专题4.3 等差数列的有关概念（10类必考点）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦等差数列的核心知识点，系统梳理概念、等差中项、通项公式、证明方法及性质，前承数列基础概念，后续支撑等比数列与数列求和学习，构建完整知识支架。 资料以10个分层考点设计，结合《九章算术》等实际问题，培养数学眼光观察现实。通过证明方法训练逻辑推理的数学思维，应用问题提升数学语言表达能力，课中辅助教学，课后助学生查漏补缺。

专题4.3 等差数列的有关概念 【知识梳理】 1 【考点1：判断等差数列】 3 【考点2：等差数列通项公式的基本量计算】 5 【考点3：利用定义求等差数列通项公式】 7 【考点4： 由递推关系证明数列是等差数列】 9 【考点5：验证是否为等差数列中的项】 12 【考点6：等差中项及其应用】 14 【考点7：利用等差数列的性质计算】 16 【考点8：等差数列的单调性】 18 【考点9：求等差数列中的最大（小）项】 21 【考点10： 等差数列的应用】 24 【知识梳理】 1．等差数列的概念 (1)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果- ()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数， 那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数 列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有 2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{}中的任意两项， (n,m,m≠n)，则 -=(n-m)d 4．证明数列是等差数列的主要方法： 方法 解读 适合题型 定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题 前n项和公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 5．等差数列的性质： (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d. (5)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，遇见S奇，S偶时可分别运用性质及有关公式求解． (6){an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝. (7)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的. [方法技巧] 利用等差数列性质求解问题的注意点 (1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值． (2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N*)等． [提醒]　一般地，am＋an≠am＋n，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是am－n＋am＋n＝2am.　　 【考点1：判断等差数列】 1．（多选）（2025高二·全国·专题练习）下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的定义逐项判断即可. 【详解】根据等差数列的定义，可得对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列，故A正确； 对于B，满足（常数），所以是等差数列，故B正确； 对于C，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，满足（常数），所以是等差数列，故D正确． 故选：ABD. 2．（多选）（2025高二·全国·专题练习）下列数列是递增的等差数列的是（    ） A． B． C． D．数列满足 【答案】AD 【分析】根据等差数列的概念及单调性逐项判断即可. 【详解】由题意，∵， ∴A中数列是公差为6的递增等差数列.故A正确. ∵，∴B中数列不是等差数列.故B错误. ∵，∴C中数列是公差为0的等差数列，但不是递增数列.故C错误. ∵，∴D中数列是公差为3的递增等差数列.故D正确. 故选：AD. 3．（多选）（25-26高二下·新疆喀什·期中）下列数列中，是等差数列的是（   ） A．0，0，0，…，0，… B．-2，-1，0，…，，… C．1，13，-13，…，，… D．1，-1，1，-1，…，，… 【答案】AB 【分析】根据等差数列的定义判断． 【详解】对于A，后项减去前项都为同一个常数0，则是等差数列； 对于B，后项减去前项都为同一个常数1，则是等差数列； 对于C，后项减去前项不为同一个常数，如，则不是等差数列； 对于D，后项减去前项不为同一个常数，如，则不是等差数列. 故选：AB. 4．（多选）（25-26高二上·湖南长沙·期中）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义，通过作差法，逐一判断数列是否为等差数列，得出正确结果即可. 【详解】设， 对于选项A，，可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以A正确； 对于选项B，，相邻两项之差不是常数，所以B错误； 对于选项C，，数列是以为首项，以为公差的常数列，所以C正确； 对于选项D，，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以D正确； 故选：ACD. 5．（2025高二·全国·专题练习）观察下面各组数，你能从运算角度发现它们有什么共同的特点吗？ .① .② ③ ④ 【答案】从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数 【分析】观察相邻两项的关系，从而归纳得出结论. 【详解】观察相邻两项的关系，从而归纳得出结论. 由题意， 对于①：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于7； 对于②：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于； 对于③：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于0.5； 对于④：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于2； 综上，它们的共同特点为：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数. 【考点2：等差数列通项公式的基本量计算】 1．（25-26高三上·上海·期中）等差数列中，，则该数列的公差为 . 【答案】 【分析】根据等差数列的性质求解. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 2．（24-25高二下·陕西西安·月考）成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，这四个数为 ． 【答案】2，5，8，11或11，8，5，2． 【分析】设这四个数依次为，由题意列方程组，解方程求出即可得出答案. 【详解】设这四个数依次为(公差为)． 因为四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40， 所以，解得：或， ∴这个数列为或 故答案为：2,5,8,11或11,8,5,2． 3．（2025·山西晋城·三模）已知数列、均为等差数列, 满足,则 ． 【答案】 【分析】等差数列的通项公式及性质求解即可 【详解】设数列、的公差分别为， 则，， 所以－＝， 所以数列为等差数列，且公差， 所以＝． 故答案为：383 4．（25-26高三上·山西大同·期中）首项为的等差数列，从第5项起开始为正数，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助等差数列基本量计算即可得. 【详解】设该等差数列为，且公差为，由题意得， 即有，解得. 故选：B. 5．（24-25高二下·江西·期末）在和两个实数之间插入个实数，，，，使数列为等差数列，那么这个数列的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列通项公式计算可得. 【详解】依题意等差数列中共有项， 设公差为，则， 所以. 故选：B 【考点3：利用定义求等差数列通项公式】 1．（24-25高二下·北京·期中）已知数列满足，，则（   ） A． B． C．12 D．21 【答案】A 【分析】根据条件得出数列为等差数列，即可求出其通项公式，进而求出即可代入求值. 【详解】由得，， 因，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：A 2．（24-25高二下·辽宁丹东·期末）已知各项均为正数的数列中，，，则（    ） A．400 B．600 C．800 D．1000 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义和通项公式求解即可. 【详解】因为数列各项均为正数，且，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，， 故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）已知正项数列满足，.求的通项公式. 【答案】 【分析】根据等差数列的定义写出的通项，在通过赋值求出，进而可求. 【详解】由题可知是以1为首项、为公差的等差数列， 故， 令，有， 即，解得. 代入得，即. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的各项都为正数，其前项和为，且．求证：是等差数列，并求的通项公式； 【答案】证明见解析， 【分析】根据题意，得到，当时，求得，利用与的关系当时，，整理求得，结合等差数列的定义和通项公式，即可求解. 【详解】证明：由，且，可得， 所以当时，，解得或（舍）； 当时，， 整理得：， 因为，解得， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列， 所以数列的通项公式为． 5．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知数列满足，若. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题设易得，即可得到，结合等差数列的定义即可求证； （2）结合等差数列的通项公式求解即可. 【详解】（1）由，则， 则，即，又， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）得，，则. 【考点4： 由递推关系证明数列是等差数列】 1．（2025高二上·重庆·专题练习）已知正项数列满足，且，则 ． 【答案】27 【分析】首先由递推关系式得出是以为首项，3为公差的等差数列，再代入，结合，即可求出，最后利用等差数列的通项公式即可求得答案. 【详解】由，，① ，② ②①得，即， 所以是以为首项，3为公差的等差数列， 令，得，又，， 所以，解得， . 故答案为：27. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足：，则通项 ． 【答案】 【分析】取倒数得到数列是等差数列，根据数列的通项公式得到数列的通项公式. 【详解】取倒数后得，即， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以， 所以， 故答案为：. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式． 【答案】证明见解析，． 【分析】由的关系可得递推关系，化简后由等差数列的定义得证；求出等差数列的通项后即可得出数列的通项公式. 【详解】在中， 令，可得， 当时，， 故， ， 即，即， 又，所以，即当时，， 又，所以数列是首项和公差均为1的等差数列， 于是，所以． 4．（24-25高二上·海南海口·月考）已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）将  两边同时除以，得到，根据等差数列性质得到结果. （2）由（1）得，利用求出的通项公式. 【详解】（1）证明：将  两边同时除以，得，当 时， ， 所以  是以 1 为首项，为公差的等差数列． （2）由（1）得 ，则，① 当 时，，② －②，得  ，整理得，则 ， 也符合 ，所以 ． 5．（2025高三·全国·专题练习）若数列的前n项和为，且满足． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据的关系式，对等式进行化简，可得到，进而证明结果. （2）结合（1）的结果根据等差数列的通项公式求出，进而可求出. 【详解】（1）证明：当时，且． ， 即． 即．又． 故数列是以首项为，公差为的等差数列． （2）由（1）知，当时， ， 当时，不适合上式， 故. 【考点5：验证是否为等差数列中的项】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）是不是等差数列，，，…的项？如果是，是第几项？如果不是，试说明理由． 【答案】是数列的第项 【分析】设等差数列，，，…，为数列，即可得到首项与公差，从而求出通项公式，再令，求出即可判断. 【详解】设等差数列，，，…，为数列，则，公差， 所以， 令，即，解得， 所以是数列的第项. 2．（25-26高二·全国·课堂例题）第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照算．按此规则，问：2050年举行奥运会吗？ 【答案】2050年不举行奥运会． 【分析】由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列． 这个数列的通项公式为． 假设，则，解得． 所以无正整数解． 所以，按此规则，2050年不举行奥运会． 3．（25-26高二下·全国·课后作业）已知等差数列6，3，0，…. (1)试求此数列的第100项； (2)－30是不是这个数列中的项？－40是不是这个数列中的项？若是，分别是第几项？ 【答案】(1)； (2)－30是这个数列中的项，是第13项；－40不是这个数列中的项. 【分析】（1）设此数列为，求出数列的公差和通项公式即得解； （2）令，，解方程即得解. 【详解】（1）设此数列为，则首项，公差， 所以通项公式为， 所以. 所以此数列的第100项是. （2）令，解得，所以－30是这个数列中的项，是第13项. 令，解得，因为不是正整数，所以－40不是这个数列中的项. 4．（解析高二2025-2026年度下期三月测试）设数列为等差数列， ， (1)求数列的首项 及公差d； (2)判断55是否是数列中的项，若是，是第几项. 【答案】(1) (2)55是数列中的项，是第20项 【详解】（1）因为数列为等差数列， ， ∴， 解得； （2）由（1）可得：， 令 ，解得 因此55是数列中的第20项. 5．（2025·全国·高二课时练习）已知为等差数列，且以，，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求： (1)原数列的第12项是新数列的第几项？ (2)新数列的第29项是原数列的第几项？ 【答案】(1)第45项 (2)第8项． 【详解】（1）设新数列为，则，， 根据，有，即， 所以，所以． 又因为，所以． 即原数列的第n项为新数列的第项． 当时，，故原数列的第12项为新数列的第45项． （2）由（1） ，令，得，即新数列的第29项是原数列的第8项． 【考点6：等差中项及其应用】 1．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知等差数列满足，则等于（   ） A．9 B．6 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用等差中项即可求解. 【详解】由等差数列可知：， 故选：C. 2．（25-26高三上·江西上饶·月考）已知等差数列满足，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据等差中项的性质，分析计算，即可得答案 【详解】由等差中项的性质可得，故，解得， 故选：C. 3．（2025·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】设出数列的公差为，根据及列出方程，解得，再根据等差数列下标和的性质解决即可. 【详解】设数列的公差为，又，即， 整理得，解得或， 当时，；当时， 又， 因此或. 故选：B. 4．（25-26高三上·广东广州·月考）已知a，b都是实数，若b是a，1的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】依题意得，，则，由基本不等式即可求解． 【详解】因为b是a，1的等差中项，所以，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为， 故选：B. 5．（2025·广西来宾·模拟预测）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据等差中项性质可得，再利用基本不等式中“1”的应用计算可得结果. 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 【考点7：利用等差数列的性质计算】 1．（2025·四川·模拟预测）已知等差数列满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列下标和的性质及诱导公式即可求解. 【详解】因为数列为等差数列， 所以， 所以. 故选：. 2．（25-26高三上·山东泰安·期中）已知正项等差数列满足，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列下标和性质计算可得. 【详解】因为， 所以， 又， 所以，则，则， 解得或， 又，所以. 故选：C 3．（25-26高二上·山西晋城·月考）在等差数列中，已知，为方程的两根，则（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据韦达定理和等差数列的性质，即可求解. 【详解】由韦达定理可知，，再由等差数列的性质可知. 故选：D 4．（2025·新疆·模拟预测）已知数列的各项为互异正数，且其倒数构成公差为3的等差数列，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义进行求解即可. 【详解】因为数列的各项为互异正数，且其倒数构成公差为3的等差数列， 所以有， 所以， 故选：C 5．（23-24高二上·陕西安康·期末）在1和17之间插入个数，使这个数成等差数列，若这个数中第一个为，第个为，当取最小值时， A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】由题意，，所以， 当时，即，即时，有最小值． 所以，得，即，故选D． 点睛：本题考查等差数列、基本不等式的应用．根据等差数列的性质，得，利用基本不等式中的条件型问题，得，则时，即，即时，有最小值，解得，． 【考点8：等差数列的单调性】 1．（25-26高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列的概念得到，进而推得结果. 【详解】已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到， ； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 2．（25-26高三上·北京·月考）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故选：C 3．（多选）（25-26高二·全国·课后作业）（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的通项性质可判断是等差数列，根据等差数列的单调性即可逐一判断. 【详解】由,知，故数列是等差数列，且公差为． 由等差数列的单调性可得，若，则公差，所以数列是递增数列，故A，B一定成立； 若，则，所以数列是递增数列，所以，故C一定成立；当时，不成立，故D不一定成立． 故选：ABC． 4．（2025·江西·二模）已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据数列通项与前项和的关系可得（），进而推导得（），算出首项可得数列……是以2为公差的等差数列，数列……是以2为公差的等差数列，从而得出再求解即可. 【详解】由得（）， 两式相减得：（），所以（）， 两式相减得：（）， 所以，数列……是以2为公差的等差数列，数列……是以2为公差的等差数列， 将代入及可得， 将代入（）可得，且， 要使得，恒成立，只需要即可， 所以，解得：，即实数的取值范围是． 故答案为： 5．（2025高二·全国·专题练习）已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)递减数列 【分析】（1）设出公差，列出方程组，求出首项和公差，从而得到通项公式； （2）数列的图象是均匀分布在直线上的一系列孤立的点，画出图象； （3）由公差得到数列的单调性. 【详解】（1）设数列的公差为d． 因为，是等差数列的图象上的两点， 所以，，即，解得 因此． （2）由（1）可知，数列的图象是均匀分布在直线上的一系列孤立的点， 其中且， 如图， （3）由（1）可知公差，所以等差数列为递减数列． 【考点9：求等差数列中的最大（小）项】 1．（25-26高二·全国·课后作业）在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是 . 【答案】-1 【分析】根据数列是以首项为31，公差为－4的等差数列，得到数列的通项公式求解. 【详解】数列是以首项为31，公差为－4的等差数列， 所以数列的通项公式为an＝35－4n. 则当n≤8时an>0；当n≥9时an<0. 又a8＝3，a9＝－1. 所以绝对值最小的项为a9＝－1. 故答案为：-1 2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求得数列的公差，进而求得其通项公式，从而求得，利用二次函数的知识求得最小值. 【详解】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 3．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【详解】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 4．（24-25高二上·广东湛江·月考）已知在数列中，，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)最小值，最大值3，理由见解析 【分析】（1）求，化简后由等差数列定义证明 （2）先求的通项公式后得出的通项公式，结合单调性求解 【详解】（1）证明：因为，， 所以当时， . 又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知，则. 设函数，在区间和上单调递减， 结合函数的图象可知， 当时，取得最小值； 当时，取得最大值3. 5．（2025·安徽安庆·三模）无穷数列满足：且． （1）求证：为等差数列； （2）若为数列中的最小项，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）利用递推公式证得，根据等差数列的定义即可得出结论； （2）由于数列是以1为公差的等差数列，所以若，则数列是递增数列，所以数列无最大项，因此中无最小项，故，然后结合题意即可得到，解不等式组即可求出结果. 【详解】（1）因为，则 所以 ， 故数列是以1为公差的等差数列； （2）若，则数列是递增数列，所以数列无最大项，因此中无最小项，故，又数列是递增数列，且为数列中的最小项，所以是数列中的最大负项，从而有，而，则，解得， 故的取值范围为. 【考点10： 等差数列的应用】 1．（24-25高二上·福建龙岩·期末）《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【详解】设第一天织布尺，从第二天起每天比第一天多织尺 由已知得： 解得， 第十日所织尺数为 故选 2．（25-26高二上·陕西汉中·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为. 故选：D 3．（24-25高二下·河南南阳·期末）通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】求出温度差，利用海拔每升高米气温就降低，即可求解. 【详解】由题知崎角尖相对于山脚的高度是米， 故选：C. 4．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”"起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.今年是辛丑年，也是重庆一中建校90周年，则重庆一中建校的那一年是（    ） A．壬酉年 B．壬戊年 C．辛酉年 D．辛未年 【答案】D 【分析】由题意可得天干是以为公差的等差数列，地支以为公差的等差数列，利用等差数列的性质即可求解. 【详解】所以90年前的天干为辛， 所以90年前的地支为未， 所以重庆一中建校的那一年是辛未年， 故选：D. 5．（25-26高二下·江苏南京·月考）中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算出来的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸=10分） 节气 冬至 小寒 (大雪) 大寒 (小雪) 立春 (立冬) 雨水 (霜降) 惊蛰 (寒露) 春分 (秋分) 清明 (白露) 谷雨 (处暑) 立夏 (立秋) 小满 (大暑) 芒种 (小暑) 夏至 晷影 长（寸） 135 125. 115. 105. 95. 85. 75.5 66. 55. 45. 35. 25. 16.0 已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为 A．72.4寸 B．81.4寸 C．82.0寸 D．91.6寸 【答案】C 【分析】由题意可得，节气的晷影长成等差数列，根据题中数据得到第1项与第13项，求出公差，进而可求出结果. 【详解】因为节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算出来的， 由题意可得，，所以等差数列的公差为 惊蛰对应等差数列的第6项， 所以. 故选C 【点睛】本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的通项公式即可，属于常考题型. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 等差数列的有关概念 【知识梳理】 1 【考点1：判断等差数列】 3 【考点2：等差数列通项公式的基本量计算】 4 【考点3：利用定义求等差数列通项公式】 4 【考点4： 由递推关系证明数列是等差数列】 6 【考点5：验证是否为等差数列中的项】 7 【考点6：等差中项及其应用】 9 【考点7：利用等差数列的性质计算】 9 【考点8：等差数列的单调性】 10 【考点9：求等差数列中的最大（小）项】 11 【考点10： 等差数列的应用】 13 【知识梳理】 1．等差数列的概念 (1)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果- ()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数， 那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数 列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有 2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{}中的任意两项， (n,m,m≠n)，则 -=(n-m)d 4．证明数列是等差数列的主要方法： 方法 解读 适合题型 定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题 前n项和公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 5．等差数列的性质： (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d. (5)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，遇见S奇，S偶时可分别运用性质及有关公式求解． (6){an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝. (7)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的. [方法技巧] 利用等差数列性质求解问题的注意点 (1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值． (2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N*)等． [提醒]　一般地，am＋an≠am＋n，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是am－n＋am＋n＝2am.　　 【考点1：判断等差数列】 1．（多选）（2025高二·全国·专题练习）下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 2．（多选）（2025高二·全国·专题练习）下列数列是递增的等差数列的是（    ） A． B． C． D．数列满足 3．（多选）（25-26高二下·新疆喀什·期中）下列数列中，是等差数列的是（   ） A．0，0，0，…，0，… B．-2，-1，0，…，，… C．1，13，-13，…，，… D．1，-1，1，-1，…，，… 4．（多选）（25-26高二上·湖南长沙·期中）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 5．（2025高二·全国·专题练习）观察下面各组数，你能从运算角度发现它们有什么共同的特点吗？ .① .② ③ ④ 【考点2：等差数列通项公式的基本量计算】 1．（25-26高三上·上海·期中）等差数列中，，则该数列的公差为 . 2．（24-25高二下·陕西西安·月考）成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，这四个数为 ． 3．（2025·山西晋城·三模）已知数列、均为等差数列, 满足,则 ． 4．（25-26高三上·山西大同·期中）首项为的等差数列，从第5项起开始为正数，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江西·期末）在和两个实数之间插入个实数，，，，使数列为等差数列，那么这个数列的公差为（    ） A． B． C． D． 【考点3：利用定义求等差数列通项公式】 1．（24-25高二下·北京·期中）已知数列满足，，则（   ） A． B． C．12 D．21 2．（24-25高二下·辽宁丹东·期末）已知各项均为正数的数列中，，，则（    ） A．400 B．600 C．800 D．1000 3．（2025高三·全国·专题练习）已知正项数列满足，.求的通项公式. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的各项都为正数，其前项和为，且．求证：是等差数列，并求的通项公式； 5．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知数列满足，若. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式. 【考点4： 由递推关系证明数列是等差数列】 1．（2025高二上·重庆·专题练习）已知正项数列满足，且，则 ． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足：，则通项 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式． 4．（24-25高二上·海南海口·月考）已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. 5．（2025高三·全国·专题练习）若数列的前n项和为，且满足． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式 【考点5：验证是否为等差数列中的项】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）是不是等差数列，，，…的项？如果是，是第几项？如果不是，试说明理由． 2．（25-26高二·全国·课堂例题）第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照算．按此规则，问：2050年举行奥运会吗？ 3．（25-26高二下·全国·课后作业）已知等差数列6，3，0，…. (1)试求此数列的第100项； (2)－30是不是这个数列中的项？－40是不是这个数列中的项？若是，分别是第几项？ 4．（解析高二2025-2026年度下期三月测试）设数列为等差数列， ， (1)求数列的首项 及公差d； (2)判断55是否是数列中的项，若是，是第几项. 5．（2025·全国·高二课时练习）已知为等差数列，且以，，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求： (1)原数列的第12项是新数列的第几项？ (2)新数列的第29项是原数列的第几项？ 【考点6：等差中项及其应用】 1．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知等差数列满足，则等于（   ） A．9 B．6 C．3 D．2 2．（25-26高三上·江西上饶·月考）已知等差数列满足，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（2025·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 4．（25-26高三上·广东广州·月考）已知a，b都是实数，若b是a，1的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D．2 5．（2025·广西来宾·模拟预测）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为 ． 【考点7：利用等差数列的性质计算】 1．（2025·四川·模拟预测）已知等差数列满足，则（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东泰安·期中）已知正项等差数列满足，则（   ） A．5 B． C． D． 3．（25-26高二上·山西晋城·月考）在等差数列中，已知，为方程的两根，则（    ） A．1 B．5 C． D． 4．（2025·新疆·模拟预测）已知数列的各项为互异正数，且其倒数构成公差为3的等差数列，则（    ） A． B． C．3 D．6 5．（23-24高二上·陕西安康·期末）在1和17之间插入个数，使这个数成等差数列，若这个数中第一个为，第个为，当取最小值时， A．4 B．5 C．6 D．7 【考点8：等差数列的单调性】 1．（25-26高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·北京·月考）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二·全国·课后作业）（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2025·江西·二模）已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则实数的取值范围是 ． 5．（2025高二·全国·专题练习）已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【考点9：求等差数列中的最大（小）项】 1．（25-26高二·全国·课后作业）在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是 . 2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 3．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 4．（24-25高二上·广东湛江·月考）已知在数列中，，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由. 5．（2025·安徽安庆·三模）无穷数列满足：且． （1）求证：为等差数列； （2）若为数列中的最小项，求的取值范围． 【考点10： 等差数列的应用】 1．（24-25高二上·福建龙岩·期末）《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为 A．9 B．10 C．11 D．12 2．（25-26高二上·陕西汉中·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 3．（24-25高二下·河南南阳·期末）通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”"起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.今年是辛丑年，也是重庆一中建校90周年，则重庆一中建校的那一年是（    ） A．壬酉年 B．壬戊年 C．辛酉年 D．辛未年 5．（25-26高二下·江苏南京·月考）中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算出来的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸=10分） 节气 冬至 小寒 (大雪) 大寒 (小雪) 立春 (立冬) 雨水 (霜降) 惊蛰 (寒露) 春分 (秋分) 清明 (白露) 谷雨 (处暑) 立夏 (立秋) 小满 (大暑) 芒种 (小暑) 夏至 晷影 长（寸） 135 125. 115. 105. 95. 85. 75.5 66. 55. 45. 35. 25. 16.0 已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为 A．72.4寸 B．81.4寸 C．82.0寸 D．91.6寸 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $