专题4.1 数列的概念（12类必考点）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题4.1 数列的概念 【知识梳理】 1 【考点1：数列的概念及辨析】 3 【考点2：有穷数列与无穷数列】 5 【考点3：根据规律写出数列中的某项】 7 【考点4：判断或写出数列中的项】 10 【考点5：观察法求数列通项】 12 【考点6：定义法求数列通项】 14 【考点7：累加法求数列通项】 17 【考点8：累乘法求数列通项】 19 【考点9：利用an与Sn关系求通项或项】 21 【考点10：根据数列递推公式写出数列的项或通项】 23 【考点11：求递推关系式】 26 【考点12：递推数列的实际应用】 28 【知识梳理】 1．数列的概念 数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一 个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这 个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可 以用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项 公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推 公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++. 如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的前n项和公式. =. 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 【考点1：数列的概念及辨析】 1．（25-26高二下·吉林四平·期中）以下三个结论中正确的个数为（    ） ①是数列；②不是数列；③数列的通项公式是唯一的. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的概念判断①②③即可. 【详解】①正确，其是按一定次序排列的一列数，符合定义； ②错误，都是数，而且是按一定次序排列的，所以它是数列； ③错误，因为数列的通项公式不一定是唯一的. 故选：B. 2．（25-26高二上·陕西榆林·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 【答案】C 【分析】根据数列的定义判断AC；根据数列通项公式的概念举例判断BD. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，数列和数列是不同的数列，A错误； 对于B，数列的通项公式可以为，也可以为， 该数列通项公式不唯一，B错误； 对于C，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，C正确； 对于D，该数列的通项公式可以为，错误． 故选：C 3．（25-26高二下·四川成都·期中）下面四个结论正确的是（    ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 C．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 D．数列的通项公式是唯一的 【答案】C 【分析】根据数列的定义判断A，根据数列的增减性判断B，根据数列为特殊的函数判断C，根据通项公式概念判断D. 【详解】由数列中项是有次序的，可知A错误； 常数列没有增减性，故B错误； 由于数列看作函数时，自变量是从1开始的正整数，故图象为一群孤立的点，故C正确； 数列的通项公式不是唯一的，如可以表示同一个数列，故D错误. 故选：C 4．（多选）（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）下列结论中正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列通项公式的表达式不是唯一的 C．数列1，3，5，7可表示为 D．数列1，3，5，7与数列7，5，3，1不是同一数列 【答案】BD 【分析】根据数列的定义可依次判断各选项. 【详解】数列按项数分类可分为有穷数列与无穷数列，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故A错误； 数列通项公式的表达式不是唯一的， 例如，数列1，，1，，…的通项公式可以是，也可以是，故B正确； 构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的，故C错误； 根据数列定义，两数列的数排列次序不相同，不是相同的数列，故D正确． 故选：BD. 5．（25-26高二·全国·课堂例题）已知下列数列： （1）0，0，0，0，0，0； （2）0，－1，2，－3，4，－5，…； （3），…； （4）1，0.2，，，…； （5）0，－1，0，…，，…． 其中，递增数列是 ，递减数列是 ，常数列是 ，摆动数列是 ．（填序号） 【答案】（3） （4） （1） （2）（5） 【分析】利用递增数列、递减数列、常数列、摆动数列的定义逐个分析判断即可. 【详解】（1）是常数列； （2）是摆动数列； （3）是递增数列（因为）； （4）是递减数列； （5）是摆动数列． 故答案为：（3）；（4）；（1）；（2）（5）. 【考点2：有穷数列与无穷数列】 1．（多选）（2025高二·全国·专题练习）（多选）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】直接根据数列中数据变化情况来判断即可. 【详解】选项C、D既是无穷数列又是递增数列， 而选项A是递减数列，选项B是摆动数列． 故选：CD. 2．（多选）（25-26高二上·重庆永川·月考）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ）． A．1，，，，…，，… B．，，，，…，，… C．，，，…，，… D．1，，，…，，… 【答案】BD 【分析】按已知条件逐一分析各个选项即可得解. 【详解】对于A，1，，，，…，，…为递减数列，故A错误； 对于B，，，，，…，，…为递增数列，且是无穷数列，故B正确； 对于C，，，，…，，…中，故不是递增数列，故C错误； 对于D，1，，，…，，…既是无穷数列又是递增数列的，故D正确. 故选：BD. 3．（2025高二·全国·专题练习）给出下列数列：①2010～2017年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个构成数列， ， ， ，…；③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，…. 其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列是 ，常数列是 ，摆动数列是 ． 【答案】 ① ②③ ① ② ③ 【分析】根据数列的概念确定正确结论. 【详解】①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列． 故答案为：①；②③；①；②；③ 4．（25-26高二上·全国·课前预习）指出下列数列是有穷数列，还是无穷数列？ (1)2011，2015，2019，2023； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)1，，，…，，…. 【答案】(1)是有穷数列 (2)是无穷数列 (3)是无穷数列 (4)是无穷数列 【分析】根据项数的个数即可逐一求解. 【详解】（1）由于该数列只有4项，所以是有穷数列 （2）由于该数列有无穷多项，故是无穷数列 （3）由于该数列有无穷多项，故是无穷数列 （4）由于该数列有无穷多项，故是无穷数列 5．（2025高二·全国·专题练习）下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ （1）{0，1，2，3，4}；          （2）0，1，2，3，4； （3）所有无理数；               （4）1，－1，1，－1，1，－1，…； （5）6，6，6，6，6 【答案】答案见解析 【分析】按数列定义判断是否为数列；按数列中项数是否有限判断是有穷数列还是无穷数列. 【详解】数列是按照一定次序排列的一列数. （1）是集合，不是数列. （3）不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来. （2）（4）（5）是数列，其中（4）中项数有无穷多，故是无穷数列，（2）（5）中项数是有限的，故是有穷数列. 【考点3：根据规律写出数列中的某项】 1．（2025高二·全国·专题练习）已知数列：，，，，，，，，，，，则该数列的第17项 ． 【答案】/ 【分析】可以将数列分组，确定第17项应该是第6组的第2个，即可得解. 【详解】可以将数列分组如下：，，，，， 由项数，知第17项应该是第6组的第2个， 而第6组的第2个是，因此这个数列的第17项． 故答案为： 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．如图中的数称为五边形数，则第8个五边形数是 ． 【答案】92 【分析】找出规律：相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，从而即可求出答案． 【详解】， 相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3， 第5个五边形数是， 第6个五边形数是， 第7个五边形数是， 第8个五边形数是． 故答案为：92． 3．（25-26高二上·吉林长春·期中）分形几何学是在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第11行的实心圆点的个数是（    ） A．89 B．55 C．34 D．44 【答案】B 【分析】记第行实心圆点的个数为，由图中实心圆点个数的规律可知，由此即可计算出答案. 【详解】设第行实心圆点的个数为， 由题图可得，，，，，，，……， 则， 故，，，，． 故选：B． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，，则第7行第4个数（从左往右数）为（   ） 　 　　 　　　 　　　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知的条件，利用每个数是它下一行左右相邻两数的和这一规律进行逐步推导. 【详解】第6行从左到右各数依次为，，，，，， 第7行从左到右各数依次为，，，，，，， 故选：A. 5．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（    ）    A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 【答案】C 【分析】根据题意，得图形1的面积，图形2的面积，图形3的面积，以此类推，进而得图形的面积，即可求出第10个图形的面积. 【详解】根据题意，记图形1的面积为，后续图形的面积依次为， 则图形1的面积，图形2的面积， 图形3的面积， 图形4的面积， 以此类推， 则图形的面积 则第10个图形的面积为． 故选：C. 【考点4：判断或写出数列中的项】 1．（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（    ） A．18 B．20 C．32 D．66 【答案】B 【分析】由题可知当是64的因数时，是整数，计算依次判断即可. 【详解】因为， 所以当是64的因数1，2，4，8，16，32，64时，是整数， 当或时，，故D错误； 当或时，，故C错误； 当或时，，故B正确； 当时，，故A错误． 故选：B． 2．（25-26高二上·江苏常州·期中）若已知数列的通项公式是，其中.则是数列中的第 项. 【答案】2 【分析】根据求解出的值，则结果可知. 【详解】令，解得或(舍去)， 所以是数列中的第项， 故答案为：2. 3．（24-25高三上·北京石景山·期末）在数列中，，且对任意的有，则 . 【答案】64 【分析】由题意，根据数列的定义，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海徐汇·期末）数列中，已知，50为第 项. 【答案】4 【分析】方程变为，设，解关于的二次方程可求得． 【详解】，则，即 设，则，有或 取得，，所以是第4项． 【点睛】发现，原方程可通过换元，变为关于的一个二次方程．对于指数结构，，等，都可以通过换元变为二次形式研究． 5．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知数列的通项公式，记数列落在区间内项的个数为，则 ． 【答案】 【分析】由题意可得求落在区间内项的个数，再根据通项公式列不等式求解即可. 【详解】由题意，即求满足的正整数的个数，即，，故，共个. 故答案为： 【考点5：观察法求数列通项】 1．（25-26高二上·甘肃·期中）已知数列1，4，9，16，…，则它的通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给数据，分析规律，即可得答案. 【详解】由题意可知1，4，9，16，…的通项公式可能是. 故选：C. 2．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列，则5是这个数列的（   ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 【答案】C 【分析】根据规律找出数列通项求解即可. 【详解】因为 ，所以数列为所以通项公式为 令，得，所以5是这个数列的第23项. 故选：C. 3．（多选）（25-26高二上·甘肃·月考）数列的通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】代入验证即可求解. 【详解】对于A项，分别把代入，即得与数列相符，故A项正确； 对于B项，把代入，即得与数列不符，故B项错误； 对于C项，分别把代入，即得，故C项正确； 对于D项，把代入，即得，与数列不符，故D项错误. 故选:AC. 4．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 【答案】 【分析】分别观察分子和分母的规律可得通项. 【详解】由前四项可知，其分子为奇数， 其分母后一项是前一项的二倍， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 5．（2025高三·全国·专题练习）根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一个通项公式 . 【答案】/ 【分析】观察图形的点数，找出规律进行归纳总结即可. 【详解】，，，，， 归纳得. 故答案为：. 【考点6：定义法求数列通项】 1．（2025高三·全国·专题练习）根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： （1）－1,7，－13,19，； （2）0.8,0.88,0.888，； （3）； （4），，，，. 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）. 【分析】观察数列的前几项的形式，从而归纳出通项公式． 【详解】(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6， 故通项公式为； (2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，， ∴； (3)把数列改写成， 分母依次为1,2,3，，而分子1,0,1,0，周期性出现， 因此数列的通项可表示为或； (4)将数列统一为，，，，， 对于分子3,5,7,9，，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1， 对于分母2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16，，即数列{n2}， 可得分母的通项公式为cn＝n2＋1， 所以可得它的一个通项公式为. 【点睛】本题考查了数列通项公式的求法问题，也考查了推理能力与计算能力，是基础题． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，． (1)求的通项公式； (2)88是否是数列中的项？ 【答案】(1) (2)88不是数列中的项 【分析】（1）将，代入到通项公式中，联立成方程组，求解出参数p，q，从而得出通项公式； （2）令，解出的值，若为正整数，则是数列中的项；若不是正整数，则不是数列中的项. 【详解】（1）解：因为，，通项公式， 所以， 解得，， 所以； （2）令， 解得， 因为， 所以88不是数列中的项. 3．（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列中，，，通项是项数的一次函数， (1)求的通项公式，并求； (2)若是由组成，试归纳的一个通项公式． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）设，根据题意可得的方程组，求解即可； （2）写出归纳即可. 【详解】（1）设,则，解得， ∴,. （2）∵为 ∴归纳的一个通项公式为. 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍． （1）求这个数列的第4项与第25项； （2）253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 【答案】（1）10；55；（2）253是这个数列中的项，是第121项；153不是. 【分析】（1）由题可得数列的通项公式，即求； （2）利用通项公式，即可判断. 【详解】（1）由题设条件，知an＝＋2n， ∴a4＝＋2×4＝10，a25＝＋2×25＝55. （2）假设253是这个数列中的项， 则253＝＋2n， 解得n＝121， ∴253是这个数列的第121项． 假设153是这个数列中的项， 则153＝＋2n，， 无正整数解， ∴153不是这个数列中的项． 5．（25-26高二·全国·课后作业）分别写出一个满足下列条件的数列的通项公式. (1)从第2项起，每一项都比它的前一项大2； (2)是无穷递减数列，且从第2项起，每一项都是它的前一项的3倍. 【答案】(1)（不唯一） (2)（不唯一） 【分析】（1）利用等差数列定义列举（2）利用等比数列定义列举 【详解】（1）从第2项起，每一项都比它的前一项大2，故数列为等差数列，公差，首项可以为 （不唯一），故的通项公式为 （2）是无穷递减数列，且从第2项起，每一项都是它的前一项的3倍，故数列为等比数列，公比 ， 则可令，则的通项公式为 【考点7：累加法求数列通项】 1．（25-26高三上·吉林延边·期中）在数列中，，，则 . 【答案】5 【分析】根据累加法即可求解. 【详解】由可得， 故， ， ……, , 相加可得， 故答案为：5 2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用递推关系式由累加法计算可求得. 【详解】因为，所以， 所以当时，，，…，， 累加可得， 因为，所以，当时，，满足上式， 所以， 故选：B． 3．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）数列满足，且，则等于（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】递推公式两侧同时乘以，化简递推公式，得，运用累加法及裂项相消法求和，化简整理，即可得到所求通项，代入数值即可得解. 【详解】因为，，， 所以有，，，，. 累加得，又， 所以，即. 当时，符合上式，所以. 则. 故选：B. 4．（25-26高三上·云南红河·月考）如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ） A．462 B．465 C．468 D．475 【答案】B 【分析】归纳出递推公式，再累加求通项即可. 【详解】记第层有个球，则，，，，， ，，，， 则第30层的小球个数为， . 故选：B 5．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项． 【答案】． 【分析】由递推关系式，利用累加法即可求解. 【详解】由， 得， ， ， … ， ． 对这个式子求和得，而也满足该式， 所以． 【考点8：累乘法求数列通项】 1．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知数列满足，，则数列的通项公式是 【答案】 【分析】根据题意可得，再利用累乘法求解． 【详解】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 2．（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，则 的通项公式为 【答案】 【分析】通过递推公式得到相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式. 【详解】已知，将换为，可得， 那么（）. 利用累乘法求（）， 由（）可得： 观察发现，约分后可得（）. 当时，，与已知相符. 所以，. 故答案为：，. 3．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知数列各项均为正数，且首项为1，，则 ． 【答案】210 【分析】对原方程化简得，然后利用累乘法求解即可. 【详解】由已知，得， ∵，∴，得， 由累乘法得，∴, 故答案为：210. 4．（24-25高二下·四川成都·月考）已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据累乘法求数列通项公式即可. 【详解】因为， 所以， 累乘可得， 即，所以， 当时，也成立， 所以. 故答案为： 5．（2025高三·全国·专题练习）设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式= 【答案】 【分析】由条件可得，化简得，再由递推即可得到所求通项. 【详解】由，得， ∵，∴，∴ ，∴， ∴， 又满足上式，∴. 故答案为：. 【考点9：利用an与Sn关系求通项或项】 1．（25-26高二下·吉林长春·月考）已知数列的前n项和，则通项 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用前n项与第项的关系求出通项公式. 【详解】数列的前n项和， 当时，，而，满足上式， 所以. 故答案为： 2．（25-26高二下·安徽亳州·月考）数列的前n项和满足：，则数列的通项公式＝ ． 【答案】 【分析】利用,可求出时,的表达式,然后验证是否满足的表达式即可. 【详解】当时,, 当时,, 显然不符合, 故通项公式. 故答案为：. 3．（2025高三下·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，那么该数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，数列的前n项和为， 当时，； 当时， 将代入上式可得，即时，适合上式， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合等比数列信息求出公比，再求出首项即得. 【详解】当时，，则，两式相减得，即， 因此等比数列的公比，又，即，解得， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 5．（2025高二·全国·专题练习）设数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据可求，再根据可求通项. 【详解】因为， 所以，所以． 当时，． 而也符合该式，故数列的通项公式为． 故答案为：. 【考点10：根据数列递推公式写出数列的项或通项】 1．（25-26高二上·江苏南通·月考）设数列满足…，则 ． 【答案】 【分析】令求出的值，再利用…，…，相减求出，验证首项即可． 【详解】当时，， 由，① ，②， 由①-②得，， ，显然时不满足上式， ， 故答案为： 2．（2025·山东潍坊·二模）设数列满足，则 . 【答案】 【分析】求得数列的首项，再将换为，相除可得所求通项公式； 【详解】解：满足 可得时，， 时，， 又 相除可得，即， 上式对也成立， 则的通项公式为； 故答案为： 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用下标变换相除法，属于中档题. 3．（2025·全国·模拟预测）已知数列满足，则 ． 【答案】 【分析】根据题意分和两种情况，结合前项和与通项之间的关系分析求解. 【详解】因为①， 当时，；当时，②． ①－②可得，则③，且，不符合式③， 所以． 故答案为：. 4．（25-26高二上·福建宁德·月考）已知数列满足，设数列的通项公式为，则 ． 【答案】 【分析】根据给定的递推关系求出可得. 【详解】数列满足， 当时，， 两式相减得，因此. 又时，，满足上式，所以. 故答案为：. 5．（2025·山西·模拟预测）已知数列满足，，则的通项公式是 . 【答案】 【分析】根据所给递推关系可得，，与原式作差即可求解. 【详解】因为① 所以， 当时，②， ①-②可得，， 所以， 所以数列的通项公式是. 故答案为： . 【考点11：求递推关系式】 1．（25-26高三上·上海宝山·期中）若（是正整数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，求得，确定两者之间相关联的项，即可得所求. 【详解】解： . 故选：C. 2．（25-26高二下·全国·课后作业）分别写出下列数列的一个递推公式，并求各数列的第项． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据数列前项，类比推理出递推公式，即可求得第项； （2）根据数列前项，类比推理出递推公式，即可求得第项. 【详解】（1）由，，， 故可得，递推公式为，，． （2）由，，， 所以，，． 3．（25-26高二·全国·课堂例题）分别写出下列数列的一个递推关系，并求出各个数列的第7项： (1)1，2，4，7，11，…； (2)，2，5，8，11，…； (3)1，，4，，16，…． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】找出数列的规律，由此求得递推关系，从而求得第项. 【详解】（1）因为：，， ，， 所以，即． 从而． （2）因为， 所以3，即． 从而． （3）因为， 所以．即． 从而． 4．（25-26高二下·吉林·月考）数列中，，． (1)写出数列的前项； (2)请直接写出的一个通项公式． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）由题中等式可得，结合可写出数列的前项的值； （2）将数列的前项进行改写，可得出数列的一个通项公式. 【详解】（1）解：由可得， 因为，则，， . （2）解：因为，，，. 所以，数列的一个通项公式为. 5．（25-26高二·全国·课后作业）根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式． （1）； （2）； （3）． 【答案】答案见解析 【分析】分别由已知数列递推式求出数列的前4项，然后归纳猜测可得所求数列的通项公式． 【详解】（1）， 归纳猜想； （2）， 归纳猜想； （3）， 归纳猜想 【考点12：递推数列的实际应用】 1．（2025·陕西安康·模拟预测）生物学家在研究植物的生长过程中，发现某种树苗的生长规律为：树苗在第1年长出一条新枝，新枝一年后成长为老枝，老枝以后每年都长出一条新枝，每条树枝都按照这个规律生长，则第10年的树枝条数为（    ） A．56 B．55 C．54 D．34 【答案】B 【分析】设第年共有条树枝，结合题意可得，，，计算出即可得. 【详解】设第年共有条树枝，则有，， 第三年开始，新枝变老枝，继续生长， 则当时，， 故有 . 故选：B. 2．（24-25高二上·广东广州·期末）蜜蜂是母系社会生物，蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂，即雄蜂是“有母无父”，雌蜂是“有父有母”的，下图是某只雄峰的家系图，规定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推.记表示该雄蜂上溯第代祖辈数量，例如.那么，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，当时，，从而利用此性质，结合作差法对选项一一进行判断，得到答案. 【详解】由题意得，当时，， A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，， 故，D错误. 故选：B 3．（24-25高二下·云南昆明·期末）古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着三根金铜石细柱，其中细柱上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若柱上现有个金盘（如图），将柱上的金盘全部移到柱上，至少需要移动次数为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为，则，利用该递推关系可求至少需要移动次数. 【详解】设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为. 要把最下面的第个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动次. 把第个金盘移到另一个柱子上后，再把个金盘移到该柱子上，故又至少移动次，所以， ，故，，故选B. 【点睛】本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题. 4．（25-26高二上·全国·课前预习）观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？ 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，结合下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多，即可求解. 【详解】解：由题意得，自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多根， 即，，， 依此类推：. 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 数列的概念 【知识梳理】 1 【考点1：数列的概念及辨析】 3 【考点2：有穷数列与无穷数列】 4 【考点3：根据规律写出数列中的某项】 5 【考点4：判断或写出数列中的项】 7 【考点5：观察法求数列通项】 7 【考点6：定义法求数列通项】 8 【考点7：累加法求数列通项】 10 【考点8：累乘法求数列通项】 11 【考点9：利用an与Sn关系求通项或项】 11 【考点10：根据数列递推公式写出数列的项或通项】 12 【考点11：求递推关系式】 12 【考点12：递推数列的实际应用】 14 【知识梳理】 1．数列的概念 数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一 个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这 个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可 以用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项 公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推 公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++. 如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的前n项和公式. =. 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 【考点1：数列的概念及辨析】 1．（25-26高二下·吉林四平·期中）以下三个结论中正确的个数为（    ） ①是数列；②不是数列；③数列的通项公式是唯一的. A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西榆林·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 3．（25-26高二下·四川成都·期中）下面四个结论正确的是（    ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 C．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 D．数列的通项公式是唯一的 4．（多选）（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）下列结论中正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列通项公式的表达式不是唯一的 C．数列1，3，5，7可表示为 D．数列1，3，5，7与数列7，5，3，1不是同一数列 5．（25-26高二·全国·课堂例题）已知下列数列： （1）0，0，0，0，0，0； （2）0，－1，2，－3，4，－5，…； （3），…； （4）1，0.2，，，…； （5）0，－1，0，…，，…． 其中，递增数列是 ，递减数列是 ，常数列是 ，摆动数列是 ．（填序号） 【考点2：有穷数列与无穷数列】 1．（多选）（2025高二·全国·专题练习）（多选）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·重庆永川·月考）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ）． A．1，，，，…，，… B．，，，，…，，… C．，，，…，，… D．1，，，…，，… 3．（2025高二·全国·专题练习）给出下列数列：①2010～2017年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个构成数列， ， ， ，…；③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，…. 其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列是 ，常数列是 ，摆动数列是 ． 4．（25-26高二上·全国·课前预习）指出下列数列是有穷数列，还是无穷数列？ (1)2011，2015，2019，2023； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)1，，，…，，…. 5．（2025高二·全国·专题练习）下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ （1）{0，1，2，3，4}；          （2）0，1，2，3，4； （3）所有无理数；               （4）1，－1，1，－1，1，－1，…； （5）6，6，6，6，6 【考点3：根据规律写出数列中的某项】 1．（2025高二·全国·专题练习）已知数列：，，，，，，，，，，，则该数列的第17项 ． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．如图中的数称为五边形数，则第8个五边形数是 ． 3．（25-26高二上·吉林长春·期中）分形几何学是在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第11行的实心圆点的个数是（    ） A．89 B．55 C．34 D．44 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，，则第7行第4个数（从左往右数）为（   ） 　 　　 　　　 　　　　 A． B． C． D． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（    ）    A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 【考点4：判断或写出数列中的项】 1．（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（    ） A．18 B．20 C．32 D．66 2．（25-26高二上·江苏常州·期中）若已知数列的通项公式是，其中.则是数列中的第 项. 3．（24-25高三上·北京石景山·期末）在数列中，，且对任意的有，则 . 4．（24-25高一下·上海徐汇·期末）数列中，已知，50为第 项. 5．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知数列的通项公式，记数列落在区间内项的个数为，则 ． 【考点5：观察法求数列通项】 1．（25-26高二上·甘肃·期中）已知数列1，4，9，16，…，则它的通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列，则5是这个数列的（   ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 3．（多选）（25-26高二上·甘肃·月考）数列的通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 5．（2025高三·全国·专题练习）根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一个通项公式 . 【考点6：定义法求数列通项】 1．（2025高三·全国·专题练习）根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： （1）－1,7，－13,19，； （2）0.8,0.88,0.888，； （3）； （4），，，，. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，． (1)求的通项公式； (2)88是否是数列中的项？ 3．（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列中，，，通项是项数的一次函数， (1)求的通项公式，并求； (2)若是由组成，试归纳的一个通项公式． 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍． （1）求这个数列的第4项与第25项； （2）253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 5．（25-26高二·全国·课后作业）分别写出一个满足下列条件的数列的通项公式. (1)从第2项起，每一项都比它的前一项大2； (2)是无穷递减数列，且从第2项起，每一项都是它的前一项的3倍. 【考点7：累加法求数列通项】 1．（25-26高三上·吉林延边·期中）在数列中，，，则 . 2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）数列满足，且，则等于（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 4．（25-26高三上·云南红河·月考）如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ） A．462 B．465 C．468 D．475 5．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项． 【考点8：累乘法求数列通项】 1．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知数列满足，，则数列的通项公式是 2．（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，则 的通项公式为 3．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知数列各项均为正数，且首项为1，，则 ． 4．（24-25高二下·四川成都·月考）已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 5．（2025高三·全国·专题练习）设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式= 【考点9：利用an与Sn关系求通项或项】 1．（25-26高二下·吉林长春·月考）已知数列的前n项和，则通项 ． 2．（25-26高二下·安徽亳州·月考）数列的前n项和满足：，则数列的通项公式＝ ． 3．（2025高三下·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，那么该数列的通项公式为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和，且，则数列的通项公式为 ． 5．（2025高二·全国·专题练习）设数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为 ． 【考点10：根据数列递推公式写出数列的项或通项】 1．（25-26高二上·江苏南通·月考）设数列满足…，则 ． 2．（2025·山东潍坊·二模）设数列满足，则 . 3．（2025·全国·模拟预测）已知数列满足，则 ． 4．（25-26高二上·福建宁德·月考）已知数列满足，设数列的通项公式为，则 ． 5．（2025·山西·模拟预测）已知数列满足，，则的通项公式是 . 【考点11：求递推关系式】 1．（25-26高三上·上海宝山·期中）若（是正整数），则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·课后作业）分别写出下列数列的一个递推公式，并求各数列的第项． (1)； (2)． 3．（25-26高二·全国·课堂例题）分别写出下列数列的一个递推关系，并求出各个数列的第7项： (1)1，2，4，7，11，…； (2)，2，5，8，11，…； (3)1，，4，，16，…． 4．（25-26高二下·吉林·月考）数列中，，． (1)写出数列的前项； (2)请直接写出的一个通项公式． 5．（25-26高二·全国·课后作业）根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式． （1）； （2）； （3）． 【考点12：递推数列的实际应用】 1．（2025·陕西安康·模拟预测）生物学家在研究植物的生长过程中，发现某种树苗的生长规律为：树苗在第1年长出一条新枝，新枝一年后成长为老枝，老枝以后每年都长出一条新枝，每条树枝都按照这个规律生长，则第10年的树枝条数为（    ） A．56 B．55 C．54 D．34 2．（24-25高二上·广东广州·期末）蜜蜂是母系社会生物，蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂，即雄蜂是“有母无父”，雌蜂是“有父有母”的，下图是某只雄峰的家系图，规定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推.记表示该雄蜂上溯第代祖辈数量，例如.那么，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南昆明·期末）古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着三根金铜石细柱，其中细柱上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若柱上现有个金盘（如图），将柱上的金盘全部移到柱上，至少需要移动次数为 A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·课前预习）观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？ 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $