精品解析：安徽省阜阳市太和县昌泰高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

2025-2026学年度昌泰高级中学高二数学期中考试卷 11月份期中考试卷 考试范围：选择性必修一第一、二单元；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1. 已知直线的倾斜角的正切值为，直线与垂直，则的斜率是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线垂直其斜率乘积为的结论即可得到答案. 【详解】设直线和的斜率分别为， 由题意得直线的斜率，因为直线与垂直， 则，则. 故选：D. 2. 若直线l的一般式方程为2x－y＋1＝0，则直线l不经过(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】把直线方程一般式化为斜截式，可求得直线的斜率与截距，可判断直线不经过的象限． 【详解】由题意可得y=2x+1,斜率k=2,截距b=1,所以直线不过第四象限，选D. 【点睛】本题考查通过直线方程的斜率与截距判断直线几何特征，较易． 3. 直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2，则c的值为（　　） A. 9 B. 11或 C. D. 9或 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用两条平行线间的距离公式，可的c的值. 【详解】解：直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2， ，解得：c=11或c=-9. 故选B. 【点睛】本题主要考查两平行线间的距离公式，相对简单. 4. 已知直线的方程为：，直线的方程为：，若，则直线与的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，求得直线的方程，然后联立求解. 【详解】因为直线的方程为：，直线的方程为：，且， 所以， 解得 所以直线的方程为， ，解得， 所以直线与的交点坐标为， 故选：B 5. 已知空间三点，，，则与的夹角为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得两向量的坐标，利用向量的夹角公式可求与的夹角. 【详解】∵， ， ∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为． 故选：C 6. 已知平面的一个法向量是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到平面的距离的向量坐标公式计算即得. 【详解】由题意，, 点到平面的距离是. 故选：A. 7. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 8. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据共面定理得，即可代入坐标运算求解. 【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得， 即，即，解得. 故选：D 二、多选题（共18分） 9. 已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点中不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标表示，依次判断，，，是否为0即可. 【详解】对于A，，，所以，又因为平面，所以平面. 对于B，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面. 对于C，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面. 对于D，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面. 故选：BCD 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直线的方程得横截距可判断A；把方程作为参数的恒等式求解得定点坐标可判断B；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断CD． 【详解】对于A，令时，，则在轴上的截距为，故A正确； 对于B，直线，当时，所以直线恒过，故B正确； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，等价于，解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知点到直线的距离相等，则斜率的值可以是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】解法1：利用点到直线距离公式得到方程，求出斜率的值； 解法2：分直线与平行和直线经过的中点两种情况，求出答案. 【详解】解法1：点到的距离相等，即， 解得或； 解法2：直线过定点，线段的斜率为， 直线与平行时，点到直线的距离相等，此时； 直线经过的中点时，点到直线的距离相等， 此时， 综上，或. 故选：AC. 三、填空题（共15分） 12. 已知直线l经过两点，，若直线l的方向向量的坐标为．则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线的方向向量的定义，结合斜率的计算公式求解出的值. 【详解】设直线的斜率为， 因为直线的方向向量坐标是，所以， 因为直线经过和， 所以，解得. 故答案为：. 13. 直线的一般式方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程的形式，结合等式的性质进行求解即可. 【详解】由得：，所以直线的一般式方程为：. 故答案为： 【点睛】本题考查了直线截距式方程化成一般方程，属于基础题. 14. 已知，若，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示即可得到方程组，解出即可. 【详解】因，且， 显然，则，解得， 则. 故答案为：4. 四、解答题（共77分） 15. 已知直线经过，直线经过点. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【小问1详解】 由题可知直线的斜率存在且， 若则直线的斜率也存在， 由， 得，即解得或， 经检验，当或时，； 【小问2详解】 若，当时，此时斜率存在，不符合题意， 当时，直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率也存在，且， 即，即， 解得或， 所以当或时，. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点． （1）求的长； （2）求与所成角的余弦值； （3）求证：平面． 【答案】（1） （2） （3） 连接，如下图所示： 由勾股定理可得，， 又因为，故，即，同理可证， 因为，、平面，故平面. 【解析】 【分析】（1）推导出，利用勾股定理可求得的长； （2）分别取、、的中点、、，连接、、、，由异面直线所成角的定义可知，异面直线、所成角为或其补角，求出三边边长，结合余弦定理求解即可； （3）利用勾股定理证明出，同理得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 因为，为的中点，所以， 故. 【小问2详解】 分别取、、的中点、、，连接、、、， 因为、分别为、的中点，所以， 且， 同理可得，，， 所以，异面直线、所成角为或其补角， 因为，，故四边形为平行四边形，所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，故，， 因为平面，所以平面， 因为平面，故，所以， 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 连接，如下图所示： 由勾股定理可得，， 又因为，故，即，同理可证， 因为，、平面，故平面. 17. 已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝. （1）求直线CD的方程； （2）求圆P的方程. 【答案】（1）x＋y－3＝0（2）圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40 【解析】 【分析】 （1）求出AB中点坐标和直线CD的斜率，即得直线CD的方程；（2）设圆心P（a，b），求出的值，即得圆P的方程. 【详解】（1）由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为（1，2）. 所以. 则直线CD的方程为y－2＝－（x－1）， 所以直线CD的方程为x＋y－3＝0. （2）设圆心P（a，b），则由点P在CD上得a＋b－3＝0.① 又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2， 所以（a＋1）2＋b2＝40.② 由①②解得或 所以圆心P（－3，6）或P（5，－2）. 所以圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40. 【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18. 如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，. （1）求两点间的距离； （2）求证：平面； （3）求证：平面平面. 【答案】（1） （2）由（1）知，， 所以，即，即， 又平面平面， 所以平面. （3）由（2）知，，，， 所以，， 则，即， 又，且平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合空间向量求解，进而求解； （2）利用空间向量可得，进而得到，进而根据线面平行的判定定理即可证明； （3）利用空间向量可得，进而得到平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明. 【小问1详解】 由题可知，底面，， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 即两点间的距离为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）； （ⅱ）设， 由根与系数的关系：， 所以. 即直线OA，OB斜率之和为定值. 【解析】 【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案； （2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案. 【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a， 又圆C与直线相切， 所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：. （2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：， 因为有两个交点， 所以，即k的取值范围是. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度昌泰高级中学高二数学期中考试卷 11月份期中考试卷 考试范围：选择性必修一第一、二单元；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1. 已知直线的倾斜角的正切值为，直线与垂直，则的斜率是（ ） A. B. C. 3 D. 2. 若直线l的一般式方程为2x－y＋1＝0，则直线l不经过(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2，则c的值为（　　） A. 9 B. 11或 C. D. 9或 4. 已知直线的方程为：，直线的方程为：，若，则直线与的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间三点，，，则与的夹角为（    ） A. B. C. D. 6. 已知平面的一个法向量是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. 3 D. 7. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 二、多选题（共18分） 9. 已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点中不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 11. 已知点到直线的距离相等，则斜率的值可以是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 三、填空题（共15分） 12. 已知直线l经过两点，，若直线l的方向向量的坐标为．则__________． 13. 直线的一般式方程为________ 14. 已知，若，则__________． 四、解答题（共77分） 15. 已知直线经过，直线经过点. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点． （1）求的长； （2）求与所成角的余弦值； （3）求证：平面． 17. 已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝. （1）求直线CD的方程； （2）求圆P的方程. 18. 如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，. （1）求两点间的距离； （2）求证：平面； （3）求证：平面平面. 19. 已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $