精品解析：宁夏回族自治区银川市第九中学2025-2026学年高三上学期第四次月考数学试题

银川九中2025－2026学年度第一学期第四次月考 高三年级数学试卷 （本试卷满分150分） 命题人：杨世暄 审题人：韩潇 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 在数列中，若，则 （ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 关于函数，下列说法不正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 的值域为 D. 的图象关于原点对称 6. 已知函数，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列“若，则”形式的命题中，是的充分不必要条件的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 11. 设三次函数，其中，则以下正确的是（ ） A. 若，且函数的对称中心为，则的极小值点为 B. 若的导函数，则函数有3个零点 C. 若且有三个相异且成等差的零点，则的取值范围为 D. 若的两个极值点为，且，极大值为21，则极小值为17 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，，，则_____ 13. 已知，，，，则的值为______． 14. 若，且，，，则的值是____． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设内角所对的边分别为，已知，且． （1）求的面积； （2）若为角的平分线，交于，求的长度． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）在锐角中，设角所对的边分别是，若且，求周长的取值范围． 17. 已知函数（），其中是自然对数的底数． （1）当时，求的极值； （2）若在上是单调增函数，求的取值范围； 18. 设函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若存在两个极值点，证明：. 19. 已知函数，记． （1）讨论函数的单调性； （2）已知，对任意，存在，使得，求实数的取值范围； （3）已知，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川九中2025－2026学年度第一学期第四次月考 高三年级数学试卷 （本试卷满分150分） 命题人：杨世暄 审题人：韩潇 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得集合，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】因为集合，， 根据集合交集的概念及运算，可得. 故选：B． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3. 在数列中，若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合递推关系和首项，求出数列得前几项，归纳出数列周期为4，结合周期性求解. 【详解】因为且， 所以， ， ， ， ， 所以是以4为周期的周期数列， 所以. 故选：A. 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过中间值1，和对数函数的单调性即可判断. 【详解】， ， ， 再结合的单调性可知：， 即， 所以， 故选：D 5. 关于函数，下列说法不正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 的值域为 D. 的图象关于原点对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据真数大于0，化简计算，即可判断A的正误；根据复合函数单调性“同增异减”，可判断B的正误；根据x的范围，可求得真数的范围，根据对数函数性质，可判断C的正误；根据奇函数的定义，化简整理，即可判定D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：由题意，即， 所以，即，解得，故A正确； 选项B：令， 当时，单调递减， 所以在上单调递增， 又当时，函数在上单调递增， 根据复合函数单调性原则可知在上单调递增，故B正确； 选项C：因为，所以， 则，所以， 则， 所以值域为，故C错误； 选项D：因为定义域为关于原点对称，且， 所以， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故D正确. 故选：C 6. 已知函数，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数为奇函数，且函数在上单调递增，由，得，得进行求解即可． 【详解】因为， 且， 所以函数为奇函数， 而在上单调递增，在上单调递增， 则函数在上单调递增， 由，得， 得，得， 得， 故选：A 7. 函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出相位的范围，结合余弦函数的性质列出不等式求解即得. 【详解】由，得， 由的图象在区间上恰有一个对称中心，得， 所以. 故选：C 8. 已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由有三个零点，可转化为与图象有三个不同的交点，作出图象，可得a的范围，根据韦达定理可得，，根据对数的性质，可得，即可得的表达式，构造函数，利用导数求得单调性，可求出最值，即可得答案. 【详解】当时，，为开口向下，对称轴为的抛物线， 因为有三个零点，不妨令， 所以有三个不相等的根， 即与图象有三个不同的交点， 作出图象，如图所示 所以， 因为为方程，即的两个不相等实根， 所以， 因为为方程的根，所以， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列“若，则”形式的命题中，是的充分不必要条件的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法和不等式的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，若，时，推不出，所以选项A错误， 对于选项B，由，得到，又，所以，即， 所以可以推出，由选项A知推不出，所以是的充分不必要条件，故选项B正确， 对于选项C，易知可以推出，取，显然满足， 但不满足，即推不出，所以是的充分不必要条件，故选项C正确， 对于选项D，由选项C知，推不出，所以选项D错误， 故选：BC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图象可求得，即可判断A；再由函数过点，可求得，根据三角函数的对称性可判断B，C；利用诱导公式得，根据图象的平移法则可判断D. 【详解】因为，即，所以，故A正确； 而，则， 又因为过点，则，即， 所以， 对于B，因为， 所以是函数图象的一个对称中心，故B正确； 对于C，， 所以直线不是函数图象的对称轴，故C错误； 对于D，， 所以函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到，故D正确． 故选：ABD． 11. 设三次函数，其中，则以下正确的是（ ） A. 若，且函数的对称中心为，则的极小值点为 B. 若的导函数，则函数有3个零点 C. 若且有三个相异且成等差的零点，则的取值范围为 D. 若的两个极值点为，且，极大值为21，则极小值为17 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合三次函数的对称中心、导数与极值、零点、极值点与极值的关系等性质进行判断. 【详解】对于选项A：由可得 因为函数的对称中心为， 所以对，，即， 所以，解得，又，解得. 所以，所以， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，的极小值点是，A正确； 对于B：因为，所以函数在单调递增，仅有一个零点，B错误； 对于C：因为，所以， 设三个相异且成等差的零点为， 则， 所以，得，又，所以， 由得，又，所以， 即的取值范围为，C正确； 对于D：由可得，， 则是方程的两根，所以， 又，所以，所以. 又由是函数的两个极值点，可得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值. 所以，即，解得， 所以，所以，， 所以极小值，D正确； 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，，，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的运算法则以及可得. 【详解】由题意可得，， 得. 故答案为： 13. 已知，，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系，求出，，再由角的变换及两角差的余弦公式得解. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 所以由可得， 所以 ， 故答案为： 14. 若，且，，，则的值是____． 【答案】4 【解析】 【分析】令，指数式改写为对数式，利用换底公式化简，然后由对数估值得范围，求得． 【详解】令． 则，，． ， ， ， ， 则， 则． 故答案为：4. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设内角所对的边分别为，已知，且． （1）求的面积； （2）若为角的平分线，交于，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，，结合余弦定理化简得，再根据三角形面积计算公式计算即可； （2）根据及，化简计算即可. 【小问1详解】 由余弦定理可得：，即， 因为，，所以， 所以； 【小问2详解】 因为为角的平分线，所以 因为， 所以，而， 所以. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）在锐角中，设角所对的边分别是，若且，求周长的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为，， （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）由（1）及，求得，根据正弦定理得到，，得到，结合，即可求解. 【小问1详解】 由题意，函数， 所以函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间是，. 【小问2详解】 由（1）可得，因为，可得， 由正弦定理可知，所以，， 由及为锐角三角形，解得， 则 . 因为，可得，所以， 所以， 故周长的取值范围为. 17. 已知函数（），其中是自然对数的底数． （1）当时，求的极值； （2）若在上是单调增函数，求的取值范围； 【答案】（1）极大值为，极小值为； （2） 【解析】 【分析】（1）求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系进行求解即可； （2）根据函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可． 【小问1详解】 由已知， 则， 令，， 增 极大值 减 极小值 增 极大值为，极小值为； 【小问2详解】 问题转化为在上恒成立； 又即在上恒成立； 令；对称轴， 当，即时，在上单调增， ； 当，即时，在上单调减，在上单调增， 解得：， . 综上，的取值范围是. 18. 设函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若存在两个极值点，证明：. 【答案】（1） （2）当时，的单调递增区间为，无减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （3） 因为存在两个极值点， 所以方程，即在上有两个不等实根. 则，解得. 则 要证不等式，即证， 即证， 不妨设，即证， 令，，则， 所以在上单调递增，则，所以成立， 所以成立. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可得解； （2）导函数，由联想到可依据和的大小关系分类讨论，以便确定导函数的符号，从而确定函数的单调性； （3）将函数存在两个极值点转化为方程在上有两个不等实根，由韦达定理得，即可将要证的不等式转化为，不妨设，即证，令，则可构造函数，证明的最小值大于即可. 【小问1详解】 当时，，则. 又，则所求切线的斜率. 所以曲线在点处的切线方程为 ，即. 【小问2详解】 的定义域为. ，因为，当且仅当时，等号成立； ①若，则，当且仅当时，， 此时的单调递增区间为，无减区间； ②若，由，即， 解得，，因为，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上所述，当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为和， 单调递减区间为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19. 已知函数，记． （1）讨论函数的单调性； （2）已知，对任意，存在，使得，求实数的取值范围； （3）已知，且，求证：． 【答案】（1）当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2） （3）已知，且，由（1）知，， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 则， ， 得， 得， 得， 要证，即证， 即证， 即证， 因为，所以， 即证， 即证， 即证， 令， 即证， 令， 得， 则函数在上单调递增， 得， 即得证， 故命题得证． 【解析】 【分析】（1），对其求导，对实数进行分类讨论进行求解； （2）令，由对任意，存在，使得，得，进行求解； （3）由（1）知，，由，得，要证，即证，即证，即证，令，即证，令，利用导数判断单调性进行证明． 【小问1详解】 ， 则， 当时，，此时函数在上单调递增， 当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 综上知， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 令，则， 则， 由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 得， 由对任意，存在，使得， 得， 即， 得， 因为，所以， 故实数的取值范围为： 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $