专题4.2 数列的函数特征（5类必考点）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦数列的函数特征核心知识点，系统梳理数列周期性、增减性、最值及参数范围、恒成立问题，构建从基础应用到综合探究的学习支架，助力学生逐步掌握数列与函数的内在联系。 资料以知识梳理为基础，结合各地期中月考真题设计五大考点，通过“冰雹猜想”等实例培养数学眼光，用作差作商比较法训练数学思维，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升解决综合问题的能力。

专题4.2 数列的函数特征 【知识梳理】 1 【考点1：数列周期的应用】 2 【考点2：判断数列的增减性】 5 【考点3：判断数列中的最大（小）项】 9 【考点4：根据数列的单调性求参数范围】 13 【考点5：数列的恒成立问题】 18 【知识梳理】 1． 数列的周期性 (1)周期数列的常见形式 ①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； ②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； ③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． (2)解决此类题目的一般方法 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和． 2．数列的单调性 (1)数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号． (2)数列是自变量不连续的函数，不能对数列直接求导判断单调性．要先写出数列对应的函数，对函数进行求导，再将函数的单调性对应到数列中去． (3)解决数列单调性的方法主要有: 作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断. ①作差比较法 an＋1－an>0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列． ②作商比较法 an>0时 ①>1⇔数列{an}是单调递增数列； ②<1⇔数列{an}是单调递减数列； ③＝1⇔数列{an}是常数列 an<0时 ①>1⇔数列{an}是单调递减数列； ②<1⇔数列{an}是单调递增数列； ③＝1⇔数列{an}是常数列 3. 数列的最大（小）项 (1)利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项； (2)利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项． 4. 数列的恒成立问题 对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解. 【考点1：数列周期的应用】 1．（25-26高三上·福建泉州·期中）数列满足，则 ． 【答案】 【分析】先利用递推公式求出周期，利用周期即可求解. 【详解】由， 所以，， 所以数列是以4为周期的周期数列， 又，所以， 故答案为：. 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）数列满足，则 . 【答案】/ 【分析】先根据递推关系计算数列的项进而得出数列是周期数列，最后根据周期性求值即可. 【详解】数列 满足 ，且 ， 则 . 所以数列 是周期为4的周期数列， 所以 所以 所以. 故答案为：. 3．（25-26高二上·重庆·期中）已知数列中，，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由递推关系式可知数列是周期为3的周期数列，根据周期性可得结果. 【详解】由，，则，， 可得， ， 得到数列是周期为3的周期数列，则. 故选：D 4．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知在数列中，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】逐项计算可得数列周期性，利用周期性即可得解. 【详解】由，则， 又，故，，， ，， 故数列以为周期，则. 故选：A. 5．（25-26高二上·江苏苏州·期中）数列满足，（），则等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由递推公式推得数列的周期，利用周期性求值. 【详解】由递推公式，，， 所以数列的周期为，所以， 故选：C. 6．（25-26高二上·福建宁德·期中）在数列中，若，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】依次写出，可发现数列是周期为的周期数列.根据周期性，可得. 【详解】若，则. 所以. 所以数列是周期为的周期数列. 所以. 故选：C. 7．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知数列的前项和为，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可得，检验可知数列是以6为周期的周期数列，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，，，即， 可得，，， ，，， 可知数列是以6为周期的周期数列，且， 所以该数列一个周期的和为0. 因为， 所以. 故选：B. 8．（25-26高二上·福建龙岩·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据数列的递推公式依次求出，，，，，，，从而找到从 开始以周期为3重复出现，从而利用周期求出. 【详解】，，，，，，， ，，从开始依次是1，4，2，1，4，2，， 则数列从开始，以周期为3重复出现，. 故选：A. 【考点2：判断数列的增减性】 1．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合数列的单调性判断即可. 【详解】因对于数列，取，显然不是递增数列， 所以“”不是“为递增数列”的充分条件， 若为递增数列，则， 所以“”是“为递增数列”的必要条件， 所以“”是“为递增数列”的必要而不充分条件， 故选：B 2．（24-25高二上·福建莆田·月考）已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用单调数列的定义判断即得. 【详解】数列中，，则， 即，所以数列为递减数列. 故选：B 3．（25-26高二下·广西·开学考试）现有3个数列：，，．其中递增数列的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数列的通项公式，结合函数的单调性进行判断. 【详解】因为，由一次函数的单调性可知，数列为递增数列； 因为，设函数，则在上单调递增，所以为递增数列； 因为，由指数函数的单调性可知，数列为递减数列. 故选：C 4．（25-26高二下·辽宁辽阳·月考）数列的通项公式如下，则递增数列是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】ABD选项均可举反例说明；C选项证明对任意恒成立即可. 【详解】A，可得，，，则 ，故数列不是递增数列，故A错误； B，可得，，，则 ，故数列不是递增数列，故B错误； C，，则，即对任意恒成立，故数列是递增数列，故C正确； D，，则，，则 ，故数列不是递增数列，故D错误. 故选：C 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，那么数列是（    ） A．递减数列 B．递增数列 C．常数列 D．摆动数列 【答案】A 【分析】首先根据题意得到，再判断其增减性即可. 【详解】， 因为函数在为减函数，所以数列是递减数列. 故选：A 【点睛】本题主要考查数列的增减性，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题. 6．（多选）（25-26高二上·福建莆田·月考）下列数列的通项公式中，是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据数列单调性定义，验证的正负即可． 【详解】对于A，，数列为递减数列，故A错误； 对于B，，数列为递增数列，故B正确； 对于C，，数列为递增数列，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD． 7．（24-25高二下·陕西渭南·期末）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，若为递增数列，为递减数列，则M中最多有 个元素. 【答案】1 【分析】根据两数列单调性，由散点图可得至多有1个交点. 【详解】因为为递增数列，为递减数列，与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列， 故的散点图呈上升趋势，的散点图呈下降趋势，两者至多有1个交点. 故答案为：1 8．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知数列的通项公式是，画出该数列的图象．并根据图象，判断从第几项起，这个数列是递增的． 【答案】图象见解析；从第二项开始递增． 【分析】利用描点法画图，结合图象分析单调性即可． 【详解】列表如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 …… -30 -30 -28 -24 -18 -10 0 12 …… 作图如下： 如图所示，易知数列首项与第二项相同，从第二项开始每一项都大于前一项，即从第二项开始递增． 【考点3：判断数列中的最大（小）项】 1．（25-26高二下·上海·期中）已知数列中，，且（n为正整数），则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用累加法得，进而得，利用单调性即可求解. 【详解】由题意有：，， 上式相加得， 所以，所以， 因为在单调递减，在单调递增， 所以， 故答案为：. 2．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知，若数列中最小项为第3项，则 ． 【答案】 【分析】方法一，由是二次函数，若数列中最小项为第3项，则有，计算得解；方法二，利用对称轴求解，若数列中最小项为第3项，则有，计算得解. 【详解】方法一：，，， ，数列中最小项为第3项， ，，，， 则的范围为. 方法二：对称轴为，开口向上，数列中最小项为第3项，， ，则的范围为. 故答案为：. 3．（2025·辽宁·模拟预测）数列的最大项的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，求得数列的最大项的值，得到答案. 【详解】由数列， 则， 当时，，即，且， 当时，，即； 当时，，即，且； 当时，，即； 当时，，即，所以. 综上可得，数列的最大项为. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，，则在数列的前30项中，最大项和最小项分别为 ， ． 【答案】 ； 【分析】将变为，然后观察其什么时候取最大或最小项． 【详解】， 若要最大，则需取最小正数，则当时，最大． 若要最小，则需取最大负数，则当时，最小． 所以最大项为；最小项为. 故答案为：； 5．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）数列的前n项和，数列满足，则数列的最大项为第 项. 【答案】7 【分析】利用时，求得，从而得出，再设的第项最大， 解不等式组可得． 【详解】因为，当时，， 时，， 经检验也符合， 所以， 则， 假设的第项最大， 则，即，解得, 又，所以. 故答案为：7. 6．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【答案】B 【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性及的区间上下界，即可得. 【详解】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在上都单调递减， 所以最小项为，即第6项. 故选：B 7．（25-26高二上·江苏苏州·月考）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为.则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：A. 8．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，求的最大项． 【答案】 【分析】由可判断数列单调性，据此可得答案. 【详解】因， 当时，，则此时递增， 当时，，则此时递减， 又注意到，所以最大项为． 【考点4：根据数列的单调性求参数范围】 1．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）数列首项为，，已知数列是单调递增数列，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由得恒成立，进而有随的增大无限接近于，根据二次函数性质及数列单调性有，得，利用即可得. 【详解】记①，将n换为代入得②， 对时， 由②－①得③， 因为数列是单调递增数列，所以， 由③得，即. 综合得. 根据单调性有，即，显然， 所以，且，则， 所以随的增大无限接近于，则，可得， 由，则，所以. 故答案为： 2．（24-25高三上·广东深圳·月考）已知数列的通项公式为，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断 【详解】若数列为递增数列， 则 ， 即 由，所以有， 反之，当时，，则数列为递增数列， 所以“”是“数列为递增数列”的充要条件， 故选：C. 3．（25-26高二下·四川成都·月考）已知数列的通项公式为，若是单调递增数列，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列单调递增的性质得到恒成立，进而求出的取值范围. 【详解】因为是单调递增数列，所以对任意恒成立. 已知，则. 所以. 化简不等式 对进行化简： ， 则，移项可得. 因为对任意恒成立，即要小于的最小值. 因为，那么随着的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为，所以，解得. 故选：D. 4．（2025·湖南湘潭·一模）已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】已知函数，数列满足，结合分段函数的性质讨论，若为递增数列，则，与矛盾，不满足充分性；若，满足，可以推出为递增数列，故满足必要性，所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件. 【详解】已知函数，数列满足. ①充分性： 若为递增数列，则对于所有，满足，即. 当时，成立，即 ：， ：， ：， ：需要满足，即， 当，，要使在时单调递增，则. 综上，若数列递增，则， 所以“数列递增”不能推出“”，不满足充分性. ②必要性： 若，则，由①知当时为递增数列， 所以“”能满足“数列递增”， 即“数列递增”是“”的必要条件. 所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于任意的都有，可知：数列单调递减，可得，再分类讨论即可得出. 【详解】因为对于任意都有， 所以数列单调递减，可得， 当时，若，单调递减， 而时，单调递减，只需，解得， 当时，若，单调递增，不符合题意， 综上: 实数的取值范围为, 故选：C 6．（2025高三·全国·专题练习）已知，数列满足，且是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数列是单调递增数列可得出，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】，且，数列是单调递增数列， 则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题考查利用数列的单调性求参数的取值范围，涉及了分段函数单调性的应用，解题时要注意区别数列的单调性与函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7．（多选）（25-26高二下·辽宁·月考）已知，若数列不是递增数列，则下列数值中的可能取值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据数列的函数特性，利用单调性即可得出结论. 【详解】若数列是递增数列，则有， 而因为不是递增数列， 所以或，解得，故BD正确. 故选：BD 8．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知数列的通项公式为，若对任意，不等式恒成立，则正整数m的值可能为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】BC 【分析】利用作差法来判断该数列的单调性，从而可以确定最大项. 【详解】由于． 当时，，即，得在时单调递增； 当时，，即，得； 当时，，即，得在时单调递减． 所以数列的最大项是第8项和第9项，即． 故选：BC． 【考点5：数列的恒成立问题】 1．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知数列满足，若对任意恒成立，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据给定条件求出，构造新数列并借助单调性求解作答. 【详解】在数列中，，当，时，， 则有，而满足上式，因此，， ，显然数列是递增数列，且，， 又对任意恒成立，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：给定数列的前项和或者前项积，求通项时，先要按和分段求，然后看时是否满足时的表达式，若不满足，就必须分段表达. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知数列{an}的前n项和，若，恒成立，则实数λ的最大值是 . 【答案】5 【分析】先由求出，根据得到，求出的最小值，即可得出结果. 【详解】数列的前n项和， 当时，；当时，满足上式，则， 由，恒成立，得，恒成立， 令， 则对任意都成立， 即，数列单调递增，因此，即的最小值为， 所以，即实数的最大值是. 故答案为：5 3．（24-25高二下·天津武清·期末）若数列满足，若恒成立，则的最大值（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由已知数列的递推式，可得，将换为，两式相减求得，再由数列的单调性和不等式恒成立思想，可得所求最大值. 【详解】解：由于， 当时，，即， 当时，， 又， 以上两式相减可得，得，上式对也成立， 所以恒成立即为恒成立， 由为递增数列，得的最小值为， 所以，即的最大值为. 故选：C. 4．（25-26高三上·山东德州·月考）已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的最小值为（   ） A．4 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】利用关系及等比数列定义得，将问题化为恒成立，研究右侧数列的单调性并求其最大值，即可得答案. 【详解】由，令，解得， 当时，由，得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 由，即恒成立，令，则， 而，所以，即数列单调递减，故， 所以，所以的最小值为. 故选：D 5．（25-26高三·北京海淀·月考）设等差数列的通项公式为，则“函数满足对恒成立”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】等差数列的通项公式为，因为函数满足对恒成立， 即对恒成立，因此对恒成立，为递增数列， 反之，为递增数列，即对恒成立，则对恒成立， 因此函数满足对恒成立， 所以“函数满足对恒成立”是“为递增数列”的充要条件. 故选：C 6．（24-25高二上·天津河北·期末）已知数列的通项公式为：，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得数列为递增数列，讨论n的奇偶性结合恒成立问题分析求解. 【详解】∵， ∴数列为递增数列， 若对任意的正整数n，不等式恒成立，则有： 当为奇数时，则，故，即； 当为偶数时，则，故，即； 综上所述：实数c的取值范围是. 故选：B. 7．（25-26高二上·广西·月考）已知数列的前项和为，，，对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和的关系，可推出，.则不等式等价于，令，只需要即可.根据对勾函数的性质，可得出，当时，有最小值. 【详解】当时，， 当时，， 经检验满足. ∴，所以. 又对任意，不等式恒成立， ∴，对任意恒成立， 即，对任意恒成立. 令，.则只需要即可. ，， 由对勾函数性质知在递减，在递增，而， ，. 所以，当时，有最小值. 所以，. 故选：B. 8．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，问是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 【分析】假设题中不等式恒成立，再分离参数，得到与的不等式关系，再判断出新数列的单调性，即可求出新数列的取值范围，最后得出的取值范围． 【详解】假设存在正整数，使得对一切恒成立，则 对一切恒成立， 令，，易知， 则， ∴是递增数列，即，∴．故． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 数列的函数特征 【知识梳理】 1 【考点1：数列周期的应用】 2 【考点2：判断数列的增减性】 3 【考点3：判断数列中的最大（小）项】 4 【考点4：根据数列的单调性求参数范围】 5 【考点5：数列的恒成立问题】 6 【知识梳理】 1． 数列的周期性 (1)周期数列的常见形式 ①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； ②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； ③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． (2)解决此类题目的一般方法 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和． 2．数列的单调性 (1)数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号． (2)数列是自变量不连续的函数，不能对数列直接求导判断单调性．要先写出数列对应的函数，对函数进行求导，再将函数的单调性对应到数列中去． (3)解决数列单调性的方法主要有: 作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断. ①作差比较法 an＋1－an>0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列． ②作商比较法 an>0时 ①>1⇔数列{an}是单调递增数列； ②<1⇔数列{an}是单调递减数列； ③＝1⇔数列{an}是常数列 an<0时 ①>1⇔数列{an}是单调递减数列； ②<1⇔数列{an}是单调递增数列； ③＝1⇔数列{an}是常数列 3. 数列的最大（小）项 (1)利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项； (2)利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项． 4. 数列的恒成立问题 对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解. 【考点1：数列周期的应用】 1．（25-26高三上·福建泉州·期中）数列满足，则 ． 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）数列满足，则 . 3．（25-26高二上·重庆·期中）已知数列中，，，则（   ） A．1 B． C． D． 4．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知在数列中，，则（   ） A． B． C．2 D． 5．（25-26高二上·江苏苏州·期中）数列满足，（），则等于（   ） A． B． C．2 D． 6．（25-26高二上·福建宁德·期中）在数列中，若，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 7．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知数列的前项和为，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·福建龙岩·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【考点2：判断数列的增减性】 1．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·福建莆田·月考）已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 3．（25-26高二下·广西·开学考试）现有3个数列：，，．其中递增数列的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高二下·辽宁辽阳·月考）数列的通项公式如下，则递增数列是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，那么数列是（    ） A．递减数列 B．递增数列 C．常数列 D．摆动数列 6．（多选）（25-26高二上·福建莆田·月考）下列数列的通项公式中，是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·陕西渭南·期末）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，若为递增数列，为递减数列，则M中最多有 个元素. 8．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知数列的通项公式是，画出该数列的图象．并根据图象，判断从第几项起，这个数列是递增的． 【考点3：判断数列中的最大（小）项】 1．（25-26高二下·上海·期中）已知数列中，，且（n为正整数），则的最小值为 . 2．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知，若数列中最小项为第3项，则 ． 3．（2025·辽宁·模拟预测）数列的最大项的值为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，，则在数列的前30项中，最大项和最小项分别为 ， ． 5．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）数列的前n项和，数列满足，则数列的最大项为第 项. 6．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 7．（25-26高二上·江苏苏州·月考）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 8．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，求的最大项． 【考点4：根据数列的单调性求参数范围】 1．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）数列首项为，，已知数列是单调递增数列，则的取值范围为 . 2．（24-25高三上·广东深圳·月考）已知数列的通项公式为，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二下·四川成都·月考）已知数列的通项公式为，若是单调递增数列，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南湘潭·一模）已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）已知，数列满足，且是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高二下·辽宁·月考）已知，若数列不是递增数列，则下列数值中的可能取值为（   ） A．1 B． C． D． 8．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知数列的通项公式为，若对任意，不等式恒成立，则正整数m的值可能为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【考点5：数列的恒成立问题】 1．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知数列满足，若对任意恒成立，则实数的取值范围为 2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知数列{an}的前n项和，若，恒成立，则实数λ的最大值是 . 3．（24-25高二下·天津武清·期末）若数列满足，若恒成立，则的最大值（    ） A． B． C． D．3 4．（25-26高三上·山东德州·月考）已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的最小值为（   ） A．4 B． C．9 D． 5．（25-26高三·北京海淀·月考）设等差数列的通项公式为，则“函数满足对恒成立”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高二上·天津河北·期末）已知数列的通项公式为：，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广西·月考）已知数列的前项和为，，，对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，问是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $