算即可． 【解答】解：，表示函数在处的导数， ，． 故答案为：． 变式2设，是直线与圆在第一象限的交点，则　　． 【答案】2． 【分析】时，直线趋近于，求出直线与圆在第一象限的交点坐标，利用圆的切线斜率计算公式即可求得答案． 【解答】解：当时，直线趋近于，与圆在第一象限的交点无限靠近，， 可看作点，与连线的斜率，其值会无限接近圆在点处的切线的斜率，其斜率为． 所以． 故答案为：2． 变式3已知等比数列，其前项和为．若，公比为3，则　　． 【答案】． 【分析】先求解的通项公式，再求解，进而求解极限即可． 【解答】解：由题意，，，则． 故答案为：． 考点4 基本初等函数的导数 例1（2025•杨浦区模拟）下列函数中，存在驻点的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】结合驻点的定义，即可求解． 【解答】解：对于，，不存在使得，，故错误； 对于，，存在使得，故正确； 对于，，不存在使得，，故错误； 对于，，不存在使得，，故错误． 故选：． 例2（2024•浦东新区四模）下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】逐一求导验证可得结果． 【解答】解：，正确，错误； ，错误； ，错误． 故选：． 变式1（2023•浦东新区二模）已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么　　 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】 【分析】对于①，举例，设，，是偶函数，不是奇函数，①为假命题；对于②，举例，设，则，为常数），显然不是周期函数，②为假命题． 【解答】解：对于①，若为偶函数，则不一定为奇函数，如，是偶函数，不是奇函数，①是假命题； 对于②，令，则，为常数），显然不是周期函数，②是假命题． 故选：． 变式2（2025•上海模拟）设，，记的导数为．若函数为奇函数，则的值为 　 ． 【答案】． 【分析】求导，结合奇函数的定义即可求解． 【解答】解：由，得， 所以， 因为为奇函数，定义域为， 所以， 所以， 即，，满足题意， 所以． 故答案为：． 变式3（2024•徐汇区模拟）已知函数，则（1）　　 ． 【分析】对求导，再代入，从而求得（3），进而得到，由此计算可得（1）． 【解答】解：因为，所以， 则，解得：（3）， 所以，则． 故答案为：． 考点5 导数的加法与减法法则（共6小题） 例1已知函数，曲线在点，处切线的倾斜角为，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】求导，代入，求出（1），得到，求出，由导数几何意义得到，再利用二倍角公式求解． 【解答】解：因为函数， 所以， 所以， 解得（1）， 所以，则， 所以， 所以． 故选：． 例2已知，若，则　　 A．4 B．5 C． D． 【答案】 【分析】先求出函数的导数，再把代入的解析式得到，再由，求得的值，即可得到函数的解析式，从而求得的值． 【解答】解：已知， ， ， ，故有， ， ， 故选：． 例3（2025春•闵行区期末）函数的驻点为　　 A． B． C．1 D．2 【答案】 【分析】根据题意，求函数的导数，利用导数等于0求出对应与的值． 【解答】解：因为函数，所以， 令，得（负数舍去）， 所以函数的驻点为1． 故选：． 变式1已知函数（1），则（2）　　 ． 【答案】． 【分析】左右两侧同时求导得到（1），求出原函数后再求（2）即可． 【解答】解：由题意知，令， 得（1）（1），解得（1）， 所以， 所以（2）． 故答案为：． 变式2（2025秋•徐汇区期中）已知函数（1），则（1）　 ． 【答案】． 【分析】含未知导数值的函数，可将导数值看作常数，对函数求导后代入自变量1得到关于（1）的关系式，即可求出（1）的值． 【解答】解：由函数（1）， 可得，（1）， 所以（1）（1）， 解得（1）． 故答案为：． 变式3（2025春•闵行区期末）已知函数，，其导函数为． （1）若，求的值； （2）若的图像过点与，求原点到直线的距离． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）求的导数，根据求出，与的值即可； （2）根据题意得方程的两根，由根与系数的关系求出、与的关系，再化简直线，求原点到直线的距离即可． 【解答】解：（1）由题意知，，则， 若，则，解得，，所以； （2）若的图像过点与，，则和是方程的两根， 由根与系数的关系知，，解得，， 所以直线化为， 则原点到直线的距离为． 考点6 导数的乘法与除法法则 例1（2025春•静安区期末）函数的导函数 ． 【答案】． 【分析】结合导数的求导法则，即可求解． 【解答】解：函数， 则． 故答案为：． 例2设函数，则（1）　　 ． 【分析】利用求导法则，先求出，再求（1）． 【解答】解：，（1） 故答案为：1 变式1已知，则　　 A．0 B． C． D． 【答案】 【分析】先对函数求导，进而可求出的值． 【解答】解：，． 故选：． 变式2函数在处的导数值是　　 ． 【分析】利用导数的运算法则及导数的公式求出导函数，再令导函数中的，求出导数值． 【解答】解： 所以在处的导数值是 故答案为 考点7 简单复合函数的导数 例1（2025•黄浦区二模）由所有连续且在定义域内导函数存在的全体函数构成的集合，记为．则以下命题为真命题的序号是 　 ． ①对于任意的，若为奇函数，则为偶函数； ②存在，使得为非奇非偶函数，但为奇函数或偶函数； ③对于任意的，若为减函数，则为增函数； ④存在，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调． 【答案】①②④． 【分析】两边求导可判断①； 设可判断②； 举反例可判断③； 设可判断④． 【解答】解：对①，若为奇函数，则， 两边求导得，即，所以为偶函数，①正确； 对②，不妨设，因为，所以为非奇非偶函数， 但为偶函数，②正确； 对③，不妨设，易知为减函数，但不是增函数，③错误； 对④，设，则单调递增，但在定义域上不单调，④正确． 故答案为：①②④． 变式1已知，则（1） 　　 ． 【答案】． 【分析】根据求导公式计算即可； 【解答】解：因为， 所以， 所以（1）． 故答案为：． 变式2（2024 •浦东新区期中）已知函数，则 　　． 【答案】． 【分析】对函数求导，再将的值代入导函数，即可求解． 【解答】解：函数， 则， 故，解得． 故答案为：． 考点8 利用导数求解函数的单调性和单调区间 一、核心解题逻辑 函数的单调性由导函数符号决定： - 若，函数在对应区间单调递增； - 若，函数在对应区间单调递减. 二、突破技巧 1. 分段函数的单调性与参数范围（如例1） - 技巧：对各分段分别求导，分析每段的单调性；再结合分段点处的函数值（或极限），确保整体满足题设条件（如值域为、连续性等）. 2. 含参数的复合函数零点问题（如例2） - 技巧：先分析原函数的单调性（求导找极值点、极值），再将复合函数零点问题转化为“的解”与“的解”的个数组合问题，通过极值与参数的大小关系推导范围. 3. 导数与抽象不等式结合（如例3） - 技巧：将不等式转化为函数单调性的分析（如构造新函数，通过求导判断的单调性），进而求解不等式或确定集合. 三、易错点规避 - 分段函数的定义域与分段点衔接：分析每段单调性后，需验证分段点处的函数行为（如例1中处左右段的函数值关系），避免遗漏. - 含参数问题的极值分析严谨性：导函数零点的确定、极值的计算需精准，否则会导致参数范围推导错误. - 抽象不等式的逻辑转化：需准确将定义式（如的定义）转化为函数单调性的语言，避免逻辑断层. 例1（2025•嘉定区三模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 　　 ． 【答案】，． 【分析】利用指数函数的单调性可求得当时函数的值域，再利用导数求当时的极大值，使的极大值大于等于1即可求解． 【解答】解：函数的值域为， 当时，， 当时，，是的值域的子集， 又，令，或（舍去）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，取得极大值， 故的值域为，， ，． 故答案为：，． 例2（2025•浦东新区模拟）已知，函数，，其中为自然对数的底数．若函数恰有4个零点，则的取值范围是 　　 ． 【答案】． 【分析】求得，得出的单调性和，令，得到，设，且零点分别为，，转化为方程和各有2个解，得到，进而求得的范围． 【解答】解：由函数，可得， 当时，；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又由，令，可得， 设，则， 设的两个零点分别为，，则或， 可得或， 要使得恰有4个零点， 则方程有2个解，且方程也有两个解， 则满足，即，即， 可得，即， 又因为，解得． 故答案为：． 例3对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义（a）（a）． （1）设，求； （2）设，若函数在处的切线经过，，求的值并求出集合； （3）若，且，求． 【答案】（1）； （2），； （3），． 【分析】（1）根据新定义（a）（a）结合函数求解即可； （2）对求导有，求出在处的切线方程，代入可得的值，再根据新定义求解即可； （3）根据新定义（a）（a）结合，且求解即可． 【解答】解：（1）对求导有， 所以（1），（1）， 因此， 求解不等式有， 由于该式对于任意均成立， 所以； （2）对求导有， 则在处的切线方程为， 代入可得或， 由于，所以， 因此， 求解不等式可得； （3）先证明：（1） 设， 则，， 所以在上的最大值为（1）， 进而（1）（1）， 因此（1）． 再证明：（1） 根据和，分别推出（1）（1）和（1）， 由不等式性质可得，（1）（1），即（1）（1）． 由于在和处的切线为和（1）（1）（1）， 所以在和处的切线重合． 因此，，． 变式1（2025•浦东新区模拟）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，，，，，，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若，，成等差数列，则称为“等差函数”；若，，成等差数列且，，均为整数，则称为“整数等差函数”． （1）设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； （2）若为“整数等差函数”，求实数的最小值； （3）已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数，使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【答案】（1）是“整数等差函数”， 不是“整数等差函数”； （2）的最小值为； （3）证明见解析． 【分析】（1）设公差为，根据所给定义及导数的几何意义得到，即可判断； （2）设公差为，则且，由得到从而确定的最小值； （3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为，结合所给定义得到，令，，结合推出为常值函数． 【解答】解：（1）假设，，成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为， 所以曲线在点处的切线斜率为． 由题意，恒成立，取，，则，，成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率． 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则，， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以，，成等差数列且，，均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 因为，， 所以， 又的定义域为，有，则，可取使等号成立，故的最小值为； （3）证明：充分性，因为为常值函数，所以任意取等差数列，，， 则直线的斜率，曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以，，成等差数列， 设公差为，则，直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 令，， 则， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立，又（d）， 由的单调性知，， 故，，，， ，，为常数， ，， ，， ，，， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，，， 可得，， 另一方面，因为所以，，可得，， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数．命题得证 变式2（2025•黄浦区二模）已知，函数． （1）若，求的单调区间； （2）是否存在实数，使得与有相同的最大值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）已知，直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为、、、，证明：． 【答案】（1）单调增区间：；单调减区间：； （2）存在，； （3）证明见解析． 【分析】（1）对函数进行求导，利用导数求出函数的单调性即可； （2）对函数进行求导，由有最大值，知且在上单调递增，在上单调递减，从而可得．再利用导数求出的最大值，从而可求出的值； （3）利用导数可证得，当时，，当时，，通过反证法判断，是与哪个函数图象交点的横坐标，从而得证． 【解答】解：（1）若，则， ， 当时，，当时，， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）函数，则， 由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减， 要使有最大值，则， 所以． ，当时，，单调递增， 当，时，，单调递减， 所以，所以，则． 令（a），（a）， 此函数（a）在上单调递减，且（1），所以． （3）证明：由，的单调性，可知． 又当时，，，知，从而． ． 设，，则， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增； 所以（1），即当时，， 所以当时，， 当时，． 为了体现代数证明的严谨性，下面通过反证法判断，是与哪个函数图象交点的横坐标． 如果，那么由知，从而． 根据的单调性，得，矛盾， 所以应有，即． 由，，得． 如果，那么由知， 从而． 根据的单调性，得，矛盾， 所以应有，即． 由，，得． 由上可知，要证，即证， 则，又，成立，证毕． 变式3（2025•宝山区二模）定义在上的可导函数，集合，，，2，，，为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点．已知，，． （1）若，，，，求的值及的固着点； （2）若，，，，，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； （3）若，，，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：． 【答案】（1），固着点；（2）；（3），证明过程见解答． 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）分析可知，，由此容易得出答案； （3）分析可得，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，再由，即可得证． 【解答】解：（1）由题得，，所以， 因为， 所以，， 所以，固着点； （2）由题得，， 所以， 因为是上的严格增函数， 所以在，上恒成立， 由于不等式的解是， 所以，， 所以， 因此的最大值是； （3）证明：由题得，， 所以． 因为且是的固着点， 所以在上有唯一的解， 记，则， 所以在是严格减函数， 从而， 又当时，，故的值域是， 所以，即， 记， 则由上述可知是的严格减函数且， ， 因为， 所以， 所以 ①， ， 记，则， 因为，所以，所以， 所以是上的严格增函数， 故， 从而 ②， 由①②可知，，即， 又是的严格减函数， 所以， 所以． 考点9 由函数的单调性求解函数或参数 例1函数在，上单调递增，则实数的取值范围是　 　． 【答案】 【分析】由复合函数的单调性可建立关于的不等式组，解出即可． 【解答】解：由复合函数的单调性可知，在上为减函数，且此时恒成立， ，解得． 故答案为：． 例2函数在内单调递增，则实数的取值范围是　 　． 【答案】，． 【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，从而求出的取值范围即可． 【解答】解：，， ， 函数在内单调递增， 即在恒成立， 而，故， 故答案为：，． 变式1（2025•杨浦区模拟）设常数．已知函数． （1）若，求在区间，上的零点； （2）若在上严格增，求的取值范围． 【答案】（1）和； （2），． 【分析】（1）写出时的解析式，令，可解出在区间，上的零点； （2）题意等价于在上恒成立，可转化为在上恒成立，可求出的取值范围． 【解答】解：（1）， 当时，， ， 解得：， 当时， 当时，， 故在区间，上的零点为和； （2），故 即在上恒成立，即： 当时，，，故，所以，． 变式2（2025•浦东新区模拟）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数，在区间，上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线，，和曲线所围成的区域（称为曲边梯形的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即曲边梯形梯形，代入数据，进一步可以推导出不等式：． （1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：； （2）已知函数，其中，． 证明：对任意两个不相等的正数，，曲线在，和，处的切线均不重合； 当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明详情见解答． （2）证明详情见解答． ，． 【分析】（1）在曲线取一点，，过点，作的切线分别交，于，，由，即可得出答案． （2）由题意可得，不妨设，写出曲线在，，，处的切线，的方程，假设与重合，推出与题意矛盾，即可得出答案． 当时，不等式恒成立，即在上恒成立，又（1），得，下证：当时，恒成立，即可得出答案． 【解答】解：（1）证明：在曲线取一点，， 过点，作的切线分别交，于，， 因为， 所以， 即． （2）证明：由题意可得， 不妨设，曲线在，处的切线方程： ，即， 同理曲线在，处的切线的方程：， 假设与重合，则， 代入化简得， 两式消去得，得， 由（1）的结论可知，与上式矛盾， 即对任意实数，及任意不相等的正数，，与均不重合． 当时，不等式恒成立， 所以在上恒成立， 所以（1），即， 下证：当时，恒成立， 因为， 所以， 设，， 法，恒成立， 所以在为单调递增， 而（1）， 所以在，，在，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以（1）成立， 综上所述，实数的取值范围为，． 法①当，时，由，，知恒成立， 即在，上为增函数， 所以（1）成立， ②当时，设， ， 由，知恒成立， 即在为增函数， 所以（1），即在为减函数， 所以（1）成立， 综上所述，实数的取值范围为，． 考点10 利用导数求解函数的极值 例1（2025•松江区二模）定义在上的函数满足， 当时，，有以下两个命题： ①当为正整数时，； ②若函数在区间，内有3个极大值点，则的取值范围是． 则以下选项正确的是　　 A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 【答案】 【分析】对于①，根据题意可得，利用累加法分析判断；对②，分别求出，，，，，的解析式，利用导数判断极大值情况，得解． 【解答】解：对于①，，，且（1）， 则，，，（2）（1）， 累加可得：（1）， 所以，故①正确； 对于②，当时，，令，， 所以，即，，， 同理，可得，，，，， 由，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极大值点， 当，，时，则， 同上易得是极大值点， 当，，3时，则， 可得为极大值点， 当，，时，则， 易得为极大值点， 因为函数在区间，内有3个极大值点，所以，故②错误． 故选：． 例2（2025•上海）已知，． （1）若（1），求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 【答案】（1），；（2），，． 【分析】（1）由（1）求得，再结合函数的单调性解不等式即可； （2）求导后分类讨论即可求得． 【解答】解：（1）由题意，（1），解得，所以， 因为，所以， 设，， 因为与均为增函数，所以为增函数， 因为（1），所以由，得， 所以不等式的解集为，； （2）由题意，， 当时，， 故在单调递减，在单调递增，故无极大值，不成立； 当时，当时，恒成立，在单调递增，故无极大值，不成立； 当时，， 在和单调递增，在单调递减，故在处取得极大值； 当时，或， 在和单调递增，在单调递减，故在处取得极大值； 综上，的取值范围为，，． 变式1（2025•浦东新区校级模拟）已知函数的表达式为． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若函数在区间上不存在驻点，求正实数的取值范围； （3）设，若函数的极值点从小到大排列构成数列，且，求实数的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）对求导，利用导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式即可求解切线方程； （2）利用三角恒等变换化简函数，再求导，由已知可得导函数在区间上不存在零点，结合余弦函数的性质列不等式，求解即可； （3）对求导，分析可知等价于．令，则，利用三角函数的性质及零点存在性定理可得在区间上，存在唯一零点，，从而可得为函数的极值点，即．同理，可证是极值点，由，化简整理可得．根据，的取值范围可得，从而可得，的关系，进而可求解的值． 【解答】解：（1），所以．由于， 故曲线在处的切线方程为，即． （2） ． 在区间上不存在零点． 由于，故， 所以， 即解得． （3），则． 令，由于当时，方程不成立，故等价于． 令，则， 由于函数与的函数性质，函数在区间上是严格增函数， 且在区间上的值域为． 由零点存在定理可知，在区间上，存在唯一零点，． 当时，，即．由在上恒成立，列出下表： ， ， 0 单调递减 极小值 单调递增 所以，为函数的极值点，即． 同理，可证是极值点， 所以，即，． ， 由于，故，化简得． 由于，故，即． 所以，． 由于和均在区间内，所以或， 当时，由于，，故，此时无解； 当时，由于，， 故，此时． 综上所述， 变式2（2025•杨浦区校级模拟）设，已知． （1）若，求函数，的值域； （2）若关于的方程有且仅有三个实数解，求实数的取值范围； （3）若且函数有最小值，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）时，求出的解析式，根据的单调性可得其值域； （2）参变量分离可得，令，利用导数判断函数的单调性与极值，作出的大致图象，数形结合即可求解的取值范围； （3）多次求导，对分类讨论，利用导数与单调性的关系可得的变化趋势，判断是否有最小值，从而可得的取值范围． 【解答】解：（1）若，则， 所以在单调递减，则（2），又， 所以的值域为； （2）关于的方程有且仅有三个实数解， 所以， 设， ， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为（1），极大值为， 当时，，当，， 作出的大致图象如图所示： 要使方程有且仅有三个实数解，只需直线与函数的图象有三个交点， 数形结合可得的取值范围是； （3）， 则 ， 令， ，且（a）， ，（a）， 时，（a），且单调递增，（a），所以单调递增， 又（a），，所以在上单调递增，所以无最小值，不符； 时，（a），且单调递增，令，可得， 时，，时，， 所以先单调递减后单调递增，，，必有，，， 所以先单调递减后单调递增；（a），，，取值先负后正，先减小后增大， 所以有最小值，符合题意． 综上：． 变式3（2025•杨浦区校级期中）已知函数． （1）讨论函数的奇偶性； （2）设函数，且存在，分别为函数的极大值点和极小值点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）时为偶函数，时为奇函数， 且时既不是奇函数也不是偶函数； （2）（ⅰ），，；（ⅱ），． 【分析】（1）分别假设为偶函数、奇函数，由定义求出的值，即可下结论； （2）由函数既存在极大值，又存在极小值，可得有两个不等的实根，由此求出的范围； （ⅱ）由表示出，，代入变形可得对任意，恒成立，构造函数，，讨论单调性即可得出的取值范围． 【解答】解：（1）若为偶函数，有恒成立，则， 若为奇函数，有恒成立，则， 故时为偶函数，时为奇函数， 且时既不是奇函数也不是偶函数； （2）， ， 因为函数既存在极大值，又存在极小值，则必有两个不等的实根，则， 令可得或，所以，解得且．令，，，，则有： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 可知分别在和取得极大值和极小值，符合题意． 综上，实数的取值范围是，，． 由，可得， 所以，，，且有， 由题意可得对恒成立， 由于此时，则， 所以，则， 令，其中， 则， 令，则． ①当△，即时，，在上是严格增函数， 所以（1），即，符合题意； ②当△，即时，设方程的两根分别为，且， 则，则， 则当时，，则在，上单调递减， 所以当时，（1），即，不合题意． 综上所述，的取值范围是，． 考点11 利用导数求解函数的最值 例1（2025•金山区校级三模）定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”， 为“契合点”． （1）若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数的取值范围； （2）若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点” ，． ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】（1），； （2）①；②证明见解析． 【分析】（1）由给定的定义把问题转化为方程有唯一零点，再构造函数，利用导数探讨函数的性质求解即可． （2）①根据给定的定义将问题转化为方程有两个不同的零点求解；②由①中信息，利用极值点偏移求解． 【解答】解：（1）由与为“契合函数”，得，使 ， 令，依题意，方程有唯一解， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 则（1）， 当时，，时，，， 又和只有一个“契合点”，则直线与函数的只有1个交点， 则或， 所以实数的取值范围是，． （2）①由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点” ，， 则存在，，，使， 即有两个相异正根，， 令， ， 由，得， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减， 则（1）， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点， 所以的取值范围是． ②证明：由（1）知，当时，， 令， ， 令，， 当时，，函数递减，（1），， 函数在上单调递减，（1），因此当时，， 而，则，又，于是， 又，函数在上递减，则， 所以． 变式1（2025•上海模拟）已知，． （1）证明：当时，； （2）设，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； （3）求证：有且只有两条直线与曲线、均相切． 【答案】（1）证明见解析； （2）当时，函数无零点，即原方程无实数解； 当时，函数恰有一个零点，即原方程有一个实数解； 当时，函数有两个零点，即原方程有两个实数解． （3）证明见解析． 【分析】（1）构造函数，求导确定最值即可求解； （2）构造函数，求导确定极值，讨论极值正负，即可； （3）假设直线，设直线与曲线相切于点，，由导数的几何意义得．①再由直线与曲线相切，△．②联立得到．再构造函数，求导确定单调性进而可求解； 【解答】解：（1）证明：令，定义域为， 则， 当时，，函数严格增； 当时，，函数严格减； 故当时，函数取到最小值，最小值为2． 因为， 所以当时，，即． （2）令，， 则， 当时，，函数严格减； 当时，，函数严格增； 故当时，函数取到极大值，极大值为（1）． 当，即时，函数无零点，即原方程无实数解； 当，即时，函数恰有一个零点，即原方程有一个实数解； 当，即时，函数有两个零点，即原方程有两个实数解． 则当时，函数无零点，即原方程无实数解； 当时，函数恰有一个零点，即原方程有一个实数解； 当时，函数有两个零点，即原方程有两个实数解． （3）证明：假设直线与曲线、均相切， 故不等式在定义域内恒成立，且两个等号都能取到． 设直线与曲线相切于点，，于是， 且，消去得．① 又直线与曲线相切，于是， 且其判别式△．② 由①②两式，消，得． 设， 求导，得，令，解得． 易得函数在区间上严格减，在区间上严格增． 又，（1），， 进而可得函数恰有两个零点，一个在区间，内，一个在区间内． 综上，有且只有两条直线与曲线、均相切． 变式2（2025•浦东新区校级模拟）已知函数． （1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）若，求的值； （3）当时，证明：有2个零点． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析． 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得到时，，构造函数，求导推得，结合恒成立即得的值； （3）由得，令，则，令，，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，推得，使得，求出的最小值为，由可得，，故得的最小值，由即可判断函数，即函数的零点个数． 【解答】解：（1）当时，，则， （1），（1）， 曲线在点，（1）处的切线方程为， 即． （2）函数的定义域为，且， ①当时，，在上单调递减， 又（1），当时，，不符合题意； ②当时，由，得，由，得， 在上单调递减，在上单调递增， ， ，则其等价于，即． 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，因恒成立，故． （3）证明：，． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，，则， 当时，，在区间上单调递增， 又，（1），，使得， 当时，，即； 当，时，，即， 在单调递减，在，单调递增， 的最小值为． 由，得，即， 令，，则，则在单调递增． ，，则， ，从而，， 的最小值． ，当趋近于0时，趋近于； 当趋近于时，趋近于，且， 有2个零点，故有2个零点． 考点12 由函数的最值求解函数或参数 例1（2023•松江区二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】对函数求导，判断其单调性，进而可得其在处取得极大值，求得极大值，进一步令，可得或，由此可得到关于的不等式，解出即可． 【解答】解：， 易知当或时，，则函数在，上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 则函数在处取得极大值，且极大值为， 令，即，即，解得或， 又函数在区间上有最大值，则， 解得． 故选：． 变式1（2025•杨浦区校级模拟）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为　 　 ． 【答案】． 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【解答】解：由已知，， 当时，在上单调递增，在区间上无最大值，不符合题意； 当时，令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值． 因为函数在区间上存在最大值， 所以． 故答案为：． 考点13 利用导数求解曲线在某点上的切线方程 例1（2024•青浦区模拟）曲线在点处的切线方程为 　 ． 【分析】利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程． 【解答】解：，， 函数在处的切线斜率为1， 又切点坐标为， 切线方程为． 故答案为：． 变式1（2025•宝山区校级模拟）从点可向曲线引三条不同切线，则的取值范围为 　 　． 【答案】． 【分析】先设出切点坐标，根据两点坐标写出直线的斜率再根据切点的导数值等于切线的斜率列方程，因为有三条不同切线所以对应方程有三个不同的解，即对应函数有三个零点，通过函数的导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围从而求出的取值范围． 【解答】解：因为，所以， 切点设为，其中， 所以切线方程为，又其过， 所以，根据题意可知该方程有三个不同的解， 即有三个不同的解， 设，该函数有三个不同零点， ， 令，则或， 令，则或， 令，则， 所以函数在区间单调递减，在区间，上单调递增， 所以函数在和处取得极值， 要想函数有三个不同零点， 则，即， 所以． 故答案为：． 变式2（2025•黄浦区校级三模）过点向曲线为正整数）引斜率为的切线，切点为，，则下列结论不正确的是　　 A． B． C．数列的前项和为 D． 【答案】 【分析】设直线，方程联立由△判断；可得，，从而结合累加法求和可判断；由，结合等差数列的求和公式可判断；令，结合导数可得在上单调递增，进而可判断． 【解答】解：设直线，联立， 得， 则由△，即， 解得（负值舍去），故正确； 可得，， 所以，故正确； 因为，则，故错误； 因为， 所以， 设，则，可得在上单调递增， 则时，， 又，则，故正确． 故选：． 考点14 不等式恒成立问题 例1（2025•金山区校级模拟）设，集合．若对任意，均存在和，，满足，，则的最大值为 　 　． 【答案】． 【分析】设方程表示的区域为，分析可知区域为正方形及其内部，设，可知点在线段上，记为过点的线段的长度的最大值，则的最大值为的最小值，根据对称性分析求解即可． 【解答】解：设表示的区域为， 用代换，原方程不变，所以区域关于轴对称； 用代换，原方程不变，所以区域关于轴对称； 当，时，区域可化为，据此可得区域的图形如图所示， 取，，，，，， 可知区域为正方形及其内部， 设，，， 点，，均在区域内， 由于，，，所以，，， 可知点在线段上， 又由于，记为过点的线段的长度的最大值， 如果求，假设点在正方形的边界上， 如果，所以， 可知的最大值为的最小值， 取，的中点分别为，，可知区域关于直线对称， 根据对称性只需假定点在线段上即可，此时， 可知当点与点重合时，取到最小值， 因此的最大值为． 故答案为：． 例2（2025•松江区校级三模）若不等式，对，恒成立，则 　　 ． 【答案】． 【分析】先分析当，时，函数的对称轴，零点及函数值的变化情况，再分析二次函数的单调性与对称轴，结合不等式恒成立可得关于，的方程，求解即可． 【解答】解：当，时，函数的对称轴为，零点为，， 且当，时，，当，时，，当，时，， 函数在上单调递减，在，上单调递增，且对称轴为， 所以要使不等式恒成立， 则，，解得，，故． 故答案为：． 例3（2025•杨浦区二模）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 　　 ． 【答案】或． 【分析】解题核心思路：将表达式理解为点到的距离与点到的距离之和，通过分析其最小值来确定的范围． 【解答】解：表示到的距离，表示到的距离． 所以它们的和为到和到的距离之和， 当位于和之间时，距离和取得最小值， 即两点之间的距离， 若最小值，则原式对所有恒成立． 解得：或， 即：或． 故答案为：或． 变式1（2025•杨浦区校级模拟）已知，存在，当时，都有 ，则的取值范围是 　　 ． 【答案】． 【分析】令，得，不等式可化为，令，，，得点在单位圆上，点在函数的图象上，根据不等式的几何意义作出大致图象，由此求解即可． 【解答】解：令，所以，原不等式等价于， 设，，， 则点在以原点为圆心的单位圆上，点在函数的图象上， 所以不等式的几何意义是向量与的夹角大于，作出大致图像，如图所示： 由知，时，函数与直线恰好相切，切点为原点， 易知存在，在时使得恒成立， 当时，不存在一个给定的，使得恒成立， 综上，的取值范围是． 变式2（2025•静安区二模）若存在实数常数，，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． （1）请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） （2）求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）试探究函数为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）满足题意的直线可以是；（答案不唯一，满足的均可） （2）证明见解答． （3）函数和函数在上存在分界线，其方程为． 【分析】（1）由题意直线是函数和函数在上的一条分界线，则在上恒成立，利用分离参数法，再构造函数，利用导数求出其最值，即可得解； （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线，则在上恒成立，再分离参数，求出函数的最值，进而可求出的值，即可得证； （3）由题意可得恒成立，令，求出，则恒成立，再利用根的判别式求出，再构造函数，利用导数求出其最小值即可得出结论． 【解答】解：（1）满足题意的直线可以是；（答案不唯一，满足的均可） （2）证明：由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以， 因为，所以，综上所述， 所以函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）若存在，则恒成立， 令，则，所以， 因此，恒成立，即恒成立， 由△得，， 现在只要判断是否恒成立， 设，则， 当时，，，， 当时，，， 所以，即恒成立， 所以函数和函数在上存在分界线，其方程为． 变式3（2025•闵行区二模）已知函数在定义域上存在导函数．对于给定的一个有序实数对，若存在，，使得，则称为在定义域上的一个“分割数对”． （1）已知，，判断数对是否为在上的“分割数对”，并说明理由； （2）已知，，若为在区间上的“分割数对”，求实数的取值范围； （3）已知，，若有且仅有一个实数满足对任意，，都不是在上的“分割数对”，求实数的值． 【答案】（1）是，理由见解答． （2），． （3）． 【分析】（1）取，由函数新定义代入验证即可； （2）构造函数，求导分析单调性和最值，然后结合函数新定义可得； （3）由题意先将问题，不是在上的“分割数对”等价于或恒成立，然后构造函数，求导后再将问题“恒成立”等价于“对任意，恒成立”，然后结合二次函数的性质令判别式小于等于零可得． 【解答】解：（1）是，存在，， 由函数新定义有满足． （2）令， 则，令，得， 所以当时，，函数为递减函数； 当时，，函数为递增函数， 所以在处取得极小值，也是最小值， 所以在区间上的值域为，， 若为在区间上的“分割数对”， 既要满足在区间上的函数值有正有负， 所以， 即实数的取值范围为，． （3）对任意，考虑， 则，不是在上的“分割数对”等价于或恒成立， 显然，， 由于，显然， 令， 因为，那么， 所以， 结合函数的性质可知“恒成立”等价于“对任意，恒成立”， 即在上恒成立， 即△， 由题意，满足的实数有且仅有一个，则． 一．选择题 1．（2025•黄浦区校级二模）已知函数和在区间，上的图象如图所示，那么下列说法正确的是　　 A．在到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率 B．在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率 C．对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D．存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 【答案】 【分析】由函数在某一区间上的平均变化率的定义，可以判定选项、错误； 由函数在某一点处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，即函数在该点处的切线的斜率，可以判定选项错误，正确． 【解答】解：对于、，在到之间的平均变化率是， 在到之间的平均变化率是， ，即二者相等； 选项、错误； 对于、，函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 同理函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数， 即函数在处的切线的斜率， 由图形知，选项错误，正确． 故选：． 2．（2025•黄浦区校级三模）设函数的定义域为，若是极大值点，则是　　 A．的极小值点 B．的极大值点 C．的极小值点 D．的极大值点 【答案】 【分析】根据函数的对称性逐项判断即可得解． 【解答】解：选项：设，则的图象是由的图象关于轴对称得到的， 已知是的极大值点，那么，此时是的极大值点，不是极小值点，所以选项错误； 选项：设，的图象是由的图象关于轴对称得到的， 是的极大值点，则是的极小值点，而不是，所以选项错误． 选项：设，的图象可由先关于轴对称，再关于轴对称得到， 因为是的极大值点，经过这两次对称变换后，是的极小值点，选项正确； 选项：设，是偶函数，当时，， 是的极大值点，若，则，不一定是的极值点，所以选项错误． 故选：． 3．（2025•黄浦区校级三模）若、，则“”成立是“”成立的　　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】 【分析】结合已知构造新函数，对新函数求导，结合单调性求解即可． 【解答】解：设函数，对求导，可得， 因为余弦函数的值域是，，所以的最小值为， 即恒成立． 已知，因为，所以（a），（b）， 则（a）（b）． 又因为在上为增函数， 根据增函数的性质：对于增函数，若，则，所以可得． 充分性：“”无法推得“”．例如当，时，，，满足， 但此时，所以充分性不成立． 必要性：“”也无法推得“”．例如当，时，满足，但，， 此时，所以必要性不成立． 因为“”与“”之间既不充分也不必要，而“”等价于“”， 所以“”成立是“”成立的既不充分也不必要条件． 故选：． 二．填空题 4．（2025•上海）如图所示，正方形是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为 　　 ． 【答案】． 【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为4，当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值． 【解答】解：由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图， 则，，设方程为：， 所以，，方程为：， 令矩形面积为， 当时，， 当，设，则， 所以， 则， 令，则， 令，则或， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以当的长为时，该矩形面积最大． 故答案为：． 5．（2025•浦东新区校级模拟）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 　　 ． 【分析】由函数图象的单调性可得其导数的正负，即可解出该不等式． 【解答】解：由的图象可得在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，，当时，， 因为，所以或， 即或或，解得或， 所以原不等式的解集为． 故答案为：． 6．（2025•嘉定区校级三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 　 　． 【答案】2． 【分析】根据两曲线在点处有相同的切线，可得，，的值，进而得解． 【解答】解：依题意，，， 则， 又，， 则，， 故函数在点处的切线方程为，即， 函数在点处的切线方程为， 依题意，，， 则． 故答案为：2． 三．解答题 7．（2025•上海）已知，． （1）若（1），求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 【答案】（1），；（2），，． 【分析】（1）由（1）求得，再结合函数的单调性解不等式即可； （2）求导后分类讨论即可求得． 【解答】解：（1）由题意，（1），解得，所以， 因为，所以， 设，， 因为与均为增函数，所以为增函数， 因为（1），所以由，得， 所以不等式的解集为，； （2）由题意，， 当时，， 故在单调递减，在单调递增，故无极大值，不成立； 当时，当时，恒成立，在单调递增，故无极大值，不成立； 当时，， 在和单调递增，在单调递减，故在处取得极大值； 当时，或， 在和单调递增，在单调递减，故在处取得极大值； 综上，的取值范围为，，． 8．（2025•上海）已知函数的定义域是．对于，定义集合． （1），求； （2）对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； （3）若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【答案】（1）； （2）证明见详解； （3），． 【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解； （2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性； （3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解． 【解答】解：（1）由定义得，． （2）证明：必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集． 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②． 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数． 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证． （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调减， 所以对任意，恒成立． 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以（1）； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，，， ，时，， 所以； 综上，的取值范围是，． 9．（2024•上海）对于一个函数和一个点，定义，若存在，，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是到点的“最近点”； （2）对于，，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； （3）已知存在导函数，函数恒大于零，对于点，，点，，若对任意，存在点同时是到点与点的“最近点”，试判断的单调性． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）存在，； （3）严格单调递减． 【分析】（1）代入，利用基本不等式即可； （2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可； （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性． 【解答】解：（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点， 使得该点是在的“最近点”； （2）由题设可得， 则，因为，均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而，，故在点处的切线方程为， 而，故，故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是，在的“最近点”， 设，，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在，使得， 即，① ，② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则，， 即，③ ，④ ③④得， 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减． 10．（2023•上海）已知函数，（其中，，，若任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有满足条件的函数在处取得的最小值记为． （1）若，，试判断函数是否为函数的“控制函数”，并说明理由； （2）若，曲线在处的切线为直线，证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值； （3）若曲线在，处的切线过点，且，，证明：当且仅当或时，（c）（c）． 【答案】（1）是的“控制函数”，理由如下： ，设， ，当，时，易知，即单调减， ，即， 是的“控制函数“； （2）； （3）证明：，， 在处的切线为， ，，（1）（1）， ， ， ， ， 恒成立， 函数必是函数的“控制函数”， 是函数的“控制函数”， 此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点， 在之间的点全在使得在切线的下方，所以或， 所以曲线在处的切线过点，且，， 当且仅当或时，． 【分析】（1）设，，当，时，易知，即单调减，求得最值即可判断； （2）根据题意得到，即为函数的“控制函数”，代入即可求解； （3），，在处的切线为，求导整理得到函数必是函数的“控制函数”，又此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点，在之间的点全在使得在切线下方，所以或，即可得证． 【解答】解：（1），设， ，当，时，易知，即单调减， ，即， 是的“控制函数“； （2）， ， ，即为函数的“控制函数”， 又，且，； 证明：（3），， 在处的切线为， ，，（1）（1）， ， ， ， ， 恒成立， 函数必是函数的“控制函数”， 是函数的“控制函数”， 此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点， 在之间的点全在使得在切线的下方，所以或， 所以曲线在处的切线过点，且，， 当且仅当或时，． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $